Clase Chern

En matemáticas , en particular en topología algebraica , geometría diferencial y geometría algebraica , las clases de Chern son clases características asociadas con fibrados vectoriales complejos . Desde entonces se han convertido en conceptos fundamentales en muchas ramas de las matemáticas y la física, como la teoría de cuerdas , la teoría de Chern-Simons , la teoría de nudos y los invariantes de Gromov-Witten . Las clases de Chern fueron introducidas por Shiing-Shen Chern  (1946).

Las clases de Chern son clases características . Son invariantes topológicos asociados con fibrados vectoriales en una variedad lisa. La cuestión de si dos fibrados vectoriales aparentemente diferentes son iguales puede ser bastante difícil de responder. Las clases de Chern proporcionan una prueba simple: si las clases de Chern de un par de fibrados vectoriales no concuerdan, entonces los fibrados vectoriales son diferentes. Sin embargo, lo inverso no es cierto.

En topología, geometría diferencial y geometría algebraica, suele ser importante contar cuántas secciones linealmente independientes tiene un fibrado vectorial. Las clases de Chern ofrecen información al respecto a través, por ejemplo, del teorema de Riemann-Roch y del teorema del índice de Atiyah-Singer .

Las clases de Chern también se pueden calcular en la práctica. En geometría diferencial (y algunos tipos de geometría algebraica), las clases de Chern se pueden expresar como polinomios en los coeficientes de la forma de curvatura .

Hay varias maneras de abordar el tema, cada una de las cuales se centra en un aspecto ligeramente diferente de la clase de Chern.

El enfoque original para las clases de Chern fue a través de la topología algebraica: las clases de Chern surgen a través de la teoría de homotopía que proporciona una aplicación asociada con un fibrado vectorial a un espacio clasificador (un Grassmanniano infinito en este caso). Para cualquier fibrado vectorial complejo V sobre una variedad M , existe una función f de M al espacio clasificador tal que el fibrado V es igual al pullback, por f , de un fibrado universal sobre el espacio clasificador, y las clases de Chern de V pueden, por lo tanto, definirse como el pullback de las clases de Chern del fibrado universal. A su vez, estas clases de Chern universales pueden escribirse explícitamente en términos de ciclos de Schubert .

Se puede demostrar que para dos aplicaciones cualesquiera f , g de M al espacio de clasificación cuyos pullbacks son el mismo fibrado V , las aplicaciones deben ser homotópicas. Por lo tanto, el pullback de f o g de cualquier clase de Chern universal a una clase de cohomología de M debe ser la misma clase. Esto demuestra que las clases de Chern de V están bien definidas.

El enfoque de Chern utilizó la geometría diferencial, a través del enfoque de la curvatura que se describe principalmente en este artículo. Demostró que la definición anterior era, de hecho, equivalente a la suya. La teoría resultante se conoce como teoría de Chern-Weil .

Existe también un enfoque de Alexander Grothendieck que muestra que axiomáticamente sólo es necesario definir el caso del fibrado lineal.

Las clases de Chern surgen de forma natural en la geometría algebraica . Las clases de Chern generalizadas en geometría algebraica se pueden definir para fibrados vectoriales (o, más precisamente, haces localmente libres ) sobre cualquier variedad no singular. Las clases de Chern algebro-geométricas no requieren que el cuerpo subyacente tenga propiedades especiales. En particular, los fibrados vectoriales no necesariamente deben ser complejos.

Independientemente del paradigma particular, el significado intuitivo de la clase Chern se refiere a los "ceros requeridos" de una sección de un fibrado vectorial: por ejemplo, el teorema que dice que no se puede peinar una bola peluda hasta dejarla plana ( teorema de la bola peluda ). Aunque, estrictamente hablando, se trata de una cuestión sobre un fibrado vectorial real (los "cabellos" de una bola son en realidad copias de la línea real), existen generalizaciones en las que los cabellos son complejos (véase el ejemplo del teorema complejo de la bola peluda a continuación), o para espacios proyectivos unidimensionales sobre muchos otros campos.

Véase la teoría de Chern-Simons para más información.

(Sea X un espacio topológico que tiene el tipo de homotopía de un complejo CW ).

