Número cardinal

En matemáticas , un número cardinal , o cardinal para abreviar, es lo que comúnmente se denomina el número de elementos de un conjunto . En el caso de un conjunto finito , su número cardinal, o cardinalidad, es por tanto un número natural . Para tratar el caso de los conjuntos infinitos , se han introducido los números cardinales infinitos , que a menudo se denotan con la letra hebrea ( aleph ) marcada con un subíndice que indica su rango entre los cardinales infinitos.${\estilo de visualización \aleph}$

La cardinalidad se define en términos de funciones biyectivas . Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si, y solo si , hay una correspondencia biyectiva entre los elementos de los dos conjuntos. En el caso de los conjuntos finitos, esto concuerda con la noción intuitiva de número de elementos. En el caso de los conjuntos infinitos, el comportamiento es más complejo. Un teorema fundamental debido a Georg Cantor muestra que es posible que los conjuntos infinitos tengan diferentes cardinalidades y, en particular, la cardinalidad del conjunto de números reales es mayor que la cardinalidad del conjunto de números naturales. También es posible que un subconjunto propio de un conjunto infinito tenga la misma cardinalidad que el conjunto original, algo que no puede suceder con subconjuntos propios de conjuntos finitos.

Existe una secuencia transfinita de números cardinales:

${\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ }$

Esta secuencia comienza con los números naturales , incluido el cero (cardinales finitos), a los que siguen los números aleph . Los números aleph están indexados por números ordinales . Si el axioma de elección es verdadero, esta secuencia transfinita incluye todos los números cardinales. Si el axioma de elección no es verdadero (véase Axioma de elección § Independencia ), hay infinitos cardinales que no son números aleph.

La cardinalidad se estudia por sí misma como parte de la teoría de conjuntos . También es una herramienta utilizada en ramas de las matemáticas, como la teoría de modelos , la combinatoria , el álgebra abstracta y el análisis matemático . En la teoría de categorías , los números cardinales forman un esqueleto de la categoría de conjuntos .

La noción de cardinalidad, tal como se entiende ahora, fue formulada por Georg Cantor , el creador de la teoría de conjuntos , en 1874-1884. La cardinalidad se puede utilizar para comparar un aspecto de conjuntos finitos. Por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {4,5,6} no son iguales , pero tienen la misma cardinalidad , es decir, tres. Esto se establece por la existencia de una biyección (es decir, una correspondencia uno a uno) entre los dos conjuntos, como la correspondencia {1→4, 2→5, 3→6}.

Cantor aplicó su concepto de biyección a conjuntos infinitos ^[1] (por ejemplo, el conjunto de números naturales N = {0, 1, 2, 3, ...}). Así, llamó a todos los conjuntos que tienen una biyección con N conjuntos numerables (contablemente infinitos) , que comparten todos el mismo número cardinal. Este número cardinal se llama , aleph-null . A los números cardinales de conjuntos infinitos los llamó números cardinales transfinitos .$estilo de visualización {\aleph _{0}}$

Cantor demostró que cualquier subconjunto no acotado de N tiene la misma cardinalidad que N , aunque esto pueda parecer contrario a la intuición. También demostró que el conjunto de todos los pares ordenados de números naturales es numerable; esto implica que el conjunto de todos los números racionales también es numerable, ya que cada racional puede representarse mediante un par de números enteros. Más tarde demostró que el conjunto de todos los números algebraicos reales también es numerable. Cada número algebraico real z puede codificarse como una secuencia finita de números enteros, que son los coeficientes de la ecuación polinómica de la que es solución, es decir, la n-tupla ordenada ( a ₀ , a ₁ , ..., a _n ), a _i ∈ Z junto con un par de racionales ( b ₀ , b ₁ ) tales que z es la raíz única del polinomio con coeficientes ( a ₀ , a ₁ , ..., a _n ) que se encuentra en el intervalo ( b ₀ , b ₁ ).

