Álgebra

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia ciertos sistemas abstractos , conocidos como estructuras algebraicas , y la manipulación de enunciados dentro de esos sistemas. Es una generalización de la aritmética que introduce variables y operaciones algebraicas distintas de las operaciones aritméticas estándar, como la suma y la multiplicación .

El álgebra elemental es la principal forma de álgebra que se enseña en la escuela y examina enunciados matemáticos utilizando variables para valores no especificados. Busca determinar para qué valores son verdaderos los enunciados. Para ello, utiliza diferentes métodos de transformación de ecuaciones para aislar variables. El álgebra lineal es un campo estrechamente relacionado que investiga ecuaciones lineales y combinaciones de ellas llamadas sistemas . Proporciona métodos para encontrar los valores que resuelven todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo y para estudiar el conjunto de estas soluciones.

El álgebra abstracta estudia las estructuras algebraicas, que consisten en un conjunto de objetos matemáticos junto con una o varias operaciones definidas sobre ese conjunto. Es una generalización del álgebra elemental y lineal ya que permite objetos matemáticos distintos de los números y las operaciones no aritméticas. Distingue entre diferentes tipos de estructuras algebraicas, como grupos , anillos y cuerpos , en función del número de operaciones que utilizan y las leyes que siguen . El álgebra universal y la teoría de categorías proporcionan marcos generales para investigar patrones abstractos que caracterizan diferentes clases de estructuras algebraicas.

Los métodos algebraicos se estudiaron por primera vez en la antigüedad para resolver problemas específicos en campos como la geometría . Los matemáticos posteriores examinaron técnicas generales para resolver ecuaciones independientemente de sus aplicaciones específicas. Describieron ecuaciones y sus soluciones utilizando palabras y abreviaturas hasta los siglos XVI y XVII, cuando se desarrolló un formalismo simbólico riguroso. A mediados del siglo XIX, el alcance del álgebra se amplió más allá de una teoría de ecuaciones para cubrir diversos tipos de operaciones y estructuras algebraicas. El álgebra es relevante para muchas ramas de las matemáticas, como la geometría, la topología , la teoría de números y el cálculo , y otros campos de investigación, como la lógica y las ciencias empíricas .

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas y las operaciones que utilizan. ^{[1] Una estructura algebraica es un} conjunto no vacío de objetos matemáticos , como los números enteros , junto con operaciones algebraicas definidas en ese conjunto, como la suma y la multiplicación . ^{[2] [a]} El álgebra explora las leyes, las características generales y los tipos de estructuras algebraicas. Dentro de ciertas estructuras algebraicas, examina el uso de variables en ecuaciones y cómo manipular estas ecuaciones. ^{[4] [b]}

El álgebra se entiende a menudo como una generalización de la aritmética . ^[8] La aritmética estudia operaciones como la suma, la resta , la multiplicación y la división , en un dominio particular de números, como los números reales. ^[9] El álgebra elemental constituye el primer nivel de abstracción. Al igual que la aritmética, se limita a tipos específicos de números y operaciones. Generaliza estas operaciones al permitir cantidades indefinidas en forma de variables además de números. ^[10] Un nivel más alto de abstracción se encuentra en el álgebra abstracta , que no se limita a un dominio particular y examina estructuras algebraicas como grupos y anillos . Se extiende más allá de las operaciones aritméticas típicas al cubrir también otros tipos de operaciones. ^[11] El álgebra universal es aún más abstracta en el sentido de que no está interesada en estructuras algebraicas específicas, sino que investiga las características de las estructuras algebraicas en general. ^[12]

El término "álgebra" se utiliza a veces en un sentido más estricto para referirse únicamente al álgebra elemental o únicamente al álgebra abstracta. ^[14] Cuando se utiliza como sustantivo contable , un álgebra es un tipo específico de estructura algebraica que implica un espacio vectorial equipado con un cierto tipo de operación binaria . ^[15] Dependiendo del contexto, "álgebra" también puede referirse a otras estructuras algebraicas, como un álgebra de Lie o un álgebra asociativa . ^[16]

La palabra álgebra proviene del término árabe الجبر ( al-jabr ), que originalmente se refería al tratamiento quirúrgico de la osteopatía . En el siglo IX, el término recibió un significado matemático cuando el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi lo empleó para describir un método de resolución de ecuaciones y lo utilizó en el título de un tratado sobre álgebra, al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah [ El libro compendioso sobre el cálculo por compleción y balanceo ] que fue traducido al latín como Liber Algebrae et Almucabola . ^[c] La palabra entró en el idioma inglés en el siglo XVI desde el italiano , el español y el latín medieval . ^[18] Inicialmente, su significado estaba restringido a la teoría de ecuaciones , es decir, al arte de manipular ecuaciones polinómicas con vistas a resolverlas. Esto cambió en el siglo XIX ^[d] cuando el alcance del álgebra se amplió para cubrir el estudio de diversos tipos de operaciones y estructuras algebraicas junto con sus axiomas subyacentes , las leyes que siguen. ^[21]

El álgebra elemental, también llamada álgebra escolar, álgebra universitaria y álgebra clásica, ^[22] es la forma más antigua y básica del álgebra. Es una generalización de la aritmética que se basa en variables y examina cómo se pueden transformar los enunciados matemáticos. ^[23]

