Grupo Chow

En geometría algebraica , los grupos de Chow (nombrados en honor a Wei-Liang Chow por Claude Chevalley  (1958)) de una variedad algebraica sobre cualquier cuerpo son análogos algebro-geométricos de la homología de un espacio topológico . Los elementos del grupo de Chow se forman a partir de subvariedades (los llamados ciclos algebraicos ) de manera similar a cómo se forman los grupos de homología simpliciales o celulares a partir de subcomplejos. Cuando la variedad es suave , los grupos de Chow se pueden interpretar como grupos de cohomología (compárese con la dualidad de Poincaré ) y tienen una multiplicación llamada producto de intersección . Los grupos de Chow contienen información rica sobre una variedad algebraica y, en consecuencia, son difíciles de calcular en general.

Para lo que sigue, definamos una variedad sobre un cuerpo como un esquema integral de tipo finito sobre . Para cualquier esquema de tipo finito sobre , un ciclo algebraico sobre significa una combinación lineal finita de subvariedades de con coeficientes enteros . (Aquí y en lo sucesivo, se entiende que las subvariedades están cerradas en , a menos que se indique lo contrario). Para un número natural , el grupo de ciclos -dimensionales (o - ciclos , para abreviar) sobre es el grupo abeliano libre sobre el conjunto de subvariedades -dimensionales de .${\estilo de visualización k}$ ${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización i}$$Estilo de visualización Z_{i}(X)}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización X}$

Para una variedad de dimensión y cualquier función racional en la que no es idénticamente cero, el divisor de es el -ciclo${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización i+1}$ ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización i}$

${\displaystyle (f)=\sum _ {Z}\operatorname {ord} _ {Z}(f)Z,}$

donde la suma recorre todas las subvariedades -dimensionales de y el entero denota el orden de desaparición de a lo largo de . (Por lo tanto, es negativo si tiene un polo a lo largo de .) La definición del orden de desaparición requiere cierto cuidado para los singulares. ^[1]${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización Z}$${\estilo de visualización W}$${\displaystyle \operatorname {ord} _ {Z}(f)}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización Z}$${\displaystyle \operatorname {ord} _ {Z}(f)}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización Z}$${\estilo de visualización W}$

Para un esquema de tipo finito sobre , el grupo de -ciclos racionalmente equivalentes a cero es el subgrupo de generado por los ciclos para todas las subvariedades -dimensionales de y todas las funciones racionales no nulas en . El grupo de Chow de ciclos -dimensionales en es el grupo cociente de por el subgrupo de ciclos racionalmente equivalentes a cero. A veces se escribe para la clase de una subvariedad en el grupo de Chow, y si dos subvariedades y tienen , entonces se dice que y son racionalmente equivalentes .${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización i}$$Estilo de visualización Z_{i}(X)}$${\estilo de visualización (f)}$${\estilo de visualización (i+1)}$${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización W}$ $Estilo de visualización: CH_{i}(X)$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización Z_{i}(X)}$${\estilo de visualización [Z]}$${\estilo de visualización Z}$${\estilo de visualización Z}$${\estilo de visualización W}$${\displaystyle [Z]=[W]}$${\estilo de visualización Z}$${\estilo de visualización W}$

Por ejemplo, cuando es una variedad de dimensión , el grupo de Chow es el grupo de clase divisor de . Cuando es suavizado (o más generalmente, un esquema factorial normal localmente noetheriano ^[2] ), esto es isomorfo al grupo de Picard de fibrados de líneas en .${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización n}$$Estilo de visualización: CH_{n-1}(X)$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización X}$

Los ciclos racionalmente equivalentes definidos por hipersuperficies son fáciles de construir en el espacio proyectivo porque todos ellos pueden construirse como los lugares geométricos evanescentes del mismo fibrado vectorial. Por ejemplo, dados dos polinomios homogéneos de grado , entonces , podemos construir una familia de hipersuperficies definidas como el lugar geométrico evanescente de . Esquemáticamente, esto puede construirse como${\estilo de visualización d}$${\displaystyle f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$${\estilo de visualización sf+tg}$

${\displaystyle X={\text{Proy}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}}$