Un caso especial importante ocurre cuando V es un fibrado lineal . En ese caso, la única clase de Chern no trivial es la primera clase de Chern, que es un elemento del segundo grupo de cohomología de X. Como es la clase de Chern superior, es igual a la clase de Euler del fibrado.

La primera clase de Chern resulta ser un invariante completo con el que clasificar fibrados lineales complejos, topológicamente hablando. Es decir, existe una biyección entre las clases de isomorfismo de fibrados lineales sobre X y los elementos de , que asocia a un fibrado lineal su primera clase de Chern. Además, esta biyección es un homomorfismo de grupo (por lo tanto, un isomorfismo): el producto tensorial de fibrados lineales complejos corresponde a la adición en el segundo grupo de cohomología. ^{[1] [2]}${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$$${\displaystyle c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L');}$$

En geometría algebraica, esta clasificación de (clases de isomorfismo de) fibrados de líneas complejos por la primera clase de Chern es una aproximación burda a la clasificación de (clases de isomorfismo de) fibrados de líneas holomorfos por clases de equivalencia lineal de divisores .

Para fibrados vectoriales complejos de dimensión mayor que uno, las clases de Chern no son un invariante completo.

Dado un fibrado vectorial hermítico complejo V de rango complejo n sobre una variedad suave M , los representantes de cada clase de Chern (también llamada forma de Chern ) de V se dan como los coeficientes del polinomio característico de la forma de curvatura de V . $Estilo de visualización c_{k}(V)}$ ${\estilo de visualización\Omega}$

$${\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}$$

El determinante está sobre el anillo de matrices cuyas entradas son polinomios en t con coeficientes en el álgebra conmutativa de formas diferenciales complejas pares en M . La forma de curvatura de V se define como con ω la forma de conexión y d la derivada exterior , o mediante la misma expresión en la que ω es un campo de calibración para el grupo de calibración de V . El escalar t se utiliza aquí solo como un indeterminado para generar la suma a partir del determinante, e I denota la matriz identidad n × n .${\displaystyle n\veces n}$ ${\estilo de visualización\Omega}$$${\displaystyle \Omega = d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$$

Decir que la expresión dada es representativa de la clase de Chern indica que 'clase' aquí significa hasta la adición de una forma diferencial exacta . Es decir, las clases de Chern son clases de cohomología en el sentido de la cohomología de De Rham . Se puede demostrar que las clases de cohomología de las formas de Chern no dependen de la elección de la conexión en V.

Si de la identidad matricial se deduce que . Ahora, aplicando la serie de Maclaurin para , obtenemos la siguiente expresión para las formas de Chern:${\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))}$${\displaystyle \det(X)=\exp(\mathrm {tr} (\ln(X)))}$${\displaystyle \ln(X+I)}$

$${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}$$

Se puede definir una clase de Chern en términos de una clase de Euler. Este es el enfoque del libro de Milnor y Stasheff, que enfatiza el papel de la orientación de un fibrado vectorial .

La observación básica es que un fibrado vectorial complejo tiene una orientación canónica, en última instancia porque está conexo. Por lo tanto, uno simplemente define la clase de Chern superior del fibrado como su clase de Euler (la clase de Euler del fibrado vectorial real subyacente) y maneja las clases de Chern inferiores de manera inductiva.${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

La construcción precisa es la siguiente. La idea es hacer un cambio de base para obtener un fibrado de rango uno-menos. Sea un fibrado vectorial complejo sobre un espacio paracompacto B . Pensando en B como incrustado en E como la sección cero, sea y defina el nuevo fibrado vectorial: tal que cada fibra es el cociente de una fibra F de E por la línea abarcada por un vector distinto de cero v en F (un punto de B′ está especificado por una fibra F de E y un vector distinto de cero en F .) ^[3] Entonces tiene rango uno-menos que el de E . De la secuencia de Gysin para el fibrado de fibras : vemos que es un isomorfismo para . Sea${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle B'=E\setminus B}$$${\displaystyle E'\to B'}$$${\displaystyle E'}$${\displaystyle \pi |_{B'}\colon B'\to B}$$${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,}$$${\displaystyle \pi |_{B'}^{*}}$${\displaystyle k<2n-1}$$${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}}$$

Luego se necesita algo de trabajo para verificar que los axiomas de las clases de Chern se satisfacen para esta definición.

