Transformada de Laplace

En matemáticas , la transformada de Laplace , llamada así por Pierre -Simon Laplace ( / ləˈplɑːs / ) , es una transformada integral que convierte una función de una variable real ( generalmente , en el dominio del tiempo ) en una función de una variable compleja ( en el dominio de frecuencia de valor complejo , también conocido como dominio s o plano s ). ${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización s}$

La transformada es útil para convertir la diferenciación e integración en el dominio del tiempo en una multiplicación y división mucho más sencilla en el dominio de Laplace (de forma análoga a cómo los logaritmos son útiles para simplificar la multiplicación y la división en suma y resta). Esto le da a la transformada muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería , principalmente como herramienta para resolver ecuaciones diferenciales lineales ^[1] y sistemas dinámicos al simplificar ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones integrales en ecuaciones polinómicas algebraicas , y al simplificar la convolución en multiplicación . ^{[2] [3]} Una vez resuelta, la transformada inversa de Laplace vuelve al dominio original.

La transformada de Laplace se define (para funciones adecuadas ) por la integral donde s es un número complejo . Está relacionada con muchas otras transformadas, más notablemente la transformada de Fourier y la transformada de Mellin . Formalmente , la transformada de Laplace se convierte en una transformada de Fourier por la sustitución donde es real. Sin embargo, a diferencia de la transformada de Fourier, que da la descomposición de una función en sus componentes en cada frecuencia, la transformada de Laplace de una función con decaimiento adecuado es una función analítica , y por lo tanto tiene una serie de potencias convergentes , cuyos coeficientes dan la descomposición de una función en sus momentos . También a diferencia de la transformada de Fourier, cuando se considera de esta manera como una función analítica, las técnicas de análisis complejo , y especialmente las integrales de contorno , se pueden utilizar para los cálculos.${\estilo de visualización f}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$${\displaystyle s=i\omega}$${\estilo de visualización \omega}$

La transformada de Laplace recibe su nombre del matemático y astrónomo Pierre-Simon, marqués de Laplace , que utilizó una transformada similar en su trabajo sobre la teoría de la probabilidad . ^[4] Laplace escribió extensamente sobre el uso de funciones generadoras (1814), y la forma integral de la transformada de Laplace evolucionó naturalmente como resultado. ^[5]

El uso que Laplace hacía de las funciones generadoras era similar a lo que ahora se conoce como transformada z , y prestó poca atención al caso de variable continua que fue analizado por Niels Henrik Abel . ^[6]

A partir de 1744, Leonhard Euler investigó integrales de la forma como soluciones de ecuaciones diferenciales, introduciendo en particular la función gamma . ^[7] Joseph-Louis Lagrange era un admirador de Euler y, en su trabajo sobre la integración de funciones de densidad de probabilidad , investigó expresiones de la forma que se asemeja a una transformada de Laplace. ^{[8] [9]}$${\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ y }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx}$$ $${\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}$$

Este tipo de integrales parecen haber atraído por primera vez la atención de Laplace en 1782, donde seguía el espíritu de Euler al utilizar las propias integrales como soluciones de ecuaciones. ^[10] Sin embargo, en 1785, Laplace dio el paso decisivo cuando, en lugar de simplemente buscar una solución en forma de integral, empezó a aplicar las transformadas en el sentido que más tarde se haría popular. Utilizó una integral de la forma similar a una transformada de Mellin para transformar la totalidad de una ecuación diferencial , con el fin de buscar soluciones de la ecuación transformada. Después pasó a aplicar la transformada de Laplace de la misma manera y empezó a derivar algunas de sus propiedades, empezando a apreciar su poder potencial. ^[11]$${\displaystyle \int x^{s}\varphi (x)\,dx,}$$

Laplace también reconoció que el método de la serie de Fourier de Joseph Fourier para resolver la ecuación de difusión sólo podía aplicarse a una región limitada del espacio, porque esas soluciones eran periódicas . En 1809, Laplace aplicó su transformada para encontrar soluciones que se difundían indefinidamente en el espacio. ^[12] En 1821, Cauchy desarrolló un cálculo operacional para la transformada de Laplace que podía utilizarse para estudiar ecuaciones diferenciales lineales de la misma manera en que la transformada se utiliza ahora en ingeniería básica. Este método fue popularizado, y tal vez redescubierto, por Oliver Heaviside a principios del siglo. ^[13]

