Número hiperreal

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En matemáticas , los números hiperreales son una extensión de los números reales para incluir ciertas clases de números infinitos e infinitesimales . ^[1] Se dice que un número hiperreal es finito si, y solo si, para algún número entero . ^{[1] [2]} Se dice que es infinitesimal si, y solo si, para todos los números enteros positivos . ^{[1] [2]} El término "hiperreal" fue introducido por Edwin Hewitt en 1948. ^[3]${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|<n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|<1/n}$${\displaystyle n}$

Los números hiperreales satisfacen el principio de transferencia , una versión rigurosa de la ley heurística de continuidad de Leibniz . El principio de transferencia establece que las afirmaciones verdaderas de primer orden sobre R también son válidas en * R . ^[4] Por ejemplo, la ley conmutativa de la adición, x  +  y = y  +  x , se cumple para los hiperreales al igual que para los reales; dado que R es un cuerpo real cerrado , también lo es * R . Dado que para todos los números enteros n , también se tiene para todos los hiperenteros . El principio de transferencia para ultrapotencias es una consecuencia del teorema de Łoś de 1955.${\displaystyle \sin({\pi n})=0}$ ${\displaystyle \sin({\pi H})=0}$ ${\displaystyle H}$

Las preocupaciones sobre la solidez de los argumentos que involucran infinitesimales se remontan a las matemáticas de la antigua Grecia, cuando Arquímedes reemplazó dichas pruebas por otras que utilizaban otras técnicas, como el método de extenuación . ^[5] En la década de 1960, Abraham Robinson demostró que los hiperreales eran lógicamente consistentes si y solo si los reales lo eran. Esto puso fin al temor de que cualquier prueba que involucrara infinitesimales pudiera ser incorrecta, siempre que se manipularan de acuerdo con las reglas lógicas que Robinson delineó.

La aplicación de los números hiperreales y en particular del principio de transferencia a problemas de análisis se denomina análisis no estándar . Una aplicación inmediata es la definición de los conceptos básicos de análisis como la derivada y la integral de manera directa, sin pasar por complicaciones lógicas de cuantificadores múltiples. Así, la derivada de f ( x ) se convierte en para un infinitesimal , donde st(⋅) denota la función parte estándar , que "redondea" cada hiperreal finito al real más cercano. De manera similar, la integral se define como la parte estándar de una suma infinita adecuada .${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}$${\displaystyle \Delta x}$

La idea del sistema hiperreal es extender los números reales R para formar un sistema * R que incluya números infinitesimales e infinitos, pero sin cambiar ninguno de los axiomas elementales del álgebra. Cualquier enunciado de la forma "para cualquier número x ..." que sea cierto para los reales también lo es para los hiperreales. Por ejemplo, el axioma que dice "para cualquier número x , x  + 0 =  x " sigue siendo válido. Lo mismo es cierto para la cuantificación sobre varios números, por ejemplo, "para cualquier número x e y , xy  =  yx ". Esta capacidad de trasladar enunciados de los reales a los hiperreales se denomina principio de transferencia . Sin embargo, los enunciados de la forma "para cualquier conjunto de números S ..." pueden no trasladarse. Las únicas propiedades que difieren entre los reales y los hiperreales son las que se basan en la cuantificación sobre conjuntos u otras estructuras de nivel superior como funciones y relaciones, que normalmente se construyen a partir de conjuntos. Cada conjunto, función y relación real tiene su extensión hiperreal natural, que satisface las mismas propiedades de primer orden. Los tipos de oraciones lógicas que obedecen a esta restricción de cuantificación se denominan enunciados en lógica de primer orden .

Sin embargo, el principio de transferencia no significa que R y * R tengan un comportamiento idéntico. Por ejemplo, en * R existe un elemento ω tal que

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .}$

pero no existe tal número en R. (En otras palabras, * R no es arquimediano ). Esto es posible porque la inexistencia de ω no puede expresarse como una declaración de primer orden.

Las notaciones informales para cantidades no reales han aparecido históricamente en el cálculo en dos contextos: como infinitesimales, como dx , y como el símbolo ∞, utilizado, por ejemplo, en límites de integración de integrales impropias .

Como ejemplo del principio de transferencia, la afirmación de que para cualquier número distinto de cero x , 2x  ≠  x , es cierta para los números reales, y está en la forma requerida por el principio de transferencia, por lo que también es cierta para los números hiperreales. Esto demuestra que no es posible utilizar un símbolo genérico como ∞ para todas las cantidades infinitas en el sistema hiperreal; las cantidades infinitas difieren en magnitud de otras cantidades infinitas, y los infinitesimales de otros infinitesimales.

