Distancia

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La distancia es una medida numérica o, en ocasiones, cualitativa de la distancia entre objetos, puntos, personas o ideas. En física o en el uso cotidiano, la distancia puede referirse a una longitud física o una estimación basada en otros criterios (por ejemplo, "dos condados más allá"). El término también se utiliza con frecuencia metafóricamente ^[1] para significar una medida de la cantidad de diferencia entre dos objetos similares (como la distancia estadística entre distribuciones de probabilidad o la distancia de edición entre cadenas de texto ) o un grado de separación (como se ejemplifica con la distancia entre personas en una red social ). La mayoría de estas nociones de distancia, tanto físicas como metafóricas, se formalizan en matemáticas utilizando la noción de espacio métrico .

En las ciencias sociales , la distancia puede referirse a una medida cualitativa de separación, como la distancia social o la distancia psicológica .

La distancia entre ubicaciones físicas se puede definir de diferentes maneras en diferentes contextos.

La distancia entre dos puntos del espacio físico es la longitud de una línea recta entre ellos, que es el camino más corto posible. Este es el significado habitual de distancia en la física clásica , incluida la mecánica newtoniana .

La distancia en línea recta se formaliza matemáticamente como la distancia euclidiana en el espacio bidimensional y tridimensional . En geometría euclidiana , la distancia entre dos puntos A y B a menudo se denota como . En geometría de coordenadas , la distancia euclidiana se calcula utilizando el teorema de Pitágoras . La distancia entre los puntos ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ ) en el plano viene dada por: ^{[2] [3]} De manera similar, dados los puntos ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) en el espacio tridimensional, la distancia entre ellos es: ^{[2] Esta idea se generaliza a} espacios euclidianos de dimensiones superiores .${\estilo de visualización |AB|}$$${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2} +(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$$$${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2} -x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.}$$

Existen muchas formas de medir distancias en línea recta. Por ejemplo, se puede hacer directamente con una regla , o indirectamente con un radar (para distancias largas) o interferometría (para distancias muy cortas). La escala cósmica de distancias es un conjunto de formas de medir distancias extremadamente largas.

La distancia en línea recta entre dos puntos de la superficie de la Tierra no es muy útil para la mayoría de los propósitos, ya que no podemos hacer un túnel recto a través del manto terrestre . En cambio, normalmente se mide el camino más corto a lo largo de la superficie de la Tierra , en línea recta . Esto se aproxima matemáticamente mediante la distancia del círculo máximo en una esfera.

En términos más generales, el camino más corto entre dos puntos a lo largo de una superficie curva se conoce como geodésica . La longitud del arco de las geodésicas proporciona una forma de medir la distancia desde la perspectiva de una hormiga u otra criatura no voladora que viva en esa superficie.

En la teoría de la relatividad , debido a fenómenos como la contracción de la longitud y la relatividad de la simultaneidad , las distancias entre objetos dependen de la elección del marco de referencia inercial . En escalas galácticas y mayores, la medición de la distancia también se ve afectada por la expansión del universo . En la práctica, se utilizan varias medidas de distancia en cosmología para cuantificar dichas distancias.

Las definiciones inusuales de distancia pueden ser útiles para modelar ciertas situaciones físicas, pero también se utilizan en matemáticas teóricas:

• En la práctica, a menudo nos interesa la distancia recorrida entre dos puntos a lo largo de una carretera, en lugar de la distancia en línea recta. En un plano de cuadrícula , la distancia recorrida entre las esquinas de las calles está dada por la distancia de Manhattan : el número de manzanas de este a oeste y de norte a sur que se deben atravesar para llegar entre esos dos puntos.
• La distancia del tablero de ajedrez, formalizada como distancia de Chebyshev , es el número mínimo de movimientos que debe realizar un rey en un tablero de ajedrez para desplazarse entre dos casillas.

Muchas nociones abstractas de distancia que se utilizan en matemáticas, ciencias e ingeniería representan un grado de diferencia o separación entre objetos similares. En esta página se ofrecen algunos ejemplos.

En estadística y geometría de la información , las distancias estadísticas miden el grado de diferencia entre dos distribuciones de probabilidad . Hay muchos tipos de distancias estadísticas, típicamente formalizadas como divergencias ; estas permiten que un conjunto de distribuciones de probabilidad se entienda como un objeto geométrico llamado variedad estadística . La más elemental es la distancia euclidiana al cuadrado , que se minimiza mediante el método de mínimos cuadrados ; esta es la divergencia de Bregman más básica . La más importante en la teoría de la información es la entropía relativa ( divergencia de Kullback-Leibler ), que permite estudiar de manera análoga la estimación de máxima verosimilitud geométricamente; este es un ejemplo tanto de una divergencia f como de una divergencia de Bregman (y de hecho el único ejemplo que es ambas). Las variedades estadísticas correspondientes a las divergencias de Bregman son variedades planas en la geometría correspondiente, lo que permite utilizar un análogo del teorema de Pitágoras (que se cumple para la distancia euclidiana al cuadrado) para problemas inversos lineales en inferencia por teoría de optimización .

Otras distancias estadísticas importantes incluyen la distancia de Mahalanobis y la distancia de energía .

En informática , una distancia de edición o métrica de cadena entre dos cadenas mide cuán diferentes son. Por ejemplo, las palabras "perro" y "punto", que difieren en solo una letra, están más cerca que "perro" y "gato", que no tienen letras en común. Esta idea se utiliza en correctores ortográficos y en teoría de codificación , y se formaliza matemáticamente de varias maneras diferentes, incluidas la distancia de Levenshtein , la distancia de Hamming , la distancia de Lee y la distancia de Jaro-Winkler .