Usando la proyección podemos ver que la fibra sobre un punto es la hipersuperficie proyectiva definida por . Esto puede usarse para mostrar que la clase de ciclo de cada hipersuperficie de grado es racionalmente equivalente a , ya que puede usarse para establecer una equivalencia racional. Nótese que el lugar geométrico de es y tiene multiplicidad , que es el coeficiente de su clase de ciclo.${\displaystyle \pi _{1}:X\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle [s_{0}:t_{0}]}$${\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d[\mathbb {P} ^{n-1}]}$${\displaystyle sf+tx_{0}^{d}}$${\displaystyle x_{0}^{d}=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle d}$

Si tomamos dos fibrados lineales distintos de una curva proyectiva suave , entonces los lugares geométricos de desaparición de una sección genérica de ambos fibrados lineales definen clases de ciclo no equivalentes en . Esto se debe a que para variedades suaves, entonces las clases divisorias de y definen clases no equivalentes.${\displaystyle L,L'\in \operatorname {Pic} (C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle CH(C)}$${\displaystyle \operatorname {Div} (C)\cong \operatorname {Pic} (C)}$${\displaystyle s\in H^{0}(C,L)}$${\displaystyle s'\in H^{0}(C,L')}$

Cuando el esquema es uniforme sobre un cuerpo , los grupos de Chow forman un anillo , no solo un grupo abeliano graduado. Es decir, cuando es uniforme sobre , se define como el grupo de Chow de ciclos de codimensión en . (Cuando es una variedad de dimensión , esto simplemente significa que ). Entonces los grupos forman un anillo graduado conmutativo con el producto:${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle CH^{i}(X)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle CH^{i}(X)=CH_{n-i}(X)}$${\displaystyle CH^{*}(X)}$

${\displaystyle CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X).}$

El producto surge de la intersección de ciclos algebraicos. Por ejemplo, si y son subvariedades suaves de de codimensión y respectivamente, y si y se intersecan transversalmente , entonces el producto en es la suma de los componentes irreducibles de la intersección , que tienen todos codimensión .${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle CH^{i+j}(X)}$${\displaystyle Y\cap Z}$${\displaystyle i+j}$

De manera más general, en varios casos, la teoría de intersecciones construye un ciclo explícito que representa el producto en el anillo de Chow. Por ejemplo, si y son subvariedades de dimensión complementaria (lo que significa que sus dimensiones suman la dimensión de ) cuya intersección tiene dimensión cero, entonces es igual a la suma de los puntos de la intersección con coeficientes llamados números de intersección . Para cualquier subvariedad y de un esquema suave sobre , sin suposición sobre la dimensión de la intersección, la teoría de intersecciones de William Fulton y Robert MacPherson construye un elemento canónico de los grupos de Chow de cuya imagen en los grupos de Chow de es el producto . ^[3]${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Y\cap Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [Y][Z]}$

El anillo de Chow del espacio proyectivo sobre cualquier campo es el anillo${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle CH^{*}(\mathbb {P} ^{n})\cong \mathbf {Z} [H]/(H^{n+1}),}$

donde es la clase de un hiperplano (el lugar geométrico cero de una única función lineal). Además, cualquier subvariedad de grado y codimensión en el espacio proyectivo es racionalmente equivalente a . De ello se deduce que para cualesquiera dos subvariedades y de dimensión complementaria en y grados , , respectivamente, su producto en el anillo de Chow es simplemente${\displaystyle H}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle a}$${\displaystyle dH^{a}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n}}$

donde es la clase de un punto -racional en . Por ejemplo, si y se cortan transversalmente, se sigue que es un ciclo cero de grado . Si el cuerpo base es algebraicamente cerrado , esto significa que hay exactamente puntos de intersección; esta es una versión del teorema de Bézout , un resultado clásico de la geometría enumerativa .${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y\cap Z}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle k}$${\displaystyle ab}$

Dado un fibrado vectorial de rango sobre un esquema propio suave sobre un cuerpo, el anillo de Chow del fibrado proyectivo asociado se puede calcular utilizando el anillo de Chow de y las clases de Chern de . Si dejamos y las clases de Chern de , entonces hay un isomorfismo de anillos${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \zeta =c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1))}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{r}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}}$

