Grupo de cobertura

En matemáticas , un grupo de recubrimiento de un grupo topológico H es un espacio de recubrimiento G de H tal que G es un grupo topológico y la función de recubrimiento p  : G → H es un homomorfismo de grupo continuo . La función p se denomina homomorfismo de recubrimiento . Un caso frecuente es el de un grupo de recubrimiento doble , una doble cobertura topológica en la que H tiene índice 2 en G ; algunos ejemplos son los grupos de espín , los grupos pin y los grupos metaplécticos .

Explicado de forma aproximada, decir que, por ejemplo, el grupo metapléctico Mp _{2 n} es una doble cobertura del grupo simpléctico Sp _{2 n} significa que siempre hay dos elementos en el grupo metapléctico que representan un elemento en el grupo simpléctico.

Sea G un grupo cubriente de H . El núcleo K del homomorfismo cubriente es simplemente la fibra sobre la identidad en H y es un subgrupo normal discreto de G . El núcleo K es cerrado en G si y solo si G es Hausdorff (y si y solo si H es Hausdorff). Yendo en la otra dirección, si G es cualquier grupo topológico y K es un subgrupo normal discreto de G entonces la función cociente p  : G → G / K es un homomorfismo cubriente.

Si G es conexo entonces K , al ser un subgrupo normal discreto, se encuentra necesariamente en el centro de G y por lo tanto es abeliano . En este caso, el centro de H = G / K viene dado por

${\displaystyle \mathrm {Z} (H)\cong \mathrm {Z} (G)/K.}$

Como ocurre con todos los espacios de recubrimiento, el grupo fundamental de G se inyecta en el grupo fundamental de H. Dado que el grupo fundamental de un grupo topológico es siempre abeliano, todo grupo de recubrimiento es un espacio de recubrimiento normal. En particular, si G está conexo por trayectorias , entonces el grupo cociente π ₁ ( H ) / π ₁ ( G ) es isomorfo a K . El grupo K actúa simplemente de manera transitiva sobre las fibras (que son simplemente clases laterales izquierdas ) por multiplicación derecha. El grupo G es entonces un fibrado principal de K sobre H .

Si G es un grupo cubriente de H, entonces los grupos G y H son localmente isomorfos. Además, dados dos grupos localmente isomorfos conexos H ₁ y H ₂ , existe un grupo topológico G con subgrupos normales discretos K ₁ y K ₂ tales que H ₁ es isomorfo a G / K ₁ y H ₂ es isomorfo a G / K ₂ .

Sea H un grupo topológico y sea G un espacio de recubrimiento de H . Si G y H están conexos por trayectorias y conexos por trayectorias localmente , entonces para cualquier elección de elemento e * en la fibra sobre e ∈ H , existe una estructura de grupo topológico única en G , con e * como identidad, para la cual la función de recubrimiento p  : G → H es un homomorfismo.

La construcción es la siguiente. Sean a y b elementos de G y sean f y g caminos en G que comienzan en e * y terminan en a y b respectivamente. Definamos un camino h  : I → H por h ( t ) = p ( f ( t )) p ( g ( t )) . Por la propiedad de elevación de caminos de los espacios que cubren, existe una elevación única de h a G con punto inicial e *. El producto ab se define como el punto final de este camino. Por construcción tenemos p ( ab ) = p ( a ) p ( b ) . Hay que demostrar que esta definición es independiente de la elección de los caminos f y g , y también que las operaciones de grupo son continuas.

Alternativamente, la ley de grupo sobre G se puede construir elevando la ley de grupo H × H → H a G , usando la propiedad de elevación del mapa de recubrimiento G × G → H × H .

El caso no conexo es interesante y se estudia en los artículos de Taylor y Brown-Mucuk citados a continuación. Esencialmente, existe una obstrucción a la existencia de una cubierta universal que también sea un grupo topológico tal que la función de cubierta sea un morfismo: esta obstrucción se encuentra en el tercer grupo de cohomología del grupo de componentes de G con coeficientes en el grupo fundamental de G en la identidad.

Si H es un grupo conexo por trayectorias, conexo por trayectorias localmente y conexo de manera semilocal , entonces tiene una cobertura universal . Mediante la construcción anterior, la cobertura universal puede convertirse en un grupo topológico con la función de cobertura como un homomorfismo continuo. Este grupo se denomina grupo de cobertura universal de H. También existe una construcción más directa, que se presenta a continuación.

Sea PH el grupo de caminos de H . Es decir, PH es el espacio de caminos en H basado en la identidad junto con la topología compacta-abierta . El producto de caminos se da por multiplicación puntual, es decir ( fg ) ( t ) = f ( t ) g ( t ) . Esto da a PH la estructura de un grupo topológico. Hay un homomorfismo de grupo natural PH → H que envía cada camino a su punto final. La cobertura universal de H se da como el cociente de PH por el subgrupo normal de bucles homotópicos nulos . La proyección PH → H desciende al cociente dando la función de cobertura. Se puede demostrar que la cobertura universal es simplemente conexa y que el núcleo es simplemente el grupo fundamental de H . Es decir, tenemos una secuencia exacta corta

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(H)\to {\tilde {H}}\to H\to 1}$

dónde~yoes la cobertura universal de H . Concretamente, el grupo de cobertura universal de H es el espacio de clases de homotopía de caminos en H con multiplicación puntual de caminos. La función de cobertura envía cada clase de camino a su punto final.