En su artículo de 1874 " Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales ", Cantor demostró que existen números cardinales de orden superior, al mostrar que el conjunto de números reales tiene una cardinalidad mayor que la de N. Su prueba utilizó un argumento con intervalos anidados , pero en un artículo de 1891, demostró el mismo resultado utilizando su ingenioso y mucho más simple argumento diagonal . El nuevo número cardinal del conjunto de números reales se llama cardinalidad del continuo y Cantor utilizó el símbolo para ello.${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Cantor también desarrolló una gran parte de la teoría general de los números cardinales; demostró que existe un número cardinal transfinito más pequeño ( , aleph-null), y que para cada número cardinal existe un cardinal inmediatamente superior.$estilo de visualización {\aleph _{0}}$

${\displaystyle (\aleph_{1},\aleph_{2},\aleph_{3},\ldots).}$

Su hipótesis del continuo es la proposición de que la cardinalidad del conjunto de números reales es la misma que . Esta hipótesis es independiente de los axiomas estándar de la teoría matemática de conjuntos, es decir, no puede ser probada ni refutada a partir de ellos. Esto fue demostrado en 1963 por Paul Cohen , complementando el trabajo anterior de Kurt Gödel en 1940.${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

En el uso informal, un número cardinal es lo que normalmente se denomina un número contable , siempre que se incluya el 0: 0, 1, 2, .... Pueden identificarse con los números naturales que comienzan con 0. Los números contables son exactamente lo que se puede definir formalmente como los números cardinales finitos . Los cardinales infinitos solo aparecen en las matemáticas y la lógica de nivel superior .

De manera más formal, un número distinto de cero puede utilizarse con dos propósitos: para describir el tamaño de un conjunto o para describir la posición de un elemento en una secuencia. Para conjuntos y secuencias finitas es fácil ver que estas dos nociones coinciden, ya que para cada número que describe una posición en una secuencia podemos construir un conjunto que tenga exactamente el tamaño correcto. Por ejemplo, 3 describe la posición de 'c' en la secuencia <'a','b','c','d',...>, y podemos construir el conjunto {a,b,c}, que tiene 3 elementos.

Sin embargo, cuando se trata de conjuntos infinitos , es esencial distinguir entre ambos, ya que las dos nociones son, de hecho, diferentes para los conjuntos infinitos. Considerar el aspecto de posición conduce a los números ordinales , mientras que el aspecto de tamaño se generaliza mediante los números cardinales descritos aquí.

La intuición que se esconde tras la definición formal de cardinal es la construcción de una noción del tamaño relativo o "grandeza" de un conjunto, sin referencia al tipo de miembros que tiene. Para los conjuntos finitos esto es fácil: uno simplemente cuenta el número de elementos que tiene un conjunto. Para comparar los tamaños de conjuntos mayores, es necesario recurrir a nociones más refinadas.

Un conjunto Y es al menos tan grande como un conjunto X si existe una aplicación inyectiva de los elementos de X a los elementos de Y. Una aplicación inyectiva identifica cada elemento del conjunto X con un elemento único del conjunto Y. Esto se entiende más fácilmente con un ejemplo; supongamos que tenemos los conjuntos X = {1,2,3} e Y = {a,b,c,d}, entonces, utilizando esta noción de tamaño, observaríamos que existe una aplicación:

1 → un

2 → b

3 → c

que es inyectiva, y por lo tanto concluimos que Y tiene cardinalidad mayor o igual que X. El elemento d no tiene ningún mapeo de elementos con él, pero esto está permitido ya que solo requerimos un mapeo inyectivo, y no necesariamente un mapeo biyectivo . La ventaja de esta noción es que puede extenderse a conjuntos infinitos.

Podemos extender esto a una relación de estilo de igualdad. Se dice que dos conjuntos X e Y tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre X e Y . Por el teorema de Schröder-Bernstein , esto es equivalente a que exista tanto una aplicación inyectiva de X a Y , como una aplicación inyectiva de Y a X . Entonces escribimos | X | = | Y |. El número cardinal de X en sí mismo a menudo se define como el menor ordinal a con | a | = | X |. ^[2] Esto se llama asignación cardinal de von Neumann ; para que esta definición tenga sentido, debe probarse que cada conjunto tiene la misma cardinalidad que algún ordinal; esta afirmación es el principio de buen ordenamiento . Sin embargo, es posible discutir la cardinalidad relativa de los conjuntos sin asignar explícitamente nombres a los objetos.

El ejemplo clásico que se utiliza es el de la paradoja del hotel infinito, también llamada paradoja de Hilbert del Gran Hotel . Supongamos que hay un posadero en un hotel con un número infinito de habitaciones. El hotel está lleno y llega un nuevo huésped. Es posible acomodar al huésped adicional pidiendo al huésped que estaba en la habitación 1 que se mueva a la habitación 2, al huésped de la habitación 2 que se mueva a la habitación 3, y así sucesivamente, dejando la habitación 1 vacía. Podemos escribir explícitamente un segmento de esta asignación:

1 → 2

2 → 3

3 → 4

...

n → n + 1

...

