Distancia de un punto a un plano

En el espacio euclidiano , la distancia de un punto a un plano es la distancia entre un punto dado y su proyección ortogonal en el plano, la distancia perpendicular al punto más cercano en el plano.

Se puede encontrar a partir de un cambio de variables que desplaza el origen para que coincida con el punto dado y luego se busca el punto en el plano desplazado que esté más cerca del origen . El punto resultante tiene coordenadas cartesianas :${\displaystyle ax+by+cz=d}$ ${\estilo de visualización (x,y,z)}$

${\displaystyle \displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

La distancia entre el origen y el punto es .${\estilo de visualización (x,y,z)}$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Supongamos que deseamos encontrar el punto más cercano en un plano al punto ( ), donde el plano está dado por . Definimos , , , y , para obtener como el plano expresado en términos de las variables transformadas. Ahora el problema se ha convertido en uno de encontrar el punto más cercano en este plano al origen, y su distancia desde el origen. El punto en el plano en términos de las coordenadas originales se puede encontrar a partir de este punto utilizando las relaciones anteriores entre y , entre y , y entre y ; la distancia en términos de las coordenadas originales es la misma que la distancia en términos de las coordenadas revisadas.${\displaystyle X_{0},Y_{0},Z_{0}}$${\displaystyle aX+bY+cZ=D}$${\displaystyle x=X-X_{0}}$${\displaystyle y=Y-Y_{0}}$${\displaystyle z=Z-Z_{0}}$${\displaystyle d=D-aX_{0}-bY_{0}-cZ_{0}}$${\displaystyle ax+by+cz=d}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización Z}$

La fórmula para el punto más cercano al origen se puede expresar de manera más sucinta utilizando la notación del álgebra lineal . La expresión en la definición de un plano es un producto escalar y la expresión que aparece en la solución es la norma al cuadrado . Por lo tanto, si es un vector dado, el plano se puede describir como el conjunto de vectores para los cuales y el punto más cercano en este plano al origen es el vector${\displaystyle ax+por+cz}$ ${\displaystyle (a,b,c)\cdot (x,y,z)}$$Estilo de visualización a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ${\displaystyle |(a,b,c)|^{2}}$${\displaystyle \mathbf {v} = (a,b,c)}$${\displaystyle \mathbf {w}}$${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =d}$

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\mathbf {v} d}{|\mathbf {v} |^{2}}}}$. ^{[1] [2]}

La distancia euclidiana del origen al plano es la norma de este punto,

${\displaystyle {\frac {|d|}{|\mathbf {v} |}}={\frac {|d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2 }}}}}$.

En las formulaciones de coordenadas o vectoriales, se puede verificar que el punto dado se encuentra en el plano dado introduciendo el punto en la ecuación del plano.

Para ver que es el punto más cercano al origen en el plano, observe que es un múltiplo escalar del vector que define el plano y, por lo tanto, es ortogonal al plano. Por lo tanto, si es cualquier punto en el plano distinto de él mismo, entonces los segmentos de línea desde el origen hasta y desde hasta forman un triángulo rectángulo y, por el teorema de Pitágoras, la distancia desde el origen hasta es${\displaystyle \mathbf {p}}$${\displaystyle \mathbf {v}}$${\displaystyle \mathbf {q}}$${\displaystyle \mathbf {p}}$${\displaystyle \mathbf {p}}$${\displaystyle \mathbf {p}}$${\displaystyle \mathbf {q}}$${\estilo de visualización q}$

${\displaystyle {\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+|\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}}}$.

Como debe ser un número positivo, esta distancia es mayor que , la distancia desde el origen a . ^[2]${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}$${\displaystyle |\mathbf {p} |}$${\displaystyle \mathbf {p}}$

Como alternativa, es posible reescribir la ecuación del plano usando productos escalares con en lugar del producto escalar original con (porque estos dos vectores son múltiplos escalares uno del otro), después de lo cual el hecho de que es el punto más cercano se convierte en una consecuencia inmediata de la desigualdad de Cauchy-Schwarz . ^[1]${\displaystyle \mathbf {p}}$${\displaystyle \mathbf {v}}$${\displaystyle \mathbf {p}}$

La ecuación vectorial para un hiperplano en el espacio euclidiano -dimensional que pasa por un punto con vector normal es o donde . ^[3] La forma cartesiana correspondiente es donde . ^[3]${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {p}}$${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} =0}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =d}$${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} }$${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d}$${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} =a_{1}p_{1}+a_{2}p_{2}+\cdots a_{n}p_{n}}$

El punto más cercano en este hiperplano a un punto arbitrario es${\displaystyle \mathbf {y}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \ cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a } \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} }$

y la distancia desde el hiperplano es${\displaystyle \mathbf {y}}$

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|=\left\|\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} \right\|={\dfrac {\left|(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} \right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\dfrac {\left|\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d\right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}}$. ^[3]

Escrito en forma cartesiana, el punto más cercano está dado por para donde${\displaystyle x_{i}=y_{i}-ka_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle k={\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\dfrac {a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}$,

y la distancia desde el hiperplano es${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle {\dfrac {\left|a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d\right|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}}$.

Así, en el punto del plano más cercano a un punto arbitrario se da por${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle ax+by+cz=d}$${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}x=x_{1}-ka\\y=y_{1}-kb\\z=z_{1}-kc\end{array}}\right\}}$

dónde

${\displaystyle k={\dfrac {ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$,

y la distancia del punto al plano es

${\displaystyle {\dfrac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$.

• Distancia de un punto a una línea
• Forma normal de Hesse
• Líneas oblicuas § Distancia