Bernhard Riemann utilizó la transformada de Laplace en su artículo de 1859 Sobre el número de primos menores que una magnitud dada , en el que también desarrolló el teorema de inversión. Riemann utilizó la transformada de Laplace para desarrollar la ecuación funcional de la función zeta de Riemann , y este método todavía se utiliza para relacionar la ley de transformación modular de la función theta de Jacobi , que es fácil de demostrar mediante la suma de Poisson , con la ecuación funcional.

Hjalmar Mellin fue uno de los primeros en estudiar la transformada de Laplace, rigurosamente en la escuela de análisis de Karl Weierstrass , y aplicarla al estudio de ecuaciones diferenciales y funciones especiales , a principios del siglo XX. ^[14] Casi al mismo tiempo, Heaviside estaba ocupado con su cálculo operacional. Thomas Joannes Stieltjes consideró una generalización de la transformada de Laplace relacionada con su trabajo sobre momentos . Otros contribuyentes en este período de tiempo incluyeron a Mathias Lerch , ^[15] Oliver Heaviside y Thomas Bromwich . ^[16]

En 1934, Raymond Paley y Norbert Wiener publicaron la importante obra Transformadas de Fourier en el dominio complejo , sobre lo que ahora se llama transformada de Laplace (véase más abajo). También durante los años 30, la transformada de Laplace fue fundamental en el estudio de los teoremas de Tauber por parte de GH Hardy y John Edensor Littlewood , y esta aplicación fue posteriormente expuesta por Widder (1941), quien desarrolló otros aspectos de la teoría, como un nuevo método de inversión. Edward Charles Titchmarsh escribió la influyente Introducción a la teoría de la integral de Fourier (1937).

El uso generalizado actual de la transformada (principalmente en ingeniería) se produjo durante y poco después de la Segunda Guerra Mundial , ^[17] sustituyendo al anterior cálculo operacional de Heaviside . Las ventajas de la transformada de Laplace habían sido enfatizadas por Gustav Doetsch , ^[18] a quien aparentemente se debe el nombre de transformada de Laplace.

La transformada de Laplace de una función f ( t ) , definida para todos los números reales t ≥ 0 , es la función F ( s ) , que es una transformada unilateral definida por

donde s es un parámetro complejo del dominio de la frecuencia con números reales σ y ω .$${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$$

Una notación alternativa para la transformada de Laplace es${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$en lugar de F . ^[3]

El significado de la integral depende de los tipos de funciones de interés. Una condición necesaria para la existencia de la integral es que f debe ser localmente integrable en [0, ∞) . Para funciones localmente integrables que decaen en el infinito o son de tipo exponencial ( ), la integral puede entenderse como una integral de Lebesgue (propia) . Sin embargo, para muchas aplicaciones es necesario considerarla como una integral impropia condicionalmente convergente en ∞ . Aún más generalmente, la integral puede entenderse en un sentido débil , y esto se trata a continuación.${\displaystyle |f(t)|\leq Ae^{B|t|}}$

Se puede definir la transformada de Laplace de una medida de Borel finita μ mediante la integral de Lebesgue ^[19]$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$$

Un caso especial importante es cuando μ es una medida de probabilidad , por ejemplo, la función delta de Dirac . En cálculo operacional , la transformada de Laplace de una medida se trata a menudo como si la medida viniera de una función de densidad de probabilidad f . En ese caso, para evitar posibles confusiones, a menudo se escribe donde el límite inferior de 0 ⁻ es la notación abreviada para$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$$

Este límite pone de relieve que cualquier masa puntual situada en 0 queda totalmente capturada por la transformada de Laplace. Aunque con la integral de Lebesgue no es necesario tomar dicho límite, sí aparece de forma más natural en relación con la transformada de Laplace-Stieltjes .