La aritmética es el estudio de las operaciones numéricas e investiga cómo se combinan y transforman los números mediante las operaciones aritméticas de suma , resta , multiplicación , división , exponenciación , extracción de raíces y logaritmo . Por ejemplo, la operación de suma combina dos números, llamados sumandos, en un tercer número, llamado suma, como en . ^[9]${\estilo de visualización 2+5=7}$

El álgebra elemental se basa en las mismas operaciones, pero permite el uso de variables además de los números regulares. Las variables son símbolos de cantidades no especificadas o desconocidas. Permiten enunciar relaciones para las que no se conocen los valores exactos y expresar leyes generales que son verdaderas, independientemente de los números que se utilicen. Por ejemplo, la ecuación pertenece a la aritmética y expresa una igualdad solo para estos números específicos. Al reemplazar los números con variables, es posible expresar una ley general que se aplica a cualquier combinación posible de números, como la propiedad conmutativa de la multiplicación , que se expresa en la ecuación . ^[23]${\displaystyle 2\veces 3=3\veces 2}$${\displaystyle a\veces b=b\veces a}$

Las expresiones algebraicas se forman mediante operaciones aritméticas para combinar variables y números. Por convención, las letras minúsculas , , y representan variables. En algunos casos, se agregan subíndices para distinguir las variables, como en , , y . Las letras minúsculas , , y se usan generalmente para constantes y coeficientes . ^[e] La expresión es una expresión algebraica creada al multiplicar el número 5 por la variable y agregar el número 3 al resultado. Otros ejemplos de expresiones algebraicas son y . ^[25]${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización z}$$estilo de visualización x_{1}}$$estilo de visualización x_{2}$$estilo de visualización x_{3}}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización 5x+3}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización 32xyz}$$Estilo de visualización 64x_{1}^{2}+7x_{2}-c}$

Algunas expresiones algebraicas toman la forma de enunciados que relacionan dos expresiones entre sí. Una ecuación es un enunciado formado al comparar dos expresiones, diciendo que son iguales. Esto se puede expresar usando el signo igual ( ), como en . Las inecuaciones implican un tipo diferente de comparación, diciendo que los dos lados son diferentes. Esto se puede expresar usando símbolos como el signo menor que ( ), el signo mayor que ( ) y el signo de desigualdad ( ). A diferencia de otras expresiones, los enunciados pueden ser verdaderos o falsos y su valor de verdad generalmente depende de los valores de las variables. Por ejemplo, el enunciado es verdadero si es 2 o −2 y falso en caso contrario. ^[26] Las ecuaciones con variables se pueden dividir en ecuaciones de identidad y ecuaciones condicionales. Las ecuaciones de identidad son verdaderas para todos los valores que se pueden asignar a las variables, como la ecuación . Las ecuaciones condicionales solo son verdaderas para algunos valores. Por ejemplo, la ecuación solo es verdadera si es 5. ^[27]${\estilo de visualización =}$$Estilo de visualización 5x^{2}+6x=3y+4}$ ${\estilo de visualización <}$${\estilo de visualización >}$${\estilo de visualización \neq}$$Estilo de visualización x^{2}=4$${\estilo de visualización x}$$Estilo de visualización 2x+5x=7x$${\displaystyle x+4=9}$${\estilo de visualización x}$

El objetivo principal del álgebra elemental es determinar los valores para los cuales una afirmación es verdadera. Esto se puede lograr transformando y manipulando afirmaciones de acuerdo con ciertas reglas. Un principio clave que guía este proceso es que cualquier operación que se aplique a un lado de una ecuación también debe realizarse al otro lado. Por ejemplo, si uno resta 5 del lado izquierdo de una ecuación, también necesita restar 5 del lado derecho para equilibrar ambos lados. El objetivo de estos pasos es generalmente aislar la variable que nos interesa en un lado, un proceso conocido como resolver la ecuación para esa variable. Por ejemplo, la ecuación se puede resolver sumando 7 a ambos lados, lo que aísla en el lado izquierdo y da como resultado la ecuación . ^[28]${\displaystyle x-7=4}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x=11}$

Existen muchas otras técnicas que se utilizan para resolver ecuaciones. La simplificación se emplea para reemplazar una expresión complicada por una equivalente más simple. Por ejemplo, la expresión puede reemplazarse por la expresión ya que mediante la propiedad distributiva. ^[29] Para enunciados con varias variables, la sustitución es una técnica común para reemplazar una variable por una expresión equivalente que no utiliza esta variable. Por ejemplo, si uno sabe que entonces puede simplificar la expresión para llegar a . De manera similar, si uno conoce el valor de una variable, puede usarlo para determinar el valor de otras variables. ^[30]$Estilo de visualización 7x-3x$${\estilo de visualización 4x}$$Estilo de visualización 7x-3x=(7-3)x=4x$${\displaystyle y=3x}$${\estilo de visualización 7xy}$$Estilo de visualización 21x^{2}}$

