Ángulo

En geometría euclidiana , un ángulo es la figura formada por dos rayos , llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. ^[1] Los ángulos formados por dos rayos también se conocen como ángulos planos , ya que se encuentran en el plano que contiene los rayos. Los ángulos también se forman por la intersección de dos planos; estos se llaman ángulos diedros . Dos curvas que se cruzan también pueden definir un ángulo, que es el ángulo de los rayos que se encuentran tangentes a las respectivas curvas en su punto de intersección.

La magnitud de un ángulo se denomina medida angular o simplemente "ángulo". El ángulo de rotación es una medida definida convencionalmente como la relación entre la longitud de un arco circular y su radio , y puede ser un número negativo . En el caso de un ángulo geométrico, el arco está centrado en el vértice y delimitado por los lados. En el caso de una rotación , el arco está centrado en el centro de la rotación y delimitado por cualquier otro punto y su imagen por la rotación.

La palabra ángulo proviene del latín angulus , que significa "esquina". Otras palabras relacionadas son el griego ἀγκύλος ( ankylοs ), que significa "torcido, curvado", y la palabra inglesa " tobillo ". Ambas están relacionadas con la raíz protoindoeuropea *ank- , que significa "doblar" o "arquearse". ^[2]

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas una con respecto a la otra. Según el metafísico neoplatónico Proclo , un ángulo debe ser una cualidad, una cantidad o una relación. El primer concepto, ángulo como cualidad, fue utilizado por Eudemo de Rodas , quien consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta ; el segundo, ángulo como cantidad, por Carpo de Antioquía , quien lo consideraba como el intervalo o espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercero: ángulo como relación. ^[3]

En expresiones matemáticas , es común usar letras griegas ( α , β , γ , θ , φ , . . . ) como variables que denotan el tamaño de algún ángulo ^[4] (el símbolo π no se usa típicamente para este propósito para evitar confusiones con la constante denotada por ese símbolo ). También se usan letras romanas minúsculas ( a ,  b ,  c , . . . ). En contextos donde esto no es confuso, un ángulo puede denotarse con la letra romana mayúscula que denota su vértice. Vea las figuras en este artículo para ver ejemplos.

Los tres puntos de definición también pueden identificar ángulos en figuras geométricas. Por ejemplo, el ángulo con vértice A formado por los rayos AB y AC (es decir, las semirrectas que van del punto A a través de los puntos B y C) se denota ∠BAC o . Cuando no hay riesgo de confusión, a veces se puede hacer referencia al ángulo por un solo vértice (en este caso, "ángulo A").${\displaystyle {\widehat {\rm {BAC}}}}$

En otras formas, un ángulo denotado como, por ejemplo, ∠BAC podría referirse a cualquiera de cuatro ángulos: el ángulo en el sentido de las agujas del reloj de B a C alrededor de A, el ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj de B a C alrededor de A, el ángulo en el sentido de las agujas del reloj de C a B alrededor de A, o el ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj de C a B alrededor de A, donde la dirección en la que se mide el ángulo determina su signo (véase § Ángulos con signo ). Sin embargo, en muchas situaciones geométricas, es evidente a partir del contexto que se hace referencia al ángulo positivo menor o igual a 180 grados, y en estos casos, no surge ninguna ambigüedad. De lo contrario, para evitar la ambigüedad, se pueden adoptar convenciones específicas de modo que, por ejemplo, ∠BAC siempre se refiera al ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj (positivo) de B a C alrededor de A y ∠CAB al ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj (positivo) de C a B alrededor de A.

