Topología general

En matemáticas , la topología general (o topología de conjuntos puntuales ) es la rama de la topología que se ocupa de las definiciones y construcciones básicas de la teoría de conjuntos que se utilizan en topología. Es la base de la mayoría de las demás ramas de la topología, incluidas la topología diferencial , la topología geométrica y la topología algebraica .

Los conceptos fundamentales en la topología de puntos son continuidad , compacidad y conectividad :

• Las funciones continuas , intuitivamente, llevan los puntos cercanos a los puntos cercanos.
• Los conjuntos compactos son aquellos que pueden ser cubiertos por un número finito de conjuntos de tamaño arbitrariamente pequeño.
• Los conjuntos conexos son conjuntos que no se pueden dividir en dos partes muy separadas.

Los términos "cercano", "arbitrariamente pequeño" y "lejano" se pueden precisar utilizando el concepto de conjuntos abiertos . Si cambiamos la definición de "conjunto abierto", cambiamos lo que son funciones continuas, conjuntos compactos y conjuntos conexos. Cada elección de definición de "conjunto abierto" se denomina topología . Un conjunto con una topología se denomina espacio topológico .

Los espacios métricos son una clase importante de espacios topológicos en los que se puede definir una distancia real no negativa, también llamada métrica , en pares de puntos del conjunto. Tener una métrica simplifica muchas demostraciones, y muchos de los espacios topológicos más comunes son espacios métricos.

La topología general surgió de varias áreas, entre las que se destacan las siguientes:

• el estudio detallado de los subconjuntos de la línea real (antes conocido como topología de conjuntos de puntos ; este uso ahora está obsoleto)
• La introducción del concepto de variedad
• el estudio de los espacios métricos , especialmente los espacios lineales normados , en los primeros días del análisis funcional .

La topología general asumió su forma actual alrededor de 1940. Captura, se podría decir, casi todo lo relacionado con la intuición de la continuidad , en una forma técnicamente adecuada que puede aplicarse en cualquier área de las matemáticas.

Sea X un conjunto y sea τ una familia de subconjuntos de X. Entonces τ se llama una topología en X si: ^{[1] [2]}

1. Tanto el conjunto vacío como X son elementos de τ
2. Cualquier unión de elementos de τ es un elemento de τ
3. Cualquier intersección de un número finito de elementos de τ es un elemento de τ

Si τ es una topología sobre X , entonces el par ( X , τ ) se denomina espacio topológico . La notación X _τ puede utilizarse para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ .

Los miembros de τ se denominan conjuntos abiertos en X. Se dice que un subconjunto de X es cerrado si su complemento está en τ (es decir, su complemento es abierto). Un subconjunto de X puede ser abierto, cerrado, ambos ( conjunto abierto y cerrado ) o ninguno. El conjunto vacío y el propio X siempre son tanto cerrados como abiertos.

Una base B para un espacio topológico X con topología T es una colección de conjuntos abiertos en T tales que cada conjunto abierto en T puede escribirse como una unión de elementos de B . ^{[3] [4]} Decimos que la base genera la topología T . Las bases son útiles porque muchas propiedades de las topologías pueden reducirse a enunciados sobre una base que genera esa topología, y porque muchas topologías se definen más fácilmente en términos de una base que las genera.

A cada subconjunto de un espacio topológico se le puede dar la topología del subespacio en la que los conjuntos abiertos son las intersecciones de los conjuntos abiertos del espacio mayor con el subconjunto. Para cualquier familia indexada de espacios topológicos, al producto se le puede dar la topología del producto , que se genera mediante las imágenes inversas de los conjuntos abiertos de los factores bajo las aplicaciones de proyección . Por ejemplo, en productos finitos, una base para la topología del producto consiste en todos los productos de conjuntos abiertos. Para productos infinitos, existe el requisito adicional de que en un conjunto abierto básico, todas, excepto un número finito de sus proyecciones, sean el espacio entero.