Cuando se dice "transformada de Laplace" sin calificación, generalmente se hace referencia a la transformada unilateral o de un solo lado. La transformada de Laplace se puede definir alternativamente como transformada de Laplace bilateral o transformada de Laplace de dos lados , extendiendo los límites de integración para que sean todo el eje real. Si se hace eso, la transformada unilateral común simplemente se convierte en un caso especial de la transformada bilateral, donde la definición de la función que se transforma se multiplica por la función escalonada de Heaviside .

La transformada de Laplace bilateral F ( s ) se define de la siguiente manera:

Una notación alternativa para la transformada de Laplace bilateral es , en lugar de F .${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$

Dos funciones integrables tienen la misma transformada de Laplace sólo si difieren en un conjunto de medida de Lebesgue cero. Esto significa que, en el rango de la transformada, existe una transformada inversa. De hecho, además de las funciones integrables, la transformada de Laplace es una aplicación biunívoca de un espacio de funciones a otro en muchos otros espacios de funciones también, aunque normalmente no existe una caracterización sencilla del rango.

Los espacios funcionales típicos en los que esto es cierto incluyen los espacios de funciones continuas acotadas, el espacio L ^∞ (0, ∞) o, de manera más general, distribuciones templadas en (0, ∞) . La transformada de Laplace también está definida y es inyectiva para espacios adecuados de distribuciones templadas.

En estos casos, la imagen de la transformada de Laplace vive en un espacio de funciones analíticas en la región de convergencia. La transformada de Laplace inversa viene dada por la siguiente integral compleja, que se conoce con varios nombres ( integral de Bromwich , integral de Fourier-Mellin y fórmula inversa de Mellin ):

donde γ es un número real de modo que la trayectoria de contorno de integración está en la región de convergencia de F ( s ) . En la mayoría de las aplicaciones, el contorno puede cerrarse, lo que permite el uso del teorema de residuo . Una fórmula alternativa para la transformada de Laplace inversa se da mediante la fórmula de inversión de Post . El límite aquí se interpreta en la topología débil-* .

En la práctica, suele ser más conveniente descomponer una transformada de Laplace en transformadas conocidas de funciones obtenidas de una tabla y construir la inversa por inspección.

En probabilidad pura y aplicada , la transformada de Laplace se define como un valor esperado . Si X es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad f , entonces la transformada de Laplace de f viene dada por la esperanza, donde es la esperanza de la variable aleatoria .$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right],}$$${\displaystyle \operatorname {E} [r]}$ ${\displaystyle r}$

Por convención , esto se conoce como la transformada de Laplace de la propia variable aleatoria X. Aquí, al reemplazar s por − t se obtiene la función generadora de momentos de X. La transformada de Laplace tiene aplicaciones en toda la teoría de probabilidad, incluidos los tiempos de primer paso de procesos estocásticos como las cadenas de Markov y la teoría de renovación .

De particular utilidad es la capacidad de recuperar la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X por medio de la transformada de Laplace de la siguiente manera: ^[20]$${\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}(x).}$$

La transformada de Laplace se puede definir alternativamente de una manera puramente algebraica aplicando una construcción de cuerpo de fracciones al anillo de convolución de funciones en la semirrecta positiva. El espacio resultante de operadores abstractos es exactamente equivalente al espacio de Laplace, pero en esta construcción las transformadas directa e inversa nunca necesitan definirse explícitamente (evitando las dificultades relacionadas con la demostración de convergencia). ^[21]

Si f es una función localmente integrable (o más generalmente una medida de Borel localmente de variación acotada), entonces la transformada de Laplace F ( s ) de f converge siempre que exista el límite.$${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$$

La transformada de Laplace converge absolutamente si la integral existe como una integral de Lebesgue propia. La transformada de Laplace suele entenderse como condicionalmente convergente , es decir, converge en el primer sentido pero no en el segundo.$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$$

