Grupo Rudvalis

Algebraic structure → Group theory Group theory
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v t e

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Rudvalis Ru es un grupo simple esporádico de orden

   145.926.144.000 = 2 ¹⁴  · 3 ³  · 5 ³  · 7  · 13  · 29

≈ 1 × 10¹¹ .

Ru es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descubierto por Arunas Rudvalis  (1973, 1984) y construido por John H. Conway y David B. Wales (1973). Su multiplicador de Schur tiene orden 2 y su grupo de automorfismos externo es trivial.

En 1982, Robert Griess demostró que Ru no puede ser un subcociente del grupo monstruo . ^[1] Por lo tanto, es uno de los 6 grupos esporádicos llamados parias .

El grupo de Rudvalis actúa como un grupo de permutación de rango 3 en 4060 puntos, con un estabilizador de puntos que es el grupo de Ree ² F ₄ (2), el grupo de automorfismos del grupo de Tits . Esta representación implica un grafo fuertemente regular srg(4060, 2304, 1328, 1280). Es decir, cada vértice tiene 2304 vecinos y 1755 no vecinos, dos vértices adyacentes tienen 1328 vecinos comunes, mientras que dos no adyacentes tienen 1280 (Griess 1998, p. 125).

Su doble recubrimiento actúa sobre una red de 28 dimensiones sobre los enteros gaussianos . La red tiene 4×4060 vectores mínimos; si se identifican los vectores mínimos siempre que uno sea 1, i , –1 o – i veces otro, entonces las 4060 clases de equivalencia se pueden identificar con los puntos de la representación de permutación de rango 3. Reduciendo esta red módulo el ideal principal

${\displaystyle (1+i)\ }$

da una acción del grupo de Rudvalis sobre un espacio vectorial de 28 dimensiones sobre el cuerpo con 2 elementos. Duncan (2006) utilizó la red de 28 dimensiones para construir un álgebra de operadores de vértice sobre la que actúa la doble cobertura.${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

Alternativamente, la doble cobertura puede definirse de manera abstracta, comenzando con el gráfico y elevando Ru a 2Ru en la doble cobertura 2A ₄₀₆₀ . Esto se debe a que 1 de las clases de conjugación de involuciones no fija ningún punto. Tal involución divide los 4060 puntos del gráfico en 2030 pares, que pueden considerarse como 1015 transposiciones dobles en el grupo alternado A ₄₀₆₀ . Como 1015 es impar, estas involuciones se elevan a elementos de orden 4 en la doble cobertura 2A ₄₀₆₀ . Para obtener más información, consulte Grupos de cobertura de los grupos alternados y simétricos .

Parrott (1976) caracterizó al grupo de Rudvalis por el centralizador de una involución central. Aschbacher y Smith (2004) dieron otra caracterización como parte de su identificación del grupo de Rudvalis como uno de los grupos de cuasitinos .

Wilson (1984) encontró las 15 clases de conjugación de subgrupos máximos de Ru de la siguiente manera:

• Aschbacher, Michael ; Smith, Stephen D. (2004), La clasificación de los grupos cuasíticos. Estructura de los grupos K fuertemente cuasíticos, Encuestas y monografías matemáticas, vol. 111, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3410-7, Sr.  2097623
• Conway, John H. ; Wales, David B. (1973), "La construcción del grupo simple de Rudvalis de orden 145926144000", Journal of Algebra , 27 (3): 538–548, doi : 10.1016/0021-8693(73)90063-X
• John F. Duncan (2008). "Moonshine para el grupo esporádico de Rudvalis". arXiv : math/0609449v1 .
• Griess, Robert L. (1982), "El gigante amistoso" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 69 (1): 1–102, Bibcode :1982InMat..69....1G, doi :10.1007/BF01389186, hdl : 2027.42/46608
• Griess, Robert L. (1998), Doce grupos esporádicos , Springer-Verlag
• Parrott, David (1976), "Una caracterización del grupo simple de Rudvalis", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 32 (1): 25–51, doi :10.1112/plms/s3-32.1.25, ISSN  0024-6115, MR  0390043
• Rudvalis, Arunas (1973), "Un nuevo grupo simple de orden 2 ¹⁴ 3 ³ 5 ³ 7 13 29", Avisos de la American Mathematical Society (20): A–95
• Rudvalis, Arunas (1984), "Un grupo simple de rango 3 de orden 2¹⁴3³5³7.13.29. I", Journal of Algebra , 86 (1): 181–218, doi :10.1016/0021-8693(84)90063-2, ISSN  0021-8693, MR  0727376
• Rudvalis, Arunas (1984), "Un grupo simple de rango 3 G de orden 2¹⁴3³5³7.13.29. II. Caracteres de G y Ĝ", Journal of Algebra , 86 (1): 219–258, doi : 10.1016/0021-8693(84)90064-4 , ISSN  0021-8693, MR  0727377
• Wilson, Robert A. (1984), "La geometría y los subgrupos máximos de los grupos simples de A. Rudvalis y J. Tits", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 48 (3): 533–563, doi :10.1112/plms/s3-48.3.533, ISSN  0024-6115, MR  0735227

• MathWorld: Grupo Rudvalis
• Atlas de representaciones de grupos finitos: grupo de Rudvalis