Sistemas de numeración posicional no estándar

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Los sistemas de numeración posicionales no estándar designan aquí sistemas de numeración que pueden describirse libremente como sistemas posicionales , pero que no cumplen totalmente con la siguiente descripción de sistemas posicionales estándar:

En un sistema de numeración posicional estándar, la base b es un entero positivo y se utilizan b numerales diferentes para representar todos los enteros no negativos . El conjunto estándar de numerales contiene los valores b 0, 1, 2, etc., hasta b  − 1, pero el valor se pondera según la posición del dígito en un número. El valor de una cadena de dígitos como pqrs en base b se da mediante la forma polinómica

${\displaystyle p\times b^{3}+q\times b^{2}+r\times b+s}$.

Los números escritos en superíndice representan las potencias de la base utilizada.

Por ejemplo, en hexadecimal ( b  = 16), utilizando los números A para 10, B para 11, etc., la cadena de dígitos 7A3F significa

${\displaystyle 7\times 16^{3}+10\times 16^{2}+3\times 16+15}$,

que escrito en nuestra notación decimal normal es 31295.

Introduciendo un punto decimal "." y un signo menos "−", se pueden representar números reales con una precisión arbitraria.

En este artículo se resumen datos sobre algunos sistemas de numeración posicional no estándar. En la mayoría de los casos, la forma polinómica en la descripción de los sistemas estándar sigue siendo válida.

Algunos sistemas de numeración históricos pueden describirse como sistemas de numeración posicional no estándar. Por ejemplo, la notación babilónica sexagesimal y los numerales chinos de varilla , que pueden clasificarse como sistemas estándar de base 60 y 10, respectivamente, contando el espacio que representa el cero como numeral, también pueden clasificarse como sistemas no estándar, más específicamente, sistemas de base mixta con componentes unarios, considerando los glifos repetidos primitivos que forman los numerales.

Sin embargo, la mayoría de los sistemas no estándar enumerados a continuación nunca fueron pensados ​​para un uso general, sino que fueron ideados por matemáticos o ingenieros para un uso académico o técnico especial.

Un sistema de numeración biyectivo con base b utiliza b numerales diferentes para representar todos los números enteros no negativos. Sin embargo, los numerales tienen valores 1, 2, 3, etc. hasta b inclusive , mientras que el cero se representa mediante una cadena de dígitos vacía. Por ejemplo, es posible tener decimal sin un cero .

Unario es el sistema de numeración biyectivo con base b  = 1. En unario, se utiliza un numeral para representar todos los números enteros positivos. El valor de la cadena de dígitos pqrs dado por la forma polinómica se puede simplificar en p + q + r + s ya que b ⁿ  = 1 para todo n . Las características no estándar de este sistema incluyen:

• El valor de un dígito no depende de su posición, por lo que se puede argumentar fácilmente que el unario no es en absoluto un sistema posicional .
• La introducción de un punto de base en este sistema no permitirá la representación de valores no enteros.
• El número único representa el valor 1, no el valor 0 =  b  − 1.
• El valor 0 no se puede representar (o está representado implícitamente por una cadena de dígitos vacía).

En algunos sistemas, aunque la base sea un número entero positivo, se permiten dígitos negativos. La forma no adyacente es un sistema particular donde la base es b  = 2. En el sistema ternario balanceado , la base es b  = 3, y los numerales tienen los valores −1, 0 y +1 (en lugar de 0, 1 y 2 como en el sistema ternario estándar , o 1, 2 y 3 como en el sistema ternario biyectivo).

El código binario reflejado, también conocido como código Gray, está estrechamente relacionado con los números binarios , pero algunos bits están invertidos, dependiendo de la paridad de los bits de orden superior.

Se han sugerido algunos sistemas posicionales en los que la base b no es un entero positivo.

Los sistemas de base negativa incluyen el negabinario , el negaternario y el negadecimal , con bases −2, −3 y −10 respectivamente; en base − b, el número de numerales diferentes utilizados es b . Debido a las propiedades de los números negativos elevados a potencias, todos los números enteros, positivos y negativos, se pueden representar sin signo.

En un sistema bi de base puramente imaginaria, donde b es un entero mayor que 1 e i la unidad imaginaria , el conjunto estándar de dígitos consiste en los b ² números desde 0 hasta b ² − 1. Puede generalizarse a otras bases complejas, dando lugar a los sistemas de base compleja .

En las bases no enteras, el número de numerales diferentes utilizados no puede ser claramente b . En su lugar, se utilizan los numerales del 0 al 1. Por ejemplo, la base de la proporción áurea ( finaria ) utiliza los dos numerales diferentes 0 y 1.${\displaystyle \lfloor b\rfloor }$

A veces es conveniente considerar sistemas de numeración posicionales donde los pesos asociados con las posiciones no forman una secuencia geométrica 1, b , b ² , b ³ , etc., comenzando desde la posición menos significativa, como se da en la forma polinómica. En un sistema de base mixta como el sistema de numeración factorial , los pesos forman una secuencia donde cada peso es un múltiplo entero del anterior, y el número de valores de dígitos permitidos varía en consecuencia de una posición a otra.

Para uso calendárico, el sistema de numeración maya era un sistema de base mixta, ya que una de sus posiciones representa una multiplicación por 18 en lugar de 20, para ajustarse a un calendario de 360 ​​días. Asimismo, dar un ángulo en grados, minutos y segundos (con decimales), o una hora en días, horas, minutos y segundos, puede interpretarse como un sistema de base mixta.

También se pueden utilizar secuencias en las que cada peso no sea un múltiplo entero del peso anterior, pero en ese caso cada entero puede no tener una representación única. Por ejemplo, la codificación de Fibonacci utiliza los dígitos 0 y 1, ponderados según la secuencia de Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, ...); se puede garantizar una representación única de todos los enteros no negativos prohibiendo los 1 consecutivos. Los decimales codificados en binario (BCD) son sistemas de base mixtos en los que se utilizan bits (dígitos binarios) para expresar dígitos decimales. Por ejemplo, en 1001 0011, cada grupo de cuatro bits puede representar un dígito decimal (en este ejemplo 9 y 3, por lo que los ocho bits combinados representan el decimal 93). Los pesos asociados a estas 8 posiciones son 80, 40, 20, 10, 8, 4, 2 y 1. La unicidad se garantiza exigiendo que, en cada grupo de cuatro bits, si el primer bit es 1, los dos siguientes deben ser 00.

Los sistemas de numeración asimétricos son sistemas utilizados en informática en los que cada dígito puede tener bases diferentes, normalmente no enteras. En estos, no sólo las bases de un dígito dado son diferentes, sino que también pueden ser no uniformes y alteradas de forma asimétrica para codificar la información de forma más eficiente. Están optimizados para distribuciones de probabilidad no uniformes elegidas de símbolos, utilizando en promedio aproximadamente bits de entropía de Shannon por símbolo. ^[1]

• Lista de sistemas de numeración
• Constante de Komornik-Loreti

• Expansiones en bases no enteras: el orden superior y el orden de cola