Las ecuaciones algebraicas pueden interpretarse geométricamente para describir figuras espaciales en forma de gráfico . Para ello, las diferentes variables de la ecuación se entienden como coordenadas y los valores que resuelven la ecuación se interpretan como puntos de un gráfico. Por ejemplo, si se establece en cero en la ecuación , entonces debe ser −1 para que la ecuación sea verdadera. Esto significa que el par es parte del gráfico de la ecuación. El par , por el contrario, no resuelve la ecuación y, por lo tanto, no es parte del gráfico. El gráfico abarca la totalidad de pares que resuelven la ecuación. ^[31]${\estilo de visualización x}$${\displaystyle y=0,5x-1}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización (x,y)}$${\estilo de visualización (0,-1)}$${\estilo de visualización (x,y)}$${\estilo de visualización (0,7)}$${\estilo de visualización (x,y)}$

Un polinomio es una expresión que consta de uno o más términos que se suman o se restan entre sí, como . Cada término es una constante, una variable o un producto de una constante y variables. Cada variable puede elevarse a una potencia entera positiva. Un monomio es un polinomio con un término, mientras que los polinomios de dos y tres términos se denominan binomios y trinomios. El grado de un polinomio es el valor máximo (entre sus términos) de la suma de los exponentes de las variables (4 en el ejemplo anterior). ^[32] Los polinomios de grado uno se denominan polinomios lineales . El álgebra lineal estudia los sistemas de polinomios lineales. ^[33] Se dice que un polinomio es univariante o multivariante , dependiendo de si utiliza una o más variables. ^[34]${\displaystyle x^{4}+3xy^{2}+5x^{3}-1}$

La factorización se utiliza para reescribir una expresión como un producto de varios factores. Esta técnica se utiliza comúnmente para determinar los valores de un polinomio que evalúan cero . Por ejemplo, el polinomio se puede factorizar como . El polinomio en su conjunto es cero si y solo si uno de sus factores es cero, es decir, si es −2 o 5. ^[35] Antes del siglo XIX, gran parte del álgebra se dedicaba a las ecuaciones polinómicas , es decir, ecuaciones obtenidas al igualar un polinomio a cero. Los primeros intentos de resolver ecuaciones polinómicas fueron expresar las soluciones en términos de raíces n ésimas . La solución de una ecuación polinómica de segundo grado de la forma se da mediante la fórmula cuadrática ^[36] Las soluciones para los grados 3 y 4 se dan mediante las fórmulas cúbica y cuártica . No existen soluciones generales para grados superiores, como se demostró en el siglo XIX mediante el llamado teorema de Abel-Ruffini . ^[37] Incluso cuando no existen soluciones generales, se pueden encontrar soluciones aproximadas mediante herramientas numéricas como el método de Newton-Raphson . ^[38]$Estilo de visualización x^{2}-3x-10$${\displaystyle (x+2)(x-5)}$${\estilo de visualización x}$$Estilo de visualización: ax^{2}+bx+c=0$$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$$

El teorema fundamental del álgebra afirma que toda ecuación polinómica univariante de grado positivo con coeficientes reales o complejos tiene al menos una solución compleja. En consecuencia, todo polinomio de grado positivo puede factorizarse en polinomios lineales. Este teorema fue demostrado a principios del siglo XIX, pero esto no resuelve el problema ya que el teorema no proporciona ninguna forma de calcular las soluciones. ^[39]

El álgebra lineal emplea los métodos del álgebra elemental para estudiar sistemas de ecuaciones lineales . ^[40] Una ecuación es lineal si se puede expresar en la forma donde , , ..., y son constantes. Esto significa que ninguna variable se multiplica entre sí y ninguna variable se eleva a una potencia mayor que uno. Por ejemplo, las ecuaciones y son lineales mientras que las ecuaciones y son no lineales . Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales para las que uno está interesado en las soluciones comunes. ^[41] El álgebra lineal está interesada en manipular y transformar sistemas de ecuaciones para resolverlos, lo que implica determinar los valores para los cuales todas las ecuaciones son verdaderas al mismo tiempo. ^[42]${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b}$$estilo de visualización a_{1}$$estilo de visualización a_{2}$${\displaystyle a_{n}}$${\estilo de visualización b}$$Estilo de visualización x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0$${\displaystyle 0,25xy=4}$${\displaystyle x^{2}=y}$${\displaystyle 3x_{1}x_{2}+15=0}$

Los sistemas de ecuaciones lineales suelen expresarse mediante tablas de números conocidas como matrices y vectores ^[43] , que representan todo el sistema en una sola ecuación. Esto se puede hacer moviendo las variables al lado izquierdo de cada ecuación y moviendo los términos constantes al lado derecho. El sistema se expresa entonces formulando una matriz que contiene todos los coeficientes de las ecuaciones y multiplicándola por el vector columna formado por las variables. ^[44] Por ejemplo, el sistema de ecuaciones se puede escribir como$${\displaystyle {\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2.3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.}$$

