Homología (matemáticas)

En matemáticas , el término homología , introducido originalmente en la topología algebraica , tiene tres usos principales, estrechamente relacionados. El uso más directo del término es tomar la homología de un complejo de cadena , lo que da como resultado una secuencia de grupos abelianos llamados grupos de homología. Esta operación, a su vez, permite asociar varias homologías nombradas o teorías de homología a varios otros tipos de objetos matemáticos. Por último, dado que hay muchas teorías de homología para espacios topológicos que producen la misma respuesta, también se habla a menudo de la homología de un espacio topológico . (Esta última noción de homología admite descripciones más intuitivas para espacios topológicos unidimensionales o bidimensionales, y a veces se hace referencia a ella en las matemáticas populares ). También existe una noción relacionada de la cohomología de un complejo de cocadena , que da lugar a varias teorías de cohomología, además de la noción de cohomología de un espacio topológico .

Para tomar la homología de un complejo de cadena , se comienza con un complejo de cadena, que es una secuencia de grupos abelianos (cuyos elementos se llaman cadenas ) y homomorfismos de grupos (llamados mapas de contorno ) tales que la composición de dos mapas consecutivos cualesquiera es cero:${\displaystyle (C_{\bullet},d_{\bullet})}$ $Estilo de visualización C_{n}$ $Estilo de visualización d_{n}$

${\displaystyle C_{\bullet}:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

El ésimo grupo de homología de este complejo de cadena es entonces el grupo cociente de ciclos módulo límites, donde el ésimo grupo de ciclos está dado por el subgrupo kernel y el ésimo grupo de límites está dado por el subgrupo imagen . Opcionalmente, se puede dotar a los complejos de cadena de una estructura adicional, por ejemplo, tomando adicionalmente los grupos como módulos sobre un anillo de coeficientes y tomando las aplicaciones de límites como homomorfismos de - módulos , lo que da como resultado grupos de homología que también son módulos cocientes . Se pueden utilizar herramientas del álgebra homológica para relacionar grupos de homología de diferentes complejos de cadena.${\estilo de visualización n}$$Estilo de visualización H_{n}$ ${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle Z_{n}}$${\displaystyle Z_{n}:=\ker d_{n}:=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$${\estilo de visualización n}$ $Estilo de visualización B_{n}$${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}:=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\ }}$$Estilo de visualización C_{n}$ ${\estilo de visualización R}$$Estilo de visualización d_{n}$${\estilo de visualización R}$$Estilo de visualización H_{n}$

Para asociar una teoría de homología a otros tipos de objetos matemáticos, primero se da una prescripción para asociar complejos de cadena a ese objeto y luego se toma la homología de dicho complejo de cadena. Para que la teoría de homología sea válida, todos los complejos de cadena asociados al mismo objeto matemático deben tener la misma homología. La teoría de homología resultante a menudo se nombra de acuerdo con el tipo de complejo de cadena prescrito. Por ejemplo, la homología singular , la homología de Morse , la homología de Khovanov y la homología de Hochschild se obtienen respectivamente a partir de complejos de cadena singulares, complejos de Morse, complejos de Khovanov y complejos de Hochschild. En otros casos, como para la homología de grupo , existen múltiples métodos comunes para calcular los mismos grupos de homología.

En el lenguaje de la teoría de categorías , una teoría de homología es un tipo de funtor de la categoría del objeto matemático en estudio a la categoría de grupos abelianos y homomorfismos de grupo, o más generalmente a la categoría correspondiente a los complejos de cadena asociados. También se pueden formular teorías de homología como funtores derivados sobre categorías abelianas apropiadas , midiendo el fracaso de un funtor apropiado para ser exacto . Se puede describir esta última construcción explícitamente en términos de resoluciones , o más abstractamente desde la perspectiva de categorías derivadas o categorías modelo .

Independientemente de cómo se formulen, las teorías de homología ayudan a proporcionar información sobre la estructura de los objetos matemáticos a los que están asociadas y, a veces, pueden ayudar a distinguir diferentes objetos.

Tal vez el uso más conocido del término homología sea el de la homología de un espacio topológico . Para espacios topológicos suficientemente buenos y elecciones compatibles de anillos de coeficientes, cualquier teoría de homología que satisfaga los axiomas de Eilenberg-Steenrod produce los mismos grupos de homología que la homología singular (ver más abajo) de ese espacio topológico, con la consecuencia de que a menudo uno simplemente se refiere a la "homología" de ese espacio, en lugar de especificar qué teoría de homología se utilizó para calcular los grupos de homología en cuestión.

Para espacios topológicos unidimensionales, probablemente la teoría de homología más simple de usar es la homología de grafos , que podría considerarse como un caso especial unidimensional de homología simplicial , la última de las cuales implica una descomposición del espacio topológico en símplices . (Los símplices son una generalización de triángulos a una dimensión arbitraria; por ejemplo, una arista en un grafo es homeomorfa a un símplice unidimensional, y una pirámide basada en triángulos es un 3-símplice). La homología simplicial puede a su vez generalizarse a la homología singular , que permite mapas más generales de símplices en el espacio topológico. Reemplazar símplices con discos de varias dimensiones da como resultado una construcción relacionada llamada homología celular .