Un espacio cociente se define de la siguiente manera: si X es un espacio topológico e Y es un conjunto, y si f  : X → Y es una función sobreyectiva , entonces la topología cociente en Y es la colección de subconjuntos de Y que tienen imágenes inversas abiertas bajo f . En otras palabras, la topología cociente es la topología más fina en Y para la cual f es continua. Un ejemplo común de una topología cociente es cuando se define una relación de equivalencia en el espacio topológico X . La función f es entonces la proyección natural sobre el conjunto de clases de equivalencia .

Un conjunto determinado puede tener muchas topologías diferentes. Si a un conjunto se le asigna una topología diferente, se lo considera un espacio topológico diferente.

A cualquier conjunto se le puede dar la topología discreta , en la que cada subconjunto es abierto. Las únicas sucesiones o redes convergentes en esta topología son aquellas que son eventualmente constantes. Además, a cualquier conjunto se le puede dar la topología trivial (también llamada topología indiscreta), en la que solo el conjunto vacío y todo el espacio son abiertos. Cada sucesión y red en esta topología converge a cada punto del espacio. Este ejemplo muestra que en los espacios topológicos generales, los límites de las sucesiones no necesitan ser únicos. Sin embargo, a menudo los espacios topológicos deben ser espacios de Hausdorff donde los puntos límite son únicos.

A cualquier conjunto se le puede dar la topología cofinita en la que los conjuntos abiertos son el conjunto vacío y los conjuntos cuyo complemento es finito. Esta es la topología T ₁ más pequeña de cualquier conjunto infinito.

A cualquier conjunto se le puede dar la topología cocontable , en la que un conjunto se define como abierto si está vacío o si su complemento es contable. Cuando el conjunto es incontable, esta topología sirve como contraejemplo en muchas situaciones.

Hay muchas maneras de definir una topología en R , el conjunto de números reales . La topología estándar en R es generada por los intervalos abiertos . El conjunto de todos los intervalos abiertos forma una base para la topología, lo que significa que cada conjunto abierto es una unión de alguna colección de conjuntos a partir de la base. En particular, esto significa que un conjunto es abierto si existe un intervalo abierto de radio distinto de cero alrededor de cada punto del conjunto. De manera más general, a los espacios euclidianos R ⁿ se les puede dar una topología. En la topología habitual en R ⁿ los conjuntos abiertos básicos son las bolas abiertas . De manera similar, C , el conjunto de números complejos , y C ⁿ tienen una topología estándar en la que los conjuntos abiertos básicos son las bolas abiertas.

A la recta real también se le puede dar la topología de límite inferior . Aquí, los conjuntos abiertos básicos son los intervalos semiabiertos [ a , b ). Esta topología en R es estrictamente más fina que la topología euclidiana definida anteriormente; una secuencia converge a un punto en esta topología si y solo si converge desde arriba en la topología euclidiana. Este ejemplo muestra que un conjunto puede tener muchas topologías distintas definidas en él.

A cada espacio métrico se le puede dar una topología métrica, en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas definidas por la métrica. Esta es la topología estándar en cualquier espacio vectorial normado . En un espacio vectorial de dimensión finita, esta topología es la misma para todas las normas.

• Existen numerosas topologías sobre cualquier conjunto finito dado . Dichos espacios se denominan espacios topológicos finitos . Los espacios finitos se utilizan a veces para proporcionar ejemplos o contraejemplos a conjeturas sobre espacios topológicos en general.
• Toda variedad tiene una topología natural , ya que es localmente euclidiana. De manera similar, todo símplex y todo complejo simplicial heredan una topología natural de R ⁿ .
• La topología de Zariski se define algebraicamente sobre el espectro de un anillo o una variedad algebraica . En R ⁿ o C ⁿ , los conjuntos cerrados de la topología de Zariski son los conjuntos solución de sistemas de ecuaciones polinómicas .
• Un gráfico lineal tiene una topología natural que generaliza muchos de los aspectos geométricos de los gráficos con vértices y aristas .
• Muchos conjuntos de operadores lineales en el análisis funcional están dotados de topologías que se definen especificando cuándo una secuencia particular de funciones converge a la función cero.
• Cualquier campo local tiene una topología nativa, y ésta puede extenderse a espacios vectoriales sobre ese campo.
• El espacio de Sierpiński es el espacio topológico no discreto más simple. Tiene importantes relaciones con la teoría de la computación y la semántica.
• Si Γ es un número ordinal , entonces el conjunto Γ = [0, Γ) puede estar dotado de la topología de orden generada por los intervalos ( a ,  b ), [0,  b ) y ( a , Γ) donde a y b son elementos de Γ.