Véase también: El isomorfismo de Thom .

Sea la esfera de Riemann : espacio proyectivo complejo unidimensional . Supóngase que z es una coordenada local holomorfa para la esfera de Riemann. Sea el fibrado de vectores tangentes complejos que tiene la forma en cada punto, donde a es un número complejo . Demostramos la versión compleja del teorema de la bola peluda : V no tiene sección que sea distinta de cero en todas partes.${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle V=T\mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle a\partial /\partial z}$

Para ello, necesitamos el siguiente hecho: la primera clase de Chern de un fibrado trivial es cero, es decir,$${\displaystyle c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.}$$

Esto se evidencia por el hecho de que un fibrado trivial siempre admite una conexión plana. Así, demostraremos que$${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$$

Considere la métrica de Kähler$${\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

Se demuestra fácilmente que la curvatura de 2 formas está dada por$${\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

Además, según la definición de la primera clase de Chern$${\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}$$

Debemos demostrar que esta clase de cohomología no es cero. Basta con calcular su integral sobre la esfera de Riemann: después de cambiar a coordenadas polares . Por el teorema de Stokes , una forma exacta se integraría a 0, por lo que la clase de cohomología no es cero.$${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}$$

Esto demuestra que no es un haz vectorial trivial.${\displaystyle T\mathbb {CP} ^{1}}$

Hay una secuencia exacta de haces/fibrados: ^[4] donde es el haz de estructura (es decir, el fibrado lineal trivial), es el haz retorcido de Serre (es decir, el fibrado hiperplano ) y el último término distinto de cero es el haz/fibrado tangente .$${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$

Hay dos formas de obtener la secuencia anterior:

Por la aditividad de la clase total de Chern (es decir, la fórmula de la suma de Whitney), donde a es el generador canónico del grupo de cohomología ; es decir, el negativo de la primera clase de Chern del fibrado de líneas tautológicas (nota: cuando es el dual de E ).${\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots }$$${\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1},}$$${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)}$${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$${\displaystyle E^{*}}$

En particular, para cualquier ,${\displaystyle k\geq 0}$$${\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}$$

Un polinomio de Chern es una forma conveniente de manejar sistemáticamente las clases de Chern y las nociones relacionadas. Por definición, para un fibrado vectorial complejo E , el polinomio de Chern c _t de E viene dado por:$${\displaystyle c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.}$$

Este no es un nuevo invariante: la variable formal t simplemente realiza un seguimiento del grado de c _k ( E ). ^[6] En particular, está completamente determinado por la clase total de Chern de E : y viceversa.${\displaystyle c_{t}(E)}$${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)}$

La fórmula de la suma de Whitney, uno de los axiomas de las clases de Chern (ver más abajo), dice que c _t es aditivo en el sentido: Ahora, si es una suma directa de fibrados de líneas (complejos), entonces se sigue de la fórmula de la suma que: donde son las primeras clases de Chern. Las raíces , llamadas raíces de Chern de E , determinan los coeficientes del polinomio: es decir, donde σ _k son polinomios simétricos elementales . En otras palabras, pensando en a _i como variables formales, c _k "son" σ _k . Un hecho básico sobre los polinomios simétricos es que cualquier polinomio simétrico en, digamos, t _i es un polinomio en polinomios simétricos elementales en t _i . Ya sea por el principio de división o por la teoría de anillos, cualquier polinomio de Chern se factoriza en factores lineales después de ampliar el anillo de cohomología; E no necesita ser una suma directa de fibrados de líneas en la discusión anterior. La conclusión es$${\displaystyle c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').}$$${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$$${\displaystyle c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)}$$${\displaystyle a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})}$${\displaystyle a_{i}(E)}$$${\displaystyle c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))}$$${\displaystyle c_{t}(E)}$

