Circuito LC

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Un circuito LC , también llamado circuito resonante , circuito tanque o circuito sintonizado , es un circuito eléctrico que consta de un inductor , representado por la letra L, y un condensador , representado por la letra C, conectados entre sí. El circuito puede actuar como un resonador eléctrico , un análogo eléctrico de un diapasón , que almacena energía que oscila a la frecuencia de resonancia del circuito .

• 
  Diagrama de circuito LC
• 
  Circuito LC (izquierda) que consta de una bobina de ferrita y un condensador utilizado como circuito sintonizado en el receptor de un reloj de radio.
• 
  Circuito sintonizado de salida de transmisor de radio de onda corta

Los circuitos LC se utilizan para generar señales a una frecuencia determinada o para seleccionar una señal a una frecuencia determinada de una señal más compleja; esta función se denomina filtro de paso de banda . Son componentes clave en muchos dispositivos electrónicos, en particular equipos de radio, y se utilizan en circuitos como osciladores , filtros , sintonizadores y mezcladores de frecuencia .

Un circuito LC es un modelo idealizado, ya que supone que no hay disipación de energía debido a la resistencia . Cualquier implementación práctica de un circuito LC siempre incluirá la pérdida resultante de una resistencia pequeña pero no nula dentro de los componentes y los cables de conexión. El propósito de un circuito LC es generalmente oscilar con una amortiguación mínima , por lo que la resistencia se hace lo más baja posible. Si bien ningún circuito práctico está libre de pérdidas, es instructivo estudiar esta forma ideal del circuito para obtener comprensión e intuición física. Para un modelo de circuito que incorpora resistencia, consulte circuito RLC .

El circuito LC de dos elementos descrito anteriormente es el tipo más simple de red de inductor-capacitor (o red LC ). También se lo conoce como circuito LC de segundo orden ^{[1] [2]} para distinguirlo de las redes LC más complicadas (de orden superior) con más inductores y capacitores. Dichas redes LC con más de dos reactancias pueden tener más de una frecuencia resonante .

El orden de la red es el orden de la función racional que describe la red en la variable de frecuencia compleja s . Generalmente, el orden es igual al número de elementos L y C en el circuito y en ningún caso puede superar este número.

Un circuito LC, que oscila a su frecuencia de resonancia natural , puede almacenar energía eléctrica . Vea la animación. Un capacitor almacena energía en el campo eléctrico ( E ) entre sus placas, dependiendo del voltaje a través de él, y un inductor almacena energía en su campo magnético ( B ), dependiendo de la corriente a través de él.

Si se conecta un inductor a un condensador cargado, el voltaje que pasa por el condensador hará que pase una corriente a través del inductor, lo que creará un campo magnético a su alrededor. El voltaje que pasa por el condensador cae a cero a medida que la carga se agota debido al flujo de corriente. En este punto, la energía almacenada en el campo magnético de la bobina induce un voltaje a través de la bobina, porque los inductores se oponen a los cambios de corriente. Este voltaje inducido hace que una corriente comience a recargar el condensador con un voltaje de polaridad opuesta a su carga original. Debido a la ley de Faraday , la FME que impulsa la corriente es causada por una disminución del campo magnético, por lo que la energía necesaria para cargar el condensador se extrae del campo magnético. Cuando el campo magnético se haya disipado por completo, la corriente se detendrá y la carga se almacenará nuevamente en el condensador, con la polaridad opuesta como antes. Luego, el ciclo comenzará nuevamente, con la corriente fluyendo en la dirección opuesta a través del inductor.

