Género (matemáticas)

En matemáticas , género ( pl.: géneros ) tiene varios significados diferentes, pero estrechamente relacionados. Intuitivamente, el género es el número de "agujeros" de una superficie . ^[1] Una esfera tiene género 0, mientras que un toro tiene género 1.

El género de una superficie conexa y orientable es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de curvas simples cerradas que no se intersecan sin que la variedad resultante quede desconectada. ^[2] Es igual al número de puntos de control que tiene. Alternativamente, se puede definir en términos de la característica de Euler χ , a través de la relación χ  = 2 − 2 g para superficies cerradas , donde g es el género. Para superficies con b componentes de contorno , la ecuación se lee χ = 2 − 2 g  −  b .

En términos sencillos, el género es el número de "agujeros" que tiene un objeto ("agujeros" se interpreta en el sentido de agujeros de rosquilla; se consideraría que una esfera hueca tiene cero agujeros en este sentido). ^[3] Un toro tiene 1 de esos agujeros, mientras que una esfera tiene 0. La superficie verde que se muestra arriba tiene 2 agujeros del tipo relevante.

Por ejemplo:

• Tanto la esfera S ² como un disco tienen género cero.
• Un toro tiene género uno, al igual que la superficie de una taza de café con asa. De ahí el chiste de que "los topólogos son personas que no saben distinguir una rosquilla de una taza de café".

La construcción explícita de superficies del género g se da en el artículo sobre el polígono fundamental .

• Género de superficies orientables
• 
  Grafo planar : género 0
• 
  Grafo toroidal : género 1
• 
  Tetera : grafo toroidal doble: género 2
• 
  Gráfico de pretzel: género 3

El género no orientable , demigénero o género de Euler de una superficie cerrada no orientable y conexa es un número entero positivo que representa el número de casquetes cruzados unidos a una esfera . Alternativamente, se puede definir para una superficie cerrada en términos de la característica de Euler χ, a través de la relación χ = 2 − k , donde k es el género no orientable.

Por ejemplo:

• Un plano proyectivo real tiene un género no orientable 1.
• Una botella de Klein tiene género 2 no orientable.

El género de un nudo K se define como el género mínimo de todas las superficies de Seifert para K . ^[4] Sin embargo, una superficie de Seifert de un nudo es una variedad con borde , siendo el borde el nudo, es decir, homeomorfo al círculo unitario. El género de una superficie de este tipo se define como el género de la doble variedad, que se obtiene pegando el disco unitario a lo largo del borde.

El género de un cuerpo de manija tridimensional es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de los discos incrustados sin que la variedad resultante quede desconectada. Es igual al número de manijas que tiene.

Por ejemplo:

• Una pelota tiene género 0.
• Un toro sólido D ² × S ¹ tiene género 1.

El género de un grafo es el entero mínimo n tal que el grafo puede dibujarse sin cruzarse consigo mismo en una esfera con n puntos de referencia (es decir, una superficie orientada de género n ). Por lo tanto, un grafo plano tiene género 0, porque puede dibujarse en una esfera sin cruzarse consigo mismo.

El género no orientable de un grafo es el entero mínimo n tal que el grafo puede dibujarse sin cruzarse sobre una esfera con n tapas cruzadas (es decir, una superficie no orientable de género (no orientable) n ). (Este número también se denomina demigénero ) .

El género de Euler es el entero mínimo n tal que el gráfico puede dibujarse sin cruzarse en una esfera con n tapas cruzadas o en una esfera con n/2 asas. ^[5]

En la teoría de grafos topológicos existen varias definiciones del género de un grupo . Arthur T. White introdujo el siguiente concepto: el género de un grupo G es el género mínimo de un grafo de Cayley (conexo, no dirigido) para G.

El problema del género gráfico es NP-completo . ^[6]

Existen dos definiciones relacionadas de género de cualquier esquema algebraico proyectivo X : el género aritmético y el género geométrico . ^[7] Cuando X es una curva algebraica con cuerpo de definición los números complejos , y si X no tiene puntos singulares , entonces estas definiciones concuerdan y coinciden con la definición topológica aplicada a la superficie de Riemann de X (su variedad de puntos complejos). Por ejemplo, la definición de curva elíptica de la geometría algebraica está conectada curva proyectiva no singular de género 1 con un punto racional dado en ella .

Por el teorema de Riemann-Roch , una curva plana irreducible de grado dado por el lugar geométrico de desaparición de una sección tiene género geométrico${\estilo de visualización d}$${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))}$

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

donde es el número de singularidades cuando se cuentan correctamente.${\estilo de visualización s}$

En geometría diferencial , un género de una variedad orientada puede definirse como un número complejo sujeto a las condiciones${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \Phi (M)}$

• ${\displaystyle \Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})}$
• ${\displaystyle \Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})}$
• ${\displaystyle \Phi (M_{1})=\Phi (M_{2})}$si y son cobordantes .${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$

En otras palabras, es un homomorfismo de anillo , donde es el anillo de cobordismo orientado de Thom . ^[8]${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$${\displaystyle R}$

El género es multiplicativo para todos los fibrados en variedades de espinor con una estructura compacta conexa si es una integral elíptica tal como para algunos Este género se llama género elíptico. ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \log _{\Phi }}$${\displaystyle \log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt}$${\displaystyle \delta ,\varepsilon \in \mathbb {C} .}$

La característica de Euler no es un género en este sentido ya que no es invariante con respecto a los cobordismos.${\displaystyle \chi (M)}$

El género también se puede calcular para el gráfico abarcado por la red de interacciones químicas en ácidos nucleicos o proteínas . En particular, se puede estudiar el crecimiento del género a lo largo de la cadena. Esta función (denominada traza del género) muestra la complejidad topológica y la estructura del dominio de las biomoléculas. ^[9]

• Grupo (matemáticas)
• Género aritmético
• Género geométrico
• Género de una secuencia multiplicativa
• Género de una forma cuadrática
• Género Spinor

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