De manera similar, el uso casual de 1/0 = ∞ no es válido, ya que el principio de transferencia se aplica a la afirmación de que cero no tiene inverso multiplicativo. La contraparte rigurosa de un cálculo de este tipo sería que si ε es un infinitesimal distinto de cero, entonces 1/ε es infinito.

Para cualquier número hiperreal finito x , la parte estándar , st( x ), se define como el único número real más cercano a x ; necesariamente difiere de x solo infinitesimalmente. La función de la parte estándar también se puede definir para números hiperreales infinitos de la siguiente manera: Si x es un número hiperreal infinito positivo, establezca st( x ) como el número real extendido , y de la misma manera, si x es un número hiperreal infinito negativo, establezca st( x ) como (la idea es que un número hiperreal infinito debe ser menor que el infinito absoluto "verdadero" pero más cercano a él que cualquier número real).${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

Uno de los usos clave del sistema de números hiperreales es dar un significado preciso al operador diferencial d utilizado por Leibniz para definir la derivada y la integral.

Para cualquier función de valor real, el diferencial se define como una función que envía cada par ordenado (donde es real y es infinitesimal distinto de cero) a un infinitesimal.${\displaystyle f,}$${\displaystyle df}$${\displaystyle (x,dx)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle dx}$

${\displaystyle df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx.}$

Nótese que la misma notación " " utilizada para denotar cualquier infinitesimal es consistente con la definición anterior del operador , ya que si uno interpreta (como se hace comúnmente) como la función , entonces para cada diferencial será igual al infinitesimal .${\displaystyle dx}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=x,}$${\displaystyle (x,dx)}$${\displaystyle d(x)}$${\displaystyle dx}$

Se dice que una función de valor real es diferenciable en un punto si el cociente${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$

es el mismo para todos los infinitesimales distintos de cero . Si es así, este cociente se llama derivada de en .${\displaystyle dx.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

Por ejemplo, para hallar la derivada de la función , sea θ un infinitesimal distinto de cero. Entonces,${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle dx}$

${\displaystyle {\frac {df(x,dx)}{dx}}}$	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left(2x+dx\right)}$
	${\displaystyle =2x}$

El uso de la parte estándar en la definición de la derivada es una alternativa rigurosa a la práctica tradicional de descuidar el cuadrado ^{[ cita requerida ]} de una cantidad infinitesimal. Los números duales son un sistema numérico basado en esta idea. Después de la tercera línea de la diferenciación anterior, el método típico desde Newton hasta el siglo XIX habría sido simplemente descartar el término dx ² . En el sistema hiperreal, dx ²  ≠ 0, ya que dx es distinto de cero, y el principio de transferencia se puede aplicar a la afirmación de que el cuadrado de cualquier número distinto de cero es distinto de cero. Sin embargo, la cantidad dx ² es infinitesimalmente pequeña en comparación con dx ; es decir, el sistema hiperreal contiene una jerarquía de cantidades infinitesimales.

El uso de números hiperreales para la diferenciación permite un enfoque más manipulable algebraicamente para las derivadas. En la diferenciación estándar, las diferenciales parciales y las diferenciales de orden superior no son manipulables independientemente mediante técnicas algebraicas. Sin embargo, utilizando los hiperreales, se puede establecer un sistema para hacerlo, aunque el resultado sea una notación ligeramente diferente. ^[6]

Otro uso clave del sistema de números hiperreales es dar un significado preciso al signo integral ∫ utilizado por Leibniz para definir la integral definida.

Para cualquier función infinitesimal se puede definir la integral como una función que envía cualquier triple ordenado (donde y son reales, y es infinitesimal del mismo signo que ) al valor${\displaystyle \ \varepsilon (x),\ }$${\displaystyle \int (\varepsilon )\ }$${\displaystyle (a,b,dx)}$${\displaystyle \ a\ }$${\displaystyle \ b\ }$${\displaystyle \ dx\ }$${\displaystyle \,b-a}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right),}$

¿Dónde está cualquier número hiperentero que satisface?${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ \operatorname {st} (N\ dx)=b-a.}$

