Quiliagono
Polígono con 1000 aristas
Quiliágono regular
Un quiliágono regular
TipoPolígono regular
Aristas y vértices1000
Símbolo de Schläfli{1000}, t{500}, tt{250}, ttt{125}
Diagramas de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetríaDiédrico (D 1000 ), orden 2×1000
Angulo interno ( grados )179,64°
PropiedadesConvexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal
Polígono dualSer
No se puede distinguir visualmente un quiliágono regular completo de un círculo. La sección inferior es una porción de un quiliágono regular, 200 veces más grande que el más pequeño, con los vértices resaltados.

En geometría , un quiliágono ( / ˈkɪliəɡɒn / ) o milágono es un polígono con 1000 lados. Los filósofos suelen referirse a los quiliágonos para ilustrar ideas sobre la naturaleza y el funcionamiento del pensamiento, el significado y la representación mental .

Quiliágono regular

Un quiliágono regular se representa mediante el símbolo de Schläfli {1.000} y se puede construir como un 500-gono truncado , t{500}, o un 250-gono truncado dos veces, tt{250}, o un 125-gono truncado tres veces, ttt{125}.

La medida de cada ángulo interno de un quiliágono regular es 179°38'24" o rad. El área de un quiliágono regular con lados de longitud a está dada por 499 π 500 {\displaystyle {\frac {499\pi }{500}}}

A = 250 a 2 cuna ⁡ π 1000 ≃ 79577.2 a 2 {\displaystyle A=250a^{2}\cot {\frac {\pi }{1000}}\simeq 79577.2\,a^{2}}

Este resultado difiere del área de su círculo circunscrito en menos de 4 partes por millón .

Como 1000 = 2 3 × 5 3 , el número de lados no es un producto de primos de Fermat distintos ni una potencia de dos. Por lo tanto, el quiliágono regular no es un polígono construible . De hecho, ni siquiera es construible con el uso de un trisector de ángulos, ya que el número de lados no es un producto de primos de Pierpont distintos ni un producto de potencias de dos y tres. Por lo tanto, la construcción de un quiliágono requiere otras técnicas como la cuadrátriz de Hipias , la espiral de Arquímedes u otras curvas auxiliares. Por ejemplo, un ángulo de 9° se puede construir primero con compás y regla, que luego se puede quintisectar (dividir en cinco partes iguales) dos veces utilizando una curva auxiliar para producir el ángulo interno de 21'36" requerido.

Aplicación filosófica

René Descartes utiliza el quiliágono como ejemplo en su Sexta meditación para demostrar la diferencia entre la intelección pura y la imaginación. Dice que, cuando uno piensa en un quiliágono, "no imagina los mil lados ni los ve como si estuvieran presentes" ante sí, como ocurre cuando uno imagina un triángulo, por ejemplo. La imaginación construye una "representación confusa", que no es diferente de la que construye de un miriágono (un polígono de diez mil lados). Sin embargo, comprende claramente lo que es un quiliágono, así como comprende lo que es un triángulo, y es capaz de distinguirlo de un miriágono. Por lo tanto, el intelecto no depende de la imaginación, afirma Descartes, ya que es capaz de albergar ideas claras y distintas cuando la imaginación no puede hacerlo. [1] El filósofo Pierre Gassendi , contemporáneo de Descartes, criticó esta interpretación, creyendo que si bien Descartes podía imaginar un quiliágono, no podía entenderlo: uno podría "percibir que la palabra 'quiliágono' significa una figura con mil ángulos [pero] ese es simplemente el significado del término, y no se sigue de ello que entiendas los mil ángulos de la figura mejor de lo que los imaginas". [2]

El ejemplo del quiliágono también es citado por otros filósofos. David Hume señala que es «imposible para el ojo determinar que los ángulos de un quiliágono sean iguales a 1,996 ángulos rectos, o hacer cualquier conjetura que se aproxime a esta proporción». [3] Gottfried Leibniz comenta un uso del quiliágono por parte de John Locke , señalando que uno puede tener una idea del polígono sin tener una imagen de él, y por lo tanto distinguiendo ideas de imágenes. [4] Immanuel Kant se refiere en cambio al eneacontahexágono (96-gono), pero responde a la misma pregunta planteada por Descartes. [5]