También hay otras formas de calcular estos grupos de homología, por ejemplo, a través de la homología de Morse , o tomando la salida del Teorema del Coeficiente Universal cuando se aplica a una teoría de cohomología como la cohomología de Čech o (en el caso de coeficientes reales) la cohomología de De Rham .

Una de las ideas que condujo al desarrollo de la homología fue la observación de que ciertas formas de baja dimensión se pueden distinguir topológicamente examinando sus "agujeros". Por ejemplo, una figura en forma de ocho tiene más agujeros que un círculo , y un 2-toro (una superficie bidimensional con forma de cámara de aire) tiene agujeros diferentes a los de una 2-esfera (una superficie bidimensional con forma de pelota de baloncesto).$Estilo de visualización S1$$Estilo de visualización T2$$Estilo de visualización S2$

El estudio de características topológicas como estas condujo a la noción de los ciclos que representan clases de homología (los elementos de los grupos de homología). Por ejemplo, los dos círculos incrustados en una figura de ocho proporcionan ejemplos de ciclos unidimensionales, o 1-ciclos, y el 2-toro y la 2-esfera representan 2-ciclos. Los ciclos forman un grupo bajo la operación de adición formal, que se refiere a sumar ciclos simbólicamente en lugar de combinarlos geométricamente. Cualquier suma formal de ciclos se denomina nuevamente ciclo.$Estilo de visualización T2$$Estilo de visualización S2$

Las construcciones explícitas de grupos de homología son algo técnicas. Como se mencionó anteriormente, una realización explícita de los grupos de homología de un espacio topológico se define en términos de los ciclos y límites de un complejo de cadena asociado a , donde el tipo de complejo de cadena depende de la elección de la teoría de homología en uso. Estos ciclos y límites son elementos de los grupos abelianos , y se definen en términos de los homomorfismos de límite del complejo de cadena, donde cada uno es un grupo abeliano, y son homomorfismos de grupo que satisfacen para todos .$Estilo de visualización H_{n}(X)}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle (C_{\bullet},d_{\bullet})}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$$Estilo de visualización C_{n}$$Estilo de visualización d_{n}$${\displaystyle d_{n-1}\circ d_{n}=0}$${\estilo de visualización n}$

Dado que estas construcciones son algo técnicas, las discusiones informales sobre homología a veces se centran en nociones topológicas que son paralelas a algunos de los aspectos teóricos de grupos de los ciclos y los límites.

Por ejemplo, en el contexto de los complejos de cadena , un límite es cualquier elemento de la imagen del homomorfismo de límite , para algún . En topología, el límite de un espacio se obtiene técnicamente tomando el cierre del espacio menos su interior , pero también es una noción familiar a partir de ejemplos, por ejemplo, el límite del disco unitario es el círculo unitario, o más topológicamente, el límite de es .${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}:=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\ }}$${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$${\estilo de visualización n}$$Estilo de visualización D^{2}}$$Estilo de visualización S1$

Topológicamente, el límite del intervalo cerrado está dado por la unión disjunta , y con respecto a las convenciones de orientación adecuadas, el límite orientado de está dado por la unión de un orientado positivamente con un orientado negativamente . El análogo complejo de cadena simplicial de esta afirmación es que . (Dado que es un homomorfismo, esto implica para cualquier entero .)${\estilo de visualización [0,1]}$${\displaystyle \{0\}\,\amalg \,\{1\}}$${\estilo de visualización [0,1]}$${\estilo de visualización \{1\}}$${\estilo de visualización \{0\}.}$${\displaystyle d_{1}([0,1])=\{1\}-\{0\}}$$estilo de visualización d_{1}$${\displaystyle d_{1}(k[0,1])=k\cdot \{1\}-k\cdot \{0\}}$${\estilo de visualización k}$

En el contexto de los complejos de cadena, un ciclo es cualquier elemento del núcleo , para algún . En otras palabras, es un ciclo si y solo si . El análogo topológico más cercano de esta idea sería una forma que "no tiene límite", en el sentido de que su límite es el conjunto vacío. Por ejemplo, dado que , y no tienen límite, se pueden asociar ciclos a cada uno de estos espacios. Sin embargo, la noción de ciclos del complejo de cadena (elementos cuyo límite es una "cadena cero") es más general que la noción topológica de una forma sin límite.${\displaystyle Z_{n}:=\ker d_{n}:=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle c\in C_{n}}$${\displaystyle d_{n}(c)=0}$$Estilo de visualización S^{1}, S^{2}}$$Estilo de visualización T2$

Es esta noción topológica de ausencia de límite lo que la gente generalmente tiene en mente cuando afirma que los ciclos pueden considerarse intuitivamente como detectores de agujeros. La idea es que para formas sin límite como , , y , es posible en cada caso pegar una forma más grande para la cual la forma original es el límite. Por ejemplo, comenzando con un círculo , uno podría pegar un disco bidimensional a ese de modo que el sea el límite de ese . De manera similar, dada una esfera de dos dimensiones , uno puede pegar una bola a esa de modo que el sea el límite de esa . Este fenómeno a veces se describe como decir que tiene un "agujero" con forma de o que podría "rellenarse" con un .$Estilo de visualización S1$$Estilo de visualización S2$$Estilo de visualización T2$$Estilo de visualización S1$$Estilo de visualización D^{2}}$$Estilo de visualización S1$$Estilo de visualización S1$$Estilo de visualización D^{2}}$$Estilo de visualización S2$$Estilo de visualización B^{3}}$$Estilo de visualización S2$$Estilo de visualización S2$$Estilo de visualización B^{3}}$$Estilo de visualización S2$$Estilo de visualización B^{3}}$$Estilo de visualización B^{3}}$

