Tiempo discreto y tiempo continuo

En dinámica matemática, el tiempo discreto y el tiempo continuo son dos marcos alternativos dentro de los cuales se modelan las variables que evolucionan a lo largo del tiempo.

El tiempo discreto considera que los valores de las variables ocurren en "puntos en el tiempo" distintos y separados, o equivalentemente, que no cambian a lo largo de cada región de tiempo distinta de cero ("período de tiempo"), es decir, el tiempo se considera una variable discreta . Por lo tanto, una variable no temporal salta de un valor a otro a medida que el tiempo se mueve de un período de tiempo al siguiente. Esta visión del tiempo corresponde a un reloj digital que da una lectura fija de 10:37 por un tiempo, y luego salta a una nueva lectura fija de 10:38, etc. En este marco, cada variable de interés se mide una vez en cada período de tiempo. El número de mediciones entre dos períodos de tiempo cualesquiera es finito. Las mediciones se realizan típicamente en valores enteros secuenciales de la variable "tiempo".

Una señal discreta o señal de tiempo discreto es una serie temporal que consiste en una secuencia de cantidades.

A diferencia de una señal de tiempo continuo, una señal de tiempo discreto no es una función de un argumento continuo; sin embargo, puede haberse obtenido mediante el muestreo de una señal de tiempo continuo. Cuando una señal de tiempo discreto se obtiene mediante el muestreo de una secuencia en tiempos espaciados uniformemente, tiene una frecuencia de muestreo asociada .

Las señales de tiempo discreto pueden tener varios orígenes, pero generalmente se pueden clasificar en uno de dos grupos: ^[1]

• Mediante la adquisición de valores de una señal analógica a una velocidad constante o variable. Este proceso se denomina muestreo . ^[2]
• Observando un proceso inherentemente discreto en el tiempo, como el valor máximo semanal de un indicador económico particular.

En cambio, el tiempo continuo considera que las variables tienen un valor particular solo durante un período infinitesimalmente corto. Entre dos puntos cualesquiera en el tiempo hay un número infinito de otros puntos en el tiempo. La variable "tiempo" abarca toda la línea de números reales o, dependiendo del contexto, un subconjunto de ella, como los reales no negativos. Por lo tanto, el tiempo se considera una variable continua .

Una señal continua o una señal de tiempo continuo es una cantidad variable (una señal ) cuyo dominio, que a menudo es el tiempo, es un continuo (por ejemplo, un intervalo conexo de los números reales ). Es decir, el dominio de la función es un conjunto incontable . La función en sí no necesita ser continua . Por el contrario, una señal de tiempo discreto tiene un dominio contable , como los números naturales .

Una señal de amplitud y tiempo continuos se conoce como señal de tiempo continuo o señal analógica . Esta (una señal ) tendrá algún valor en cada instante de tiempo. Las señales eléctricas derivadas en proporción con las magnitudes físicas como la temperatura, la presión, el sonido, etc. son generalmente señales continuas. Otros ejemplos de señales continuas son las ondas sinusoidales, las ondas cosenoidales, las ondas triangulares, etc.

La señal se define en un dominio, que puede ser finito o no, y existe una correspondencia funcional entre el dominio y el valor de la señal. La continuidad de la variable temporal, en relación con la ley de densidad de números reales , significa que el valor de la señal se puede encontrar en cualquier punto arbitrario del tiempo.

Un ejemplo típico de una señal de duración infinita es:

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R} }$

Una contraparte de duración finita de la señal anterior podría ser:

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]}$y de otro modo.${\displaystyle f(t)=0}$

El valor de una señal de duración finita (o infinita) puede ser finito o no. Por ejemplo,

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]}$y de lo contrario,${\displaystyle f(t)=0}$

es una señal de duración finita pero toma un valor infinito para . ${\estilo de visualización t=0\,}$

En muchas disciplinas, la convención es que una señal continua siempre debe tener un valor finito, lo que tiene más sentido en el caso de señales físicas.

Para algunos propósitos, las singularidades infinitas son aceptables siempre que la señal sea integrable en cualquier intervalo finito (por ejemplo, la señal no es integrable en el infinito, pero sí lo es).$estilo de visualización t^{-1}}$$estilo de visualización t^{-2}}$

Toda señal analógica es continua por naturaleza. Las señales de tiempo discreto , utilizadas en el procesamiento de señales digitales , se pueden obtener mediante el muestreo y la cuantificación de señales continuas.