En un grafo , la distancia entre dos vértices se mide por la longitud del camino de arista más corto entre ellos. Por ejemplo, si el grafo representa una red social , entonces la idea de seis grados de separación puede interpretarse matemáticamente como que la distancia entre dos vértices cualesquiera es como máximo seis. De manera similar, el número de Erdős y el número de Bacon (el número de relaciones de colaboración que separan a una persona del prolífico matemático Paul Erdős y del actor Kevin Bacon , respectivamente) son distancias en los grafos cuyas aristas representan colaboraciones matemáticas o artísticas.

En psicología , geografía humana y ciencias sociales , la distancia a menudo se teoriza no como una medida numérica objetiva, sino como una descripción cualitativa de una experiencia subjetiva. ^[4] Por ejemplo, la distancia psicológica son "las diferentes formas en que un objeto puede ser removido" del yo a lo largo de dimensiones como "tiempo, espacio, distancia social e hipotética". ^[5] En sociología , la distancia social describe la separación entre individuos o grupos sociales en la sociedad a lo largo de dimensiones como la clase social , la raza / etnia , el género o la sexualidad .

La mayoría de las nociones de distancia entre dos puntos u objetos descritas anteriormente son ejemplos de la idea matemática de una métrica . Una función métrica o de distancia es una función d que convierte pares de puntos u objetos en números reales y satisface las siguientes reglas:

1. La distancia entre un objeto y él mismo es siempre cero.
2. La distancia entre objetos distintos es siempre positiva.
3. La distancia es simétrica : la distancia de x a y es siempre la misma que la distancia de y a x .
4. La distancia satisface la desigualdad triangular : si x , y y z son tres objetos, entonces Esta condición puede describirse informalmente como "las paradas intermedias no pueden acelerar".$${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$$

Como excepción, muchas de las divergencias utilizadas en estadística no son métricas.

Existen múltiples formas de medir la distancia física entre objetos que constan de más de un punto :

• Se puede medir la distancia entre puntos representativos, como el centro de masa ; esto se utiliza para distancias astronómicas como la distancia Tierra-Luna .
• Se puede medir la distancia entre los puntos más cercanos de dos objetos; en este sentido, la altitud de un avión o nave espacial es su distancia a la Tierra. El mismo sentido de distancia se utiliza en la geometría euclidiana para definir la distancia de un punto a una línea , la distancia de un punto a un plano o, de forma más general, la distancia perpendicular entre subespacios afines .

De manera aún más general, esta idea puede utilizarse para definir la distancia entre dos subconjuntos de un espacio métrico. La distancia entre los conjuntos A y B es el ínfimo de las distancias entre dos puntos cualesquiera de sus respectivos puntos: Esto no define una métrica en el conjunto de tales subconjuntos: la distancia entre conjuntos superpuestos es cero, y esta distancia no satisface la desigualdad triangular para ningún espacio métrico con dos o más puntos (consideremos el triple de conjuntos que consisten en dos singletons distintos y su unión).$${\displaystyle d(A,B)=\inf _{x\en A,y\en B}d(x,y).}$$

• La distancia de Hausdorff entre dos subconjuntos de un espacio métrico puede considerarse como una medida de lo lejos que están de superponerse perfectamente. De forma más precisa, la distancia de Hausdorff entre A y B es la distancia desde A hasta el punto más alejado de B o la distancia desde B hasta el punto más alejado de A , la que sea mayor. (Aquí, "punto más alejado" debe interpretarse como un supremo). La distancia de Hausdorff define una métrica en el conjunto de subconjuntos compactos de un espacio métrico.

La palabra distancia también se utiliza para conceptos relacionados que no están abarcados por la descripción "una medida numérica de qué tan lejos están unos de otros puntos u objetos".

La distancia recorrida por un objeto es la longitud de un camino específico recorrido entre dos puntos, ^[6] como la distancia recorrida al navegar por un laberinto . Esto puede incluso ser una distancia cerrada a lo largo de una curva cerrada que comienza y termina en el mismo punto, como una pelota lanzada hacia arriba o la Tierra cuando completa una órbita . Esto se formaliza matemáticamente como la longitud del arco de la curva.

La distancia recorrida también puede estar signada : una distancia "hacia adelante" es positiva y una distancia "hacia atrás" es negativa.

La distancia circular es la distancia recorrida por un punto de la circunferencia de una rueda , lo que puede resultar útil a la hora de diseñar vehículos o engranajes mecánicos (véase también odometría ). La circunferencia de la rueda es 2π × radio ; si el radio es 1, cada revolución de la rueda hace que el vehículo recorra 2π radianes.

El desplazamiento en física clásica mide el cambio de posición de un objeto durante un intervalo de tiempo. Mientras que la distancia es una cantidad escalar , o una magnitud , el desplazamiento es una cantidad vectorial con magnitud y dirección . En general, el vector que mide la diferencia entre dos ubicaciones (la posición relativa ) a veces se denomina distancia dirigida . ^[7] Por ejemplo, la distancia dirigida desde el asta de la bandera de la Biblioteca Principal de la Ciudad de Nueva York hasta el asta de la bandera de la Estatua de la Libertad tiene:

• Un punto de partida: el mástil de la bandera de la biblioteca
• Un punto final: el mástil de la bandera de la estatua
• Dirección A: -38°
• Distancia: 8,72 km

Wikiquote tiene citas relacionadas con Distancia .

• Python (lenguaje de programación)
  • SciPy - Cálculos de distancia ( scipy.spatial.distance)
• Julia (lenguaje de programación)
  • Julia Statistics Distance: un paquete de Julia para evaluar distancias (métricas) entre vectores.

• Deza E , Deza M (2006). Diccionario de Distancias . Elsevier. ISBN 0-444-52087-2.