En términos más generales, cualquier forma sin límite se puede "rellenar" con un cono , ya que si un espacio dado no tiene límite, entonces el límite del cono en está dado por , y por lo tanto, si uno "rellena" pegando el cono en sobre , entonces sería el límite de ese cono. (Por ejemplo, un cono en es homeomorfo a un disco cuyo límite es que ). Sin embargo, a veces es deseable restringir a espacios más agradables como las variedades , y no todos los conos son homeomorfos a una variedad. Los representantes embebidos de 1-ciclos, 3-ciclos y 2-ciclos orientados admiten agujeros con forma de variedad, pero, por ejemplo, el plano proyectivo real y el plano proyectivo complejo tienen clases de cobordismo no triviales y, por lo tanto, no se pueden "rellenar" con variedades.${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización Y}$$Estilo de visualización S1$$Estilo de visualización D^{2}}$$Estilo de visualización S1$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

Por otra parte, los límites discutidos en la homología de un espacio topológico son diferentes de los límites de los agujeros "rellenados", porque la homología de un espacio topológico tiene que ver con el espacio original , y no con nuevas formas construidas a partir de pegar piezas adicionales en . Por ejemplo, cualquier círculo incrustado en ya limita algún disco incrustado en , por lo que esto da lugar a una clase límite en la homología de . Por el contrario, ninguna incrustación de en uno de los 2 lóbulos de la forma en forma de ocho da un límite, a pesar del hecho de que es posible pegar un disco en un lóbulo en forma de ocho.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización C}$$Estilo de visualización S2$${\estilo de visualización D}$$Estilo de visualización S2$${\estilo de visualización C}$$Estilo de visualización S2$$Estilo de visualización S1$

Dado un espacio topológico suficientemente bueno , una elección de teoría de homología apropiada y un complejo de cadena asociado a que sea compatible con esa teoría de homología, el ésimo grupo de homología está dado entonces por el grupo cociente de -ciclos ( ciclos -dimensionales) módulo -límites dimensionales. En otras palabras, los elementos de , llamados clases de homología , son clases de equivalencia cuyos representantes son -ciclos, y dos ciclos cualesquiera se consideran iguales en si y solo si difieren por la adición de un límite. Esto también implica que el elemento "cero" de está dado por el grupo de límites -dimensionales, que también incluye sumas formales de dichos límites.${\estilo de visualización X}$${\displaystyle (C_{\bullet},d_{\bullet})}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización n}$ $Estilo de visualización H_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}/B_{n}}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$$Estilo de visualización H_{n}(X)}$${\estilo de visualización n}$$Estilo de visualización H_{n}(X)}$$Estilo de visualización H_{n}(X)}$${\estilo de visualización n}$

La homología de un espacio topológico X es un conjunto de invariantes topológicos de X representados por sus grupos de homología , donde el grupo de homología describe, informalmente, el número de huecos en X con un límite k -dimensional. Un hueco con límite 0-dimensional es simplemente un espacio entre dos componentes . En consecuencia, describe los componentes conexos por trayectorias de X . ^[1]$${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$$${\displaystyle k^{\rm {th}}}$${\displaystyle H_{k}(X)}$${\displaystyle H_{0}(X)}$

Una esfera unidimensional es un círculo . Tiene un único componente conectado y un agujero en el límite unidimensional, pero no tiene agujeros en dimensiones superiores. Los grupos de homología correspondientes se dan como donde es el grupo de números enteros y es el grupo trivial . El grupo representa un grupo abeliano finitamente generado , con un único generador que representa el agujero unidimensional contenido en un círculo. ^[2]${\displaystyle S^{1}}$$${\displaystyle H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$

Una esfera bidimensional tiene un único componente conectado, ningún agujero en el límite unidimensional, un agujero en el límite bidimensional y ningún agujero en dimensiones superiores. Los grupos de homología correspondientes son ^{[2] [3]}${\displaystyle S^{2}}$$${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

En general, para una esfera n -dimensional los grupos de homología son${\displaystyle S^{n},}$$${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Una bola bidimensional es un disco sólido. Tiene un único componente conectado por trayectorias, pero a diferencia del círculo, no tiene agujeros de dimensiones superiores. Los grupos de homología correspondientes son todos triviales excepto . En general, para una bola n -dimensional ^[2]${\displaystyle B^{2}}$${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$${\displaystyle B^{n},}$

$${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

El toro se define como un producto de dos círculos . El toro tiene un único componente conectado por trayectorias, dos agujeros unidimensionales independientes (indicados por círculos en rojo y azul) y un agujero bidimensional como interior del toro. Los grupos de homología correspondientes son ^[4]${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$$${\displaystyle H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Si n productos de un espacio topológico X se escriben como , entonces en general, para un toro n -dimensional ,${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$

$${\displaystyle H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

(ver Torus#toro n-dimensional y número de Betti#Más ejemplos para más detalles).