Existe una terminología común para los ángulos, cuya medida siempre es no negativa (ver § Ángulos con signo ):

• Un ángulo igual a 0° o no girado se llama ángulo cero . ^[5]
• Un ángulo más pequeño que un ángulo recto (menor de 90°) se llama ángulo agudo ^[6] ("agudo" significa " agudo ").
• Un ángulo igual a ⁠1/4⁠  girar (90° o ⁠π/2⁠ radianes ) se llama ángulo recto . Dos líneas que forman un ángulo recto se dicen normales , ortogonales o perpendiculares . [ ^7]
• Un ángulo mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano (entre 90° y 180°) se denomina ángulo obtuso ^[6] ("obtuso" significa "romo").
• Un ángulo igual a ⁠1/2Un  giro (180° o π radianes) se denomina ángulo recto . ^[5]
• Un ángulo mayor que un ángulo recto pero menor que una vuelta (entre 180° y 360°) se llama ángulo reflejo .
• Un ángulo igual a 1 vuelta (360° o 2 π radianes) se llama ángulo completo , ángulo entero , ángulo redondo o perigono .
• Un ángulo que no es múltiplo de un ángulo recto se llama ángulo oblicuo .

Los nombres, intervalos y unidades de medida se muestran en la siguiente tabla:

Cuando dos líneas rectas se cortan en un punto, se forman cuatro ángulos. Estos ángulos se nombran de dos en dos según su posición relativa.

Una transversal es una línea que interseca un par de líneas (a menudo paralelas) y está asociada con ángulos externos , ángulos internos , ángulos externos alternos , ángulos internos alternos , ángulos correspondientes y ángulos internos consecutivos . ^[11]

El postulado de adición de ángulos establece que si B está en el interior del ángulo AOC, entonces

$${\displaystyle m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC} }$$

Es decir, la medida del ángulo AOC es la suma de la medida del ángulo AOB y la medida del ángulo BOC.

Tres pares de ángulos especiales implican la suma de ángulos:

• Un ángulo que forma parte de un polígono simple se denomina ángulo interior si se encuentra en el interior de ese polígono simple. Un polígono cóncavo simple tiene al menos un ángulo interior, es decir, un ángulo cóncavo.
  En geometría euclidiana , las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman π radianes, 180° o ⁠1/2⁠ giro; las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo simple suman 2 π radianes, 360° o 1 giro. En general, las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo simple con n lados suman ( n  − 2) π  radianes, o ( n  − 2)180 grados, ( n  − 2)2 ángulos rectos, o ( n  − 2) ⁠1/2⁠  girar.
• El suplemento de un ángulo interior se llama ángulo exterior ; es decir, un ángulo interior y un ángulo exterior forman un par lineal de ángulos. Hay dos ángulos exteriores en cada vértice del polígono, cada uno determinado por la prolongación de uno de los dos lados del polígono que se encuentran en el vértice; estos dos ángulos son verticales y, por lo tanto, son iguales. Un ángulo exterior mide la cantidad de rotación que uno debe hacer en un vértice para trazar el polígono. ^[17] Si el ángulo interior correspondiente es un ángulo reflejo, el ángulo exterior debe considerarse negativo . Incluso en un polígono no simple, puede ser posible definir el ángulo exterior. Aún así, uno tendrá que elegir una orientación del plano (o superficie ) para decidir el signo de la medida del ángulo exterior.
  En geometría euclidiana, la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo simple, si se supone que solo uno de los dos ángulos exteriores está en cada vértice, será una vuelta completa (360°). El ángulo exterior aquí podría llamarse ángulo exterior suplementario . Los ángulos exteriores se utilizan comúnmente en los programas Logo Turtle al dibujar polígonos regulares.
• En un triángulo , las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz del otro ángulo interior son concurrentes (se encuentran en un único punto). ^{[18] : 149}
• En un triángulo, tres puntos de intersección, cada uno de una bisectriz de un ángulo externo con el lado extendido opuesto , son colineales . ^{[18] : 149}
• En un triángulo, tres puntos de intersección, dos entre la bisectriz de un ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la bisectriz del otro ángulo exterior y la prolongación del lado opuesto, son colineales. ^{[18] : 149}
• Algunos autores utilizan el nombre de ángulo exterior de un polígono simple para significar el ángulo exterior exponente ( ¡no el suplemento!) del ángulo interior. ^[19] Esto entra en conflicto con el uso anterior.

