Homología simplicial
Concepto en topología algebraica

En topología algebraica , la homología simplicial es la secuencia de grupos de homología de un complejo simplicial . Formaliza la idea del número de huecos de una dimensión dada en el complejo. Esto generaliza el número de componentes conexos (el caso de dimensión 0).

La homología simplicial surgió como una forma de estudiar los espacios topológicos cuyos bloques de construcción son n - símplices , los análogos n -dimensionales de los triángulos. Esto incluye un punto (0-símplice), un segmento de línea (1-símplice), un triángulo (2-símplice) y un tetraedro (3-símplice). Por definición, un espacio de este tipo es homeomorfo a un complejo simplicial (más precisamente, la realización geométrica de un complejo simplicial abstracto ). A un homeomorfismo de este tipo se lo denomina triangulación del espacio dado. Muchos espacios topológicos de interés se pueden triangular, incluida toda variedad suave (Cairns y Whitehead ). [1] : sec.5.3.2 

La homología simplicial se define mediante una receta simple para cualquier complejo simplicial abstracto. Es un hecho notable que la homología simplicial solo depende del espacio topológico asociado. [2] : sec.8.6  Como resultado, proporciona una forma computable de distinguir un espacio de otro.

Definiciones

Se toman el límite de un límite de un 2-símplex (izquierda) y el límite de una 1-cadena (derecha). Ambos son 0, siendo sumas en las que tanto el positivo como el negativo de un 0-símplex ocurren una vez. El límite de un límite siempre es 0. Un ciclo no trivial es algo que se cierra como el límite de un símplex, en el sentido de que su límite suma 0, pero que en realidad no es el límite de un símplex o una cadena. Debido a que los 1-ciclos triviales son equivalentes a 0 en , el 1-ciclo en el medio a la derecha es homólogo a su suma con el límite del 2-símplex a la izquierda. yo 1 Estilo de visualización H_{1}

Orientaciones

Un concepto clave para definir la homología simplicial es la noción de orientación de un símplex. Por definición, la orientación de un k -símplex se da por un ordenamiento de los vértices, escrito como ( v 0 ,..., v k ), con la regla de que dos ordenamientos definen la misma orientación si y solo si difieren en una permutación par . Por lo tanto, cada símplex tiene exactamente dos orientaciones, y cambiar el orden de dos vértices cambia una orientación a la orientación opuesta. Por ejemplo, elegir una orientación de un 1-símplex equivale a elegir una de las dos direcciones posibles, y elegir una orientación de un 2-símplex equivale a elegir lo que debería significar "en sentido antihorario".

Cadenas

Sea S un complejo simplicial. Una k -cadena simplicial es una suma formal finita

∑ i = 1 norte do i σ i , {\displaystyle \suma _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,}

donde cada c i es un entero y σ i es un k -símplex orientado. En esta definición, declaramos que cada símplex orientado es igual al negativo del símplex con la orientación opuesta. Por ejemplo,

( en 0 , en 1 ) = − ( en 1 , en 0 ) . {\displaystyle (v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).}

El grupo de k -cadenas en S se escribe C k . Este es un grupo abeliano libre que tiene una base en correspondencia biunívoca con el conjunto de k -símplices en S . Para definir una base explícitamente, uno tiene que elegir una orientación de cada símplex. Una forma estándar de hacer esto es elegir un ordenamiento de todos los vértices y dar a cada símplex la orientación correspondiente al ordenamiento inducido de sus vértices.

Límites y ciclos

Sea σ = ( v 0 ,..., v k ) un k -símplex orientado , visto como un elemento base de C k . El operador de frontera

∂ a : do a → do a − 1 {\displaystyle \partial_{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}}

es el homomorfismo definido por:

∂ a ( σ ) = ∑ i = 0 a ( − 1 ) i ( en 0 , … , en i ^ , … , en a ) , {\displaystyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\puntos ,{\widehat {v_{i}}},\puntos ,v_{k}),}

donde el simplex orientado

( en 0 , … , en i ^ , … , en a ) {\displaystyle (v_{0},\dots,{\widehat {v_{i}}},\dots,v_{k})}

es la i- ésima cara de σ , obtenida al eliminar su i- ésimo vértice.