Los dos agujeros unidimensionales independientes forman generadores independientes en un grupo abeliano finitamente generado, expresado como el grupo de productos ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

Para el plano proyectivo P , un cálculo simple muestra (donde es el grupo cíclico de orden 2): ^[5]${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$$${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle H_{0}(P)=\mathbb {Z} }$corresponde, como en los ejemplos anteriores, a que hay un único componente conexo. es un fenómeno nuevo: intuitivamente, corresponde a que hay un único "bucle" no contráctil, pero si hacemos el bucle dos veces, se vuelve contráctil a cero. Este fenómeno se llama torsión .${\displaystyle H_{1}(P)=\mathbb {Z} _{2}}$

El texto siguiente describe un algoritmo general para construir los grupos de homología. Puede resultar más fácil para el lector ver primero algunos ejemplos simples: homología de grafos y homología simplicial .

La construcción general comienza con un objeto como un espacio topológico X , en el que primero se define un complejo de cadena C ( X ) que codifica información sobre X . Un complejo de cadena es una secuencia de grupos o módulos abelianos conectados por homomorfismos que se denominan operadores de frontera . ^[4] Es decir,${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

donde 0 denota el grupo trivial y para i < 0. También se requiere que la composición de dos operadores de contorno consecutivos sea trivial. Es decir, para todo n ,${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

es decir, el mapa constante que envía cada elemento de la identidad del grupo en${\displaystyle C_{n+1}}$${\displaystyle C_{n-1}.}$

La afirmación de que el límite de un límite es trivial es equivalente a la afirmación de que , donde denota la imagen del operador de límite y su núcleo . Los elementos de se denominan límites y los elementos de se denominan ciclos .${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$

Como cada grupo de cadenas C _n es abeliano, todos sus subgrupos son normales. Entonces, como es un subgrupo de C _n , es abeliano y, como por lo tanto es un subgrupo normal de . Entonces se puede crear el grupo cociente${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

llamado el n- ésimo grupo de homología de X. Los elementos de H _n ( X ) se denominan clases de homología . Cada clase de homología es una clase de equivalencia sobre ciclos y se dice que dos ciclos en la misma clase de homología son homólogos . ^[6]

Se dice que un complejo en cadena es exacto si la imagen de la función ( n +1) es siempre igual al núcleo de la función n . Por lo tanto, los grupos de homología de X miden "cuán lejos" está el complejo en cadena asociado a X de ser exacto. ^[7]

Los grupos de homología reducidos de un complejo de cadena C ( X ) se definen como homologías del complejo de cadena aumentado ^[8]

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

donde el operador de límite es${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

para una combinación de puntos que son los generadores fijos de C ₀ . Los grupos de homología reducidos coinciden con para El extra en el complejo de cadena representa el mapa único del símplex vacío a X .${\displaystyle \sum n_{i}\sigma _{i},}$${\displaystyle \sigma _{i},}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$${\displaystyle H_{i}(X)}$${\displaystyle i\neq 0.}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$

El cálculo de los grupos de ciclos y de contorno suele ser bastante complicado ya que cuentan con un gran número de generadores. Por otro lado, existen herramientas que facilitan la tarea.${\displaystyle Z_{n}(X)}$${\displaystyle B_{n}(X)}$

Los grupos de homología simplicial H _n ( X ) de un complejo simplicial X se definen utilizando el complejo de cadena simplicial C ( X ), con C _n ( X ) el grupo abeliano libre generado por los n -símplices de X . Consulte homología simplicial para obtener más detalles.

Los grupos de homología singulares H _n ( X ) se definen para cualquier espacio topológico X y concuerdan con los grupos de homología simplicial para un complejo simplicial.

Los grupos de cohomología son formalmente similares a los grupos de homología: se empieza con un complejo de cocadena , que es lo mismo que un complejo de cadena pero cuyas flechas, ahora denotadas como , apuntan en la dirección de n creciente en lugar de n decreciente ; luego los grupos de cociclos y de colímites se derivan de la misma descripción. El n- ésimo grupo de cohomología de X es entonces el grupo cociente${\displaystyle d_{n},}$${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$${\displaystyle \mathrm {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

en analogía con el n -ésimo grupo de homología.