Con esta asignación, podemos ver que el conjunto {1,2,3,...} tiene la misma cardinalidad que el conjunto {2,3,4,...}, ya que se ha demostrado una biyección entre el primero y el segundo. Esto motiva la definición de conjunto infinito como cualquier conjunto que tenga un subconjunto propio de la misma cardinalidad (es decir, un conjunto Dedekind-infinito ); en este caso {2,3,4,...} es un subconjunto propio de {1,2,3,...}.

Al considerar estos grandes objetos, uno también podría querer ver si la noción de orden de conteo coincide con la de cardinal definida anteriormente para estos conjuntos infinitos. Sucede que no es así; al considerar el ejemplo anterior podemos ver que si existe algún objeto "uno mayor que infinito", entonces debe tener la misma cardinalidad que el conjunto infinito con el que comenzamos. Es posible utilizar una noción formal diferente para número, llamada ordinales , basada en las ideas de contar y considerar cada número por turno, y descubrimos que las nociones de cardinalidad y ordinalidad son divergentes una vez que nos alejamos de los números finitos.

Se puede demostrar que la cardinalidad de los números reales es mayor que la de los números naturales que acabamos de describir. Esto se puede visualizar utilizando el argumento diagonal de Cantor ; las cuestiones clásicas de cardinalidad (por ejemplo, la hipótesis del continuo ) se ocupan de descubrir si existe algún cardinal entre algún par de otros cardinales infinitos. En tiempos más recientes, los matemáticos han estado describiendo las propiedades de cardinales cada vez más grandes.

Como la cardinalidad es un concepto tan común en matemáticas, se utilizan diversos nombres. La igualdad de cardinalidad a veces se denomina equipotente , equipolente o equinumerosidad . Por lo tanto, se dice que dos conjuntos con la misma cardinalidad son, respectivamente, equipotentes , equipolentes o equinumeros .

Formalmente, suponiendo el axioma de elección , la cardinalidad de un conjunto X es el menor número ordinal α tal que hay una biyección entre X y α. Esta definición se conoce como la asignación cardinal de von Neumann . Si no se supone el axioma de elección, entonces se necesita un enfoque diferente. La definición más antigua de la cardinalidad de un conjunto X (implícita en Cantor y explícita en Frege y Principia Mathematica ) es como la clase [ X ] de todos los conjuntos que son equinumerosos con X. Esto no funciona en ZFC u otros sistemas relacionados de teoría de conjuntos axiomáticos porque si X no está vacío, esta colección es demasiado grande para ser un conjunto. De hecho, para X ≠ ∅ hay una inyección desde el universo en [ X ] al mapear un conjunto m a { m } × X , y entonces por el axioma de limitación de tamaño , [ X ] es una clase propia. Sin embargo, la definición funciona en la teoría de tipos y en New Foundations y sistemas relacionados. Sin embargo, si restringimos esta clase a aquellos objetos equinumerosos con X que tienen el rango más bajo , entonces funcionará (este es un truco debido a Dana Scott : ^[3] funciona porque la colección de objetos con cualquier rango dado es un conjunto).

La asignación cardinal de von Neumann implica que el número cardinal de un conjunto finito es el número ordinal común de todos los posibles buenos ordenamientos de ese conjunto, y la aritmética cardinal y ordinal (suma, multiplicación, potencia, resta propia) dan entonces las mismas respuestas para números finitos. Sin embargo, difieren para números infinitos. Por ejemplo, en aritmética ordinal mientras que en aritmética cardinal, aunque la asignación de von Neumann pone . Por otro lado, el truco de Scott implica que el número cardinal 0 es , que es también el número ordinal 1, y esto puede ser confuso. Un posible compromiso (para aprovechar la alineación en aritmética finita evitando al mismo tiempo la dependencia del axioma de elección y la confusión en aritmética infinita) es aplicar la asignación de von Neumann a los números cardinales de conjuntos finitos (aquellos que pueden estar bien ordenados y no son equipotentes a subconjuntos propios) y utilizar el truco de Scott para los números cardinales de otros conjuntos.${\displaystyle 2^{\omega }=\omega <\omega ^{2}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}=\aleph _{0}^{2}}$${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$${\displaystyle \{\conjunto vacío \}}$

Formalmente, el orden entre los números cardinales se define de la siguiente manera: | X | ≤ | Y | significa que existe una función inyectiva de X a Y . El teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder establece que si | X | ≤ | Y | y | Y | ≤ | X | entonces | X | = | Y |. El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que dados dos conjuntos X e Y , o bien | X | ≤ | Y | o bien | Y | ≤ | X |. ^{[4] [5]}

Un conjunto X es Dedekind-infinito si existe un subconjunto propio Y de X con | X | = | Y |, y Dedekind-finito si dicho subconjunto no existe. Los cardinales finitos son simplemente los números naturales , en el sentido de que un conjunto X es finito si y solo si | X | = | n | = n para algún número natural n . Cualquier otro conjunto es infinito .