La continuidad se expresa en términos de vecindades : f es continua en algún punto x  ∈  X si y solo si para cualquier vecindad V de f ( x ) , hay una vecindad U de x tal que f ( U ) ⊆  V . Intuitivamente, la continuidad significa que no importa cuán "pequeño" se vuelva V , siempre hay una U que contiene a x que mapea dentro de V y cuya imagen bajo f contiene a f ( x ) . Esto es equivalente a la condición de que las preimágenes de los conjuntos abiertos (cerrados) en Y sean abiertas (cerradas) en X . En espacios métricos, esta definición es equivalente a la definición ε–δ que se usa a menudo en análisis.

Un ejemplo extremo: si a un conjunto X se le da la topología discreta , todas las funciones

${\displaystyle f\colon X\rightarrow T}$

En cualquier espacio topológico T, son continuas. Por otra parte, si X está dotado de la topología indiscreta y el conjunto del espacio T es al menos T ₀ , entonces las únicas funciones continuas son las funciones constantes. Por el contrario, cualquier función cuyo rango sea indiscreto es continua.

Existen varias definiciones equivalentes para una estructura topológica y, por lo tanto, hay varias formas equivalentes de definir una función continua.

Las definiciones basadas en preimágenes suelen ser difíciles de utilizar directamente. El siguiente criterio expresa la continuidad en términos de vecindades : f es continua en algún punto x  ∈  X si y solo si para cualquier vecindad V de f ( x ), existe una vecindad U de x tal que f ( U ) ⊆  V . Intuitivamente, la continuidad significa que no importa cuán "pequeño" sea V , siempre hay una U que contiene a x y que se proyecta dentro de V .

Si X e Y son espacios métricos, es equivalente considerar el sistema de vecindad de bolas abiertas centradas en x y f ( x ) en lugar de todas las vecindades. Esto nos devuelve la definición δ-ε anterior de continuidad en el contexto de espacios métricos. Sin embargo, en espacios topológicos generales, no existe la noción de proximidad o distancia.

Nótese, sin embargo, que si el espacio objetivo es Hausdorff , sigue siendo cierto que f es continua en a si y solo si el límite de f cuando x tiende a a es f ( a ). En un punto aislado , toda función es continua.

En varios contextos, la topología de un espacio se especifica convenientemente en términos de puntos límite . En muchos casos, esto se logra especificando cuándo un punto es el límite de una secuencia , pero para algunos espacios que son demasiado grandes en algún sentido, también se especifica cuándo un punto es el límite de conjuntos más generales de puntos indexados por un conjunto dirigido , conocidos como redes . ^[5] Una función es continua solo si lleva límites de secuencias a límites de secuencias. En el primer caso, la preservación de los límites también es suficiente; en el segundo, una función puede preservar todos los límites de secuencias y aún así no ser continua, y la preservación de las redes es una condición necesaria y suficiente.

En detalle, una función f : X → Y es secuencialmente continua si siempre que una secuencia ( x _n ) en X converge a un límite x , la secuencia ( f ( x _n )) converge a f ( x ). ^[6] Por lo tanto, las funciones secuencialmente continuas "preservan los límites secuenciales". Toda función continua es secuencialmente continua. Si X es un espacio de primer numeración y se cumple la elección numerable , entonces también se cumple la inversa: cualquier función que preserve los límites secuenciales es continua. En particular, si X es un espacio métrico, la continuidad secuencial y la continuidad son equivalentes. Para espacios no de primer numeración, la continuidad secuencial podría ser estrictamente más débil que la continuidad. (Los espacios para los que las dos propiedades son equivalentes se denominan espacios secuenciales ). Esto motiva la consideración de redes en lugar de secuencias en espacios topológicos generales. Las funciones continuas preservan los límites de las redes y, de hecho, esta propiedad caracteriza a las funciones continuas.