Dos cuestiones centrales en álgebra lineal son si un sistema de ecuaciones tiene alguna solución y, si es así, si tiene una solución única. Un sistema de ecuaciones no tiene soluciones si es inconsistente , lo que significa que dos o más ecuaciones se contradicen entre sí. Por ejemplo, las ecuaciones y se contradicen entre sí ya que no existen valores de y que resuelvan ambas ecuaciones al mismo tiempo. Solo los sistemas consistentes de ecuaciones tienen soluciones. ^[45] Si un sistema consistente de ecuaciones tiene una solución única depende del número de variables y ecuaciones independientes . Varias ecuaciones son independientes entre sí si no proporcionan la misma información y no pueden derivarse unas de otras. Existe una solución única si el número de variables es el mismo que el número de ecuaciones independientes. Los sistemas indeterminados , por el contrario, tienen más variables que ecuaciones independientes y tienen un número infinito de soluciones si son consistentes. ^[46]${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=0}$${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=7}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales varían desde los introductorios, como la sustitución ^[47] y la eliminación ^[48], hasta técnicas más avanzadas que utilizan algoritmos basados ​​en cálculos matriciales, como la regla de Cramer , la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición LU . ^[49]

Los sistemas de ecuaciones pueden interpretarse como figuras geométricas. Para sistemas con dos variables, cada ecuación representa una línea en el espacio bidimensional . El punto donde se cruzan las dos líneas es la solución del sistema completo porque este es el único punto que resuelve tanto la primera como la segunda ecuación. Para sistemas inconsistentes, las dos líneas corren paralelas, lo que significa que no hay solución ya que nunca se cruzan. Si dos ecuaciones no son independientes, entonces describen la misma línea, lo que significa que cada solución de una ecuación es también una solución de la otra ecuación. Estas relaciones permiten buscar soluciones gráficamente trazando las ecuaciones y determinando dónde se cruzan. ^[50] Los mismos principios también se aplican a sistemas de ecuaciones con más variables, con la diferencia de que las ecuaciones no describen líneas sino figuras de dimensiones superiores. Por ejemplo, las ecuaciones con tres variables corresponden a planos en el espacio tridimensional , y los puntos donde se cruzan todos los planos resuelven el sistema de ecuaciones. ^[51]

Otro enfoque define el álgebra lineal como el estudio de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita . Una aplicación lineal es una función que transforma vectores de un espacio vectorial a otro mientras conserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación escalar . ^[52] Desde esta perspectiva, una matriz es una representación de una aplicación lineal: si uno elige una base particular para describir los vectores que se están transformando, entonces las entradas en la matriz dan los resultados de aplicar la aplicación lineal a los vectores base. ^[53]

El álgebra abstracta, también llamada álgebra moderna, ^[54] estudia diferentes tipos de estructuras algebraicas . Una estructura algebraica es un marco para comprender las operaciones sobre objetos matemáticos , como la suma de números. Mientras que el álgebra elemental y el álgebra lineal funcionan dentro de los confines de estructuras algebraicas particulares, el álgebra abstracta adopta un enfoque más general que compara cómo las estructuras algebraicas se diferencian entre sí y qué tipos de estructuras algebraicas existen, como grupos , anillos y cuerpos . ^[55] La diferencia clave entre estos tipos de estructuras algebraicas radica en la cantidad de operaciones que utilizan y las leyes que obedecen. ^[56] En educación matemática , el álgebra abstracta se refiere a un curso universitario avanzado que los estudiantes de matemáticas toman después de completar cursos de álgebra lineal. ^[57]

En un nivel formal, una estructura algebraica es un conjunto ^[f] de objetos matemáticos, llamado el conjunto subyacente, junto con una o varias operaciones. ^[g] El álgebra abstracta está principalmente interesada en operaciones binarias , ^[h] que toman dos objetos cualesquiera del conjunto subyacente como entradas y los asignan a otro objeto de este conjunto como salida. ^[61] Por ejemplo, la estructura algebraica tiene los números naturales ( ) como el conjunto subyacente y la adición ( ) como su operación binaria. ^[59] El conjunto subyacente puede contener objetos matemáticos distintos de números y las operaciones no están restringidas a operaciones aritméticas regulares. ^[62] Por ejemplo, el conjunto subyacente del grupo de simetría de un objeto geométrico está formado por transformaciones geométricas , como rotaciones , bajo las cuales el objeto permanece inalterado . Su operación binaria es la composición de funciones , que toma dos transformaciones como entrada y tiene la transformación resultante de aplicar la primera transformación seguida de la segunda como su salida. ^[63]${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle +}$

El álgebra abstracta clasifica las estructuras algebraicas en función de las leyes o axiomas que obedecen sus operaciones y del número de operaciones que utiliza. Uno de los tipos más básicos es un grupo, que tiene una operación y requiere que esta operación sea asociativa y tenga un elemento identidad y elementos inversos . Una operación es asociativa si no importa el orden de varias aplicaciones, es decir, si ^[i] es el mismo que para todos los elementos. Una operación tiene un elemento identidad o un elemento neutro si existe un elemento e que no cambia el valor de ningún otro elemento, es decir, si . Una operación tiene elementos inversos si para cualquier elemento existe un elemento recíproco que deshace . Si un elemento opera sobre su inverso entonces el resultado es el elemento neutro e , expresado formalmente como . Toda estructura algebraica que cumple estos requisitos es un grupo. ^[65] Por ejemplo, es un grupo formado por el conjunto de los números enteros junto con la operación de adición. El elemento neutro es 0 y el elemento inverso de cualquier número es . ^[66] Los números naturales con adición, por el contrario, no forman un grupo ya que contienen sólo números enteros positivos y, por tanto, carecen de elementos inversos. ^[67]${\displaystyle (a\circ b)\circ c}$${\displaystyle a\circ (b\circ c)}$${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$