La señal continua también puede definirse sobre una variable independiente distinta del tiempo. Otra variable independiente muy común es el espacio y es particularmente útil en el procesamiento de imágenes , donde se utilizan dos dimensiones espaciales.

El tiempo discreto se utiliza a menudo cuando se trata de mediciones empíricas , porque normalmente sólo es posible medir las variables de forma secuencial. Por ejemplo, si bien la actividad económica en realidad se produce de forma continua, al no existir ningún momento en que la economía se encuentre totalmente en pausa, sólo es posible medir la actividad económica de forma discreta. Por este motivo, los datos publicados sobre, por ejemplo, el producto interior bruto mostrarán una secuencia de valores trimestrales .

Cuando se intenta explicar empíricamente dichas variables en términos de otras variables y/o de sus propios valores previos, se utilizan series temporales o métodos de regresión en los que las variables se indexan con un subíndice que indica el período de tiempo en el que se produjo la observación. Por ejemplo, y _t podría referirse al valor del ingreso observado en un período de tiempo no especificado t , y ₃ al valor del ingreso observado en el tercer período de tiempo, etc.

Además, cuando un investigador intenta desarrollar una teoría para explicar lo que se observa en tiempo discreto, a menudo la teoría misma se expresa en tiempo discreto para facilitar el desarrollo de una serie temporal o un modelo de regresión.

Por otra parte, a menudo resulta más factible desde el punto de vista matemático construir modelos teóricos en tiempo continuo y, a menudo, en áreas como la física, una descripción exacta requiere el uso del tiempo continuo. En un contexto de tiempo continuo, el valor de una variable y en un punto no especificado en el tiempo se denota como y ( t ) o, cuando el significado es claro, simplemente como y .

El tiempo discreto hace uso de ecuaciones diferenciales , también conocidas como relaciones de recurrencia. Un ejemplo, conocido como mapa logístico o ecuación logística, es

${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),}$

donde r es un parámetro en el rango de 2 a 4 inclusive, y x es una variable en el rango de 0 a 1 inclusive cuyo valor en el periodo t afecta de manera no lineal su valor en el siguiente periodo, t + 1. Por ejemplo, si y , entonces para t = 1 tenemos , y para t = 2 tenemos .${\estilo de visualización r=4}$$Estilo de visualización x_{1}=1/3$$Estilo de visualización x_{2}=4(1/3)(2/3)=8/9$$Estilo de visualización x_{3}=4(8/9)(1/9)=32/81$

Otro ejemplo modela el ajuste de un precio P en respuesta a un exceso de demanda distinto de cero para un producto como

${\displaystyle P_{t+1}=P_{t}+\delta \cdot f(P_{t},...)}$

donde es el parámetro de velocidad de ajuste positivo que es menor o igual a 1, y donde es la función de exceso de demanda .${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización f}$

El tiempo continuo hace uso de ecuaciones diferenciales . Por ejemplo, el ajuste de un precio P en respuesta a un exceso de demanda distinto de cero para un producto se puede modelar en tiempo continuo como

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=\lambda \cdot f(P,...)}$

donde el lado izquierdo es la primera derivada del precio con respecto al tiempo (es decir, la tasa de cambio del precio), es el parámetro de velocidad de ajuste que puede ser cualquier número finito positivo, y es nuevamente la función de exceso de demanda.${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización f}$

Una variable medida en tiempo discreto puede representarse gráficamente como una función escalonada , en la que a cada período de tiempo se le asigna una región en el eje horizontal de la misma longitud que a todos los demás períodos de tiempo, y la variable medida se representa gráficamente como una altura que permanece constante a lo largo de la región del período de tiempo. En esta técnica gráfica, el gráfico aparece como una secuencia de pasos horizontales. Alternativamente, cada período de tiempo puede verse como un punto separado en el tiempo, generalmente en un valor entero en el eje horizontal, y la variable medida se representa gráficamente como una altura por encima de ese punto del eje de tiempo. En esta técnica, el gráfico aparece como un conjunto de puntos.

Los valores de una variable medidos en tiempo continuo se grafican como una función continua , ya que se considera que el dominio del tiempo es todo el eje real o al menos alguna porción conexa del mismo.

• Gershenfeld, Neil A. (1999). La naturaleza del modelado matemático . Cambridge University Press. ISBN 0-521-57095-6.

• Wagner, Thomas Charles Gordon (1959). Transitorios analíticos . Wiley.