Henri Poincaré utiliza el quiliágono como evidencia de que "la intuición no se funda necesariamente en la evidencia de los sentidos" porque "no podemos representarnos un quiliágono, y sin embargo razonamos por intuición sobre polígonos en general, que incluyen al quiliágono como un caso particular". [6]

Inspirados por el ejemplo del quiliágono de Descartes, Roderick Chisholm y otros filósofos del siglo XX han utilizado ejemplos similares para plantear argumentos similares. La " gallina moteada " de Chisholm, que no necesita tener un número determinado de motas para ser imaginada con éxito, es quizás el más famoso de ellos. [7]

Simetría

Simetrías de un quiliágono regular. Las líneas de color azul claro muestran los subgrupos de índice 2. Los 4 subgrafos enmarcados están relacionados posicionalmente por subgrupos de índice 5.

El quiliágono regular tiene simetría diédrica Dih 1000 , orden 2000, representada por 1000 líneas de reflexión. Dih 1000 tiene 15 subgrupos diédricos: Dih 500 , Dih 250 , Dih 125 , Dih 200, Dih 100 , Dih 50 , Dih 25 , Dih 40 , Dih 20 , Dih 10 , Dih 5 , Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 y Dih 1 . También tiene 16 simetrías cíclicas más como subgrupos: Z 1000 , Z 500 , Z 250 , Z 125 , Z 200 , Z 100 , Z 50 , Z 25 , Z 40 , Z 20 , Z 10 , Z 5 , Z 8 , Z 4 , Z 2 y Z 1 , donde Z n representa una simetría rotacional de π/ n radianes.

John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [8] Él da d (diagonal) con líneas especulares a través de vértices, p con líneas especulares a través de aristas (perpendicular), i con líneas especulares a través de vértices y aristas, y g para simetría rotacional. a1 etiqueta sin simetría.

Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad para definir quiliágonos irregulares. Solo el subgrupo g1000 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Chiliagrama

Un quiliagrama es un polígono en estrella de 1000 lados . Existen 199 formas regulares [a] dadas por los símbolos de Schläfli de la forma {1000/ n }, donde n es un entero entre 2 y 500 que es coprimo con 1000. También existen 300 figuras en estrella regulares en los casos restantes.

Por ejemplo, el polígono regular en forma de estrella {1000/499} está formado por 1000 aristas casi radiales. Cada vértice de la estrella tiene un ángulo interno de 0,36 grados. [b]

{1000/499}

Área central con patrones muaré

Véase también

Notas

  1. ^ 199 = 500 casos − 1 (convexo) − 100 (múltiplos de 5) − 250 (múltiplos de 2) + 50 (múltiplos de 2 y 5)
  2. ^ 0,36=180(1-2/(1000/499))=180(1-998/1000)=180(2/1000)=180/500

Referencias

  1. ^ Meditación VI de Descartes (traducción al español).
  2. ^ Sepkoski, David (2005). "Nominalismo y constructivismo en la filosofía matemática del siglo XVII". Historia Mathematica . 32 : 33–59. doi : 10.1016/j.hm.2003.09.002 .
  3. ^ David Hume, Las obras filosóficas de David Hume , Volumen 1, Black y Tait, 1826, pág. 101.
  4. ^ Jonathan Francis Bennett (2001), Aprendiendo de seis filósofos: Descartes, Spinoza, Leibniz, Locke, Berkeley, Hume , Volumen 2, Oxford University Press, ISBN 0198250924 , pág. 53. 
  5. ^ Immanuel Kant, "Sobre un descubrimiento", trad. Henry Allison, en Theoretical Philosophy After 1791 , ed. Henry Allison y Peter Heath, Cambridge UP, 2002 [Akademie 8:121].
  6. ^ Henri Poincaré (1900) "Intuición y lógica en matemáticas" en William Bragg Ewald (ed) De Kant a Hilbert: un libro de fuentes sobre los fundamentos de las matemáticas , volumen 2, Oxford University Press, 2007, ISBN 0198505361 , pág. 1015. 
  7. ^ Roderick Chisholm, "El problema de la gallina moteada", Mind 51 (1942): pp. 368-373. "Todos estos problemas son descendientes del argumento del 'quiliágono' de Descartes en la sexta de sus Meditaciones" (Joseph Heath, Siguiendo las reglas: razonamiento práctico y restricción deóntica , Oxford: OUP, 2008, p. 305, nota 15).
  8. ^ Las simetrías de las cosas , Capítulo 20
  • quiliágono
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