Filtro (procesamiento de señales)

En el procesamiento de señales , un filtro es un dispositivo o proceso que elimina algunos componentes o características no deseadas de una señal . El filtrado es una clase de procesamiento de señales , siendo la característica definitoria de los filtros la supresión total o parcial de algún aspecto de la señal. En la mayoría de los casos, esto significa eliminar algunas frecuencias o bandas de frecuencia. Sin embargo, los filtros no actúan exclusivamente en el dominio de la frecuencia ; especialmente en el campo del procesamiento de imágenes existen muchos otros objetivos para el filtrado. Se pueden eliminar correlaciones para ciertos componentes de frecuencia y no para otros sin tener que actuar en el dominio de la frecuencia. Los filtros se utilizan ampliamente en electrónica y telecomunicaciones , en radio , televisión , grabación de audio , radar , sistemas de control , síntesis musical , procesamiento de imágenes , gráficos por computadora y dinámica estructural .

Existen muchas bases distintas para clasificar los filtros y estas se superponen de muchas maneras diferentes; no existe una clasificación jerárquica simple. Los filtros pueden ser:

• no lineal o lineal
• variable en el tiempo o invariante en el tiempo , también conocido como invariancia por desplazamiento. Si el filtro opera en un dominio espacial, entonces la caracterización es invariancia espacial.
• Causal o no causal: un filtro es no causal si su salida actual depende de una entrada futura. Los filtros que procesan señales del dominio temporal en tiempo real deben ser causales, pero no los filtros que actúan sobre señales del dominio espacial o el procesamiento diferido de señales del dominio temporal.
• analógico o digital
• tiempo discreto (muestreado) o tiempo continuo
• Tipo de filtro de tiempo continuo pasivo o activo
• respuesta de impulso infinita (IIR) o respuesta de impulso finita (FIR) tipo de filtro discreto o digital.

El circuito lineal de tiempo continuo es quizás el significado más común de filtro en el mundo del procesamiento de señales, y a menudo se considera que simplemente "filtro" es sinónimo. Estos circuitos están generalmente diseñados para eliminar ciertas frecuencias y permitir el paso de otras. Los circuitos que realizan esta función son generalmente lineales en su respuesta, o al menos aproximadamente lineales. Cualquier no linealidad podría dar como resultado que la señal de salida contenga componentes de frecuencia que no están presentes en la señal de entrada.

La metodología de diseño moderna para filtros lineales de tiempo continuo se denomina síntesis de red . Algunas familias de filtros importantes diseñadas de esta manera son:

• El filtro Chebyshev tiene la mejor aproximación a la respuesta ideal de cualquier filtro para un orden y ondulación específicos.
• El filtro Butterworth tiene una respuesta de frecuencia máximamente plana.
• El filtro Bessel tiene un retardo de fase máximo plano .
• El filtro elíptico tiene el corte más pronunciado de cualquier filtro para un orden y una ondulación específicos.

La diferencia entre estas familias de filtros es que todas utilizan una función polinómica diferente para aproximarse a la respuesta ideal del filtro . Esto hace que cada una tenga una función de transferencia diferente .

Otra metodología más antigua y menos utilizada es el método de parámetros de imagen . Los filtros diseñados con esta metodología se denominan arcaicamente "filtros de onda". Algunos filtros importantes diseñados con este método son:

• Filtro k constante , la forma original y más simple de filtro de onda.
• Filtro derivado de m , una modificación de la constante k con pendiente de corte mejorada y adaptación de impedancia .