Se dice entonces que una función de valor real es integrable en un intervalo cerrado si para cualquier infinitesimal distinto de cero la integral${\displaystyle f}$${\displaystyle \ [a,b]\ }$${\displaystyle \ dx,\ }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f\ dx,dx)}$

es independiente de la elección de Si es así, esta integral se llama integral definida (o antiderivada) de${\displaystyle \ dx.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \ [a,b].}$

Esto demuestra que, utilizando números hiperreales, la notación de Leibniz para la integral definida puede, en realidad, interpretarse como una expresión algebraica con sentido (así como la derivada puede interpretarse como un cociente con sentido). ^[7]

Los hiperreales * R forman un cuerpo ordenado que contiene a los reales R como subcuerpo . A diferencia de los reales, los hiperreales no forman un espacio métrico estándar , pero en virtud de su orden llevan una topología de orden .

El uso del artículo definido the en la frase the hyperreal numbers es algo engañoso en el sentido de que no hay un único cuerpo ordenado al que se haga referencia en la mayoría de los tratamientos. Sin embargo, un artículo de 2003 de Vladimir Kanovei y Saharon Shelah ^[8] muestra que hay una extensión elemental definible, contablemente saturada (es decir, ω-saturada pero no contable ) de los números reales, que por lo tanto tiene un buen derecho al título de los números hiperreales. Además, el cuerpo obtenido por la construcción de ultrapotencia a partir del espacio de todas las secuencias reales, es único hasta el isomorfismo si se asume la hipótesis del continuo .

La condición de ser un campo hiperreal es más fuerte que la de ser un campo real cerrado que contenga estrictamente a R . También es más fuerte que la de ser un campo suprareal en el sentido de Dales y Woodin . ^[9]

Los hiperreales pueden desarrollarse de forma axiomática o mediante métodos más orientados a la construcción. La esencia del enfoque axiomático es afirmar (1) la existencia de al menos un número infinitesimal y (2) la validez del principio de transferencia. En la siguiente subsección, presentamos un esquema detallado de un enfoque más constructivo. Este método permite construir los hiperreales si se da un objeto de teoría de conjuntos llamado ultrafiltro , pero el ultrafiltro en sí no puede construirse explícitamente.

Cuando Newton y (más explícitamente) Leibniz introdujeron las diferenciales, utilizaron infinitesimales y estos todavía fueron considerados útiles por matemáticos posteriores como Euler y Cauchy . No obstante, estos conceptos fueron vistos desde el principio como sospechosos, en particular por George Berkeley . La crítica de Berkeley se centró en un cambio percibido en la hipótesis en la definición de la derivada en términos de infinitesimales (o fluxiones), donde se supone que dx es distinto de cero al comienzo del cálculo y que desaparece al concluirlo (ver Fantasmas de cantidades fallecidas para más detalles). Cuando en el siglo XIX el cálculo se puso sobre una base sólida a través del desarrollo de la (ε, δ)-definición de límite por Bolzano , Cauchy, Weierstrass y otros, los infinitesimales fueron abandonados en gran medida, aunque la investigación en campos no arquimedianos continuó (Ehrlich 2006).

Sin embargo, en la década de 1960 Abraham Robinson mostró cómo los números infinitamente grandes e infinitesimales pueden definirse rigurosamente y usarse para desarrollar el campo del análisis no estándar . ^[10] Robinson desarrolló su teoría de manera no constructiva , utilizando la teoría de modelos ; sin embargo, es posible proceder utilizando solo álgebra y topología , y demostrando el principio de transferencia como consecuencia de las definiciones. En otras palabras, los números hiperreales per se , aparte de su uso en el análisis no estándar, no tienen una relación necesaria con la teoría de modelos o la lógica de primer orden, aunque fueron descubiertos mediante la aplicación de técnicas teóricas de modelos de la lógica. Los campos hiperreales fueron de hecho introducidos originalmente por Hewitt (1948) mediante técnicas puramente algebraicas, utilizando una construcción de ultrapotencia.