El n-ésimo grupo de homotopía de un espacio topológico es el grupo de clases de homotopía de aplicaciones que preservan el punto base desde la -esfera hasta , bajo la operación de grupo de concatenación. El grupo de homotopía más fundamental es el grupo fundamental . Para conexo , el teorema de Hurewicz describe un homomorfismo llamado homomorfismo de Hurewicz. Para , este homomorfismo puede ser complicado, pero cuando , el homomorfismo de Hurewicz coincide con la abelianización . Es decir, es sobreyectiva y su núcleo es el subgrupo conmutador de , con la consecuencia de que es isomorfo a la abelianización de . Los grupos de homotopía superiores a veces son difíciles de calcular. Por ejemplo, los grupos de homotopía de esferas se entienden poco y no se conocen en general, en contraste con la descripción sencilla dada anteriormente para los grupos de homología.${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h_{*}:\pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle h_{*}:\pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle H_{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Por ejemplo, supongamos que es la figura ocho . Como es habitual, su primer grupo de homotopía, o grupo fundamental , es el grupo de clases de homotopía de bucles dirigidos que empiezan y acaban en un punto predeterminado (por ejemplo, su centro). Es isomorfo al grupo libre de rango 2, , que no es conmutativo: dar un bucle alrededor del ciclo de la izquierda y luego alrededor del ciclo de la derecha es diferente a dar un bucle alrededor del ciclo de la derecha y luego dar un bucle alrededor del ciclo de la izquierda. Por el contrario, el primer grupo de homología de la figura ocho es abeliano. Para expresar esto explícitamente en términos de clases de homología de ciclos, se podría tomar la clase de homología del ciclo de la izquierda y la clase de homología del ciclo de la derecha como elementos base de , lo que nos permite escribir .${\displaystyle n=1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$${\displaystyle l}$${\displaystyle r}$${\displaystyle H_{1}(X)}$${\displaystyle H_{1}(X)=\{a_{l}l+a_{r}r\,|\;a_{l},a_{r}\in \mathbb {Z} \}}$

Los diferentes tipos de teoría de homología surgen de funtores que se asignan desde varias categorías de objetos matemáticos a la categoría de complejos de cadena. En cada caso, la composición del funtor de objetos a complejos de cadena y del funtor de complejos de cadena a grupos de homología define el funtor de homología general para la teoría. ^[9]

El ejemplo motivador proviene de la topología algebraica : la homología simplicial de un complejo simplicial X. Aquí el grupo de cadenas C _n es el grupo abeliano libre o módulo libre cuyos generadores son los símplex orientados n -dimensionales de X. La orientación se captura ordenando los vértices del complejo y expresando un símplex orientado como una n -tupla de sus vértices enumerados en orden creciente (es decir, en el orden de vértices del complejo, donde es el vértice n que aparece en la tupla). La aplicación de C _n a C _n−1 se llama aplicación de frontera y envía el símplex${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$${\displaystyle \sigma [0]<\sigma [1]<\cdots <\sigma [n]}$${\displaystyle \sigma [i]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \partial _{n}}$

${\displaystyle \sigma =(\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$

a la suma formal

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(\sigma [0],\dots ,\sigma [i-1],\sigma [i+1],\dots ,\sigma [n]\right),}$

que se considera 0 si Este comportamiento en los generadores induce un homomorfismo en todos los C _n de la siguiente manera. Dado un elemento , escríbalo como la suma de generadores donde es el conjunto de n -símplex en X y los m _i son coeficientes del anillo sobre el que C _n está definido (normalmente números enteros, a menos que se especifique lo contrario). Luego defina${\displaystyle n=0.}$${\displaystyle c\in C_{n}}$${\textstyle c=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\sigma _{i},}$${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \partial _{n}(c)=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\partial _{n}(\sigma _{i}).}$

La dimensión de la homología n -ésima de X resulta ser el número de "agujeros" en X en la dimensión n . Se puede calcular poniendo representaciones matriciales de estas aplicaciones de límites en forma normal de Smith .

Usando el ejemplo de homología simplicial como modelo, uno puede definir una homología singular para cualquier espacio topológico X . Un complejo de cadena para X se define tomando C _n como el grupo abeliano libre (o módulo libre) cuyos generadores son todos mapas continuos de símplices n -dimensionales en X . Los homomorfismos ∂ _n surgen de los mapas de contorno de los símplices.

En álgebra abstracta , se usa la homología para definir funtores derivados , por ejemplo los funtores Tor . Aquí se comienza con algún funtor aditivo covariante F y algún módulo X. El complejo de cadena para X se define de la siguiente manera: primero se encuentra un módulo libre y un homomorfismo sobreyectivo Luego se encuentra un módulo libre y un homomorfismo sobreyectivo Continuando de esta manera, se puede definir una secuencia de módulos libres y homomorfismos . Aplicando el funtor F a esta secuencia, se obtiene un complejo de cadena; la homología de este complejo depende solo de F y X y es, por definición, el n -ésimo funtor derivado de F , aplicado a X.${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle p_{1}:F_{1}\to X.}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle p_{2}:F_{2}\to \ker \left(p_{1}\right).}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle H_{n}}$

Un uso común de la (co)homología de grupos es clasificar los posibles grupos de extensión E que contienen un G -módulo M dado como un subgrupo normal y tienen un grupo cociente G dado , de modo que${\displaystyle H^{2}(G,M)}$ ${\displaystyle G=E/M.}$

Los complejos de cadena forman una categoría : Un morfismo del complejo de cadena ( ) al complejo de cadena ( ) es una secuencia de homomorfismos tales que para todo n . La n -ésima homología H _n puede verse como un funtor covariante de la categoría de complejos de cadena a la categoría de grupos abelianos (o módulos).${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$${\displaystyle e_{n}:B_{n}\to B_{n-1}}$${\displaystyle f_{n}:A_{n}\to B_{n}}$${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$

Si el complejo de cadena depende del objeto X de manera covariante (lo que significa que cualquier morfismo induce un morfismo del complejo de cadena de X al complejo de cadena de Y ), entonces los H _n son funtores covariantes de la categoría a la que pertenece X a la categoría de grupos abelianos (o módulos).${\displaystyle X\to Y}$

La única diferencia entre homología y cohomología es que en la cohomología los complejos de cadena dependen de manera contravariante de X , y que por lo tanto los grupos de homología (que en este contexto se denominan grupos de cohomología y se denotan por H ⁿ ) forman funtores contravariantes desde la categoría a la que pertenece X a la categoría de grupos o módulos abelianos.