Algunos términos utilizados para describir y clasificar los filtros lineales:

• La respuesta de frecuencia se puede clasificar en varias formas de banda diferentes que describen qué bandas de frecuencia pasa el filtro ( banda de paso ) y cuáles rechaza ( banda de supresión ):
  • Filtro de paso bajo  : se pasan las frecuencias bajas y se atenúan las frecuencias altas.
  • Filtro paso alto  : las frecuencias altas pasan y las frecuencias bajas se atenúan.
  • Filtro de paso de banda  : solo pasan las frecuencias de una banda de frecuencia.
  • Filtro de eliminación de banda o filtro de rechazo de banda: solo se atenúan las frecuencias en una banda de frecuencia.
  • Filtro de muesca  : rechaza solo una frecuencia específica: un filtro de eliminación de banda extrema.
  • Filtro de peine  : tiene múltiples bandas de paso estrechas espaciadas regularmente que le dan a la forma de banda la apariencia de un peine.
  • Filtro pasa todo  : pasan todas las frecuencias, pero se modifica la fase de la salida.
• La frecuencia de corte es la frecuencia más allá de la cual el filtro no deja pasar señales. Generalmente se mide con una atenuación específica, como 3 dB.
• La reducción es la velocidad a la que aumenta la atenuación más allá de la frecuencia de corte.
• Banda de transición , la banda (normalmente estrecha) de frecuencias entre una banda de paso y una banda de supresión.
• La ondulación es la variación de la pérdida de inserción del filtro en la banda de paso.
• El orden de un filtro es el grado del polinomio de aproximación y en los filtros pasivos corresponde al número de elementos necesarios para construirlo. A mayor orden, mayor es el roll-off y acerca el filtro a la respuesta ideal.

Una aplicación importante de los filtros es la de las telecomunicaciones . Muchos sistemas de telecomunicaciones utilizan multiplexación por división de frecuencia , en la que los diseñadores del sistema dividen una banda de frecuencia amplia en muchas bandas de frecuencia más estrechas llamadas "ranuras" o "canales", y a cada flujo de información se le asigna uno de esos canales. Las personas que diseñan los filtros en cada transmisor y cada receptor intentan equilibrar el paso de la señal deseada con la mayor precisión posible, manteniendo la interferencia hacia y desde otros transmisores cooperantes y las fuentes de ruido externas al sistema lo más bajas posibles, a un costo razonable.

Los sistemas de modulación digital multinivel y multifase requieren filtros que tengan un retardo de fase plano (que sean de fase lineal en la banda de paso) para preservar la integridad del pulso en el dominio del tiempo, ^[1] lo que genera menos interferencia entre símbolos que otros tipos de filtros.

Por otro lado, los sistemas de audio analógicos que utilizan transmisión analógica pueden tolerar ondulaciones mucho más grandes en el retardo de fase , y por eso los diseñadores de dichos sistemas a menudo sacrifican deliberadamente la fase lineal para obtener filtros que son mejores en otros aspectos (mejor rechazo de banda de paso, ondulación de amplitud de banda de paso más baja, menor costo, etc.).

Los filtros se pueden construir con distintas tecnologías. La misma función de transferencia se puede realizar de varias maneras diferentes, es decir, las propiedades matemáticas del filtro son las mismas, pero las propiedades físicas son bastante diferentes. A menudo, los componentes de las distintas tecnologías son directamente análogos entre sí y cumplen la misma función en sus respectivos filtros. Por ejemplo, las resistencias, inductores y condensadores de la electrónica corresponden respectivamente a amortiguadores, masas y resortes de la mecánica. Del mismo modo, existen componentes correspondientes en los filtros de elementos distribuidos .

• Los filtros electrónicos eran originalmente totalmente pasivos y estaban compuestos por resistencia, inductancia y capacitancia. La tecnología activa facilita el diseño y abre nuevas posibilidades en las especificaciones de los filtros.
• Los filtros digitales funcionan con señales representadas en formato digital. La esencia de un filtro digital es que implementa directamente en su programación o microcódigo un algoritmo matemático correspondiente a la función de transferencia del filtro deseada.
• Los filtros mecánicos están formados por componentes mecánicos. En la gran mayoría de los casos se utilizan para procesar una señal electrónica y se proporcionan transductores para convertirla en vibración mecánica. Sin embargo, existen ejemplos de filtros que han sido diseñados para funcionar completamente en el ámbito mecánico.
• Los filtros de elementos distribuidos se construyen a partir de componentes hechos de pequeñas piezas de líneas de transmisión u otros elementos distribuidos . Existen estructuras en los filtros de elementos distribuidos que corresponden directamente a los elementos concentrados de los filtros electrónicos y otras que son exclusivas de esta clase de tecnología.
• Los filtros de guía de ondas están compuestos por componentes de guía de ondas o componentes insertados en la guía de ondas. Las guías de ondas son una clase de línea de transmisión y muchas estructuras de filtros de elementos distribuidos, por ejemplo, el stub , también se pueden implementar en guías de ondas.
• Los filtros ópticos se desarrollaron originalmente para fines distintos del procesamiento de señales, como la iluminación y la fotografía. Sin embargo, con el auge de la tecnología de fibra óptica , los filtros ópticos encuentran cada vez más aplicaciones de procesamiento de señales y la terminología de filtros de procesamiento de señales, como paso largo y paso corto , está entrando en el campo.
• El filtro transversal, o filtro de línea de retardo, funciona sumando copias de la entrada después de varios retardos de tiempo. Esto se puede implementar con varias tecnologías, incluidas líneas de retardo analógicas , circuitos activos, líneas de retardo CCD o completamente en el dominio digital.