La carga fluye de ida y vuelta entre las placas del condensador, a través del inductor. La energía oscila de ida y vuelta entre el condensador y el inductor hasta que (si no se repone desde un circuito externo) la resistencia interna hace que las oscilaciones se extingan. La acción del circuito sintonizado, conocida matemáticamente como oscilador armónico , es similar a un péndulo que se balancea de ida y vuelta, o al agua que se agita de ida y vuelta en un tanque; por esta razón, el circuito también se llama circuito tanque . ^[3] La frecuencia natural (es decir, la frecuencia a la que oscilará cuando esté aislado de cualquier otro sistema, como se describió anteriormente) está determinada por los valores de capacitancia e inductancia. En la mayoría de las aplicaciones, el circuito sintonizado es parte de un circuito más grande que le aplica corriente alterna , lo que impulsa oscilaciones continuas. Si la frecuencia de la corriente aplicada es la frecuencia de resonancia natural del circuito ( frecuencia natural a continuación), se producirá resonancia y una pequeña corriente de excitación puede excitar voltajes y corrientes oscilantes de gran amplitud. En los circuitos típicos sintonizados en equipos electrónicos, las oscilaciones son muy rápidas, desde miles hasta miles de millones de veces por segundo. ^{[ cita requerida ]}${\estilo de visualización f_{0}\,}$

La resonancia se produce cuando un circuito LC se activa desde una fuente externa a una frecuencia angular ω ₀ en la que las reactancias inductiva y capacitiva son iguales en magnitud. La frecuencia en la que se cumple esta igualdad para el circuito en particular se denomina frecuencia resonante. La frecuencia resonante del circuito LC es

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

donde L es la inductancia en henrios y C es la capacitancia en faradios . La frecuencia angular ω ₀ tiene unidades de radianes por segundo.

La frecuencia equivalente en unidades de hercios es

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

El efecto de resonancia del circuito LC tiene muchas aplicaciones importantes en el procesamiento de señales y sistemas de comunicaciones.

• La aplicación más común de los circuitos de tanque es la sintonización de transmisores y receptores de radio. Por ejemplo, al sintonizar una radio en una estación en particular, los circuitos LC se configuran en resonancia para esa frecuencia portadora en particular .
• Un circuito resonante en serie proporciona ampliación de voltaje .
• Un circuito resonante paralelo proporciona ampliación de corriente .
• Se puede utilizar un circuito resonante en paralelo como impedancia de carga en los circuitos de salida de los amplificadores de RF. Debido a la alta impedancia, la ganancia del amplificador es máxima en la frecuencia de resonancia.
• En el calentamiento por inducción se utilizan circuitos resonantes tanto en paralelo como en serie .

Los circuitos LC se comportan como resonadores electrónicos , que son un componente clave en muchas aplicaciones:

• Amplificadores
• Osciladores
• Filtros
• Sintonizadores
• Mezcladores
• Discriminador Foster-Seeley
• Tarjetas sin contacto
• Tabletas gráficas
• Vigilancia electrónica de artículos (etiquetas de seguridad)

Según la ley de voltaje de Kirchhoff , el voltaje V _C a través del capacitor más el voltaje V _L a través del inductor debe ser igual a cero:

${\displaystyle V_{C}+V_{L}=0.}$

Del mismo modo, según la ley de corriente de Kirchhoff , la corriente a través del capacitor es igual a la corriente a través del inductor:

${\displaystyle I_{C}=I_{L}.}$

De las relaciones constitutivas de los elementos del circuito, también sabemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=L{\frac {\mathrm {d} I_{L}}{\mathrm {d} t}},\\I_{C}( t)&=C{\frac {\mathrm {d} V_{C}}{\mathrm {d} t}}.\end{aligned}}}$

Reordenando y sustituyendo se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {1}{LC}}I(t)=0.}$

El parámetro ω ₀ , la frecuencia angular resonante , se define como

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

Usando esto podemos simplificar la ecuación diferencial:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0.}$

La transformada de Laplace asociada es

${\displaystyle s^{2}+\omega _ {0}^{2}=0,}$

de este modo

${\displaystyle s=\pm j\omega _{0},}$

donde j es la unidad imaginaria .