Por ejemplo, el anillo de Chow de una superficie de Hirzebruch se puede calcular fácilmente utilizando la fórmula del fibrado proyectivo. Recordemos que se construye como sobre . Entonces, la única clase de Chern no trivial de este fibrado vectorial es . Esto implica que el anillo de Chow es isomorfo a${\displaystyle F_{a}=\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(a))}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle c_{1}=aH}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}}$

Para otras variedades algebraicas, los grupos de Chow pueden tener un comportamiento más rico. Por ejemplo, sea una curva elíptica sobre un cuerpo . Entonces, el grupo de Chow de ciclos cero en se ajusta a una secuencia exacta${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\rightarrow X(k)\rightarrow CH_{0}(X)\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow 0.}$

Por lo tanto, el grupo de Chow de una curva elíptica está estrechamente relacionado con el grupo de puntos racionales de . Cuando es un cuerpo de números , se denomina grupo de Mordell-Weil de , y algunos de los problemas más profundos en la teoría de números son los intentos de comprender este grupo. Cuando son los números complejos , el ejemplo de una curva elíptica muestra que los grupos de Chow pueden ser grupos abelianos incontables .${\displaystyle X}$${\displaystyle X(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X(k)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

Para un morfismo propio de esquemas sobre , existe un homomorfismo de empuje hacia adelante para cada entero . Por ejemplo, para un esquema propio sobre , esto da un homomorfismo , que toma un punto cerrado en en su grado sobre . (Un punto cerrado en tiene la forma para un cuerpo de extensión finito de , y su grado significa el grado del cuerpo sobre .)${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y)}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$

Para un morfismo plano de esquemas con fibras de dimensión (posiblemente vacías), existe un homomorfismo .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X)}$

Una herramienta computacional clave para los grupos de Chow es la secuencia de localización , como se muestra a continuación. Para un esquema sobre un cuerpo y un subesquema cerrado de , existe una secuencia exacta${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,}$

donde el primer homomorfismo es el empuje hacia adelante asociado al morfismo propio , y el segundo homomorfismo es el retroceso con respecto al morfismo plano . ^{[4] La secuencia de localización se puede extender hacia la izquierda utilizando una generalización de los grupos de Chow, los grupos} de homología motívica (Borel-Moore) , también conocidos como grupos de Chow superiores . ^[5]${\displaystyle Z\to X}$${\displaystyle X-Z\to X}$

Para cualquier morfismo de esquemas suaves sobre , existe un homomorfismo de pullback , que de hecho es un homomorfismo de anillo .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)}$${\displaystyle CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)}$

Tenga en cuenta que los no ejemplos se pueden construir utilizando ampliaciones; por ejemplo, si tomamos la ampliación del origen en entonces la fibra sobre el origen es isomorfa a .${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Considere la cobertura ramificada de curvas.

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(x)-g(x,y))}}\right)\to \mathbb {A} _{x}^{1}}$

Dado que el morfismo se ramifica siempre que obtenemos una factorización${\displaystyle f(\alpha )=0}$

${\displaystyle g(\alpha ,y)=(y-a_{1})^{e_{1}}\cdots (y-a_{k})^{e_{k}}}$

donde uno de los . Esto implica que los puntos tienen multiplicidades respectivamente. El retroceso plano del punto es entonces${\displaystyle e_{i}>1}$${\displaystyle \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\}=f^{-1}(\alpha )}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{k}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f^{*}[\alpha ]=e_{1}[\alpha ]+\cdots +e_{k}[\alpha _{k}]}$

Consideremos una familia plana de variedades.

${\displaystyle X\to S}$

y una subvariedad . Luego, utilizando el cuadrado cartesiano${\displaystyle S'\subset S}$

${\displaystyle {\begin{matrix}S'\times _{S}X&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

Vemos que la imagen de es una subvariedad de . Por lo tanto, tenemos${\displaystyle S'\times _{S}X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f^{*}[S']=[S'\times _{S}X]}$

Existen varios homomorfismos (conocidos como mapas de ciclos ) que van desde los grupos de Chow hasta las teorías más computables.