El procesamiento de señales digitales permite la construcción económica de una amplia variedad de filtros. La señal se muestrea y un convertidor analógico a digital convierte la señal en un flujo de números. Un programa informático que se ejecuta en una CPU o un DSP especializado (o, con menos frecuencia, que se ejecuta en una implementación de hardware del algoritmo ) calcula un flujo de números de salida. Esta salida se puede convertir en una señal al pasarla a través de un convertidor digital a analógico . Existen problemas con el ruido introducido por las conversiones, pero estos se pueden controlar y limitar para muchos filtros útiles. Debido al muestreo involucrado, la señal de entrada debe tener un contenido de frecuencia limitado o se producirá aliasing .

A finales de la década de 1930, los ingenieros se dieron cuenta de que los pequeños sistemas mecánicos hechos de materiales rígidos como el cuarzo resonarían acústicamente en frecuencias de radio, es decir, desde frecuencias audibles ( sonido ) hasta varios cientos de megahercios. Algunos resonadores tempranos estaban hechos de acero , pero el cuarzo rápidamente se convirtió en el favorito. La mayor ventaja del cuarzo es que es piezoeléctrico . Esto significa que los resonadores de cuarzo pueden convertir directamente su propio movimiento mecánico en señales eléctricas. El cuarzo también tiene un coeficiente de expansión térmica muy bajo, lo que significa que los resonadores de cuarzo pueden producir frecuencias estables en un amplio rango de temperaturas. Los filtros de cristal de cuarzo tienen factores de calidad mucho más altos que los filtros LCR. Cuando se requieren estabilidades más altas, los cristales y sus circuitos de control pueden montarse en un " horno de cristal " para controlar la temperatura. Para filtros de banda muy estrecha, a veces se hacen funcionar varios cristales en serie.

Se puede combinar una gran cantidad de cristales en un único componente mediante el montaje de evaporaciones de metal en forma de peine sobre un cristal de cuarzo. En este esquema, una " línea de retardo con derivaciones " refuerza las frecuencias deseadas a medida que las ondas sonoras fluyen por la superficie del cristal de cuarzo. La línea de retardo con derivaciones se ha convertido en un esquema general para fabricar filtros de alta calidad de muchas maneras diferentes.

Los filtros SAW ( onda acústica de superficie ) son dispositivos electromecánicos que se utilizan comúnmente en aplicaciones de radiofrecuencia . Las señales eléctricas se convierten en una onda mecánica en un dispositivo construido con un cristal piezoeléctrico o cerámica; esta onda se retrasa a medida que se propaga a través del dispositivo, antes de convertirse nuevamente en una señal eléctrica mediante otros electrodos . Las salidas retrasadas se recombinan para producir una implementación analógica directa de un filtro de respuesta de impulso finito . Esta técnica de filtrado híbrido también se encuentra en un filtro muestreado analógico . Los filtros SAW están limitados a frecuencias de hasta 3 GHz. Los filtros fueron desarrollados por el profesor Ted Paige y otros. ^[2]

Los filtros BAW (ondas acústicas en masa) son dispositivos electromecánicos . Los filtros BAW pueden implementar filtros en escalera o en red. Los filtros BAW suelen funcionar a frecuencias de entre 2 y 16 GHz y pueden ser más pequeños o más delgados que los filtros SAW equivalentes. Dos variantes principales de filtros BAW se están abriendo camino en los dispositivos: resonadores acústicos en masa de película fina o FBAR y resonadores acústicos en masa montados en sólidos (SMR).