Por lo tanto, la solución completa de la ecuación diferencial es

${\displaystyle I(t)=Ae^{+j\omega _{0}t}+Be^{-j\omega _{0}t}}$

y se puede resolver para A y B considerando las condiciones iniciales. Como la exponencial es compleja , la solución representa una corriente alterna sinusoidal . Como la corriente eléctrica I es una cantidad física, debe tener un valor real. Como resultado, se puede demostrar que las constantes A y B deben ser conjugadas complejas :

${\displaystyle A=B^{*}.}$

Ahora vamos

${\displaystyle A={\frac {I_{0}}{2}}e^{+j\phi }.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle B={\frac {I_{0}}{2}}e^{-j\phi }.}$

A continuación, podemos utilizar la fórmula de Euler para obtener una sinusoide real con amplitud I ₀ , frecuencia angular ω ₀ = ⁠1/√ LC⁠ , y ángulo de fase .${\estilo de visualización \phi}$

Por lo tanto, la solución resultante se convierte en

${\displaystyle I(t)=I_{0}\cos \left(\omega _{0}t+\phi \right),}$

${\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \left(\ omega _{0}t+\phi \right).}$

Las condiciones iniciales que satisfarían este resultado son

${\displaystyle I(0)=I_{0}\cos \phi,}$

${\displaystyle V_{L}(0)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{t=0}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \phi .}$

En la configuración en serie del circuito LC, el inductor (L) y el capacitor (C) están conectados en serie, como se muestra aquí. El voltaje total V a través de los terminales abiertos es simplemente la suma del voltaje a través del inductor y el voltaje a través del capacitor. La corriente I en el terminal positivo del circuito es igual a la corriente a través del capacitor y el inductor.

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{L}+V_{C},\\I&=I_{L}=I_{C}.\end{aligned}}}$

La reactancia inductiva aumenta a medida que aumenta la frecuencia, mientras que la reactancia capacitiva disminuye con el aumento de la frecuencia (definida aquí como un número positivo). En una frecuencia particular, estas dos reactancias son iguales y los voltajes a través de ellas son iguales y de signo opuesto; esa frecuencia se denomina frecuencia resonante f ₀ para el circuito dado.${\displaystyle \ X_{\mathsf {L}}=\omega L\ }$ ${\displaystyle \ X_{\mathsf {C}}={\frac {1}{\ \omega C\ }}\ }$  

Por lo tanto, en resonancia,

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{\mathsf {L}}&=X_{\mathsf {C}}\ ,\\\omega L&={\frac {1}{\ \omega C\ }}~.\end{aligned}}}$

Resolviendo para ω , tenemos

${\displaystyle \omega =\omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

que se define como la frecuencia angular resonante del circuito. Al convertir la frecuencia angular (en radianes por segundo) en frecuencia (en hercios ), se tiene

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

y

${\displaystyle X_{{\mathsf {L}}0}=X_{{\mathsf {C}}0}={\sqrt {{\frac {\ L\ }{C}}\;}}}$

en .${\displaystyle \omega _{0}}$

En una configuración en serie, X _C y X _L se anulan entre sí. En los componentes reales, en lugar de idealizados, la corriente se opone, principalmente, a la resistencia de los devanados de la bobina. Por lo tanto, la corriente suministrada a un circuito resonante en serie es máxima en resonancia.

• En el límite, cuando f → f ₀ la corriente es máxima. La impedancia del circuito es mínima. En este estado, un circuito se denomina circuito aceptor ^[4]  
• Para   f   <   f ₀  ,   X _L ≪ X _C  ; por lo tanto, el circuito es capacitivo.
• Para   f   >   f ₀  ,   X _L ≫ X _C  ; por lo tanto, el circuito es inductivo.

En la configuración en serie, la resonancia se produce cuando la impedancia eléctrica compleja del circuito se acerca a cero.