En lugar de especificar los subconjuntos abiertos de un espacio topológico, la topología también puede determinarse mediante un operador de cierre (denotado cl), que asigna a cualquier subconjunto A ⊆ X su cierre , o un operador interior (denotado int), que asigna a cualquier subconjunto A de X su interior . En estos términos, una función

${\displaystyle f\colon (X,\mathrm {cl} )\to (X',\mathrm {cl} ')\,}$

entre espacios topológicos es continua en el sentido anterior si y sólo si para todos los subconjuntos A de X

${\displaystyle f(\mathrm {cl} (A))\subseteq \mathrm {cl} '(f(A)).}$

Es decir, dado cualquier elemento x de X que esté en la clausura de cualquier subconjunto A , f ( x ) pertenece a la clausura de f ( A ). Esto es equivalente al requisito de que para todos los subconjuntos A ' de X '

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {cl} '(A'))\supseteq \mathrm {cl} (f^{-1}(A')).}$

Además,

${\displaystyle f\colon (X,\mathrm {int} )\to (X',\mathrm {int} ')\,}$

es continua si y sólo si

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {int} '(A))\subseteq \mathrm {int} (f^{-1}(A))}$

para cualquier subconjunto A de X .

Si f : X → Y y g : Y → Z son continuas, entonces también lo es la composición g ∘ f : X → Z . Si f : X → Y es continua y

• X es compacto , entonces f ( X ) es compacto.
• X está conexo , entonces f ( X ) está conexo.
• X está conexo por trayectorias , entonces f ( X ) está conexo por trayectorias.
• X es Lindelöf , entonces f ( X ) es Lindelöf.
• X es separable , entonces f ( X ) es separable.

Las topologías posibles en un conjunto fijo X están parcialmente ordenadas : se dice que una topología τ ₁ es más burda que otra topología τ ₂ (notación: τ ₁ ⊆ τ ₂ ) si cada subconjunto abierto con respecto a τ ₁ también es abierto con respecto a τ ₂ . Entonces, la función identidad

identificación _X : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ )

es continua si y sólo si τ ₁ ⊆ τ ₂ (véase también comparación de topologías ). De manera más general, una función continua

${\displaystyle (X,\tau _{X})\rightarrow (Y,\tau _{Y})}$

permanece continua si la topología τ _Y se reemplaza por una topología más gruesa y/o τ _X se reemplaza por una topología más fina .

Simétrica al concepto de función continua es una función abierta , para la cual las imágenes de conjuntos abiertos son abiertas. De hecho, si una función abierta f tiene una función inversa , esa inversa es continua, y si una función continua g tiene una inversa, esa inversa es abierta. Dada una función biyectiva f entre dos espacios topológicos, la función inversa f ⁻¹ no necesita ser continua. Una función continua biyectiva con función inversa continua se llama homeomorfismo .

Si una biyección continua tiene como dominio un espacio compacto y su codominio es Hausdorff , entonces es un homeomorfismo.

Dada una función

${\displaystyle f\colon X\rightarrow S,\,}$

donde X es un espacio topológico y S es un conjunto (sin una topología especificada), la topología final en S se define dejando que los conjuntos abiertos de S sean aquellos subconjuntos A de S para los cuales f ⁻¹ ( A ) es abierto en X . Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más burda que la topología final en S . Por lo tanto, la topología final puede caracterizarse como la topología más fina en S que hace que f sea continua. Si f es sobreyectiva , esta topología se identifica canónicamente con la topología cociente bajo la relación de equivalencia definida por f .