En primer lugar, para un esquema X sobre los números complejos, existe un homomorfismo desde los grupos de Chow hasta la homología de Borel-Moore : ^[6]

${\displaystyle {\mathit {CH}}_{i}(X)\rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ).}$

El factor 2 aparece porque una subvariedad i -dimensional de X tiene dimensión real 2 i . Cuando X es uniforme sobre los números complejos, este mapa cíclico se puede reescribir utilizando la dualidad de Poincaré como un homomorfismo

${\displaystyle {\mathit {CH}}^{j}(X)\rightarrow H^{2j}(X,\mathbf {Z} ).}$

En este caso ( X suavizado sobre C ), estos homomorfismos forman un homomorfismo de anillo desde el anillo de Chow hasta el anillo de cohomología. Intuitivamente, esto se debe a que los productos tanto en el anillo de Chow como en el anillo de cohomología describen la intersección de ciclos.

Para una variedad proyectiva compleja suave , el mapa de ciclos del anillo de Chow a la cohomología ordinaria se factoriza a través de una teoría más rica, la cohomología de Deligne . ^[7] Esto incorpora el mapa de Abel-Jacobi de ciclos homológicamente equivalentes a cero al jacobiano intermedio . La secuencia exponencial muestra que CH ¹ ( X ) se mapea isomórficamente a la cohomología de Deligne, pero eso falla para CH ^j ( X ) con j > 1.

Para un esquema X sobre un cuerpo arbitrario k , existe un mapa de ciclo análogo desde los grupos de Chow hasta la homología étale (Borel–Moore) . Cuando X es suave sobre k , este homomorfismo puede identificarse con un homomorfismo de anillo desde el anillo de Chow hasta la cohomología étale. ^[8]

Un fibrado vectorial (algebraico) E sobre un esquema suave X sobre un cuerpo tiene clases de Chern c _i ( E ) en CH ⁱ ( X ), con las mismas propiedades formales que en topología. ^[9] Las clases de Chern dan una conexión estrecha entre fibrados vectoriales y grupos de Chow. Es decir, sea K ₀ ( X ) el grupo de Grothendieck de fibrados vectoriales sobre X . Como parte del teorema de Grothendieck–Riemann–Roch , Grothendieck demostró que el carácter de Chern da un isomorfismo

${\displaystyle K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}{\mathit {CH}}^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .}$

Este isomorfismo muestra la importancia de la equivalencia racional, comparada con cualquier otra relación de equivalencia adecuada en ciclos algebraicos.

Algunas de las conjeturas más profundas en la geometría algebraica y la teoría de números son intentos de comprender los grupos de Chow. Por ejemplo:

• El teorema de Mordell-Weil implica que el grupo de clases divisoras CH _{n -1} ( X ) se genera finitamente para cualquier variedad X de dimensión n sobre un cuerpo numérico. Es un problema abierto si todos los grupos de Chow se generan finitamente para cada variedad sobre un cuerpo numérico. La conjetura de Bloch - Kato sobre valores de funciones L predice que estos grupos se generan finitamente. Además, el rango del grupo de ciclos módulo equivalencia homológica, y también del grupo de ciclos homológicamente equivalentes a cero, debería ser igual al orden de desaparición de una función L de la variedad dada en ciertos puntos enteros. La finitud de estos rangos también se seguiría de la conjetura de Bass en la teoría K algebraica.
• Para una variedad proyectiva compleja suave X , la conjetura de Hodge predice la imagen ( tensorizada con los racionales Q ) de la función cíclica desde los grupos de Chow hasta la cohomología singular. Para una variedad proyectiva suave sobre un cuerpo finitamente generado (como un cuerpo finito o un cuerpo numérico), la conjetura de Tate predice la imagen (tensorizada con Q _l ) de la función cíclica desde los grupos de Chow hasta la cohomología l-ádica .
• Para una variedad proyectiva suave X sobre cualquier cuerpo, la conjetura de Bloch – Beilinson predice una filtración en los grupos de Chow de X (tensorizados con los racionales) con propiedades fuertes. ^[10] La conjetura implicaría una conexión estrecha entre la cohomología singular o étale de X y los grupos de Chow de X .