En C k , elementos del subgrupo

O a := querido ⁡ ∂ a {\displaystyle Z_{k}:=\ker \partial _ {k}}

se denominan ciclos y el subgrupo

B a := soy ⁡ ∂ a + 1 {\displaystyle B_{k}:=\nombre del operador {im} \partial _{k+1}}

Se dice que consta de límites .

Límites de límites

Porque , donde se elimina la segunda cara, . En términos geométricos, esto dice que el límite de un límite de cualquier cosa no tiene límite. De manera equivalente, los grupos abelianos ( − 1 ) i + yo − 1 ( en 0 , … , en i ^ , … , en yo ^ ^ , … , en a ) = − ( − 1 ) i + yo ( en 0 , … , en i ^ ^ , … , en yo ^ , … , en a ) {\displaystyle (-1)^{i+j-1}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,{\widehat {\widehat {v_{j}}}},\dots ,v_{k})=-(-1)^{i+j}(v_{0},\dots ,{\widehat {\widehat {v_{i}}}},\dots ,{\widehat {v_{j}}},\dots ,v_{k})} v x ^ ^ {\displaystyle {\widehat {\widehat {v_{x}}}}} ∂ 2 = 0 {\displaystyle \partial ^{2}=0}

( C k , ∂ k ) {\displaystyle (C_{k},\partial _{k})}

forman un complejo de cadena . Otra afirmación equivalente es que B k está contenido en Z k .

Como ejemplo, considere un tetraedro con vértices orientados como . Por definición, su límite está dado por w , x , y , z {\displaystyle w,x,y,z}

x y z − w y z + w x z − w x y {\displaystyle xyz-wyz+wxz-wxy} .

El límite del límite está dado por

( y z − x z + x y ) − ( y z − w z + w y ) + ( x z − w z + w x ) − ( x y − w y + w x ) = 0 {\displaystyle (yz-xz+xy)-(yz-wz+wy)+(xz-wz+wx)-(xy-wy+wx)=0}
Un complejo sencillo con 2 hoyos de 1

Grupos de homología

El k -ésimo grupo de homología H k de S se define como el grupo abeliano cociente

H k ( S ) = Z k / B k . {\displaystyle H_{k}(S)=Z_{k}/B_{k}\,.}

De ello se deduce que el grupo de homología H k ( S ) es distinto de cero exactamente cuando hay k -ciclos en S que no son límites. En cierto sentido, esto significa que hay agujeros k -dimensionales en el complejo. Por ejemplo, considere el complejo S obtenido al pegar dos triángulos (sin interior) a lo largo de una arista, que se muestra en la imagen. Las aristas de cada triángulo se pueden orientar de modo que formen un ciclo. Estos dos ciclos no son límites por construcción (ya que cada 2-cadena es cero). Se puede calcular que el grupo de homología H 1 ( S ) es isomorfo a Z 2 , con una base dada por los dos ciclos mencionados. Esto hace precisa la idea informal de que S tiene dos "agujeros unidimensionales".

Los agujeros pueden ser de diferentes dimensiones. El rango del k- ésimo grupo de homología, el número

β k = rank ⁡ ( H k ( S ) ) {\displaystyle \beta _{k}=\operatorname {rank} (H_{k}(S))\,}

se llama el k - ésimo número de Betti de S. Da una medida del número de agujeros de dimensión k en S.