Dualmente, para una función f de un conjunto S a un espacio topológico X , la topología inicial en S tiene una base de conjuntos abiertos dada por aquellos conjuntos de la forma f^(-1) ( U ) donde U es abierto en X . Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más fina que la topología inicial en S . Por lo tanto, la topología inicial puede caracterizarse como la topología más burda en S que hace que f sea continua. Si f es inyectiva, esta topología se identifica canónicamente con la topología del subespacio de S , vista como un subconjunto de X .

Una topología en un conjunto S está determinada de forma única por la clase de todas las funciones continuas en todos los espacios topológicos X. Dualmente , se puede aplicar una idea similar a los mapas .${\displaystyle S\rightarrow X}$${\displaystyle X\rightarrow S.}$

Formalmente, un espacio topológico X se llama compacto si cada una de sus cubiertas abiertas tiene una subcubierta finita . En caso contrario, se llama no compacto . Explícitamente, esto significa que para cada conjunto arbitrario

${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$

de subconjuntos abiertos de X tales que

${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha },}$

hay un subconjunto finito J de A tal que

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in J}U_{i}.}$

Algunas ramas de las matemáticas, como la geometría algebraica , típicamente influenciada por la escuela francesa de Bourbaki , utilizan el término cuasicompacto para la noción general y reservan el término compacto para los espacios topológicos que son tanto de Hausdorff como cuasicompactos . A veces se hace referencia a un conjunto compacto como compactum , plural compacta .

Todo intervalo cerrado en R de longitud finita es compacto . Hay más: en R ⁿ , un conjunto es compacto si y solo si es cerrado y acotado. (Véase el teorema de Heine-Borel ).

Toda imagen continua de un espacio compacto es compacta.

Un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado.

Toda biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es necesariamente un homeomorfismo .

Toda secuencia de puntos en un espacio métrico compacto tiene una subsecuencia convergente.

Toda variedad compacta de dimensión finita puede ser incorporada a algún espacio euclidiano R ⁿ .

Se dice que un espacio topológico X es desconexo si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos . En caso contrario, se dice que X es conexo . Se dice que un subconjunto de un espacio topológico es conexo si es conexo según su topología de subespacio . Algunos autores excluyen el conjunto vacío (con su topología única) como espacio conexo, pero este artículo no sigue esa práctica.

Para un espacio topológico X las siguientes condiciones son equivalentes:

1. X está conectado.
2. X no se puede dividir en dos conjuntos cerrados no vacíos disjuntos .
3. Los únicos subconjuntos de X que son a la vez abiertos y cerrados ( conjuntos clopen ) son X y el conjunto vacío.
4. Los únicos subconjuntos de X con límite vacío son X y el conjunto vacío.
5. X no puede escribirse como la unión de dos conjuntos separados no vacíos .
6. Las únicas funciones continuas desde X hasta {0,1}, el espacio de dos puntos dotado de la topología discreta, son constantes.

Cada intervalo en R está conexo .

La imagen continua de un espacio conectado está conectada.

Los subconjuntos conexos máximos (ordenados por inclusión ) de un espacio topológico no vacío se denominan componentes conexos del espacio. Los componentes de cualquier espacio topológico X forman una partición de  X : son disjuntos , no vacíos y su unión es el espacio entero. Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ello se deduce que, en el caso en que su número sea finito, cada componente es también un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, los componentes conexos del conjunto de los números racionales son los conjuntos unipuntuales, que no son abiertos.

Sea el componente conexo de x en un espacio topológico X , y sea la intersección de todos los conjuntos abiertos-cerrados que contienen a x (llamado cuasi-componente de x ). Entonces, donde la igualdad se cumple si X es Hausdorff compacto o localmente conexo.${\displaystyle \Gamma _{x}}$${\displaystyle \Gamma _{x}'}$${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$

Un espacio en el que todos los componentes son conjuntos de un punto se llama totalmente desconectado . En relación con esta propiedad, un espacio X se llama totalmente separado si, para dos elementos distintos x e y de X , existen vecindades abiertas disjuntas U de x y V de y tales que X es la unión de U y V. Claramente, cualquier espacio totalmente separado es totalmente desconectado, pero la inversa no se cumple. Por ejemplo, tomemos dos copias de los números racionales Q e identifiquémoslas en cada punto excepto cero. El espacio resultante, con la topología de cociente, está totalmente desconectado. Sin embargo, al considerar las dos copias de cero, se ve que el espacio no está totalmente separado. De hecho, ni siquiera es Hausdorff , y la condición de estar totalmente separado es estrictamente más fuerte que la condición de ser Hausdorff.

