Grupo Ree

En matemáticas, un grupo de Ree es un grupo de tipo Lie sobre un cuerpo finito construido por Ree  (1960, 1961) a partir de un automorfismo excepcional de un diagrama de Dynkin que invierte la dirección de los enlaces múltiples, generalizando los grupos de Suzuki encontrados por Suzuki utilizando un método diferente. Fueron los últimos de las infinitas familias de grupos simples finitos en ser descubiertos.

A diferencia de los grupos de Steinberg , los grupos de Ree no están dados por los puntos de un grupo algebraico reductivo conexo definido sobre un cuerpo finito; en otras palabras, no existe ningún "grupo algebraico de Ree" relacionado con los grupos de Ree de la misma manera que (por ejemplo) los grupos unitarios están relacionados con los grupos de Steinberg. Sin embargo, existen algunos grupos algebraicos pseudo-reductivos exóticos sobre cuerpos no perfectos cuya construcción está relacionada con la construcción de los grupos de Ree, ya que utilizan los mismos automorfismos exóticos de los diagramas de Dynkin que cambian las longitudes de las raíces.

Tits (1960) definió grupos de Ree sobre campos infinitos de características 2 y 3. Tits (1989) y Hée (1990) introdujeron grupos de Ree de álgebras de Kac-Moody de dimensión infinita .

Si X es un diagrama de Dynkin , Chevalley construyó grupos algebraicos divididos correspondientes a X , en particular dando grupos X ( F ) con valores en un cuerpo F . Estos grupos tienen los siguientes automorfismos:

• Cualquier endomorfismo σ del campo F induce un endomorfismo α _σ del grupo X ( F )
• Cualquier automorfismo π del diagrama de Dynkin induce un automorfismo α _π del grupo X ( F ) .

Los grupos de Steinberg y Chevalley pueden construirse como puntos fijos de un endomorfismo de X ( F ) para F la clausura algebraica de un cuerpo. Para los grupos de Chevalley, el automorfismo es el endomorfismo de Frobenius de F , mientras que para los grupos de Steinberg el automorfismo es el endomorfismo de Frobenius multiplicado por un automorfismo del diagrama de Dynkin.

Sobre cuerpos de característica 2 los grupos B ₂ ( F ) y F ₄ ( F ) y sobre cuerpos de característica 3 los grupos G ₂ ( F ) tienen un endomorfismo cuyo cuadrado es el endomorfismo α _φ asociado al endomorfismo de Frobenius φ del cuerpo F . Grosso modo, este endomorfismo α _π proviene del automorfismo de orden 2 del diagrama de Dynkin donde se ignoran las longitudes de las raíces.

Supóngase que el cuerpo F tiene un endomorfismo σ cuyo cuadrado es el endomorfismo de Frobenius: σ ² = φ . Entonces el grupo de Ree se define como el grupo de elementos g de X ( F ) tales que α _π ( g ) = α _σ ( g ) . Si el cuerpo F es perfecto entonces α _π y α _φ son automorfismos, y el grupo de Ree es el grupo de puntos fijos de la involución α _φ /α _π de X ( F ) .

En el caso en que F es un cuerpo finito de orden p ^k (con p = 2 o 3) hay un endomorfismo con el cuadrado de Frobenius exactamente cuando k = 2 n + 1 es impar, en cuyo caso es único. Por lo tanto, esto da los grupos de Ree finitos como subgrupos de B ₂ (2 ^{2 n +1} ), F ₄ (2 ^{2 n +1} ), y G ₂ (3 ^{2 n +1} ) fijados por una involución.

La relación entre los grupos de Chevalley, el grupo de Steinberg y los grupos de Ree es aproximadamente la siguiente. Dado un diagrama de Dynkin X , Chevalley construyó un esquema de grupo sobre los enteros Z cuyos valores sobre cuerpos finitos son los grupos de Chevalley. En general, se pueden tomar los puntos fijos de un endomorfismo α de X ( F ) donde F es la clausura algebraica de un cuerpo finito, de modo que alguna potencia de α es alguna potencia del endomorfismo de Frobenius φ. Los tres casos son los siguientes:

• Para los grupos de Chevalley, α = φ ⁿ para algún entero positivo n . En este caso, el grupo de puntos fijos es también el grupo de puntos de X definidos sobre un cuerpo finito.
• Para los grupos de Steinberg, α ^m = φ ⁿ para algunos números enteros positivos m , n con m dividiendo a n y m > 1. En este caso, el grupo de puntos fijos es también el grupo de puntos de una forma retorcida (cuasisplita) de X definida sobre un cuerpo finito.
• Para los grupos de Ree, α ^m = φ ⁿ para algunos enteros positivos m , n con m no dividiéndolos . En la práctica, m = 2 y n es impar. Los grupos de Ree no se dan como los puntos de algún grupo algebraico conexo con valores en un cuerpo. Son los puntos fijos de un automorfismo de orden m = 2 de un grupo definido sobre un cuerpo de orden p ⁿ con n impar, y no hay un cuerpo correspondiente de orden p ^{n /2} (aunque a algunos autores les gusta pretender que lo hay en su notación para los grupos).