Si ( ) es un complejo de cadena tal que todos, excepto un número finito de A _n, son cero, y los demás son grupos abelianos finitamente generados (o espacios vectoriales de dimensión finita), entonces podemos definir la característica de Euler.${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

(utilizando el rango en el caso de los grupos abelianos y la dimensión de Hamel en el caso de los espacios vectoriales). Resulta que la característica de Euler también se puede calcular en el nivel de homología:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

y, especialmente en topología algebraica, esto proporciona dos formas de calcular el invariante importante para el objeto X que dio origen al complejo de cadena.${\displaystyle \chi }$

Cada secuencia corta y exacta

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

de complejos de cadena da lugar a una secuencia larga y exacta de grupos de homología

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

Todos los mapas en esta larga secuencia exacta son inducidos por los mapas entre los complejos de cadena, excepto los mapas Estos últimos se denominan homomorfismos de conexión y se proporcionan mediante el lema del zigzag . Este lema se puede aplicar a la homología de numerosas maneras que ayudan a calcular los grupos de homología, como las teorías de homología relativa y las secuencias de Mayer-Vietoris .${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)}$

Los teoremas notables demostrados mediante homología incluyen los siguientes:

• Teorema del punto fijo de Brouwer : si f es cualquier función continua de la bola B ⁿ a sí misma, entonces hay un punto fijo con${\displaystyle a\in B^{n}}$${\displaystyle f(a)=a.}$
• Invariancia del dominio : Si U es un subconjunto abierto de y es una función continua inyectiva , entonces es abierta y f es un homeomorfismo entre U y V.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V=f(U)}$
• El teorema de la bola peluda : cualquier campo vectorial continuo en la 2-esfera (o más generalmente, la 2 k -esfera para cualquier ) se desvanece en algún punto.${\displaystyle k\geq 1}$
• Teorema de Borsuk-Ulam : cualquier función continua de una esfera n en un espacio n euclidiano asigna un par de puntos antípodas al mismo punto. (Dos puntos de una esfera se denominan antípodas si están en direcciones exactamente opuestas desde el centro de la esfera).
• Invariancia de dimensión: si los subconjuntos abiertos no vacíos y son homeomorfos, entonces ^[10]${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m=n.}$

En el análisis de datos topológicos , los conjuntos de datos se consideran como un muestreo de nubes de puntos de una variedad algebraica o de una variedad múltiple incrustada en el espacio euclidiano . Al vincular los puntos vecinos más cercanos en la nube en una triangulación, se crea una aproximación simplicial de la variedad y se puede calcular su homología simplicial. Encontrar técnicas para calcular de manera robusta la homología utilizando varias estrategias de triangulación en múltiples escalas de longitud es el tema de la homología persistente . ^[11]

En las redes de sensores , los sensores pueden comunicar información a través de una red ad hoc que cambia dinámicamente en el tiempo. Para comprender el contexto global de este conjunto de mediciones locales y rutas de comunicación, es útil calcular la homología de la topología de la red para evaluar, por ejemplo, los huecos en la cobertura. ^[12]

En la teoría de sistemas dinámicos en física , Poincaré fue uno de los primeros en considerar la interacción entre la variedad invariante de un sistema dinámico y sus invariantes topológicos. La teoría de Morse relaciona la dinámica de un flujo de gradiente en una variedad con, por ejemplo, su homología. La homología de Floer extendió esto a variedades de dimensión infinita. El teorema KAM estableció que las órbitas periódicas pueden seguir trayectorias complejas; en particular, pueden formar trenzas que pueden investigarse utilizando la homología de Floer. ^[13]

En una clase de métodos de elementos finitos , los problemas de valores en el borde para ecuaciones diferenciales que involucran al operador de Hodge-Laplace pueden necesitar ser resueltos en dominios topológicamente no triviales, por ejemplo, en simulaciones electromagnéticas . En estas simulaciones, la solución es asistida por la fijación de la clase de cohomología de la solución en base a las condiciones de borde elegidas y la homología del dominio. Los dominios FEM pueden ser triangularizados, a partir de lo cual puede calcularse la homología simple. ^{[14] [15]}