Un camino desde un punto x hasta un punto y en un espacio topológico X es una función continua f desde el intervalo unitario [0,1] hasta X con f (0) = x y f (1) = y . Un componente de camino de X es una clase de equivalencia de X bajo la relación de equivalencia , que hace que x sea equivalente a y si hay un camino desde x hasta y . Se dice que el espacio X está conexo por caminos (o conexo por caminos o conexo 0 ) si hay como máximo un componente de camino; es decir, si hay un camino que une dos puntos cualesquiera en X . Nuevamente, muchos autores excluyen el espacio vacío.

Todo espacio conexo por trayectorias es conexo. La inversa no siempre es cierta: ejemplos de espacios conexos que no son conexos por trayectorias incluyen la línea larga extendida L * y la curva sinusoidal del topólogo .

Sin embargo, los subconjuntos de la recta real R son conexos si y solo si son conexos por trayectorias; estos subconjuntos son los intervalos de R . Además, los subconjuntos abiertos de R ⁿ o C ⁿ son conexos si y solo si son conexos por trayectorias. Además, la conexidad y la conexidad por trayectorias son las mismas para espacios topológicos finitos .

Dado X tal que

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

es el producto cartesiano de los espacios topológicos X _i , indexados por , y las proyecciones canónicas p _i  : X → X _i , la topología del producto en X se define como la topología más burda (es decir, la topología con la menor cantidad de conjuntos abiertos) para la cual todas las proyecciones p _i son continuas . La topología del producto a veces se denomina topología de Tichonoff .${\displaystyle i\in I}$

Los conjuntos abiertos en la topología de producto son uniones (finitas o infinitas) de conjuntos de la forma , donde cada U _i es abierto en X _i y U _i  ≠  X _i sólo un número finito de veces. En particular, para un producto finito (en particular, para el producto de dos espacios topológicos), los productos de los elementos base de X _i dan una base para el producto .${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$

La topología del producto sobre X es la topología generada por conjuntos de la forma p _i ⁻¹ ( U ), donde i está en I y U es un subconjunto abierto de X _i . En otras palabras, los conjuntos { p _i ⁻¹ ( U )} forman una subbase para la topología sobre X . Un subconjunto de X es abierto si y solo si es una unión (posiblemente infinita) de intersecciones de un número finito de conjuntos de la forma p _i ⁻¹ ( U ). Los p _i ⁻¹ ( U ) a veces se denominan cilindros abiertos y sus intersecciones son conjuntos de cilindros .

En general, el producto de las topologías de cada X _i forma una base para lo que se llama la topología de caja en X . En general, la topología de caja es más fina que la topología del producto, pero para productos finitos coinciden.

Relacionado con la compacidad está el teorema de Tichonoff : el producto (arbitrario) de espacios compactos es compacto.

Muchos de estos nombres tienen significados alternativos en parte de la literatura matemática, como se explica en Historia de los axiomas de separación ; por ejemplo, los significados de "normal" y "T ₄ " a veces se intercambian, de manera similar "regular" y "T ₃ ", etc. Muchos de los conceptos también tienen varios nombres; sin embargo, el que aparece primero es siempre el menos propenso a ser ambiguo.

La mayoría de estos axiomas tienen definiciones alternativas con el mismo significado; las definiciones que se dan aquí siguen un patrón coherente que relaciona las diversas nociones de separación definidas en la sección anterior. Se pueden encontrar otras posibles definiciones en los artículos individuales.

En todas las definiciones siguientes, X es nuevamente un espacio topológico .