Ejemplo : Tenemos polinomios s _k con y así sucesivamente (cf. Identidades de Newton ). La suma se llama carácter de Chern de E , cuyos primeros términos son: (eliminamos E de la escritura).$${\displaystyle t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))}$$${\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}}$$${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1}(E),\ldots ,c_{n}(E))/k!}$$$${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .}$$

Ejemplo : La clase Todd de E viene dada por:$${\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .}$$

Observación : La observación de que una clase de Chern es esencialmente un polinomio simétrico elemental se puede utilizar para "definir" las clases de Chern. Sea G _n el Grassmanniano infinito de espacios vectoriales complejos de n dimensiones. Este espacio está equipado con un fibrado vectorial tautólogo de rango , digamos . se denomina espacio de clasificación para fibrados vectoriales de rango porque dado cualquier fibrado vectorial complejo E de rango n sobre X , existe una función continua tal que el pullback de a lo largo es isomorfo a , y esta función es única hasta la homotopía. El teorema de Borel dice que el anillo de cohomología de G _n es exactamente el anillo de polinomios simétricos, que son polinomios en polinomios simétricos elementales σ _k ; por lo tanto, el pullback de f _E se lee: Entonces se pone:${\displaystyle n}$${\displaystyle E_{n}\to G_{n}}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle f_{E}:X\to G_{n}}$$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{E}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f_{E}}$$${\displaystyle f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).}$$$${\displaystyle c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).}$$

Observación : Cualquier clase característica es un polinomio en las clases de Chern, por la siguiente razón. Sea el funtor contravariante que, a un complejo CW X , asigna el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales complejos de rango n sobre X y, a una función, su pullback. Por definición, una clase característica es una transformación natural de al funtor de cohomología Las clases características forman un anillo debido a la estructura de anillo del anillo de cohomología. El lema de Yoneda dice que este anillo de clases características es exactamente el anillo de cohomología de G _n :${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]}$${\displaystyle H^{*}(-,\mathbb {Z} ).}$$${\displaystyle \operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].}$$

Sea E un fibrado vectorial de rango r y su polinomio de Chern.${\displaystyle c_{t}(E)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)t^{i}}$

• Para el doble haz de , . ^[7]${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle c_{i}(E^{*})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$
• Si L es un fibrado lineal, entonces ^{[8] [9]} y así son$${\displaystyle c_{t}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)c_{t}(L)^{r-i}t^{i}}$$${\displaystyle c_{i}(E\otimes L),i=1,2,\dots ,r}$$${\displaystyle c_{1}(E)+rc_{1}(L),\dots ,\sum _{j=0}^{i}{\binom {r-i+j}{j}}c_{i-j}(E)c_{1}(L)^{j},\dots ,\sum _{j=0}^{r}c_{r-j}(E)c_{1}(L)^{j}.}$$
• Para las raíces Chern de , ^[10] En particular,${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}$${\displaystyle E}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{t}(\operatorname {Sym} ^{p}E)&=\prod _{i_{1}\leq \cdots \leq i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t),\\c_{t}(\wedge ^{p}E)&=\prod _{i_{1}<\cdots <i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t).\end{aligned}}}$$${\displaystyle c_{1}(\wedge ^{r}E)=c_{1}(E).}$
• Por ejemplo, ^[11] para ,${\displaystyle c_{i}=c_{i}(E)}$

  cuando ,${\displaystyle r=2}$${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+3c_{1}+2c_{1}^{2}+4c_{2}+4c_{1}c_{2},}$

  cuando ,${\displaystyle r=3}$${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+4c_{1}+5c_{1}^{2}+5c_{2}+2c_{1}^{3}+11c_{1}c_{2}+7c_{3}.}$

(cf. Clase Segre#Ejemplo 2 .)