El conjunto de valores para los cuales F ( s ) converge absolutamente es de la forma Re( s ) > a o Re( s ) ≥ a , donde a es una constante real extendida con −∞ ≤ a ≤ ∞ (una consecuencia del teorema de convergencia dominada ). La constante a se conoce como la abscisa de convergencia absoluta, y depende del comportamiento de crecimiento de f ( t ) . ^[22] Análogamente, la transformada de dos caras converge absolutamente en una franja de la forma a < Re( s ) < b , y posiblemente incluyendo las líneas Re( s ) = a o Re( s ) = b . ^[23] El subconjunto de valores de s para los cuales la transformada de Laplace converge absolutamente se llama la región de convergencia absoluta, o el dominio de convergencia absoluta. En el caso de dos caras, a veces se le llama la franja de convergencia absoluta. La transformada de Laplace es analítica en la región de convergencia absoluta: esto es una consecuencia del teorema de Fubini y del teorema de Morera .

De manera similar, el conjunto de valores para los cuales F ( s ) converge (condicional o absolutamente) se conoce como la región de convergencia condicional, o simplemente la región de convergencia (ROC). Si la transformada de Laplace converge (condicionalmente) en s = s ₀ , entonces converge automáticamente para todo s con Re( s ) > Re( s ₀ ) . Por lo tanto, la región de convergencia es un semiplano de la forma Re( s ) > a , posiblemente incluyendo algunos puntos de la línea límite Re( s ) = a .

En la región de convergencia Re( s ) > Re( s ₀ ) , la transformada de Laplace de f se puede expresar integrando por partes como la integral$${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$$

Es decir, F ( s ) puede expresarse efectivamente, en la región de convergencia, como la transformada de Laplace absolutamente convergente de alguna otra función. En particular, es analítica.

Hay varios teoremas de Paley-Wiener relacionados con la relación entre las propiedades de desintegración de f y las propiedades de la transformada de Laplace dentro de la región de convergencia.

En aplicaciones de ingeniería, una función correspondiente a un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) es estable si cada entrada acotada produce una salida acotada. Esto es equivalente a la convergencia absoluta de la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso en la región Re( s ) ≥ 0 . Como resultado, los sistemas LTI son estables, siempre que los polos de la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso tengan una parte real negativa.

Esta ROC se utiliza para conocer la causalidad y la estabilidad de un sistema.

La propiedad clave de la transformada de Laplace es que convierte la diferenciación y la integración en el dominio del tiempo en multiplicación y división por s en el dominio de Laplace. Por lo tanto, la variable de Laplace s también se conoce como variable operadora en el dominio de Laplace: operador de derivada o (para s ⁻¹ ) operador de integración .

Dadas las funciones f ( t ) y g ( t ) , y sus respectivas transformadas de Laplace F ( s ) y G ( s ) ,$${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(s),\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G\}(s),\end{aligned}}}$$

La siguiente tabla es una lista de propiedades de la transformada de Laplace unilateral: ^[24]

Propiedades de la transformada unilateral de Laplace

Propiedad	Dominio del tiempo	dominio s	Comentario
Linealidad	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	Se puede demostrar utilizando reglas básicas de integración.
Derivada en el dominio de la frecuencia	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$	F ′ es la primera derivada de F con respecto a s .
Derivada general en el dominio de la frecuencia	${\displaystyle t^{n}f(t)\ }$	${\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }$	Forma más general, n -ésima derivada de F ( s ) .
Derivado	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0^{-})\ }$	Se supone que f es una función diferenciable y que su derivada es de tipo exponencial. Esto se puede obtener mediante integración por partes.
Segunda derivada	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$	Se supone que f es dos veces diferenciable y que la segunda derivada es de tipo exponencial. A continuación se aplica la propiedad de diferenciación a f ′( t ) .
Derivada general	${\displaystyle f^{(n)}(t)\ }$	${\displaystyle s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{-})\ }$	Se supone que f es n veces diferenciable, con derivada n- ésima de tipo exponencial. Se sigue por inducción matemática .
Integración en el dominio de la frecuencia	${\displaystyle {\frac {1}{t}}f(t)\ }$	${\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }$	Esto se deduce utilizando la naturaleza de la diferenciación de frecuencia y la convergencia condicional.
Integración en el dominio del tiempo	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	u ( t ) es la función escalonada de Heaviside y ( u ∗ f )( t ) es la convolución de u ( t ) y f ( t ) .
Cambio de frecuencia	${\displaystyle e^{at}f(t)}$	${\displaystyle F(s-a)\ }$
Cambio de hora	${\displaystyle f(t-a)u(t-a)}$ ${\displaystyle f(t)u(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$ ${\displaystyle e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t+a)\}}$	a > 0 , u ( t ) es la función escalón de Heaviside
Escala de tiempo	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)}$	un > 0
Multiplicación	${\displaystyle f(t)g(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ }$	La integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re( σ ) = c que se encuentra completamente dentro de la región de convergencia de F . [25]
Circunvolución	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
Convolución circular	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{T}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$	Para funciones periódicas con periodo T .
Conjugación compleja	${\displaystyle f^{*}(t)}$	${\displaystyle F^{*}(s^{*})}$
Función periódica	${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$	f ( t ) es una función periódica de periodo T de modo que f ( t ) = f ( t + T ) , para todo t ≥ 0 . Este es el resultado de la propiedad de desplazamiento temporal y de la serie geométrica .
Suma periódica	${\displaystyle f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }f(t-Tn)}$ ${\displaystyle f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(t-Tn)}$	${\displaystyle F_{P}(s)={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)}$ ${\displaystyle F_{P}(s)={\frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)}$