• X es T ₀ , o Kolmogorov , si dos puntos distintos en X son topológicamente distinguibles . (Es un tema común entre los axiomas de separación tener una versión de un axioma que requiere T ₀ y una versión que no lo requiere).
• X es T ₁ , o accesible o Fréchet , si dos puntos distintos en X están separados. Por lo tanto, X es T ₁ si y solo si es tanto T ₀ como R ₀ . (Aunque puede decir cosas como espacio T ₁ , topología de Fréchet y Supongamos que el espacio topológico X es Fréchet , evite decir espacio de Fréchet en este contexto, ya que existe otra noción completamente diferente de espacio de Fréchet en el análisis funcional ).
• X es Hausdorff , o T ₂ o separados , si dos puntos distintos en X están separados por vecindades. Por lo tanto, X es Hausdorff si y solo si es tanto T ₀ como R _1. Un espacio de Hausdorff también debe ser T ₁ .
• X es T _2½ , o Urysohn , si dos puntos distintos en X están separados por vecindades cerradas. El espacio AT _2½ también debe ser Hausdorff.
• X es regular , o T ₃ , si es T ₀ y si se da cualquier punto x y un conjunto cerrado F en X tal que x no pertenece a F , están separados por vecindades. (De hecho, en un espacio regular, cualquier x y F también están separados por vecindades cerradas).
• X es de Tichonoff , o T _3½ , completamente T ₃ , o completamente regular , si es T ₀ y si f, dado cualquier punto x y un conjunto cerrado F en X tal que x no pertenece a F , están separados por una función continua.
• X es normal , o T ₄ , si es de Hausdorff y si dos subconjuntos cerrados disjuntos de X están separados por vecindades. (De hecho, un espacio es normal si y solo si dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por una función continua; este es el lema de Urysohn ).
• X es completamente normal , o T ₅ o completamente T ₄ , si es T ₁ y si dos conjuntos separados están separados por vecindades. Un espacio completamente normal también debe ser normal.
• X es perfectamente normal , o T ₆ o perfectamente T ₄ , si es T ₁ y si dos conjuntos cerrados disjuntos están separados con precisión por una función continua. Un espacio de Hausdorff perfectamente normal también debe ser un espacio de Hausdorff completamente normal.

Teorema de extensión de Tietze : en un espacio normal, toda función real continua definida en un subespacio cerrado puede extenderse a una función continua definida en todo el espacio.

Un axioma de contabilidad es una propiedad de ciertos objetos matemáticos (generalmente en una categoría ) que requiere la existencia de un conjunto contable con ciertas propiedades, mientras que sin él dichos conjuntos podrían no existir.

Axiomas de contabilidad importantes para espacios topológicos :

• espacio secuencial : un conjunto es abierto si cada secuencia convergente a un punto en el conjunto está eventualmente en el conjunto
• primer espacio contable : cada punto tiene una base de vecindad contable (base local)
• segundo espacio contable : la topología tiene una base contable
• espacio separable : existe un subespacio denso contable
• Espacio de Lindelöf : cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable
• Espacio σ-compacto : existe una cobertura contable por espacios compactos

Relaciones:

• Todo primer espacio contable es secuencial.
• Todo espacio contable en segundo lugar es contable en primer lugar, separable y Lindelöf.
• Todo espacio σ-compacto es Lindelöf.
• Un espacio métrico es contable en primer lugar.
• Para los espacios métricos, la segunda contabilidad, la separabilidad y la propiedad de Lindelöf son todas equivalentes.

Un espacio métrico ^[7] es un par ordenado donde es un conjunto y es una métrica en , es decir, una función${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

de modo que para cualquier , se cumple lo siguiente:${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$     ( no negativo ),
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\,}$ iff     ( identidad de indiscernibles ),${\displaystyle x=y\,}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$     ( simetría ) y
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$     ( desigualdad triangular ).