En primer lugar, consideremos la impedancia del circuito LC en serie. La impedancia total se obtiene sumando las impedancias inductiva y capacitiva:

${\displaystyle Z=Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}~.}$

Escribiendo la impedancia inductiva como  Z _L = jωL  y la impedancia capacitiva como  Z _C = ⁠1/ jωC ⁠  y sustituyendo da

${\displaystyle Z(\omega )=j\omega L+{\frac {1}{\ j\omega C\ }}~.}$

Escribiendo esta expresión bajo un denominador común se obtiene

${\displaystyle Z(\omega )=j\left({\frac {\ \omega ^{2}LC-1\ }{\omega C}}\right)~.}$

Finalmente, definiendo la frecuencia angular natural como

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

La impedancia se convierte en

${\displaystyle Z(\omega )=j\ L\ \left({\frac {\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }{\omega }}\right)=j\ \omega _{0}L\ \left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)=j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\ }}\left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)\ ,}$

donde da la reactancia del inductor en resonancia.${\displaystyle \,\omega _{0}L\ \,}$

El numerador implica que en el límite cuando ω → ± ω ₀ , la impedancia total  Z  será cero y, en caso contrario, distinta de cero. Por lo tanto, el circuito LC en serie, cuando se conecta en serie con una carga, actuará como un filtro de paso de banda con impedancia cero en la frecuencia de resonancia del circuito LC.  

Cuando el inductor (L) y el capacitor (C) están conectados en paralelo como se muestra aquí, el voltaje V a través de los terminales abiertos es igual tanto al voltaje a través del inductor como al voltaje a través del capacitor. La corriente total I que fluye hacia el terminal positivo del circuito es igual a la suma de la corriente que fluye a través del inductor y la corriente que fluye a través del capacitor:

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{\mathsf {L}}=V_{\mathsf {C}}\ ,\\I&=I_{\mathsf {L}}+I_{\mathsf {C}}~.\end{aligned}}}$

Cuando X _L es igual a X _C , las dos corrientes de ramal son iguales y opuestas. Se cancelan entre sí para dar una corriente mínima en la línea principal (en principio, corriente cero). Sin embargo, hay una gran corriente circulando entre el condensador y el inductor. En principio, esta corriente circulante es infinita, pero en realidad está limitada por la resistencia en el circuito, en particular la resistencia en los devanados del inductor. Dado que la corriente total es mínima, en este estado la impedancia total es máxima.

La frecuencia de resonancia viene dada por

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}~.}$

Ninguna corriente de rama es mínima en resonancia, sino que cada una se da por separado dividiendo el voltaje de la fuente ( V ) por la reactancia ( Z ). Por lo tanto   I = ⁠ V /O⁠  , segúnla ley de Ohm.

• En   f ₀  , la corriente de línea es mínima. La impedancia total es máxima. En este estado, un circuito se denomina circuito rechazador . ^[5]
• Por debajo de   f ₀  , el circuito es inductivo.
• Por encima de   f ₀  , el circuito es capacitivo.

El mismo análisis se puede aplicar al circuito LC en paralelo. La impedancia total se obtiene entonces mediante

${\displaystyle Z={\frac {\ Z_{\mathsf {L}}Z_{\mathsf {C}}\ }{Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}}}\ ,}$

y después de sustituir Z _L = j ω L y Z _C = ⁠1/ jωC ⁠ y simplificando, da

${\displaystyle Z(\omega )=-j\cdot {\frac {\omega L}{\ \omega ^{2}LC-1\ }}~.}$

Usando

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

Se simplifica aún más

${\displaystyle Z(\omega )=-j\ \left({\frac {1}{\ C\ }}\right)\left({\frac {\omega }{\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\right)=+j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}=+j\ {\frac {\omega _{0}L}{\ \left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}~.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \lim _{\omega \to \omega _{0}}Z(\omega )=\infty \ ,}$

pero para todos los demás valores de ω la impedancia es finita.

De esta forma, el circuito LC paralelo conectado en serie con una carga actuará como un filtro pasa banda con impedancia infinita en la frecuencia de resonancia del circuito LC, mientras que el circuito LC paralelo conectado en paralelo con una carga actuará como un filtro pasa banda .