La teoría de grupos examina la naturaleza de los grupos, con teoremas básicos como el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos y el teorema de Feit-Thompson . ^[68] Este último fue un paso clave en uno de los logros matemáticos más importantes del siglo XX: el esfuerzo colaborativo, que ocupó más de 10.000 páginas de revistas y se publicó principalmente entre 1960 y 2004, que culminó en una clasificación completa de grupos simples finitos . ^[69]

Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones, suma y multiplicación, que funcionan de manera similar a las operaciones aritméticas correspondientes . Es decir, un anillo es un grupo conmutativo bajo la adición, y la multiplicación es asociativa , distributiva con respecto a la adición y tiene un elemento identidad . La multiplicación no necesita ser conmutativa; si es conmutativa, uno tiene un anillo conmutativo . ^[70] El anillo de números enteros es uno de los anillos conmutativos más simples. Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo .${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La teoría de anillos es el estudio de los anillos y estructuras asociadas, tales como subanillos , anillos cociente , ideales , con especial énfasis en los anillos no conmutativos , ya que el estudio de los anillos conmutativos se denomina álgebra conmutativa , la cual está fuertemente relacionada con la geometría algebraica : desde la prueba de David Hilbert del Nullstellensatz de Hilbert , los desarrollos de estas dos áreas de las matemáticas están fuertemente correlacionados y la mayoría de las pruebas en geometría algebraica se basan en resultados del álgebra conmutativa.

La teoría de campos es el estudio de los campos y sus extensiones de campo , los cierres algebraicos . Incluye una clasificación completa de los campos finitos , que se utiliza en muchas aplicaciones, por ejemplo en criptografía . ^[71] La teoría de Galois establece una relación profunda entre las extensiones de campo y la teoría de grupos ( teorema fundamental de la teoría de Galois ). ^[72]

Además de los grupos, anillos y cuerpos, existen muchas otras estructuras algebraicas estudiadas por el álgebra. Entre ellas se incluyen los magmas , semigrupos , monoides , grupos abelianos , anillos conmutativos , módulos , redes , espacios vectoriales , álgebras sobre un cuerpo y álgebras asociativas y no asociativas . Se diferencian entre sí en lo que respecta a los tipos de objetos que describen y los requisitos que cumplen sus operaciones. Muchas están relacionadas entre sí en el sentido de que una estructura básica se puede convertir en una estructura más avanzada añadiendo requisitos adicionales. ^[56] Por ejemplo, un magma se convierte en un semigrupo si su operación es asociativa. ^[73]

Los homomorfismos son herramientas para examinar características estructurales comparando dos estructuras algebraicas. ^[74] Un homomorfismo es una función del conjunto subyacente de una estructura algebraica al conjunto subyacente de otra estructura algebraica que conserva ciertas características estructurales. Si las dos estructuras algebraicas utilizan operaciones binarias y tienen la forma y entonces la función es un homomorfismo si cumple el siguiente requisito: . La existencia de un homomorfismo revela que la operación en la segunda estructura algebraica juega el mismo papel que la operación en la primera estructura algebraica. ^[75] Los isomorfismos son un tipo especial de homomorfismo que indica un alto grado de similitud entre dos estructuras algebraicas. Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo , lo que significa que establece una relación uno a uno entre los elementos de las dos estructuras algebraicas. Esto implica que cada elemento de la primera estructura algebraica se asigna a un elemento único en la segunda estructura sin ningún elemento no asignado en la segunda estructura. ^[76]${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$${\displaystyle \langle B,\star \rangle }$${\displaystyle h:A\to B}$${\displaystyle h(x\circ y)=h(x)\star h(y)}$${\displaystyle \star }$${\displaystyle \circ }$

Otra herramienta de comparación es la relación entre una estructura algebraica y su subálgebra . ^[77] La ​​estructura algebraica y su subálgebra utilizan las mismas operaciones, ^[j] que siguen los mismos axiomas. La única diferencia es que el conjunto subyacente de la subálgebra es un subconjunto del conjunto subyacente de la estructura algebraica. ^[k] Se requiere que todas las operaciones en la subálgebra sean cerradas en su conjunto subyacente, lo que significa que solo producen elementos que pertenecen a este conjunto. ^[77] Por ejemplo, el conjunto de números enteros pares junto con la adición es una subálgebra del conjunto completo de números enteros junto con la adición. Este es el caso porque la suma de dos números pares es nuevamente un número par. Pero el conjunto de números enteros impares junto con la adición no es una subálgebra porque no es cerrado: sumar dos números impares produce un número par, que no es parte del subconjunto elegido. ^[78]