Vamos a construir un campo hiperreal a través de secuencias de reales. ^[11] De hecho, podemos sumar y multiplicar secuencias componente por componente; por ejemplo:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )}$

y análogamente para la multiplicación. Esto convierte el conjunto de tales secuencias en un anillo conmutativo , que de hecho es un álgebra real A. Tenemos una incrustación natural de R en A al identificar el número real r con la secuencia ( r , r , r , …) y esta identificación preserva las operaciones algebraicas correspondientes de los reales. La motivación intuitiva es, por ejemplo, representar un número infinitesimal utilizando una secuencia que se aproxima a cero. La inversa de tal secuencia representaría un número infinito. Como veremos a continuación, las dificultades surgen debido a la necesidad de definir reglas para comparar tales secuencias de una manera que, aunque inevitablemente algo arbitraria, debe ser autoconsistente y bien definida. Por ejemplo, podemos tener dos secuencias que difieren en sus primeros n miembros, pero son iguales después de eso; tales secuencias deben considerarse claramente como representantes del mismo número hiperreal. De manera similar, la mayoría de las secuencias oscilan aleatoriamente para siempre, y debemos encontrar alguna forma de tomar dicha secuencia e interpretarla como, digamos, , donde es un cierto número infinitesimal.${\displaystyle 7+\epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

Comparar sucesiones es, por tanto, una cuestión delicada. Podríamos, por ejemplo, intentar definir una relación entre sucesiones de forma componente por componente:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0})\wedge (a_{1}\leq b_{1})\wedge (a_{2}\leq b_{2})\ldots }$

pero aquí nos encontramos con problemas, ya que algunas entradas de la primera secuencia pueden ser mayores que las entradas correspondientes de la segunda secuencia, y otras pueden ser menores. De ello se deduce que la relación definida de esta manera es solo un orden parcial . Para evitar esto, tenemos que especificar qué posiciones importan. Dado que hay infinitos índices, no queremos que importen conjuntos finitos de índices. Una elección consistente de conjuntos de índices que importan viene dada por cualquier ultrafiltro libre U sobre los números naturales ; estos pueden caracterizarse como ultrafiltros que no contienen ningún conjunto finito. (La buena noticia es que el lema de Zorn garantiza la existencia de muchos de estos U ; la mala noticia es que no se pueden construir explícitamente.) Pensamos en U como si seleccionara aquellos conjuntos de índices que "importan": escribimos ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) ≤ ( b ₀ , b ₁ , b ₂ , ...) si y sólo si el conjunto de números naturales { n  : a _n ≤ b _n } está en U.

Este es un preorden total y se convierte en un orden total si aceptamos no distinguir entre dos secuencias a y b si a ≤ b y b ≤ a . Con esta identificación, se construye el cuerpo ordenado *R de hiperreales. Desde un punto de vista algebraico, U nos permite definir un ideal maximal correspondiente I en el anillo conmutativo A (a saber, el conjunto de las secuencias que se anulan en algún elemento de U ), y luego definir *R como A / I ; como el cociente de un anillo conmutativo por un ideal maximal, *R es un cuerpo. Esto también se denota A / U , directamente en términos del ultrafiltro libre U ; los dos son equivalentes. La maximalidad de I se sigue de la posibilidad de, dada una secuencia a , construir una secuencia b invirtiendo los elementos no nulos de a y no alterando sus entradas nulas. Si el conjunto en el que a se desvanece no está en U , el producto ab se identifica con el número 1, y cualquier ideal que contenga 1 debe ser A. En el cuerpo resultante, estos a y b son inversos.

El campo A / U es una ultrapotencia de R . Como este campo contiene a R tiene cardinalidad al menos la del continuo . Como A tiene cardinalidad

${\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},}$

Tampoco es mayor que , y por lo tanto tiene la misma cardinalidad que R .${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Una pregunta que podríamos hacer es si, si hubiéramos elegido un ultrafiltro libre diferente V , el campo cociente A / U sería isomorfo como un campo ordenado a A / V . Esta pregunta resulta ser equivalente a la hipótesis del continuo ; en ZFC con la hipótesis del continuo podemos probar que este campo es único hasta el isomorfismo de orden , y en ZFC con la hipótesis de negación del continuo podemos probar que hay pares de campos no isomorfos de orden que son ambos ultrapotencias indexadas contablemente de los reales. ^[12]

Para obtener más información sobre este método de construcción, consulte ultraproduct .

La siguiente es una forma intuitiva de entender los números hiperreales. El enfoque adoptado aquí es muy parecido al del libro de Goldblatt . ^[13] Recordemos que las sucesiones que convergen a cero a veces se denominan infinitamente pequeñas. En cierto sentido, son casi infinitesimales; los verdaderos infinitesimales incluyen ciertas clases de sucesiones que contienen una sucesión que converge a cero.