Como lo sugiere lo anterior, si un grupo tiene un grupo de recubrimiento universal (si es conexo por caminos, conexo por caminos localmente y conexo de manera semilocal), con centro discreto, entonces el conjunto de todos los grupos topológicos que están cubiertos por el grupo de recubrimiento universal forman una red, correspondiente a la red de subgrupos del centro del grupo de recubrimiento universal: la inclusión de subgrupos corresponde a la cobertura de grupos cocientes. El elemento máximo es el grupo de recubrimiento universal.~yo, mientras que el elemento mínimo es el grupo de recubrimiento universal mod su centro,~yo/Z(~yo) .

Esto corresponde algebraicamente a la extensión central perfecta universal (llamada "grupo de recubrimiento", por analogía) como el elemento máximo, y un grupo módulo su centro como elemento mínimo.

Esto es particularmente importante para los grupos de Lie, ya que estos grupos son todas las realizaciones (conectadas) de un álgebra de Lie particular. Para muchos grupos de Lie, el centro es el grupo de matrices escalares y, por lo tanto, el grupo módulo su centro es la proyectivización del grupo de Lie. Estas coberturas son importantes para estudiar las representaciones proyectivas de los grupos de Lie, y las representaciones de espín conducen al descubrimiento de los grupos de espín : una representación proyectiva de un grupo de Lie no necesita provenir de una representación lineal del grupo, pero sí proviene de una representación lineal de algún grupo de cobertura, en particular el grupo de cobertura universal. El análogo finito condujo al grupo de cobertura o cobertura de Schur, como se discutió anteriormente.

Un ejemplo clave surge de SL ₂ ( R ) , que tiene centro {±1} y grupo fundamental Z. Es una doble cobertura del grupo lineal especial proyectivo sin centro PSL ₂ ( R ), que se obtiene tomando el cociente por el centro. Por descomposición de Iwasawa , ambos grupos son fibrados circulares sobre el semiplano superior complejo, y su cobertura universal es un fibrado lineal real sobre el semiplano que forma una de las ocho geometrías de Thurston . Dado que el semiplano es contráctil, todas las estructuras de fibrados son triviales. La preimagen de SL ₂ ( Z ) en la cobertura universal es isomorfa al grupo trenzado en tres hebras.${\displaystyle {\mathrm {S} {\widetilde {\mathrm {L} _{2}(}}\mathbf {R} )}}$

Las definiciones y construcciones anteriores se aplican todas al caso especial de los grupos de Lie . En particular, cada recubrimiento de una variedad es una variedad, y el homomorfismo de recubrimiento se convierte en una función suave . Del mismo modo, dado cualquier subgrupo normal discreto de un grupo de Lie, el grupo cociente es un grupo de Lie y la función cociente es un homomorfismo de recubrimiento.

Dos grupos de Lie son localmente isomorfos si y solo si sus álgebras de Lie son isomorfas. Esto implica que un homomorfismo φ  : G → H de grupos de Lie es un homomorfismo de recubrimiento si y solo si la función inducida en las álgebras de Lie

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$

es un isomorfismo.

Dado que para cada álgebra de Lie existe un único grupo de Lie simplemente conexo G con álgebra de Lie ⁠ ⁠ , de esto se deduce que el grupo de recubrimiento universal de un grupo de Lie conexo H es el grupo de Lie (único) simplemente conexo G que tiene la misma álgebra de Lie que H .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• El grupo cubriente universal del grupo de círculos T es el grupo aditivo de los números reales ( R , + ) con el homomorfismo cubriente dado por la aplicación R → T  : x ↦ exp(2 πix ) . El núcleo de esta aplicación es isomorfo a Z.
• Para cualquier entero n tenemos un grupo cubriente del círculo por sí mismo T → T que envía z a z ⁿ . El núcleo de este homomorfismo es el grupo cíclico que consiste en las raíces n ésimas de la unidad .
• El grupo de rotación SO(3) tiene como recubrimiento universal el grupo SU(2) , que es isomorfo al grupo de versores en los cuaterniones. Se trata de un recubrimiento doble, ya que el núcleo es de orden 2. (cf. los tangloides .)
• El grupo unitario U( n ) está cubierto por el grupo compacto T × SU( n ) con el homomorfismo de recubrimiento dado por p ( z , A ) = zA . La cobertura universal es R × SU( n ) .
• El grupo ortogonal especial SO( n ) tiene una doble cobertura llamada grupo de espín Spin( n ). Para n ≥ 3 , el grupo de espín es la cobertura universal de SO( n ).
• Para n ≥ 2 , la cubierta universal del grupo lineal especial SL( n , R ) no es un grupo matricial (es decir, no tiene representaciones fieles de dimensión finita ).

• Pontryagin, Lev S. (1986). Grupos topológicos . Trad. del ruso por Arlen Brown y PSV Naidu (3.ª ed.). Gordon & Breach Science. ISBN 2-88124-133-6.
• Taylor, RL (1954). "Grupos de cobertura de grupos topológicos no conexos". Proc. Amer. Math. Soc . 5 : 753–768. doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0087028-0 . JSTOR  2031861. MR  0087028.
• Brown, R.; Mucuk, O. (1994). "Revisión de grupos de cobertura de grupos topológicos no conectados". Math. Proc. Cambridge Philos. Soc . 115 (1): 97–110. arXiv : math/0009021 . Bibcode :2000math......9021B. CiteSeerX  10.1.1.236.9436 . doi :10.1017/S0305004100071942.