Podemos usar estas propiedades abstractas para calcular el resto de las clases de Chern de los fibrados lineales en . Recordemos que mostramos . Luego, usando potencias tensoriales, podemos relacionarlas con las clases de Chern de para cualquier entero.${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )}$${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n}$

Dado un fibrado vectorial complejo E sobre un espacio topológico X , las clases de Chern de E son una secuencia de elementos de la cohomología de X . La k -ésima clase de Chern de E , que se suele denotar c _k ( E ), es un elemento de la cohomología de X con coeficientes enteros . También se puede definir la clase de Chern total$${\displaystyle H^{2k}(X;\mathbb {Z} ),}$$$${\displaystyle c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .}$$

Dado que los valores están en grupos de cohomología integral, en lugar de cohomología con coeficientes reales, estas clases de Chern son ligeramente más refinadas que las del ejemplo de Riemann. ^{[ aclaración necesaria ]}

Las clases de Chern satisfacen los siguientes cuatro axiomas:

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$para todos E .
2. Naturalidad: Si es continua y f*E es el retroceso del fibrado vectorial de E , entonces .${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)}$
3. Fórmula de suma de Whitney : Si es otro fibrado vectorial complejo, entonces las clases de Chern de la suma directa están dadas por , es decir,${\displaystyle F\to X}$ ${\displaystyle E\oplus F}$$${\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$$$${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$$
4. Normalización: La clase de Chern total del fibrado de líneas tautológicas sobre es 1− H , donde H es el dual de Poincaré del hiperplano .${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}$

Alternativamente, Alexander Grothendieck  (1958) los reemplazó con un conjunto ligeramente más pequeño de axiomas:

• Naturalidad: (Igual que el anterior)
• Aditividad: Si es una secuencia exacta de fibrados vectoriales, entonces .${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$
• Normalización: Si E es un fibrado lineal , entonces donde es la clase de Euler del fibrado vectorial real subyacente.${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })}$${\displaystyle e(E_{\mathbb {R} })}$

Demuestra, utilizando el teorema de Leray-Hirsch , que la clase de Chern total de un fibrado vectorial complejo de rango finito arbitrario se puede definir en términos de la primera clase de Chern de un fibrado lineal definido tautológicamente.

Es decir, introduciendo la proyectivización del fibrado vectorial complejo de rango n E → B como el fibrado de fibras en B cuya fibra en cualquier punto es el espacio proyectivo de la fibra E _b . El espacio total de este fibrado está equipado con su fibrado lineal complejo tautológico, que denotamos , y la primera clase de Chern restringe en cada fibra a menos la clase (Poincaré-dual) del hiperplano, que abarca la cohomología de la fibra, en vista de la cohomología de los espacios proyectivos complejos .${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$$${\displaystyle \mathbb {P} (E_{b})}$

Por lo tanto, las clases forman una familia de clases de cohomología ambiental que se limitan a una base de la cohomología de la fibra. El teorema de Leray-Hirsch establece que cualquier clase en se puede escribir de forma única como una combinación lineal de 1, a , a ² , ..., a ^{n −1} con clases en la base como coeficientes.$${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))}$$${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} (E))}$

En particular, se pueden definir las clases de Chern de E en el sentido de Grothendieck, denotado expandiendo de esta manera la clase , con la relación:${\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)}$${\displaystyle -a^{n}}$$${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$$

Uno puede entonces verificar que esta definición alternativa coincide con cualquier otra definición que uno pueda preferir, o utilizar la caracterización axiomática anterior.

De hecho, estas propiedades caracterizan de manera única a las clases de Chern. Implican, entre otras cosas:

• Si n es el rango complejo de V , entonces para todo k > n . Por lo tanto, la clase Chern total termina.${\displaystyle c_{k}(V)=0}$
• La clase de Chern superior de V (es decir , donde n es el rango de V ) siempre es igual a la clase de Euler del fibrado vectorial real subyacente.${\displaystyle c_{n}(V)}$

Existe otra construcción de clases de Chern que toman valores en el análogo algebrogeométrico del anillo de cohomología, el anillo de Chow . Se puede demostrar que existe una teoría única de clases de Chern tal que si se le da un fibrado vectorial algebraico sobre una variedad cuasi-proyectiva hay una secuencia de clases tales que${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)}$

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$
2. Para un haz invertible (es decir, un divisor de Cartier ),${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]}$
3. Dada una secuencia exacta de fibrados vectoriales, la fórmula de la suma de Whitney es válida:${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$${\displaystyle c(E)=c(E')c(E'')}$
4. ${\displaystyle c_{i}(E)=0}$para${\displaystyle i>{\text{rank}}(E)}$
5. El mapa se extiende a un morfismo de anillo.${\displaystyle E\mapsto c(E)}$${\displaystyle c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)}$