Se han desarrollado varios paquetes de software para calcular grupos de homología de complejos de celdas finitas. Linbox es una biblioteca de C++ para realizar operaciones matriciales rápidas, incluida la forma normal de Smith ; interactúa con Gap y Maple. Chomp, CAPD::Redhom Archivado el 15 de julio de 2013 en Wayback Machine y Perseus también están escritos en C++. Los tres implementan algoritmos de preprocesamiento basados ​​en equivalencia de homotopía simple y teoría de Morse discreta para realizar reducciones que preservan la homología de los complejos de celdas de entrada antes de recurrir al álgebra matricial. Kenzo está escrito en Lisp y, además de homología, también se puede utilizar para generar presentaciones de grupos de homotopía de complejos simpliciales finitos. Gmsh incluye un solucionador de homología para mallas de elementos finitos, que puede generar bases de cohomología que se pueden utilizar directamente mediante software de elementos finitos. ^[14]

Se puede decir que la teoría de la homología comienza con la fórmula del poliedro de Euler, o característica de Euler . ^[16] Esto fue seguido por la definición de Riemann de invariantes numéricos de género y conectividad n -fold en 1857 y la prueba de Betti en 1871 de la independencia de los "números de homología" de la elección de la base. [ ^17]

En la esfera ordinaria , la curva b del diagrama se puede reducir hasta el polo, e incluso el círculo máximo ecuatorial a se puede reducir de la misma manera. El teorema de la curva de Jordan muestra que cualquier curva cerrada como c se puede reducir de manera similar hasta un punto. Esto implica que tiene un grupo fundamental trivial , por lo que, como consecuencia, también tiene un primer grupo de homología trivial.${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

El toro tiene curvas cerradas que no pueden deformarse continuamente unas en otras; por ejemplo, en el diagrama, ninguno de los ciclos a , b o c puede deformarse entre sí. En particular, los ciclos a y b no pueden reducirse a un punto, mientras que el ciclo c sí.${\displaystyle T^{2}}$

Si la superficie del toro se corta a lo largo de a y b , se puede abrir y aplanar hasta formar un rectángulo o, más convenientemente, un cuadrado. Un par opuesto de lados representa el corte a lo largo de a , y el otro par opuesto representa el corte a lo largo de b .

Los bordes del cuadrado pueden volver a pegarse de distintas maneras. El cuadrado puede torcerse para permitir que los bordes se junten en la dirección opuesta, como lo muestran las flechas en el diagrama. Las distintas formas de pegar los lados dan como resultado solo cuatro superficies topológicamente distintas:

${\displaystyle K^{2}}$es la botella de Klein , que es un toro con un giro en él (en el diagrama cuadrado, el giro puede verse como la inversión de la flecha inferior). Es un teorema que la superficie re-pegada debe auto-intersecarse (cuando se sumerge en el 3-espacio euclidiano ). Al igual que el toro, los ciclos a y b no se pueden encoger mientras que c sí. Pero a diferencia del toro, seguir b hacia adelante a la derecha, da vueltas y vuelve a invertirse a la izquierda y a la derecha, porque b cruza el giro dado a una unión. Si se hace un corte equidistante en un lado de b , regresa al otro lado y da la vuelta a la superficie una segunda vez antes de regresar a su punto de partida, cortando una banda de Möbius retorcida . Debido a que la izquierda y la derecha locales se pueden reorientar arbitrariamente de esta manera, se dice que la superficie en su conjunto no es orientable.

El plano proyectivo tiene ambas uniones torcidas. La forma sin cortar, generalmente representada como la superficie de Boy , es visualmente compleja, por lo que en el diagrama se muestra una incrustación hemisférica, en la que los puntos antípodas alrededor del borde, como A y A′, se identifican como el mismo punto. Nuevamente, a no es encogible mientras que c sí lo es. Si b solo se enrollara una vez, también sería no encogible y se invertiría de izquierda a derecha. Sin embargo, se enrolla una segunda vez, lo que cambia de derecha a izquierda nuevamente; se puede encoger a un punto y es homólogo a c .${\displaystyle P^{2}}$

Los ciclos se pueden unir o sumar, como a y b en el toro cuando se lo cortó y aplanó. En el diagrama de la botella de Klein , a gira en un sentido y − a gira en el sentido opuesto. Si se piensa en a como un corte, entonces − a puede pensarse como una operación de pegado. Hacer un corte y luego volver a pegarlo no cambia la superficie, por lo que a + (− a ) = 0.

Pero ahora consideremos dos a -ciclos. Como la botella de Klein no es orientable, puedes transportar uno de ellos por todo el recorrido alrededor de la botella (a lo largo del b -ciclo), y volverá como − a . Esto se debe a que la botella de Klein está hecha de un cilindro, cuyos extremos del a -ciclo están pegados con orientaciones opuestas. Por lo tanto 2 a = a + a = a + (− a ) = 0. Este fenómeno se llama torsión . De manera similar, en el plano proyectivo, seguir el ciclo incontractible b dos veces crea notablemente un ciclo trivial que puede encogerse a un punto; es decir, b + b = 0. Como b debe seguirse dos veces para lograr un ciclo cero, se dice que la superficie tiene un coeficiente de torsión de 2. Sin embargo, seguir un b -ciclo dos veces en la botella de Klein da simplemente b + b = 2 b , ya que este ciclo vive en una clase de homología libre de torsión. Esto corresponde al hecho de que en el polígono fundamental de la botella de Klein, solo un par de lados están pegados con un giro, mientras que en el plano proyectivo ambos lados están torcidos.