El circuito LC se puede resolver utilizando la transformada de Laplace .

Comenzamos definiendo la relación entre la corriente y el voltaje a través del capacitor y el inductor de la manera habitual:

${\displaystyle v_{\mathrm {C} }(t)=v(t)\ ,~}$ ${\displaystyle i(t)=C\ {\frac {\mathrm {d} \ v_{\mathrm {C} }}{\mathrm {d} t}}\ ,~}$y${\displaystyle ~v_{\mathrm {L} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}\;.}$

Luego, mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff, podemos llegar a las ecuaciones diferenciales que gobiernan el sistema.

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{\mathrm {L} }(t)+v_{\mathrm {C} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}+v=L\ C\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}\ v}{\mathrm {d} t^{2}}}+v\;.}$

Con condiciones iniciales y${\displaystyle \ v(0)=v_{0}\ }$${\displaystyle \ i(0)=i_{0}=C\cdot v'(0)=C\cdot v'_{0}\;.}$

Haciendo las siguientes definiciones,

${\displaystyle \omega _{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {L\ C\ }}}}~}$y${\displaystyle ~f(t)\equiv \omega _{0}^{2}\ v_{\mathrm {in} }(t)}$

da

${\displaystyle f(t)={\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\;.}$

Ahora aplicamos la transformada de Laplace.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} \left[\ f(t)\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} \left[\ {\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\ \right]\,,}$

${\displaystyle F(s)=s^{2}\ V(s)-s\ v_{0}-v'_{0}+\omega _{0}^{2}\ V(s)\;.}$

La transformada de Laplace ha convertido nuestra ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Resolver V en el dominio s (dominio de frecuencia) es mucho más simple, es decir:

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}+v'_{0}+F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\,,}$

Que puede transformarse nuevamente al dominio del tiempo a través de la transformada inversa de Laplace:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ V(s)\ \right]}$

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

Para el segundo sumando se necesita una fracción equivalente de:${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+v'_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

Para el segundo sumando se necesita una fracción equivalente de:${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\ \omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]}$

El término final depende de la forma exacta del voltaje de entrada. Dos casos comunes son la función escalonada de Heaviside y una onda sinusoidal . Para una función escalonada de Heaviside obtenemos

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=M\ u(t)\,,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}{\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]~=~\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ M\ {\frac {1}{\ s\ (s^{2}+\omega _{0}^{2})\ }}\ \right]~=~M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\,,}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\ \cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)+M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\;.}$

Para el caso de una función sinusoidal como entrada obtenemos:

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=U\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\Rightarrow V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\,}$

donde es la amplitud y la frecuencia de la función aplicada.${\displaystyle U}$${\displaystyle \omega _{f}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Utilizando el método de fracciones parciales:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {A+Bs}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ +{\frac {C+Ds}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Simplificando por ambos lados

${\displaystyle 1=(A+Bs)(\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C+Ds)(\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=(A\ s^{2}+\ A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ B\ s^{3}+\ B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+\ C\ s^{2}+\ C\ \omega _{0}^{2}\ +\ D\ s^{3}+\ D\ s\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=s^{3}(B\ +\ D\ )+s^{2}(A\ +\ C)+s(B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2})+(A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2})}$

Resolvemos la ecuación para A, B y C:

${\displaystyle A+C=0\Rightarrow C=-A}$

${\displaystyle A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2}=1\Rightarrow A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\ A\ \omega _{0}^{2}=1}$

${\displaystyle \Rightarrow A\ ={\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle \Rightarrow C\ =-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle B+C=0}$

${\displaystyle B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\ B\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ (\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow B=0,\ D=0}$

Sustituye los valores de A, B y C:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}+{\frac {-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Aislando la constante y utilizando fracciones equivalentes para ajustar la falta de numerador:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\left({\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}-{\frac {\omega _{f}}{\omega _{f}(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right)\right]\,}$