• El ángulo entre dos planos (como dos caras adyacentes de un poliedro ) se denomina ángulo diedro . ^[13] Puede definirse como el ángulo agudo entre dos líneas normales a los planos.
• El ángulo entre un plano y una línea recta que lo interseca es igual a noventa grados menos el ángulo entre la línea que lo interseca y la línea que pasa por el punto de intersección y es normal al plano.

El tamaño de un ángulo geométrico se caracteriza generalmente por la magnitud de la rotación más pequeña que hace que uno de los rayos se incorpore al otro. Se dice que los ángulos del mismo tamaño son congruentes o iguales en medida .

En algunos contextos, como identificar un punto en un círculo o describir la orientación de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo exacto de una vuelta completa son efectivamente equivalentes. En otros contextos, como identificar un punto en una curva espiral o describir la rotación acumulada de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo distinto de cero de una vuelta completa no son equivalentes.

Para medir un ángulo θ , se dibuja un arco circular centrado en el vértice del ángulo, por ejemplo, con un compás . La relación entre la longitud s del arco y el radio r del círculo es el número de radianes del ángulo: ^[20] Convencionalmente, en matemáticas y en el SI , el radián se trata como si fuera igual a la unidad adimensional 1, por lo que normalmente se omite.$${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} .}$$

El ángulo expresado por otra unidad angular puede entonces obtenerse multiplicando el ángulo por una constante de conversión adecuada de la formaa/2π​⁠ , donde k es la medida de una vuelta completa expresada en la unidad elegida (por ejemplo, k = 360° para grados o 400 grad para gradianes ):

$${\displaystyle \theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.}$$

El valor de θ así definido es independiente del tamaño del círculo: si se cambia la longitud del radio, la longitud del arco cambia en la misma proporción, por lo que la relación s / r permanece inalterada. ^{[nb 1]}

A lo largo de la historia, los ángulos se han medido en varias unidades . Estas se conocen como unidades angulares , siendo las unidades más contemporáneas el grado (°), el radián (rad) y el gradián (grad), aunque se han utilizado muchas otras a lo largo de la historia . ^[22] La mayoría de las unidades de medida angular se definen de forma que una vuelta (es decir, el ángulo subtendido por la circunferencia de un círculo en su centro) es igual a n unidades, para algún número entero n . Dos excepciones son el radián (y sus submúltiplos decimales) y la parte del diámetro.

En el Sistema Internacional de Cantidades , un ángulo se define como una cantidad adimensional y, en particular, la unidad radián es adimensional. Esta convención afecta el modo en que se tratan los ángulos en el análisis dimensional .

La siguiente tabla enumera algunas unidades utilizadas para representar ángulos.

Con frecuencia resulta útil imponer una convención que permita que valores angulares positivos y negativos representen orientaciones y/o rotaciones en direcciones opuestas o "sentidos" relativos a alguna referencia.

En un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional , un ángulo se define típicamente por sus dos lados, con su vértice en el origen. El lado inicial está en el eje x positivo , mientras que el otro lado o lado terminal se define por la medida desde el lado inicial en radianes, grados o giros, con ángulos positivos que representan rotaciones hacia el eje y positivo y ángulos negativos que representan rotaciones hacia el eje y negativo . Cuando las coordenadas cartesianas se representan por la posición estándar , definida por el eje x hacia la derecha y el eje y hacia arriba, las rotaciones positivas son en sentido antihorario y los ciclos negativos son en sentido horario .

En muchos contextos, un ángulo de − θ equivale efectivamente a un ángulo de "una vuelta completa menos θ ". Por ejemplo, una orientación representada como −45° equivale efectivamente a una orientación definida como 360° − 45° o 315°. Aunque la posición final es la misma, una rotación física (movimiento) de −45° no es lo mismo que una rotación de 315° (por ejemplo, la rotación de una persona que sostiene una escoba apoyada sobre un suelo polvoriento dejaría rastros visualmente diferentes de las regiones barridas en el suelo).

En geometría tridimensional, "en sentido horario" y "antihorario" no tienen un significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos debe definirse en términos de una orientación , que normalmente está determinada por un vector normal que pasa por el vértice del ángulo y es perpendicular al plano en el que se encuentran los rayos del ángulo.