El cálculo de las clases características para el espacio proyectivo constituye la base para muchos cálculos de clases características, ya que para cualquier subvariedad proyectiva suave existe la secuencia exacta corta${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$$

Por ejemplo, considere una triple quíntica no singular en . Su fibrado normal está dado por y tenemos la sucesión exacta corta${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(5)}$$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(5)\to 0}$$

Denotemos la clase de hiperplano en . Entonces la fórmula de la suma de Whitney nos da que${\displaystyle h}$${\displaystyle A^{\bullet }(X)}$$${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))=(1+h)^{5}=1+5h+10h^{2}+10h^{3}}$$

Dado que el anillo de Chow de una hipersuperficie es difícil de calcular, consideraremos esta secuencia como una secuencia de haces coherentes en . Esto nos da que${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}\\&=\left(1+5h+10h^{2}+10h^{3}\right)\left(1-5h+25h^{2}-125h^{3}\right)\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}}$$

Utilizando el teorema de Gauss-Bonnet podemos integrar la clase para calcular la característica de Euler. Tradicionalmente, esto se llama la clase de Euler . Esto se debe a que la clase de se puede representar mediante cinco puntos (por el teorema de Bézout ). La característica de Euler se puede utilizar para calcular los números de Betti para la cohomología de utilizando la definición de la característica de Euler y utilizando el teorema del hiperplano de Lefschetz.${\displaystyle c_{3}({\mathcal {T}}_{X})}$$${\displaystyle \int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200}$$${\displaystyle h^{3}}$${\displaystyle X}$

Si es una hipersuperficie lisa de grado, tenemos la secuencia exacta corta que da la relación , entonces podemos calcularla como Dando la clase Chern total. En particular, podemos encontrar que es una 4-variedad de espín si es par, por lo que cada hipersuperficie lisa de grado es una variedad de espín .${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(d)\to 0}$$$${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}|_{X}})}{c({\mathcal {O}}_{X}(d))}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+d[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})(1-d[H]+d^{2}[H]^{2})\\&=1+(4-d)[H]+(6-4d+d^{2})[H]^{2}\end{aligned}}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle 4-d}$${\displaystyle 2k}$

Las clases de Chern se pueden utilizar para construir un homomorfismo de anillos desde la teoría K topológica de un espacio hasta (la finalización de) su cohomología racional. Para un fibrado lineal L , el carácter de Chern ch se define por

$${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$$

De manera más general, si es una suma directa de haces de líneas, con las primeras clases de Chern, el carácter de Chern se define de forma aditiva.${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$$

Esto se puede reescribir como: ^[12]

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$$

Esta última expresión, justificada invocando el principio de división , se toma como definición ch( V ) para fibrados vectoriales arbitrarios V.

Si se utiliza una conexión para definir las clases de Chern cuando la base es una variedad (es decir, la teoría de Chern-Weil ), entonces la forma explícita del carácter de Chern es donde Ω es la curvatura de la conexión.$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}$$

El carácter Chern es útil en parte porque facilita el cálculo de la clase Chern de un producto tensorial. En concreto, obedece a las siguientes identidades:

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\oplus W)=\operatorname {ch} (V)+\operatorname {ch} (W)}$$$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\otimes W)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {ch} (W).}$$

Como se indicó anteriormente, utilizando el axioma de aditividad de Grothendieck para las clases de Chern, la primera de estas identidades se puede generalizar para afirmar que ch es un homomorfismo de grupos abelianos de la teoría K K ( X ) en la cohomología racional de X . La segunda identidad establece el hecho de que este homomorfismo también respeta los productos en K ( X ), y por lo tanto ch es un homomorfismo de anillos.

El carácter de Chern se utiliza en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .

Si trabajamos en una variedad orientada de dimensión , entonces cualquier producto de clases de Chern de grado total (es decir, la suma de los índices de las clases de Chern en el producto debe ser ) se puede emparejar con la clase de homología de orientación (o "integrar sobre la variedad") para dar un entero, un número de Chern del fibrado vectorial. Por ejemplo, si la variedad tiene dimensión 6, hay tres números de Chern linealmente independientes, dados por , , y . En general, si la variedad tiene dimensión , el número de posibles números de Chern independientes es el número de particiones de .${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c_{1}^{3}}$${\displaystyle c_{1}c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$

Los números de Chern del fibrado tangente de una variedad compleja (o casi compleja) se denominan números de Chern de la variedad y son invariantes importantes.

Existe una generalización de la teoría de las clases de Chern, en la que la cohomología ordinaria se reemplaza por una teoría de cohomología generalizada . Las teorías para las que es posible tal generalización se denominan complejas orientables . Las propiedades formales de las clases de Chern siguen siendo las mismas, con una diferencia crucial: la regla que calcula la primera clase de Chern de un producto tensorial de fibrados de líneas en términos de las primeras clases de Chern de los factores no es una adición (ordinaria), sino más bien una ley de grupo formal .

En geometría algebraica existe una teoría similar de clases de Chern de fibrados vectoriales. Existen diversas variantes según en qué grupos se encuentren las clases de Chern:

• Para variedades complejas, las clases de Chern pueden tomar valores en cohomología ordinaria, como se indicó anteriormente.
• Para variedades sobre campos generales, las clases de Chern pueden tomar valores en teorías de cohomología como la cohomología étale o la cohomología l-ádica .
• Para las variedades V sobre cuerpos generales, las clases de Chern también pueden tomar valores en homomorfismos de grupos de Chow CH(V): por ejemplo, la primera clase de Chern de un fibrado lineal sobre una variedad V es un homomorfismo de CH( V ) a CH( V ) reduciendo los grados en 1. Esto corresponde al hecho de que los grupos de Chow son una especie de análogo de los grupos de homología, y los elementos de los grupos de cohomología pueden considerarse como homomorfismos de grupos de homología utilizando el producto cap .

La teoría de clases de Chern da lugar a invariantes de cobordismo para variedades casi complejas .

Si M es una variedad casi compleja, entonces su fibrado tangente es un fibrado vectorial complejo. Las clases de Chern de M se definen, por tanto, como las clases de Chern de su fibrado tangente. Si M también es compacto y de dimensión 2 d , entonces cada monomio de grado total 2 d en las clases de Chern se puede emparejar con la clase fundamental de M , dando un entero, un número de Chern de M . Si M ′ es otra variedad casi compleja de la misma dimensión, entonces es cobordante con M si y solo si los números de Chern de M ′ coinciden con los de M .

La teoría se extiende también a los fibrados vectoriales simplécticos reales , mediante la intermediación de estructuras casi complejas compatibles. En particular, las variedades simplécticas tienen una clase de Chern bien definida.

(Ver geometría de Arakelov )

• Clase Pontryagin
• Clase Stiefel-Whitney
• Clase de Euler
• Clase Segre
• Cálculo de Schubert
• Efecto Hall cuántico
• Clase Chern localizada

• Chern, Shiing-Shen (1946), "Clases características de las variedades hermíticas", Anales de matemáticas , Segunda serie, 47 (1): 85–121, doi :10.2307/1969037, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969037
• Fulton, W. (29 de junio de 2013). Teoría de la intersección. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-02421-8.
• Grothendieck, Alexander (1958), "La théorie des Classes de Chern", Bulletin de la Société Mathématique de France , 86 : 137–154, doi : 10.24033/bsmf.1501 , ISSN  0037-9484, MR  0116023
• Hartshorne, Robin (29 de junio de 2013). Geometría algebraica. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3849-0.
• Jost, Jürgen (2005), Geometría riemanniana y análisis geométrico (4.ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7(Proporciona una revisión introductoria muy breve de las clases de Chern).
• May, J. Peter (1999), Un curso conciso de topología algebraica, University of Chicago Press, ISBN 9780226511832
• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Anales de estudios matemáticos, vol. 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9
• Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica, un diccionario conciso , Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

• Paquetes vectoriales y teoría K: un libro descargable en proceso de creación de Allen Hatcher . Contiene un capítulo sobre clases características.
• Dieter Kotschick , Números de Chern de variedades algebraicas