Otro método de filtrado, en frecuencias de microondas de 800 MHz a aproximadamente 5 GHz, es utilizar una esfera sintética de granate de itrio y hierro hecha de una combinación química de itrio y hierro (YIGF, o filtro de granate de itrio y hierro). El granate se asienta sobre una tira de metal accionada por un transistor , y una pequeña antena de bucle toca la parte superior de la esfera. Un electroimán cambia la frecuencia por la que pasará el granate. La ventaja de este método es que el granate se puede sintonizar en una frecuencia muy amplia variando la fuerza del campo magnético .

Para lograr frecuencias aún más altas y una mayor precisión, se deben utilizar las vibraciones de los átomos. Los relojes atómicos utilizan máseres de cesio como filtros Q ultraaltos para estabilizar sus osciladores primarios. Otro método, utilizado en frecuencias altas y fijas con señales de radio muy débiles, es utilizar una línea de retardo con tomas de máser de rubí .

La función de transferencia de un filtro se define con mayor frecuencia en el dominio de las frecuencias complejas. El paso de ida y vuelta hacia/desde este dominio se realiza mediante la transformada de Laplace y su inversa (por lo tanto, en adelante, el término "señal de entrada" se entenderá como "la transformada de Laplace de" la representación temporal de la señal de entrada, y así sucesivamente).

La función de transferencia de un filtro es la relación entre la señal de salida y la señal de entrada en función de la frecuencia compleja :${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle Y(s)}$${\displaystyle X(s)}$${\estilo de visualización s}$

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}}$

con .${\displaystyle s=\sigma+j\omega}$

Para filtros que están construidos con componentes discretos ( elementos agrupados ):

• Su función de transferencia será el cociente de polinomios en , es decir, una función racional de . El orden de la función de transferencia será la potencia más alta de encontrada en el polinomio numerador o denominador.${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización s}$
• Todos los polinomios de la función de transferencia tendrán coeficientes reales. Por lo tanto, los polos y ceros de la función de transferencia serán reales o se presentarán en pares complejos conjugados.
• Como se supone que los filtros son estables, la parte real de todos los polos (es decir, los ceros del denominador) serán negativos, es decir, estarán en el semiplano izquierdo en el espacio de frecuencia complejo.

Los filtros de elementos distribuidos , en general, no tienen funciones de transferencia de función racional, pero pueden aproximarse a ellas.

La construcción de una función de transferencia implica la transformada de Laplace y, por lo tanto, es necesario asumir condiciones iniciales nulas, porque

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0),}$

Y cuando f (0) = 0 podemos deshacernos de las constantes y utilizar la expresión habitual

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$

Una alternativa a las funciones de transferencia es dar el comportamiento del filtro como una convolución de la entrada en el dominio del tiempo con la respuesta al impulso del filtro . El teorema de convolución , que se cumple para las transformadas de Laplace, garantiza la equivalencia con las funciones de transferencia.

Ciertos filtros pueden especificarse por familia y forma de banda. La familia de un filtro se especifica por el polinomio de aproximación utilizado, y cada uno de ellos conduce a determinadas características de la función de transferencia del filtro. Algunas familias de filtros comunes y sus características particulares son:

• Filtro Butterworth  : sin ondulación de ganancia en la banda de paso y la banda de detención, corte lento
• Filtro Chebyshev (Tipo I)  : sin ondulación de ganancia en la banda de rechazo, corte moderado
• Filtro Chebyshev (Tipo II)  : sin ondulación de ganancia en la banda de paso, corte moderado
• Filtro Bessel  : sin ondulación de retardo de grupo , sin ondulación de ganancia en ambas bandas, corte de ganancia lento
• Filtro elíptico  : ondulación de ganancia en la banda de paso y detención, corte rápido
• Filtro "L" óptimo
• Filtro gaussiano  : sin ondulación en respuesta a la función escalonada
• Filtro de coseno elevado