En navegación , los rumbos o acimutes se miden en relación con el norte. Por convención, vistos desde arriba, los ángulos de rumbo son positivos en el sentido de las agujas del reloj, por lo que un rumbo de 45° corresponde a una orientación noreste. Los rumbos negativos no se utilizan en navegación, por lo que una orientación noroeste corresponde a un rumbo de 315°.

• Los ángulos que tienen la misma medida (es decir, la misma magnitud) se denominan iguales o congruentes . Un ángulo se define por su medida y no depende de las longitudes de los lados del ángulo (por ejemplo, todos los ángulos rectos tienen la misma medida).
• Dos ángulos que comparten lados terminales, pero difieren en tamaño por un múltiplo entero de una vuelta, se denominan ángulos coterminales .
• El ángulo de referencia (a veces llamado ángulo relacionado ) para cualquier ángulo θ en posición estándar es el ángulo agudo positivo entre el lado terminal de θ y el eje x (positivo o negativo). ^{[51] [52]} Procedimentalmente, la magnitud del ángulo de referencia para un ángulo dado puede determinarse tomando la magnitud del ángulo módulo ⁠1/2⁠ girar 180°, o π radianes, deteniéndose si el ángulo es agudo, en caso contrario se toma el ángulo suplementario, 180° menos la magnitud reducida. Por ejemplo, un ángulo de 30 grados ya es un ángulo de referencia, y un ángulo de 150 grados también tiene un ángulo de referencia de 30 grados (180° − 150°). Los ángulos de 210° y 510° corresponden también a un ángulo de referencia de 30 grados (210° mod 180° = 30°, 510° mod 180° = 150° cuyo ángulo suplementario es 30°).

En el caso de una unidad angular, es definitorio que se cumple el postulado de la suma de ángulos . Algunas cantidades relacionadas con los ángulos en las que no se cumple el postulado de la suma de ángulos son:

• La pendiente o gradiente es igual a la tangente del ángulo; un gradiente se expresa a menudo como un porcentaje. Para valores muy pequeños (menos del 5%), la pendiente de una línea es aproximadamente la medida en radianes de su ángulo con la dirección horizontal.
• La distancia entre dos rectas se define en geometría racional como el cuadrado del seno del ángulo que forman las rectas. Como el seno de un ángulo y el seno de su ángulo suplementario son iguales, cualquier ángulo de rotación que proyecte una de las rectas en la otra da como resultado el mismo valor de distancia entre las rectas.
• Aunque rara vez se hace, se pueden informar los resultados directos de las funciones trigonométricas , como el seno del ángulo.

El ángulo entre una línea y una curva (ángulo mixto) o entre dos curvas que se intersecan (ángulo curvilíneo) se define como el ángulo entre las tangentes en el punto de intersección. Se han dado varios nombres (ahora rara vez, o nunca, usados) a casos particulares: anficírtico (Gr. ἀμφί , en ambos lados, κυρτός, convexo) o cisoidal (Gr. κισσός, hiedra), biconvexo; xistroidal o sistroidal (Gr. ξυστρίς, una herramienta para raspar), cóncavo-convexo; anficóelico (Gr. κοίλη, un hueco) o angulus lunularis , bicóncavo. ^[53]

Los antiguos matemáticos griegos sabían bisecar un ángulo (dividirlo en dos ángulos de igual medida) utilizando únicamente un compás y una regla, pero sólo podían trisecar ciertos ángulos. En 1837, Pierre Wantzel demostró que esta construcción no podía realizarse para la mayoría de los ángulos.

En el espacio euclidiano , el ángulo θ entre dos vectores euclidianos u y v está relacionado con su producto escalar y sus longitudes mediante la fórmula

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

Esta fórmula proporciona un método sencillo para encontrar el ángulo entre dos planos (o superficies curvas) a partir de sus vectores normales y entre líneas oblicuas a partir de sus ecuaciones vectoriales.