Veamos de dónde vienen estas clases. Consideremos primero las sucesiones de números reales. Forman un anillo , es decir, se pueden multiplicar, sumar y restar, pero _no necesariamente dividir por un elemento distinto de cero. Los números reales se consideran como sucesiones constantes, la sucesión es cero si es idénticamente cero, es decir, n  = 0 para todo n .

En nuestro anillo de sucesiones se puede obtener ab  = 0 sin que a  = 0 ni b  = 0. Por tanto, si para dos sucesiones se tiene ab  = 0, al menos una de ellas debería ser declarada cero. Sorprendentemente, existe una forma consistente de hacerlo. Como resultado, las clases de equivalencia de sucesiones que difieren en alguna sucesión declarada cero formarán un cuerpo, que se llama cuerpo hiperreal . Contendrá los infinitesimales además de los números reales ordinarios, así como números infinitamente grandes (los recíprocos de los infinitesimales, incluidos los representados por sucesiones que divergen hasta el infinito). Además, todo hiperreal que no sea infinitamente grande será infinitamente cercano a un real ordinario, en otras palabras, será la suma de un real ordinario y un infinitesimal.${\displaystyle a,b}$

Esta construcción es paralela a la construcción de los reales a partir de los racionales dada por Cantor . Empezó con el anillo de las sucesiones de Cauchy de racionales y declaró que todas las sucesiones que convergen a cero son cero. El resultado son los reales. Para continuar con la construcción de hiperreales, considere los conjuntos cero de nuestras sucesiones, es decir, el , es decir, es el conjunto de índices para los cuales . Está claro que si , entonces la unión de y es N (el conjunto de todos los números naturales), por lo que:${\displaystyle z(a)=\{i:a_{i}=0\}}$${\displaystyle z(a)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle ab=0}$${\displaystyle z(a)}$${\displaystyle z(b)}$

1. Una de las secuencias que se desvanecen en dos conjuntos complementarios debe declararse cero.
2. Si se declara cero, se debe declarar cero también, sin importar lo que sea.${\displaystyle a}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle b}$
3. Si ambos se declaran cero, entonces también deben declararse cero.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b}$

Ahora la idea es seleccionar un conjunto U de subconjuntos X de N y declarar que si y sólo si pertenece a U . De las condiciones anteriores se puede ver que:${\displaystyle a=0}$${\displaystyle z(a)}$

1. De dos conjuntos complementarios uno pertenece a U .
2. Cualquier conjunto que tenga un subconjunto que pertenece a U , también pertenece a U .
3. Una intersección de dos conjuntos cualesquiera que pertenecen a U pertenece a U .
4. Finalmente, no queremos que el conjunto vacío pertenezca a U porque entonces todo pertenecería a U , ya que todo conjunto tiene al conjunto vacío como subconjunto.

Cualquier familia de conjuntos que satisface (2-4) se llama filtro (un ejemplo: los complementos de los conjuntos finitos, se llama filtro de Fréchet y se usa en la teoría de límites habitual). Si (1) también se cumple, U se llama ultrafiltro (porque no se le pueden agregar más conjuntos sin romperlo). El único ejemplo conocido explícitamente de un ultrafiltro es la familia de conjuntos que contiene un elemento dado (en nuestro caso, digamos, el número 10). Tales ultrafiltros se llaman triviales, y si los usamos en nuestra construcción, volvemos a los números reales ordinarios. Cualquier ultrafiltro que contenga un conjunto finito es trivial. Se sabe que cualquier filtro puede extenderse a un ultrafiltro, pero la prueba usa el axioma de elección . La existencia de un ultrafiltro no trivial (el lema del ultrafiltro ) se puede agregar como un axioma adicional, ya que es más débil que el axioma de elección.

Ahora, si tomamos un ultrafiltro no trivial (que es una extensión del filtro de Fréchet) y hacemos nuestra construcción, obtenemos los números hiperreales como resultado.

Si es una función real de una variable real entonces naturalmente se extiende a una función hiperreal de una variable hiperreal por composición:${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\{x_{n}\})=\{f(x_{n})\}}$

donde significa "la clase de equivalencia de la secuencia relativa a nuestro ultrafiltro", estando dos secuencias en la misma clase si y solo si el conjunto cero de su diferencia pertenece a nuestro ultrafiltro.${\displaystyle \{\dots \}}$${\displaystyle \dots }$