Un cuadrado es un espacio topológico contráctil , lo que implica que tiene homología trivial. En consecuencia, cortes adicionales lo desconectan. El cuadrado no es la única forma en el plano que se puede pegar en una superficie. Pegar lados opuestos de un octógono, por ejemplo, produce una superficie con dos agujeros. De hecho, todas las superficies cerradas se pueden producir pegando los lados de algún polígono y todos los polígonos de lados pares (2 n -gonos) se pueden pegar para formar diferentes variedades. A la inversa, una superficie cerrada con n clases distintas de cero se puede cortar en un 2 n -gono. También son posibles variaciones, por ejemplo, un hexágono también se puede pegar para formar un toro. ^[18]

La primera teoría reconocible de homología fue publicada por Henri Poincaré en su artículo seminal " Análisis situs ", J. Ecole polytech. (2) 1 . 1–121 (1895). El artículo introdujo clases y relaciones de homología. Las posibles configuraciones de ciclos orientables se clasifican por los números de Betti de la variedad (los números de Betti son un refinamiento de la característica de Euler). La clasificación de los ciclos no orientables requiere información adicional sobre los coeficientes de torsión. ^[19]

La clasificación completa de las variedades 1 y 2 se da en la tabla.

Características topológicas de variedades 1 y 2 cerradas ^[20]

Colector		Euler no. , χ	Orientabilidad	Números de Betti			Coeficiente de torsión (unidimensional)
Símbolo [18]	Nombre			B0​	el segundo 1	el segundo 2
${\displaystyle S^{1}}$	Círculo (1-variedad)	0	Orientable	1	1	—	—
${\displaystyle S^{2}}$	Esfera	2	Orientable	1	0	1	Ninguno
${\displaystyle T^{2}}$	Toro	0	Orientable	1	2	1	Ninguno
${\displaystyle P^{2}}$	Plano proyectivo	1	No orientable	1	0	0	2
${\displaystyle K^{2}}$	Botella Klein	0	No orientable	1	1	0	2
	toro de 2 agujeros	-2	Orientable	1	4	1	Ninguno
	toro con agujeros en forma de g ( g es el género )	2 − 2 gramos	Orientable	1	2 gramos	1	Ninguno
	Esfera con tapas cruzadas en forma de C	2 − c	No orientable	1	c -1	0	2
	Variedad de 2 con agujeros g y tapas cruzadas c ( c > 0)	2  −  (2 g  + c )	No orientable	1	(2 g  + c ) − 1	0	2

Notas

1. Para una superficie no orientable, un agujero equivale a dos tapas cruzadas.
2. Cualquier 2-variedad cerrada puede realizarse como la suma conexa de g toros y c planos proyectivos, donde la 2-esfera se considera como la suma conexa vacía. La homología se conserva mediante la operación de suma conexa.${\displaystyle S^{2}}$

En la búsqueda de un mayor rigor, Poincaré continuó desarrollando la homología simplicial de una variedad triangulada y creó lo que ahora se llama un complejo de cadena simplicial . ^{[21] [22]} Los complejos de cadena (desde entonces muy generalizados) forman la base de la mayoría de los tratamientos modernos de homología.

Emmy Noether y, de forma independiente, Leopold Vietoris y Walther Mayer desarrollaron aún más la teoría de los grupos de homología algebraica en el período 1925-28. ^{[23] [24] [25]} La nueva topología combinatoria trató formalmente las clases topológicas como grupos abelianos . Los grupos de homología son grupos abelianos generados finitamente, y las clases de homología son elementos de estos grupos. Los números de Betti de la variedad son el rango de la parte libre del grupo de homología y, en el caso especial de las superficies, la parte de torsión del grupo de homología solo ocurre para ciclos no orientables.

La posterior difusión de los grupos de homología supuso un cambio de terminología y de punto de vista, pasando de la "topología combinatoria" a la " topología algebraica ". ^[26] La homología algebraica sigue siendo el método principal de clasificación de variedades. ^[27]

• Número de Betti
• Espacio para bicicletas
• Cohomología de De Rham
• Axiomas de Eilenberg-Steenrod
• Teoría de la homología extraordinaria
• Álgebra homológica
• Conjeturas homológicas en el álgebra conmutativa
• Conectividad homológica
• Dimensión homológica
• Grupo de homotopía
• Teorema de Künneth
• Lista de teorías de cohomología : también tiene una lista de teorías de homología
• Dualidad de Poincaré

• Cartan, Henri Paul ; Eilenberg, Samuel (1956). Álgebra homológica . Serie matemática de Princeton. Vol. 19. Princeton University Press. ISBN 9780674079779.OCLC 529171  .
• Eilenberg, Samuel; Moore, JC (1965). Fundamentos del álgebra homológica relativa . Memorias de la American Mathematical Society número. Vol. 55. American Mathematical Society. ISBN 9780821812556.OCLC 1361982  .
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• Grupo de Homología en la Enciclopedia de Matemáticas
• [1] Introducción a la topología algebraica de NJ Windberger, últimas seis lecciones con una introducción sencilla a la homología
• [2] Topología algebraica Allen Hatcher - Capítulo 2 sobre homología