Suponiendo el axioma de elección, se puede demostrar que las nociones de Dedekind corresponden a las estándar. También se puede demostrar que el cardinal ( aleph nulo o aleph-0, donde aleph es la primera letra del alfabeto hebreo , representado ) del conjunto de números naturales es el cardinal infinito más pequeño (es decir, cualquier conjunto infinito tiene un subconjunto de cardinalidad ). El siguiente cardinal más grande se denota por , y así sucesivamente. Para cada ordinal α, hay un número cardinal y esta lista agota todos los números cardinales infinitos.$estilo de visualización {\aleph _{0}}$${\estilo de visualización \aleph}$$estilo de visualización {\aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{\alpha },}$

Podemos definir operaciones aritméticas sobre números cardinales que generalicen las operaciones ordinarias para números naturales. Se puede demostrar que, para cardinales finitos, estas operaciones coinciden con las operaciones usuales para números naturales. Además, estas operaciones comparten muchas propiedades con la aritmética ordinaria.

Si se cumple el axioma de elección, entonces cada cardinal κ tiene un sucesor, denotado κ ⁺ , donde κ ⁺ > κ y no hay cardinales entre κ y su sucesor. (Sin el axioma de elección, usando el teorema de Hartogs , se puede demostrar que para cualquier número cardinal κ, hay un cardinal mínimo κ ⁺ tal que ) Para cardinales finitos, el sucesor es simplemente κ + 1. Para cardinales infinitos, el cardinal sucesor difiere del ordinal sucesor .${\displaystyle \kappa ^{+}\nleq \kappa .}$

Si X e Y son disjuntos , la adición se da por la unión de X e Y. Si los dos conjuntos no son ya disjuntos, entonces pueden reemplazarse por conjuntos disjuntos de la misma cardinalidad (por ejemplo, reemplazar X por X ×{0} e Y por Y ×{1}).

${\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|.}$^[6]

Cero es una identidad aditiva κ + 0 = 0 + κ = κ .

La suma es asociativa ( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν ).

La suma es conmutativa κ + μ = μ + κ .

La adición no es decreciente en ambos argumentos:

${\displaystyle (\kappa \leq \mu )\rightarrow ((\kappa +\nu \leq \mu +\nu ){\mbox{ y }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu )) .}$

Suponiendo el axioma de elección, la suma de números cardinales infinitos es fácil. Si κ o μ son infinitos, entonces

${\displaystyle \kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.}$

Suponiendo el axioma de elección y, dados un cardinal infinito σ y un cardinal μ , existe un cardinal κ tal que μ + κ = σ si y solo si μ ≤ σ . Será único (e igual a σ ) si y solo si μ < σ .

El producto de cardinales proviene del producto cartesiano .

${\displaystyle |X|\cdot |Y|=|X\veces Y|}$^[6]

κ ·0 = 0· κ = 0.

κ · μ = 0 → ( κ = 0 o μ = 0).

Se trata de una identidad multiplicativa κ ·1 = 1· κ = κ .

La multiplicación es asociativa ( κ · μ ) · ν = κ · ( μ · ν ).

La multiplicación es conmutativa κ · μ = μ · κ .

La multiplicación no es decreciente en ambos argumentos: κ ≤ μ → ( κ · ν ≤ μ · ν y ν · κ ≤ ν · μ ).

La multiplicación se distribuye sobre la suma: κ ·( μ + ν ) = κ · μ + κ · ν y ( μ + ν )· κ = μ · κ + ν · κ .

Suponiendo el axioma de elección, la multiplicación de números cardinales infinitos también es fácil. Si κ o μ son infinitos y ambos son distintos de cero, entonces

${\displaystyle \kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}.}$

Suponiendo el axioma de elección y, dado un cardinal infinito π y un cardinal distinto de cero μ , existe un cardinal κ tal que μ · κ = π si y solo si μ ≤ π . Será único (e igual a π ) si y solo si μ < π .