La función también se denomina función de distancia o simplemente distancia . A menudo, se omite y se escribe simplemente para un espacio métrico si está claro a partir del contexto qué métrica se utiliza.${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

Todo espacio métrico es paracompacto y de Hausdorff , y por tanto normal .

Los teoremas de metrización proporcionan condiciones necesarias y suficientes para que una topología provenga de una métrica.

El teorema de la categoría de Baire dice: Si X es un espacio métrico completo o un espacio de Hausdorff localmente compacto , entonces el interior de cada unión de un número numerable de conjuntos densos en ninguna parte está vacío. ^[8]

Cualquier subespacio abierto de un espacio de Baire es en sí mismo un espacio de Baire.

Un continuo (plural: continuo ) es un espacio métrico compacto conexo no vacío o, con menor frecuencia, un espacio compacto conexo de Hausdorff . La teoría del continuo es la rama de la topología dedicada al estudio de los continuos. Estos objetos surgen con frecuencia en casi todas las áreas de la topología y el análisis , y sus propiedades son lo suficientemente fuertes como para producir muchas características "geométricas".

La dinámica topológica se ocupa del comportamiento de un espacio y sus subespacios a lo largo del tiempo cuando se somete a cambios continuos. Muchos ejemplos con aplicaciones en la física y otras áreas de las matemáticas incluyen la dinámica de fluidos , el billar y los flujos en variedades. Las características topológicas de los fractales en la geometría fractal, de los conjuntos de Julia y del conjunto de Mandelbrot que surgen en la dinámica compleja , y de los atractores en las ecuaciones diferenciales son a menudo fundamentales para comprender estos sistemas. ^{[ cita requerida ]}

La topología sin puntos (también llamada topología sin puntos o topología sin puntos ) es un enfoque de la topología que evita mencionar puntos. El nombre 'topología sin puntos' se debe a John von Neumann . ^[9] Las ideas de la topología sin puntos están estrechamente relacionadas con las mereotopologías , en las que las regiones (conjuntos) se tratan como fundamentales sin referencia explícita a conjuntos de puntos subyacentes.

La teoría de la dimensión es una rama de la topología general que se ocupa de los invariantes dimensionales de los espacios topológicos .

Un álgebra topológica A sobre un campo topológico K es un espacio vectorial topológico junto con una multiplicación continua

${\displaystyle \cdot :A\times A\longrightarrow A}$

${\displaystyle (a,b)\longmapsto a\cdot b}$

Esto la convierte en un álgebra sobre K. Un álgebra topológica asociativa unital es un anillo topológico .

El término fue acuñado por David van Dantzig ; aparece en el título de su tesis doctoral (1931).

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio metrizable es un espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico . Es decir, se dice que un espacio topológico es metrizable si existe una métrica ${\displaystyle (X,\tau )}$

${\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty )}$

de modo que la topología inducida por d es . Los teoremas de metrización son teoremas que dan condiciones suficientes para que un espacio topológico sea metrizable.${\displaystyle \tau }$

La topología de la teoría de conjuntos es una disciplina que combina la teoría de conjuntos y la topología general. Se centra en cuestiones topológicas que son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC). Un problema famoso es la cuestión del espacio normal de Moore , una cuestión de topología general que fue objeto de una intensa investigación. Finalmente se demostró que la respuesta a la cuestión del espacio normal de Moore era independiente de la ZFC.

• Lista de ejemplos de topología general
• Glosario de topología general para definiciones detalladas
• Lista de temas generales de topología para artículos relacionados
• Categoría de espacios topológicos

Algunos libros estándar sobre topología general incluyen:

• Bourbaki , Topologie Générale ( Topología general ), ISBN 0-387-19374-X . 
• John L. Kelley (1955) Topología general, enlace desde Internet Archive , publicado originalmente por David Van Nostrand Company.
• Stephen Willard , Topología general , ISBN 0-486-43479-6 . 
• James Munkres , Topología , ISBN 0-13-181629-2 . 
• George F. Simmons , Introducción a la topología y al análisis moderno , ISBN 1-575-24238-9 . 
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El código de tema de arXiv es math.GN.

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