El álgebra universal es el estudio de las estructuras algebraicas en general. Como parte de su perspectiva general, no se ocupa de los elementos específicos que componen los conjuntos subyacentes y considera operaciones con más de dos entradas, como las operaciones ternarias . Proporciona un marco para investigar qué características estructurales tienen en común las diferentes estructuras algebraicas. ^{[80] [l]} Una de esas características estructurales se refiere a las identidades que son verdaderas en diferentes estructuras algebraicas. En este contexto, una identidad es una ecuación universal o una ecuación que es verdadera para todos los elementos del conjunto subyacente. Por ejemplo, la conmutatividad es una ecuación universal que establece que es idéntica a para todos los elementos. ^[82] Una variedad es una clase de todas las estructuras algebraicas que satisfacen ciertas identidades. Por ejemplo, si dos estructuras algebraicas satisfacen la conmutatividad, entonces ambas son parte de la variedad correspondiente. ^{[83] [m] [n]}${\displaystyle a\circ b}$${\displaystyle b\circ a}$

La teoría de categorías examina cómo se relacionan entre sí los objetos matemáticos utilizando el concepto de categorías . Una categoría es una colección de objetos junto con una colección de los llamados morfismos o "flechas" entre esos objetos. Estas dos colecciones deben satisfacer ciertas condiciones. Por ejemplo, los morfismos pueden unirse o componerse : si existe un morfismo de objeto a objeto y otro morfismo de objeto a objeto , entonces también debe existir uno de objeto a objeto . Se requiere que la composición de morfismos sea asociativa y debe haber un "morfismo identidad" para cada objeto. ^[87] Las categorías se utilizan ampliamente en las matemáticas contemporáneas ya que proporcionan un marco unificador para describir y analizar muchos conceptos matemáticos fundamentales. Por ejemplo, los conjuntos pueden describirse con la categoría de conjuntos , y cualquier grupo puede considerarse como los morfismos de una categoría con un solo objeto. ^[88]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$

El origen del álgebra se encuentra en los intentos de resolver problemas matemáticos que involucraban cálculos aritméticos y cantidades desconocidas. Estos desarrollos ocurrieron en el período antiguo en Babilonia , Egipto , Grecia , China e India . Uno de los primeros documentos sobre problemas algebraicos es el Papiro Matemático Rhind del antiguo Egipto, que fue escrito alrededor de 1650 a. C. ^[o] Analiza soluciones a ecuaciones lineales , tal como se expresa en problemas como "Una cantidad; se le suma su cuarto. Se convierte en quince. ¿Cuál es la cantidad?" Las tablillas de arcilla babilónicas de la misma época explican métodos para resolver ecuaciones polinómicas lineales y cuadráticas , como el método de completar el cuadrado . ^[90]

Muchos de estos conocimientos llegaron a los antiguos griegos. A partir del siglo VI a. C., su principal interés era la geometría más que el álgebra, pero emplearon métodos algebraicos para resolver problemas geométricos. Por ejemplo, estudiaban figuras geométricas mientras tomaban sus longitudes y áreas como cantidades desconocidas a determinar, como se ejemplifica en la formulación de Pitágoras del método de la diferencia de dos cuadrados y más tarde en los Elementos de Euclides . ^[91] En el siglo III d. C., Diofanto proporcionó un tratamiento detallado de cómo resolver ecuaciones algebraicas en una serie de libros llamados Arithmetica . Fue el primero en experimentar con la notación simbólica para expresar polinomios. ^[92] En la antigua China, Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un libro compuesto durante el período que abarca desde el siglo X a. C. hasta el siglo II d. C., ^[93] exploró varias técnicas para resolver ecuaciones algebraicas, incluido el uso de construcciones similares a matrices. ^[94]

No hay unanimidad en cuanto a si estos primeros desarrollos son parte del álgebra o solo precursores. Ofrecieron soluciones a problemas algebraicos pero no los concibieron de una manera abstracta y general, centrándose en cambio en casos y aplicaciones específicas. ^[95] Esto cambió con el matemático persa al-Khwarizmi , ^[p] quien publicó su The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing en 825 CE. Presenta el primer tratamiento detallado de los métodos generales que se pueden utilizar para manipular ecuaciones lineales y cuadráticas mediante "reducción" y "equilibrio" ambos lados. ^[97] Otras contribuciones influyentes al álgebra vinieron del matemático árabe Thābit ibn Qurra también en el siglo IX y del matemático persa Omar Khayyam en los siglos XI y XII. ^[98]

En la India, Brahmagupta investigó cómo resolver ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones con varias variables en el siglo VII d. C. Entre sus innovaciones se encontraba el uso del cero y de números negativos en ecuaciones algebraicas. ^[99] Los matemáticos indios Mahāvīra en el siglo IX y Bhāskara II en el siglo XII perfeccionaron aún más los métodos y conceptos de Brahmagupta. ^[100] En 1247, el matemático chino Qin Jiushao escribió el Tratado matemático en nueve secciones , que incluye un algoritmo para la evaluación numérica de polinomios , incluidos polinomios de grados superiores. ^[101]