Ejemplo

Grupos de homología de un triángulo

Sea S un triángulo (sin su interior), visto como un complejo simplicial. Por lo tanto, S tiene tres vértices, que llamamos v 0 , v 1 , v 2 , y tres aristas, que son símplices unidimensionales. Para calcular los grupos de homología de S , comenzamos describiendo los grupos de cadena C k :

  • C 0 es isomorfo a Z 3 con base ( v 0 ), ( v 1 ), ( v 2 ),
  • C 1 es isomorfo a Z 3 con una base dada por los 1-símplices orientados ( v 0 , v 1 ) , ( v 0 , v 2 ) y ( v 1 , v 2 ) .
  • C 2 es el grupo trivial, ya que no existe ningún símplex como tal,ya que se ha supuesto que el triángulo no tiene interior. Lo mismo ocurre con los grupos en cadena en otras dimensiones. ( v 0 , v 1 , v 2 ) {\displaystyle (v_{0},v_{1},v_{2})}

El homomorfismo de borde ∂ : C 1 → C 0 viene dado por:

∂ ( v 0 , v 1 ) = ( v 1 ) − ( v 0 ) {\displaystyle \partial (v_{0},v_{1})=(v_{1})-(v_{0})}
∂ ( v 0 , v 2 ) = ( v 2 ) − ( v 0 ) {\displaystyle \partial (v_{0},v_{2})=(v_{2})-(v_{0})}
∂ ( v 1 , v 2 ) = ( v 2 ) − ( v 1 ) {\displaystyle \partial (v_{1},v_{2})=(v_{2})-(v_{1})}

Como C −1 = 0 , cada 0-cadena es un ciclo (es decir, Z 0 = C 0 ); además, el grupo B 0 de los 0-límites es generado por los tres elementos a la derecha de estas ecuaciones, creando un subgrupo bidimensional de C 0 . Por lo tanto, el 0º grupo de homología H 0 ( S ) = Z 0 / B 0 es isomorfo a Z , con una base dada (por ejemplo) por la imagen del 0-ciclo ( v 0 ). De hecho, los tres vértices se vuelven iguales en el grupo cociente; esto expresa el hecho de que S está conexo .

A continuación, el grupo de 1-ciclos es el núcleo del homomorfismo ∂ anterior, que es isomorfo a Z , con una base dada (por ejemplo) por ( v 0 , v 1 ) − ( v 0 , v 2 ) + ( v 1 , v 2 ) . (Una imagen revela que este 1-ciclo gira alrededor del triángulo en una de las dos direcciones posibles). Como C 2 = 0 , el grupo de 1-límites es cero, y por lo tanto el 1er grupo de homología H 1 ( S ) es isomorfo a Z /0 ≅ Z . Esto hace precisa la idea de que el triángulo tiene un agujero unidimensional.

A continuación, dado que por definición no hay 2-ciclos, C 2 = 0 (el grupo trivial ). Por lo tanto, el segundo grupo de homología H 2 ( S ) es cero. Lo mismo es cierto para H i ( S ) para todo i no igual a 0 o 1. Por lo tanto, la conectividad homológica del triángulo es 0 (es el k más grande para el cual los grupos de homología reducidos hasta k son triviales).

Grupos de homología de símplices de dimensiones superiores

Sea S un tetraedro (sin su interior), visto como un complejo simplicial. Por lo tanto, S tiene cuatro vértices de dimensión 0, seis aristas de dimensión 1 y cuatro caras de dimensión 2. La construcción de los grupos de homología de un tetraedro se describe en detalle aquí. [3] Resulta que H 0 ( S ) es isomorfo a Z , H 2 ( S ) también es isomorfo a Z y todos los demás grupos son triviales. Por lo tanto, la conectividad homológica del tetraedro es 0.

Si el tetraedro contiene su interior, entonces H 2 ( S ) también es trivial.

En general, si S es un símplex d -dimensional, se cumple lo siguiente:

  • Si se considera S sin su interior, entonces H 0 ( S ) = Z y H d −1 ( S ) = Z y todas las demás homologías son triviales;
  • Si se considera S con su interior, entonces H 0 ( S ) = Z y todas las demás homologías son triviales.