Cada familia de filtros puede especificarse en un orden particular. Cuanto mayor sea el orden, más se acercará el filtro al filtro "ideal"; pero también cuanto más larga sea la respuesta al impulso y más larga será la latencia. Un filtro ideal tiene transmisión completa en la banda de paso, atenuación completa en la banda de rechazo y una transición abrupta entre las dos bandas, pero este filtro tiene un orden infinito (es decir, la respuesta no se puede expresar como una ecuación diferencial lineal con una suma finita) y una latencia infinita (es decir, su soporte compacto en la transformada de Fourier obliga a que su respuesta temporal sea siempre duradera).

Aquí se muestra una imagen que compara los filtros Butterworth, Chebyshev y elípticos. Los filtros de esta ilustración son todos filtros de paso bajo de quinto orden. La implementación particular (analógica o digital, pasiva o activa) no hace ninguna diferencia; su salida sería la misma. Como se desprende claramente de la imagen, los filtros elípticos son más nítidos que los demás, pero muestran ondulaciones en todo el ancho de banda.

Cualquier familia puede utilizarse para implementar una determinada forma de banda de frecuencias que se transmitan y que, fuera de la banda de paso, se atenúen más o menos. La función de transferencia especifica completamente el comportamiento de un filtro lineal, pero no la tecnología particular utilizada para implementarlo. En otras palabras, existen varias formas diferentes de lograr una determinada función de transferencia al diseñar un circuito. Una determinada forma de banda de filtro se puede obtener mediante la transformación de un filtro prototipo de esa familia.

Las estructuras de adaptación de impedancia adoptan invariablemente la forma de un filtro, es decir, una red de elementos no disipativos. Por ejemplo, en una implementación de electrónica pasiva, probablemente adoptaría la forma de una topología en escalera de inductores y condensadores. El diseño de las redes de adaptación tiene mucho en común con los filtros y el diseño invariablemente tendrá una acción de filtrado como consecuencia incidental. Aunque el propósito principal de una red de adaptación no es filtrar, a menudo se da el caso de que ambas funciones se combinan en el mismo circuito. La necesidad de adaptación de impedancia no surge mientras las señales están en el dominio digital.

Se pueden hacer comentarios similares con respecto a los divisores de potencia y los acopladores direccionales . Cuando se implementan en un formato de elementos distribuidos, estos dispositivos pueden tomar la forma de un filtro de elementos distribuidos . Hay cuatro puertos que deben coincidir y para ampliar el ancho de banda se requieren estructuras similares a filtros para lograrlo. Lo inverso también es cierto: los filtros de elementos distribuidos pueden tomar la forma de líneas acopladas ^[3] .

• Filtro de audio
• Filtro de línea
• Correlación escalada , filtro de paso alto para correlaciones
• Filtrado de texturas

• Filtro de Viena
• Filtro Kalman
• Filtro de suavizado Savitzky-Golay

• Topología de filtro electrónico
• Elevador (procesamiento de señales)
• Reducción de ruido
• Topología de Sallen-Key
• Suavizado
• Multiplicador (análisis de Fourier)

• Miroslav D. Lutovac, Dejan V. Tošić, Brian Lawrence Evans, Diseño de filtros para procesamiento de señales utilizando MATLAB y Mathematica , Miroslav Lutovac, 2001 ISBN 0201361302 . 
• BA Shenoi, Introducción al procesamiento de señales digitales y diseño de filtros , John Wiley & Sons, 2005 ISBN 0471656380 . 
• LD Paarmann, Diseño y análisis de filtros analógicos: una perspectiva de procesamiento de señales , Springer, 2001 ISBN 0792373731 . 
• JSChitode, Procesamiento de señales digitales , Publicaciones técnicas, 2009 ISBN 8184316461 . 
• Leland B. Jackson, Filtros digitales y procesamiento de señales , Springer, 1996 ISBN 079239559X .