Los grupos de Ree de tipo ² B ₂ fueron descubiertos por primera vez por Suzuki (1960) utilizando un método diferente, y se denominan habitualmente grupos de Suzuki . Ree se dio cuenta de que podían construirse a partir de los grupos de tipo B ₂ utilizando una variación de la construcción de Steinberg (1959). Ree se dio cuenta de que una construcción similar podía aplicarse a los diagramas de Dynkin F ₄ y G ₂ , dando lugar a dos nuevas familias de grupos finitos simples.

Los grupos de Ree de tipo ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) fueron introducidos por Ree (1960), quien demostró que todos son simples excepto el primero ² G ₂ (3), que es isomorfo al grupo de automorfismos de SL ₂ (8) . Wilson (2010) dio una construcción simplificada de los grupos de Ree, como los automorfismos de un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el cuerpo con 3 ^{2 n +1} elementos que conservan una forma bilineal, una forma trilineal y un producto que satisface una ley de linealidad torcida.

El grupo de Ree tiene orden q ³ ( q ³ + 1) ( q − 1) donde q = 3 ^{2 n +1}

El multiplicador de Schur es trivial para n  ≥ 1 y para ² G ₂ (3)′.

El grupo de automorfismo externo es cíclico de orden 2 n  + 1.

El grupo Ree también se denota ocasionalmente por Ree( q ), R( q ) o E ₂ ^* ( q )

El grupo de Ree ² G ₂ ( q ) tiene una representación de permutación doblemente transitiva en q ³ + 1 puntos, y actúa más precisamente como automorfismos de un sistema de Steiner S(2, q +1, q ³ +1) . También actúa en un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el cuerpo con q elementos, ya que es un subgrupo de G ₂ ( q ).

Los subgrupos 2-Sylow de los grupos de Ree son abelianos elementales de orden 8. El teorema de Walters muestra que los únicos otros grupos simples finitos no abelianos con 2-subgrupos abelianos de Sylow son los grupos lineales especiales proyectivos en dimensión 2 y el grupo de Janko J1 . Estos grupos también desempeñaron un papel en el descubrimiento del primer grupo esporádico moderno. Tienen centralizadores de involución de la forma Z /2 Z × PSL ₂ ( q ) , y al investigar grupos con un centralizador de involución de la forma similar Z /2 Z × PSL ₂ (5) Janko encontró el grupo esporádico  J _1. Kleidman (1988) determinó sus subgrupos máximos.

Los grupos de Ree de tipo ² G ₂ son excepcionalmente difíciles de caracterizar. Thompson (1967, 1972, 1977) estudió este problema y pudo demostrar que la estructura de un grupo de este tipo está determinada por un cierto automorfismo σ de un cuerpo finito de característica 3, y que si el cuadrado de este automorfismo es el automorfismo de Frobenius, entonces el grupo es el grupo de Ree. También dio algunas condiciones complicadas satisfechas por el automorfismo σ . Finalmente, Bombieri (1980) utilizó la teoría de eliminación para demostrar que las condiciones de Thompson implicaban que σ ² = 3 en todos los casos, excepto 178 pequeños, que fueron eliminados utilizando una computadora por Odlyzko y Hunt. Bombieri se enteró de este problema después de leer un artículo sobre la clasificación de Gorenstein (1979), quien sugirió que alguien ajeno a la teoría de grupos podría ayudar a resolverlo. Enguehard (1986) dio una explicación unificada de la solución de este problema por Thompson y Bombieri.

Los grupos de Ree de tipo ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ) fueron introducidos por Ree (1961). Son simples excepto el primero ² F ₄ (2) , que Tits (1964) demostró que tiene un subgrupo simple de índice 2, ahora conocido como el grupo de Tits . Wilson (2010b) dio una construcción simplificada de los grupos de Ree como las simetrías de un espacio de 26 dimensiones sobre el cuerpo de orden 2 ^{2 n +1} conservando una forma cuadrática, una forma cúbica y una multiplicación parcial.

El grupo de Ree ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ) tiene orden q ¹² ( q ⁶  + 1) ( q ⁴  − 1) ( q ³  + 1) ( q  − 1) donde q = 2 ^{2 n +1} . El multiplicador de Schur es trivial. El grupo de automorfismos externos es cíclico de orden 2 n  + 1.

Estos grupos de Ree tienen la propiedad inusual de que el grupo de Coxeter de su par BN no es cristalográfico: es el grupo diedro de orden 16. Tits (1983) demostró que todos los octágonos de Moufang provienen de grupos de Ree de tipo ² F ₄ .