El matemático italiano Fibonacci trajo las ideas y técnicas de al-Juarizmi a Europa en libros como su Liber Abaci . ^[102] En 1545, el polímata italiano Gerolamo Cardano publicó su libro Ars Magna , que cubría muchos temas de álgebra, discutía números imaginarios y fue el primero en presentar métodos generales para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas . ^[103] En los siglos XVI y XVII, los matemáticos franceses François Viète y René Descartes introdujeron letras y símbolos para denotar variables y operaciones, haciendo posible expresar ecuaciones de manera abstracta y concisa. Sus predecesores se habían basado en descripciones verbales de problemas y soluciones. ^[104] Algunos historiadores ven este desarrollo como un punto de inflexión clave en la historia del álgebra y consideran lo que vino antes como la prehistoria del álgebra porque carecía de la naturaleza abstracta basada en la manipulación simbólica. ^[105]

En los siglos XVII y XVIII se hicieron muchos intentos de encontrar soluciones generales a polinomios de grado cinco y superiores. Todos ellos fracasaron. ^[37] A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra , que describe la existencia de ceros de polinomios de cualquier grado sin proporcionar una solución general. ^[19] A principios del siglo XIX, el matemático italiano Paolo Ruffini y el matemático noruego Niels Henrik Abel pudieron demostrar que no existe una solución general para polinomios de grado cinco y superiores. ^[37] En respuesta a sus hallazgos y poco después, el matemático francés Évariste Galois desarrolló lo que más tarde se conocería como teoría de Galois , que ofrecía un análisis más profundo de las soluciones de los polinomios al tiempo que sentaba las bases de la teoría de grupos . ^[20] Los matemáticos pronto se dieron cuenta de la relevancia de la teoría de grupos para otros campos y la aplicaron a disciplinas como la geometría y la teoría de números. ^[106]

A partir de mediados del siglo XIX, el interés en el álgebra pasó del estudio de polinomios asociados con el álgebra elemental hacia una investigación más general sobre las estructuras algebraicas, lo que marcó el surgimiento del álgebra abstracta . Este enfoque exploró la base axiomática de operaciones algebraicas arbitrarias. ^[107] La ​​invención de nuevos sistemas algebraicos basados ​​en diferentes operaciones y elementos acompañó este desarrollo, como el álgebra de Boole , el álgebra vectorial y el álgebra matricial . ^[108] Los primeros desarrollos influyentes en el álgebra abstracta fueron realizados por los matemáticos alemanes David Hilbert , Ernst Steinitz y Emmy Noether , así como por el matemático austríaco Emil Artin . Investigaron diferentes formas de estructuras algebraicas y las categorizaron en función de sus axiomas subyacentes en tipos, como grupos, anillos y cuerpos. ^[109]

La idea del enfoque aún más general asociado con el álgebra universal fue concebida por el matemático inglés Alfred North Whitehead en su libro de 1898 Tratado sobre álgebra universal . A partir de la década de 1930, el matemático estadounidense Garrett Birkhoff amplió estas ideas y desarrolló muchos de los conceptos fundamentales de este campo. ^[110] La invención del álgebra universal condujo al surgimiento de varias áreas nuevas centradas en la algebrización de las matemáticas, es decir, la aplicación de métodos algebraicos a otras ramas de las matemáticas. El álgebra topológica surgió a principios del siglo XX, estudiando estructuras algebraicas como los grupos topológicos y los grupos de Lie . ^[111] En las décadas de 1940 y 1950, surgió el álgebra homológica , que empleaba técnicas algebraicas para estudiar la homología . ^[112] Casi al mismo tiempo, se desarrolló la teoría de categorías y desde entonces ha desempeñado un papel clave en los fundamentos de las matemáticas . ^[113] Otros desarrollos fueron la formulación de la teoría de modelos y el estudio de las álgebras libres . ^[114]

La influencia del álgebra es de amplio alcance, tanto dentro de las matemáticas como en sus aplicaciones a otros campos. ^[115] La algebrización de las matemáticas es el proceso de aplicar métodos y principios algebraicos a otras ramas de las matemáticas , como la geometría , la topología , la teoría de números y el cálculo . Se produce mediante el empleo de símbolos en forma de variables para expresar conocimientos matemáticos a un nivel más general, lo que permite a los matemáticos desarrollar modelos formales que describen cómo los objetos interactúan y se relacionan entre sí. ^[116]

Una aplicación, encontrada en geometría, es el uso de enunciados algebraicos para describir figuras geométricas. Por ejemplo, la ecuación describe una línea en el espacio bidimensional mientras que la ecuación corresponde a una esfera en el espacio tridimensional. De especial interés para la geometría algebraica son las variedades algebraicas , ^[q] que son soluciones a sistemas de ecuaciones polinómicas que pueden usarse para describir figuras geométricas más complejas. ^[118] El razonamiento algebraico también puede resolver problemas geométricos. Por ejemplo, uno puede determinar si y dónde la línea descrita por se interseca con el círculo descrito por resolviendo el sistema de ecuaciones compuesto por estas dos ecuaciones. ^[119] La topología estudia las propiedades de las figuras geométricas o espacios topológicos que se conservan bajo operaciones de deformación continua . La topología algebraica se basa en teorías algebraicas como la teoría de grupos para clasificar los espacios topológicos. Por ejemplo, los grupos de homotopía clasifican los espacios topológicos basándose en la existencia de bucles o agujeros en ellos. ^[120]${\displaystyle y=3x-7}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$${\displaystyle y=x+1}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=25}$