Para definir ángulos en un espacio abstracto de producto interno real , reemplazamos el producto escalar euclidiano ( · ) por el producto interno , es decir${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right \|.}$$

En un espacio de producto interno complejo , la expresión para el coseno anterior puede dar valores no reales, por lo que se reemplaza por

$${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\ izquierda\|\mathbf {v} \derecha\|.}$$

o, más comúnmente, utilizando el valor absoluto, con

$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\| \izquierda\|\mathbf {v} \derecha\|.}$$

La última definición ignora la dirección de los vectores. Por lo tanto, describe el ángulo entre los subespacios unidimensionales y los generados por los vectores y, en consecuencia,${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbf {u}}$${\displaystyle \mathbf {v}}$

La definición del ángulo entre subespacios unidimensionales y dada por${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$

$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|}$$

En un espacio de Hilbert se puede extender a subespacios de dimensiones finitas. Dados dos subespacios , con , esto conduce a una definición de ángulos llamados ángulos canónicos o principales entre subespacios.${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle \dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l}$${\displaystyle k}$

En geometría de Riemann , el tensor métrico se utiliza para definir el ángulo entre dos tangentes . Donde U y V son vectores tangentes y g ij _son los componentes del tensor métrico G.

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}$$

Un ángulo hiperbólico es un argumento de una función hiperbólica , así como el ángulo circular es el argumento de una función circular . La comparación puede visualizarse como el tamaño de las aberturas de un sector hiperbólico y un sector circular , ya que las áreas de estos sectores corresponden a las magnitudes de los ángulos en cada caso. ^[54] A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no tiene límites. Cuando las funciones circulares e hiperbólicas se consideran series infinitas en su argumento angular, las circulares son simplemente formas de series alternadas de las funciones hiperbólicas. Esta comparación de las dos series correspondientes a funciones de ángulos fue descrita por Leonhard Euler en Introducción al análisis del infinito (1748).

En geografía , la ubicación de cualquier punto de la Tierra se puede identificar mediante un sistema de coordenadas geográficas . Este sistema especifica la latitud y la longitud de cualquier ubicación en términos de ángulos subtendidos en el centro de la Tierra, utilizando el ecuador y (generalmente) el meridiano de Greenwich como referencias.

En astronomía , un punto dado en la esfera celeste (es decir, la posición aparente de un objeto astronómico) puede identificarse utilizando cualquiera de varios sistemas de coordenadas astronómicas , donde las referencias varían según el sistema en particular. Los astrónomos miden la separación angular de dos estrellas imaginando dos líneas a través del centro de la Tierra , cada una de las cuales interseca una de las estrellas. Se puede medir el ángulo entre esas líneas y la separación angular entre las dos estrellas.

Tanto en geografía como en astronomía, una dirección de observación se puede especificar en términos de un ángulo vertical como la altitud / elevación con respecto al horizonte , así como el acimut con respecto al norte .

Los astrónomos también miden el tamaño aparente de los objetos como diámetro angular . Por ejemplo, la luna llena tiene un diámetro angular de aproximadamente 0,5° cuando se la ve desde la Tierra. Se podría decir: "El diámetro de la Luna subtiende un ángulo de medio grado". La fórmula del ángulo pequeño puede convertir dicha medida angular en una relación distancia/tamaño.

Otras aproximaciones astronómicas incluyen:

• 0,5° es el diámetro aproximado del Sol y de la Luna vistos desde la Tierra.
• 1° es el ancho aproximado del dedo meñique a la longitud del brazo.
• 10° es el ancho aproximado de un puño cerrado con el brazo extendido.
• 20° es el ancho aproximado de un palmo con el brazo extendido.

Estas medidas dependen de cada sujeto y lo anterior debe considerarse únicamente como una aproximación aproximada .

En astronomía, la ascensión recta y la declinación suelen medirse en unidades angulares, expresadas en términos de tiempo, basándose en un día de 24 horas.

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 Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público :  Chisholm, Hugh , ed. (1911), "Angle", Encyclopædia Britannica , vol. 2 (11.ª ed.), Cambridge University Press, pág. 14

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• "Angle"  , Encyclopædia Britannica , vol. 2 (novena edición), 1878, págs. 29-30