• Lista de grupos finitos simples

• Carter, Roger W. (1989) [1972], Grupos simples de tipo Lie , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6, Sr.  0407163
• Bombieri, Enrico (1980), "El problema de Thompson (σ ² =3)", Inventiones Mathematicae , 58 (1), apéndices de Andrew Odlyzko y D. Hunt: 77–100, doi :10.1007/BF01402275, ISSN  0020-9910, SEÑOR  0570875, S2CID  122867511
• Enguehard, Michel (1986), "Caractérisation des groupes de Ree", Astérisque (142): 49–139, ISSN  0303-1179, SEÑOR  0873958
• Gorenstein, D. (1979), "La clasificación de grupos simples finitos. I. Grupos simples y análisis local", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 1 (1): 43–199, doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14551-8 , ISSN  0002-9904, MR  0513750
• Hée, Jean-Yves (1990), "Construction de groupes tordus en théorie de Kac-Moody", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 310 (3): 77–80, ISSN  0764-4442, SEÑOR  1044619
• Kleidman, Peter B. (1988), "Los subgrupos maximales de los grupos de Chevalley G ₂ (q) con q impar, los grupos de Ree ² G ₂ (q), y sus grupos de automorfismo", Journal of Algebra , 117 (1): 30–71, doi :10.1016/0021-8693(88)90239-6, ISSN  0021-8693, MR  0955589
• Ree, Rimhak (1960), "Una familia de grupos simples asociados con el álgebra de Lie simple de tipo (G2)", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 66 (6): 508–510, doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10523-X , ISSN  0002-9904, MR  0125155
• Ree, Rimhak (1961), "Una familia de grupos simples asociados con el álgebra de Lie simple de tipo (F4)", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 67 : 115–116, doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10527-2 , ISSN  0002-9904, MR  0125155
• Steinberg, Robert (1959), "Variaciones sobre un tema de Chevalley", Pacific Journal of Mathematics , 9 (3): 875–891, doi : 10.2140/pjm.1959.9.875 , ISSN  0030-8730, MR  0109191
• Steinberg, Robert (1968), Lectures on Chevalley groups, Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, MR  0466335, archivado desde el original el 10 de septiembre de 2012
• Steinberg, Robert (1968), Endomorfismos de grupos algebraicos lineales, Memorias de la American Mathematical Society, n.º 80, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 9780821812808, Sr.  0230728
• Suzuki, Michio (1960), "Un nuevo tipo de grupos simples de orden finito", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 46 (6): 868–870, doi : 10.1073/pnas.46.6.868 , ISSN  0027-8424, JSTOR  70960, MR  0120283, PMC  222949 , PMID  16590684
• Thompson, John G. (1967), "Hacia una caracterización de E ₂ *(q)", Journal of Algebra , 7 (3): 406–414, doi :10.1016/0021-8693(67)90080-4, ISSN  0021-8693, MR  0223448
• Thompson, John G. (1972), "Hacia una caracterización de E ₂ *(q) . II", Journal of Algebra , 20 (3): 610–621, doi : 10.1016/0021-8693(72)90074-9 , ISSN  0021-8693, MR  0313377
• Thompson, John G. (1977), "Hacia una caracterización de E ₂ *(q) . III", Journal of Algebra , 49 (1): 162–166, doi :10.1016/0021-8693(77)90276-9, ISSN  0021-8693, MR  0453858
• Tetas, Jacques (1960), "Les groupes simples de Suzuki et de Ree", Séminaire Bourbaki, vol. 6 , París: Société Mathématique de France , págs. 65–82, MR  1611778
• Tits, Jacques (1964), "Grupos simples algebraicos y abstractos", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 80 (2): 313–329, doi :10.2307/1970394, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970394, MR  0164968
• Tits, Jacques (1983), "Octágonos de Moufang y los grupos de Ree de tipo ² F ₄ ", American Journal of Mathematics , 105 (2): 539–594, doi :10.2307/2374268, ISSN  0002-9327, JSTOR  2374268, MR  0701569
• Tetas, Jacques (1989), "Groupes associés aux algèbres de Kac-Moody", Astérisque , Séminaire Bourbaki (177): 7–31, ISSN  0303-1179, SEÑOR  1040566
• Wilson, Robert A. (2010), "Otro nuevo enfoque para los pequeños grupos de Ree", Archiv der Mathematik , 94 (6): 501–510, CiteSeerX  10.1.1.156.9909 , doi :10.1007/s00013-010-0130-4, ISSN  0003-9268, MR  2653666, S2CID  122724281
• Wilson, Robert A. (2010b), "Una construcción simple de los grupos de Ree de tipo ² F ₄ ", Journal of Algebra , 323 (5): 1468–1481, doi :10.1016/j.jalgebra.2009.11.015, ISSN  0021-8693, MR  2584965

• ATLAS: Grupo Ree R(27)