Teorema del valor inicial

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}$

Teorema del valor final

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$, si todos los polos de están en el semiplano izquierdo.${\displaystyle sF(s)}$

El teorema del valor final es útil porque proporciona el comportamiento a largo plazo sin tener que realizar descomposiciones en fracciones parciales (u otras operaciones algebraicas difíciles). Si F ( s ) tiene un polo en el plano derecho o polos en el eje imaginario (por ejemplo, si o ), entonces el comportamiento de esta fórmula no está definido.${\displaystyle f(t)=e^{t}}$${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$

La transformada de Laplace puede verse como un análogo continuo de una serie de potencias . ^[26] Si a ( n ) es una función discreta de un entero positivo n , entonces la serie de potencias asociada a a ( n ) es la serie donde x es una variable real (ver transformada Z ). Reemplazando la suma sobre n por la integración sobre t , una versión continua de la serie de potencias se convierte en donde la función discreta a ( n ) se reemplaza por la continua f ( t ) .$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt}$$

Cambiando la base de la potencia de x a e se obtiene$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}$$

Para que esto converja, por ejemplo, para todas las funciones acotadas f , es necesario exigir que ln x < 0 . Al realizar la sustitución − s = ln x se obtiene simplemente la transformada de Laplace:$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$$

En otras palabras, la transformada de Laplace es un análogo continuo de una serie de potencias, en la que el parámetro discreto n se reemplaza por el parámetro continuo t y x se reemplaza por e ^{− s} .

Las cantidades$${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt}$$

son los momentos de la función f . Si los primeros n momentos de f convergen absolutamente, entonces por diferenciación repetida bajo la integral , Esto es de especial importancia en la teoría de la probabilidad, donde los momentos de una variable aleatoria X están dados por los valores esperados . Entonces, la relación se cumple$${\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}$$${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}$$${\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}$$

A menudo resulta conveniente utilizar la propiedad de diferenciación de la transformada de Laplace para hallar la transformada de la derivada de una función. Esto se puede derivar de la expresión básica de una transformada de Laplace, como sigue: obteniendo y en el caso bilateral,$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$$

El resultado general donde denota la derivada n- ésima de f , puede entonces establecerse con un argumento inductivo.$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}$$${\displaystyle f^{(n)}}$

Una propiedad útil de la transformada de Laplace es la siguiente: bajo supuestos adecuados sobre el comportamiento de en un entorno derecho de y sobre la tasa de decaimiento de en un entorno izquierdo de . La fórmula anterior es una variación de la integración por partes, en la que los operadores y se sustituyen por y . Probemos la formulación equivalente:$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}$$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle \int \,dx}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}$$

Al conectar el lado izquierdo se convierte en: pero asumiendo que se cumple el teorema de Fubini, al invertir el orden de integración obtenemos el lado derecho deseado.${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,}$$