La exponenciación está dada por

${\displaystyle |X|^{|Y|}=\izquierda|X^{Y}\derecha|,}$

donde X ^Y es el conjunto de todas las funciones desde Y hasta X . ^[6] Es fácil comprobar que el lado derecho depende únicamente de y .${\estilo de visualización {|X|}}$${\displaystyle {|Y|}}$

κ ⁰ = 1 (en particular 0 ⁰ = 1), ver función vacía .

Si 1 ≤ μ , entonces 0 ^μ = 0.

1μ ⁼ 1.

κ1 = κ .^​

y ^{+ y} = y · y .^​​​

y = ( y ) ^{.​​​​}

( κ · μ ) ^ν = κ ^ν · μ ^ν .

La exponenciación no es decreciente en ambos argumentos:

(1 ≤ ν y κ ≤ μ ) → ( ν ^κ ≤ ν ^μ ) y

( κ ≤ μ ) → ( κ ^ν ≤ μ ^ν ).

2 ^{| X |} es la cardinalidad del conjunto potencia del conjunto X y el argumento diagonal de Cantor muestra que 2 ^{| X |} > | X | para cualquier conjunto X . Esto prueba que no existe un cardinal más grande (porque para cualquier cardinal κ , siempre podemos encontrar un cardinal más grande 2 ^κ ). De hecho, la clase de cardinales es una clase propia . (Esta prueba falla en algunas teorías de conjuntos, en particular en New Foundations .)

Todas las demás proposiciones de esta sección suponen el axioma de elección:

Si κ y μ son finitos y mayores que 1, y ν es infinito, entonces κ ^ν = μ ^ν .

Si κ es infinito y μ es finito y distinto de cero, entonces κ ^μ = κ .

Si 2 ≤ κ y 1 ≤ μ y al menos uno de ellos es infinito, entonces:

Máx. ( κ , 2 ^μ ) ≤ κ ^μ ≤ Máx. ( 2 ^κ , 2 ^μ ).

Usando el teorema de König , se puede demostrar κ < κ ^{cf( κ )} y κ < cf(2 ^κ ) para cualquier cardinal infinito κ , donde cf( κ ) es la cofinalidad de κ .

Suponiendo el axioma de elección y, dado un cardinal infinito κ y un cardinal finito μ mayor que 0, el cardinal ν que satisface será .${\displaystyle \nu ^{\mu }=\kappa }$${\estilo de visualización \kappa}$

Suponiendo el axioma de elección y, dado un cardinal infinito κ y un cardinal finito μ mayor que 1, puede haber o no un cardinal λ que satisfaga . Sin embargo, si tal cardinal existe, es infinito y menor que κ , y cualquier cardinalidad finita ν mayor que 1 también satisfará .${\displaystyle \mu ^{\lambda }=\kappa }$${\displaystyle \nu ^{\lambda }=\kappa }$

El logaritmo de un número cardinal infinito κ se define como el menor número cardinal μ tal que κ ≤ 2 ^μ . Los logaritmos de cardinales infinitos son útiles en algunos campos de las matemáticas, por ejemplo en el estudio de invariantes cardinales de espacios topológicos , aunque carecen de algunas de las propiedades que poseen los logaritmos de números reales positivos. ^{[7] [8] [9]}

La hipótesis del continuo (CH) establece que no hay cardinales estrictamente entre y El último número cardinal también se denota a menudo por ; es la cardinalidad del continuo (el conjunto de números reales ). En este caso$estilo de visualización {\aleph _{0}}$${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

De manera similar, la hipótesis generalizada del continuo (GCH) establece que para cada cardinal infinito , no hay cardinales estrictamente entre y . Se ha demostrado que tanto la hipótesis del continuo como la hipótesis generalizada del continuo son independientes de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos, los axiomas de Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de elección ( ZFC ).${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle 2^{\kappa}}$

De hecho, el teorema de Easton muestra que, para los cardinales regulares , las únicas restricciones que ZFC impone a la cardinalidad de son que , y que la función exponencial no es decreciente.${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle 2^{\kappa}}$${\displaystyle \kappa <\nombre del operador {cf} (2^{\kappa })}$

Notas

Bibliografía

• Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: sus matemáticas y filosofía del infinito , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0691-02447-2
• Hahn, Hans , Infinito , Parte IX, Capítulo 2, Volumen 3 de El mundo de las matemáticas . Nueva York: Simon and Schuster, 1956.
• Halmos, Paul , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). 
• Schindler, Ralf-Dieter (2014). Teoría de conjuntos: exploración de la independencia y la verdad . Universitext. Cham: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-319-06725-4. ISBN . 978-3-319-06725-4.

• "Número cardinal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]