Realizando la transformada de Laplace inversa en cada sumando:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left(\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {1}{\omega _{0}}}{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)={\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;,}$

Utilizando condiciones iniciales en la solución de Laplace:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+{\frac {\omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;.}$

La primera evidencia de que un condensador y un inductor podían producir oscilaciones eléctricas fue descubierta en 1826 por el científico francés Felix Savary . ^{[6] [7]} Descubrió que cuando se descargaba una botella de Leyden a través de un alambre enrollado alrededor de una aguja de hierro, a veces la aguja quedaba magnetizada en una dirección y a veces en la dirección opuesta. Dedujo correctamente que esto era causado por una corriente de descarga oscilante amortiguada en el alambre, que invertía la magnetización de la aguja de un lado a otro hasta que era demasiado pequeña para tener efecto, dejando la aguja magnetizada en una dirección aleatoria. El físico estadounidense Joseph Henry repitió el experimento de Savary en 1842 y llegó a la misma conclusión, aparentemente de forma independiente. ^{[8] [9]}

El científico irlandés William Thomson (Lord Kelvin) en 1853 demostró matemáticamente que la descarga de una botella de Leyden a través de una inductancia debería ser oscilatoria, y derivó su frecuencia de resonancia. ^{[6] [8] [9]} El investigador de radio británico Oliver Lodge , al descargar una gran batería de botellas de Leyden a través de un cable largo, creó un circuito sintonizado con su frecuencia de resonancia en el rango de audio, que produjo un tono musical a partir de la chispa cuando se descargó. ^[8] En 1857, el físico alemán Berend Wilhelm Feddersen fotografió la chispa producida por un circuito resonante de botella de Leyden en un espejo giratorio, proporcionando evidencia visible de las oscilaciones. ^{[6] [8] [9]} En 1868, el físico escocés James Clerk Maxwell calculó el efecto de aplicar una corriente alterna a un circuito con inductancia y capacitancia, mostrando que la respuesta es máxima en la frecuencia de resonancia. ^[6] El primer ejemplo de una curva de resonancia eléctrica fue publicado en 1887 por el físico alemán Heinrich Hertz en su artículo pionero sobre el descubrimiento de las ondas de radio, mostrando la longitud de chispa obtenible a partir de sus detectores de resonador LC de espacio de chispa en función de la frecuencia. ^[6]

Una de las primeras demostraciones de resonancia entre circuitos sintonizados fue el experimento de Lodge de las "botellas sintónicas" alrededor de 1889. ^{[6] [8]} Colocó dos circuitos resonantes uno al lado del otro, cada uno de ellos compuesto por una botella de Leyden conectada a una bobina ajustable de una vuelta con un chispero. Cuando se aplicaba un alto voltaje de una bobina de inducción a un circuito sintonizado, creando chispas y, por lo tanto, corrientes oscilantes, las chispas se excitaban en el otro circuito sintonizado solo cuando los circuitos se ajustaban a la resonancia. Lodge y algunos científicos ingleses preferían el término " sintónica " para este efecto, pero el término " resonancia " finalmente se mantuvo. ^[6] El primer uso práctico de los circuitos LC fue en la década de 1890 en transmisores de radio con chispero para permitir que el receptor y el transmisor se sintonizaran a la misma frecuencia. La primera patente para un sistema de radio que permitía la sintonización fue presentada por Lodge en 1897, aunque los primeros sistemas prácticos fueron inventados en 1900 por el pionero de la radio italiano Guglielmo Marconi . ^[6]

• Circuito RL
• Circuito RC
• Circuito RLC

El Wikilibro Circuit Idea tiene una página sobre el tema: ¿Cómo creamos oscilaciones sinusoidales?

• Un péndulo eléctrico de Tony Kuphaldt es una historia clásica sobre el funcionamiento del tanque LC
• La forma en que el circuito LC paralelo almacena energía es otro excelente recurso LC.