Mapas simpliales

Sean S y T complejos simpliciales . Una función simplicial f de S a T es una función del conjunto de vértices de S al conjunto de vértices de T tal que la imagen de cada símplex en S (visto como un conjunto de vértices) es un símplex en T. Una función simplicial f : S → T determina un homomorfismo de grupos de homología H k ( S ) → H k ( T ) para cada entero k . Este es el homomorfismo asociado a una función en cadena del complejo en cadena de S al complejo en cadena de T. Explícitamente, esta función en cadena se da en k -cadenas por

f ( ( v 0 , … , v k ) ) = ( f ( v 0 ) , … , f ( v k ) ) {\displaystyle f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))}

si f ( v 0 ), ..., f ( v k ) son todas distintas, y en caso contrario f (( v 0 , ..., v k )) = 0 .

Esta construcción convierte la homología simplicial en un funtor que va desde complejos simpliciales hasta grupos abelianos. Esto es esencial para las aplicaciones de la teoría, incluido el teorema del punto fijo de Brouwer y la invariancia topológica de la homología simplicial.

La homología singular es una teoría relacionada que se adapta mejor a la teoría que al cálculo. La homología singular se define para todos los espacios topológicos y depende solo de la topología, no de ninguna triangulación; y concuerda con la homología simplicial para espacios que se pueden triangular. [4] : thm.2.27  No obstante, debido a que es posible calcular la homología simplicial de un complejo simplicial de manera automática y eficiente, la homología simplicial se ha vuelto importante para su aplicación en situaciones de la vida real, como el análisis de imágenes , las imágenes médicas y el análisis de datos en general.

Otra teoría relacionada es la homología celular .

Aplicaciones

Un escenario estándar en muchas aplicaciones informáticas es una colección de puntos (mediciones, píxeles oscuros en un mapa de bits, etc.) en los que se desea encontrar una característica topológica. La homología puede servir como una herramienta cualitativa para buscar dicha característica, ya que es fácilmente computable a partir de datos combinatorios como un complejo simplicial. Sin embargo, los puntos de datos primero deben triangularse , lo que significa que uno reemplaza los datos con una aproximación compleja simplicial. El cálculo de la homología persistente [5] implica el análisis de la homología a diferentes resoluciones, registrando clases de homología (agujeros) que persisten a medida que se cambia la resolución. Dichas características se pueden utilizar para detectar estructuras de moléculas, tumores en rayos X y estructuras de cúmulos en datos complejos.

De manera más general, la homología simple juega un papel central en el análisis de datos topológicos , una técnica en el campo de la minería de datos .

Implementaciones

  • El cálculo exacto y eficiente de la homología simplicial de grandes complejos simplicales se puede realizar utilizando la homología simplicial GAP.
  • Una caja de herramientas MATLAB para calcular homología persistente, Plex (Vin de Silva, Gunnar Carlsson ), está disponible en este sitio.
  • Las implementaciones independientes en C++ están disponibles como parte de los proyectos de software Perseus, Dionysus y PHAT.
  • Para Python , existen bibliotecas como scikit-tda, Persim, giotto-tda y GUDHI, esta última destinada a generar características topológicas para el aprendizaje automático . Estas se pueden encontrar en el repositorio PyPI .

Véase también

Referencias

  1. ^ Prasolov, VV (2006), Elementos de topología combinatoria y diferencial , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3809-1, Sr.  2233951
  2. ^ Armstrong, MA (1983), Topología básica , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90839-0, Sr.  0705632
  3. ^ Wildberger, Norman J. (2012). "Más cálculos de homología". YouTube . Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2021.
  4. ^ Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, Sr.  1867354
  5. ^ Edelsbrunner, H.; Letscher, D.; Zomorodian, A. (2002). "Persistencia topológica y simplificación". Geometría discreta y computacional . 28 (4): 511–533. doi : 10.1007/s00454-002-2885-2 .
    Robins, V. (verano de 1999). "Hacia el cálculo de homología a partir de aproximaciones finitas" (PDF) . Topology Proceedings . 24 : 503–532.
  • Métodos topológicos en computación científica
  • Homología computacional (también homología cúbica)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Simplicial_homology&oldid=1248172381"