Todas las expresiones y fórmulas aritméticas tienen sentido para los hiperreales y son verdaderas si son verdaderas para los reales ordinarios. Resulta que cualquier hiperreal finito (es decir, tal que para algún real ordinario ) será de la forma donde es un real ordinario (llamado estándar) y es un infinitesimal. Esto se puede demostrar mediante el método de bisección utilizado para demostrar el teorema de Bolzano-Weierstrass; la propiedad (1) de los ultrafiltros resulta crucial.${\displaystyle |x|<a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y+d}$${\displaystyle y}$${\displaystyle d}$

Los elementos finitos F de *R forman un anillo local , y de hecho un anillo de valoración , con el único ideal maximal S siendo los infinitesimales; el cociente F / S es isomorfo a los reales. Por lo tanto, tenemos una aplicación homomórfica , st( x ), de F a R cuyo núcleo consiste en los infinitesimales y que envía cada elemento x de F a un único número real cuya diferencia con x está en S ; es decir, es infinitesimal. Dicho de otra manera, cada número real no estándar finito es "muy cercano" a un número real único, en el sentido de que si x es un real no estándar finito, entonces existe un y solo un número real st( x ) tal que x  – st( x ) es infinitesimal. Este número st( x ) se llama la parte estándar de x , conceptualmente lo mismo que x al número real más cercano . Esta operación es un homomorfismo que preserva el orden y, por lo tanto, se comporta bien tanto algebraicamente como teóricamente en orden. Es preservador del orden aunque no isotónico, es decir, implica , pero no implica .${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle \operatorname {st} (x)\leq \operatorname {st} (y)}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle \operatorname {st} (x)<\operatorname {st} (y)}$

• Tenemos, si tanto x como y son finitos,$${\displaystyle \operatorname {st} (x+y)=\operatorname {st} (x)+\operatorname {st} (y)}$$ $${\displaystyle \operatorname {st} (xy)=\operatorname {st} (x)\operatorname {st} (y)}$$
• Si x es finito y no infinitesimal.$${\displaystyle \operatorname {st} (1/x)=1/\operatorname {st} (x)}$$
• x es real si y sólo si$${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x}$$

La función st es continua con respecto a la topología de orden en los hiperreales finitos; de hecho, es localmente constante .

Supóngase que X es un espacio de Tichonoff , también llamado espacio T _3.5 , y que C( X ) es el álgebra de funciones continuas de valores reales en X . Supóngase que M es un ideal maximal en C( X ). Entonces, el álgebra de factores A = C( X )/ M es un cuerpo totalmente ordenado F que contiene los reales. Si F contiene estrictamente a R , entonces M se denomina ideal hiperreal (terminología debida a Hewitt (1948)) y F un cuerpo hiperreal . Nótese que no se está haciendo ninguna suposición de que la cardinalidad de F sea mayor que R ; de hecho, puede tener la misma cardinalidad.

Un caso especial importante es aquel en el que la topología en X es la topología discreta ; en este caso, X puede identificarse con un número cardinal κ y C( X ) con el álgebra real R ^κ de funciones de κ a R . Los campos hiperreales que obtenemos en este caso se denominan ultrapotencias de R y son idénticos a las ultrapotencias construidas mediante ultrafiltros libres en la teoría de modelos.

• Análisis constructivo no estándar
• Hiperentero  : un número hiperreal que es igual a su propia parte entera.
• Influencia del análisis no estándar
• Cálculo no estándar  : aplicación moderna de los infinitesimales
• Campo cerrado real  – Campo no algebraicamente cerrado cuya extensión por sqrt(–1) es algebraicamente cerrado
• Línea real  – Línea formada por los números realesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Número surrealista  – Generalización de los números reales – Los números surrealistas son una clase mucho más grande de números, que contiene los hiperreales así como otras clases de números no reales.

• Ball, WW Rouse (1960), A Short Account of the History of Mathematics (4.ª ed. [Reimpresión. Publicación original: Londres: Macmillan & Co., 1908] ed.), Nueva York: Dover Publications, págs. 50–62, ISBN 0-486-20630-0
• Hatcher, William S. (1982) "El cálculo es álgebra", American Mathematical Monthly 89: 362–370.
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• Kleinberg, Eugene M.; Henle, James M. (2003), Cálculo infinitesimal , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-42886-4

• Crowell, Cálculo breve . Un texto que utiliza infinitesimales.
• Hermoso, Análisis no estándar y los hiperreales . Una introducción amable.
• Keisler, Cálculo elemental: un enfoque con infinitesimales . Incluye un tratamiento axiomático de los hiperreales y está disponible de forma gratuita bajo una licencia Creative Commons.