La teoría de números se ocupa de las propiedades y relaciones entre números enteros. La teoría algebraica de números aplica métodos y principios algebraicos a este campo de investigación. Algunos ejemplos son el uso de expresiones algebraicas para describir leyes generales, como el último teorema de Fermat , y de estructuras algebraicas para analizar el comportamiento de los números, como el anillo de números enteros . ^[121] El campo relacionado de la combinatoria utiliza técnicas algebraicas para resolver problemas relacionados con el conteo, la disposición y la combinación de objetos discretos. Un ejemplo de la combinatoria algebraica es la aplicación de la teoría de grupos para analizar gráficos y simetrías. ^[122] Los conocimientos del álgebra también son relevantes para el cálculo, que utiliza expresiones matemáticas para examinar las tasas de cambio y acumulación . Se basa en el álgebra, por ejemplo, para comprender cómo se pueden transformar estas expresiones y qué papel juegan las variables en ellas. ^[123] La lógica algebraica emplea los métodos del álgebra para describir y analizar las estructuras y patrones que subyacen al razonamiento lógico , ^[124] explorando tanto las estructuras matemáticas relevantes como su aplicación a problemas concretos de lógica. ^[125] Incluye el estudio del álgebra de Boole para describir la lógica proposicional ^[126] así como la formulación y análisis de estructuras algebraicas correspondientes a sistemas más complejos de lógica . ^[127]

Los métodos algebraicos también se emplean comúnmente en otras áreas, como las ciencias naturales. Por ejemplo, se utilizan para expresar leyes científicas y resolver ecuaciones en física , química y biología . ^[129] Se encuentran aplicaciones similares en campos como la economía , la geografía , la ingeniería (incluida la electrónica y la robótica ) y la informática para expresar relaciones, resolver problemas y modelar sistemas. ^[130] El álgebra lineal juega un papel central en la inteligencia artificial y el aprendizaje automático , por ejemplo, al permitir el procesamiento y análisis eficiente de grandes conjuntos de datos . ^[131] Varios campos se basan en estructuras algebraicas investigadas por el álgebra abstracta. Por ejemplo, las ciencias físicas como la cristalografía y la mecánica cuántica hacen un uso extensivo de la teoría de grupos, ^[132] que también se emplea para estudiar rompecabezas como el Sudoku y los cubos de Rubik , ^[133] y el origami . ^[134] Tanto la teoría de codificación como la criptología se basan en el álgebra abstracta para resolver problemas asociados con la transmisión de datos , como evitar los efectos del ruido y garantizar la seguridad de los datos . ^[135]

La enseñanza del álgebra se centra principalmente en el álgebra elemental, que es una de las razones por las que el álgebra elemental también se denomina álgebra escolar. Por lo general, no se introduce hasta la educación secundaria , ya que requiere el dominio de los fundamentos de la aritmética al tiempo que plantea nuevos desafíos cognitivos asociados con el razonamiento abstracto y la generalización. ^[137] Su objetivo es familiarizar a los estudiantes con el lado formal de las matemáticas ayudándolos a comprender el simbolismo matemático, por ejemplo, cómo se pueden utilizar las variables para representar cantidades desconocidas. Una dificultad adicional para los estudiantes radica en el hecho de que, a diferencia de los cálculos aritméticos, las expresiones algebraicas a menudo son difíciles de resolver directamente. En cambio, los estudiantes necesitan aprender a transformarlas de acuerdo con ciertas leyes, a menudo con el objetivo de determinar una cantidad desconocida. ^[138]

Algunas herramientas para introducir a los estudiantes al lado abstracto del álgebra se basan en modelos concretos y visualizaciones de ecuaciones, incluyendo analogías geométricas, manipuladores que incluyen palos o tazas, y "máquinas de funciones" que representan ecuaciones como diagramas de flujo . Un método utiliza balanzas como un enfoque pictórico para ayudar a los estudiantes a comprender problemas básicos de álgebra. La masa de algunos objetos en la balanza es desconocida y representa variables. Resolver una ecuación corresponde a agregar y quitar objetos en ambos lados de tal manera que los lados permanezcan en equilibrio hasta que el único objeto que quede en un lado sea el objeto de masa desconocida. ^[139] Los problemas de palabras son otra herramienta para mostrar cómo se aplica el álgebra a situaciones de la vida real. Por ejemplo, se puede presentar a los estudiantes una situación en la que el hermano de Naomi tiene el doble de manzanas que Naomi. Dado que ambos juntos tienen doce manzanas, se les pide a los estudiantes que encuentren una ecuación algebraica que describa esta situación ( ) y que determinen cuántas manzanas tiene Naomi ( ). ^[140]${\displaystyle 2x+x=12}$${\displaystyle x=4}$

En el nivel universitario, los estudiantes de matemáticas se enfrentan a temas avanzados de álgebra lineal y abstracta. Los cursos iniciales de álgebra lineal se centran en matrices, espacios vectoriales y mapas lineales. Al finalizarlos, los estudiantes suelen conocer el álgebra abstracta, donde aprenden sobre estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos, así como las relaciones entre ellos. El plan de estudios normalmente también cubre casos específicos de estructuras algebraicas, como los sistemas de números racionales, números reales y polinomios. ^[141]

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