Por ejemplo, sea X una superficie proyectiva compleja suave. El grupo de Chow de ciclos cero en X se aplica a los enteros por el homomorfismo de grado; sea K el núcleo. Si el género geométrico h ⁰ ( X , Ω ² ) no es cero, Mumford demostró que K es "infinitamente dimensional" (no la imagen de ninguna familia finito-dimensional de ciclos cero en X ). ^[11] La conjetura de Bloch-Beilinson implicaría una conjetura satisfactoria, la conjetura de Bloch sobre ciclos cero : para una superficie proyectiva compleja suave X con género geométrico cero, K debería ser finito-dimensional; más precisamente, debería aplicarse isomorfamente al grupo de puntos complejos de la variedad albanesa de X . ^[12]

Fulton y MacPherson extendieron el anillo de Chow a variedades singulares definiendo el " anillo de Chow operacional " y, de manera más general, una teoría bivariante asociada a cualquier morfismo de esquemas. ^[13] Una teoría bivariante es un par de funtores covariantes y contravariantes que asignan a una función un grupo y un anillo respectivamente. Generaliza una teoría de cohomología , que es un funtor contravariante que asigna a un espacio un anillo, es decir, un anillo de cohomología . El nombre "bivariante" se refiere al hecho de que la teoría contiene tanto funtores covariantes como contravariantes. ^[14]

Esta es en cierto sentido la extensión más elemental del anillo de Chow a las variedades singulares; otras teorías como la cohomología motívica se corresponden con el anillo de Chow operacional. ^[15]

Los grupos de Chow aritméticos son una amalgama de grupos de Chow de variedades sobre Q junto con un componente que codifica información teórica de Arakelov , es decir, formas diferenciales en la variedad compleja asociada.

La teoría de los grupos de Chow de esquemas de tipo finito sobre un cuerpo se extiende fácilmente a la de los espacios algebraicos . La ventaja clave de esta extensión es que es más fácil formar cocientes en la última categoría y, por lo tanto, es más natural considerar grupos de Chow equivariantes de espacios algebraicos. Una extensión mucho más formidable es la del grupo de Chow de una pila , que se ha construido solo en algún caso especial y que se necesita en particular para dar sentido a una clase fundamental virtual .

La equivalencia racional de divisores (conocida como equivalencia lineal ) se estudió en varias formas durante el siglo XIX, lo que llevó al grupo de clases ideal en la teoría de números y a la variedad jacobiana en la teoría de curvas algebraicas. Para ciclos de codimensión superior, la equivalencia racional fue introducida por Francesco Severi en la década de 1930. En 1956, Wei-Liang Chow dio una prueba influyente de que el producto de intersección está bien definido en ciclos módulo equivalencia racional para una variedad cuasi-proyectiva suave, utilizando el lema móvil de Chow . A partir de la década de 1970, Fulton y MacPherson dieron la base estándar actual para los grupos de Chow, trabajando con variedades singulares siempre que fuera posible. En su teoría, el producto de intersección para variedades suaves se construye por deformación al cono normal . ^[16]

• Teoría de la intersección
• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
• Conjetura de Hodge
• Motivo (geometría algebraica)

• Eisenbud, David; Harris, Joe, 3264 y todo eso: un segundo curso de geometría algebraica

• Bloch, Spencer (1986), "Ciclos algebraicos y teoría K superior ", Advances in Mathematics , 61 (3): 267–304, doi : 10.1016/0001-8708(86)90081-2 , ISSN  0001-8708, MR  0852815
• Claude, Chevalley (1958), "Les schools d'équivalence rationelle, I", Anneaux de Chow et apps , Séminaire Claude Chevalley, vol. 3
• Claude, Chevalley (1958), "Les schools d'équivalence rationelle, II", Anneaux de Chow et apps , Séminaire Claude Chevalley, vol. 3
• Chow, Wei-Liang (1956), "Sobre clases de equivalencia de ciclos en una variedad algebraica", Annals of Mathematics , 64 : 450–479, doi :10.2307/1969596, ISSN  0003-486X, MR  0082173
• Deligne, Pierre (1977), Cohomologie Etale (SGA 4 1/2) , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-08066-4, Sr.  0463174
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, Sr.  1644323
• Severi, Francesco (1932), "La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica", Commentarii Mathematici Helvetici , 4 : 268–326, doi :10.1007/bf01202721, JFM  58.1229.01
• Voevodsky, Vladimir (2000), "Categorías trianguladas de motivos sobre un campo", Ciclos, transferencias y teorías de homología motívica , Princeton University Press , pp. 188–238, ISBN 9781400837120, Sr.  1764202
• Voisin, Claire (2002), Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja (2 vols.) , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-71801-1, Sr.  1997577