Este método se puede utilizar para calcular integrales que de otro modo serían difíciles de calcular utilizando métodos elementales de cálculo real. Por ejemplo,$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}$$

La transformada (unilateral) de Laplace-Stieltjes de una función g  : ℝ → ℝ está definida por la integral de Lebesgue-Stieltjes

$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}$$

Se supone que la función g tiene una variación acotada . Si g es la antiderivada de f :

$${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}$$

entonces la transformada de Laplace-Stieltjes de g y la transformada de Laplace de f coinciden. En general, la transformada de Laplace-Stieltjes es la transformada de Laplace de la medida de Stieltjes asociada a g . Por lo tanto, en la práctica, la única distinción entre las dos transformadas es que se piensa que la transformada de Laplace opera sobre la función de densidad de la medida, mientras que la transformada de Laplace-Stieltjes opera sobre su función de distribución acumulativa . ^[27]

Sea una función integrable de Lebesgue de valor complejo soportada en , y sea su transformada de Laplace. Entonces, dentro de la región de convergencia, tenemos${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}f(s)}$

${\displaystyle F(\sigma +i\tau )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\tau t}\,dt,}$

que es la transformada de Fourier de la función . ^[28]${\displaystyle f(t)e^{-\sigma t}}$

De hecho, la transformada de Fourier es un caso especial (bajo ciertas condiciones) de la transformada bilateral de Laplace. La principal diferencia es que la transformada de Fourier de una función es una función compleja de una variable real (frecuencia), la transformada de Laplace de una función es una función compleja de una variable compleja . La transformada de Laplace suele estar restringida a la transformación de funciones de t con t ≥ 0 . Una consecuencia de esta restricción es que la transformada de Laplace de una función es una función holomorfa de la variable s . A diferencia de la transformada de Fourier, la transformada de Laplace de una distribución es generalmente una función de buen comportamiento . Las técnicas de variables complejas también se pueden utilizar para estudiar directamente las transformadas de Laplace. Como función holomorfa, la transformada de Laplace tiene una representación en serie de potencias . Esta serie de potencias expresa una función como una superposición lineal de momentos de la función. Esta perspectiva tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad.

Formalmente, la transformada de Fourier es equivalente a evaluar la transformada de Laplace bilateral con argumento imaginario s = iω ^{[29] [30]} cuando se cumple la condición explicada a continuación,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$$

Esta convención de la transformada de Fourier ( en Transformada de Fourier § Otras convenciones ) requiere un factor de ⁠${\displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )}$1/2π​⁠ sobre la transformada inversa de Fourier. Esta relación entre las transformadas de Laplace y de Fourier se utiliza a menudo para determinar el espectro de frecuencia de una señal o un sistema dinámico.

La relación anterior es válida como se indica si y sólo si la región de convergencia (ROC) de F ( s ) contiene el eje imaginario, σ = 0 .

Por ejemplo, la función f ( t ) = cos( ω ₀ t ) tiene una transformada de Laplace F ( s ) = s /( s ² + ω ₀ ² ) cuya ROC es Re( s ) > 0 . Como s = iω ₀ es un polo de F ( s ) , sustituir s = iω en F ( s ) no produce la transformada de Fourier de f ( t ) u ( t ) , que contiene términos proporcionales a las funciones delta de Dirac δ ( ω ± ω ₀ ) .

Sin embargo, una relación de la forma se cumple en condiciones mucho más débiles. Por ejemplo, esto se cumple para el ejemplo anterior siempre que el límite se entienda como un límite débil de medidas (véase topología vaga ). Las condiciones generales que relacionan el límite de la transformada de Laplace de una función en la frontera con la transformada de Fourier toman la forma de teoremas de Paley-Wiener .$${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}$$

La transformada de Mellin y su inversa están relacionadas con la transformada de Laplace de dos lados mediante un simple cambio de variables.

Si en la transformada de Mellin establecemos θ = e ^{− t} obtenemos una transformada de Laplace de dos lados.$${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}$$

La transformada Z unilateral o de un solo lado es simplemente la transformada de Laplace de una señal muestreada idealmente con la sustitución de donde T = 1/ f _s es el intervalo de muestreo (en unidades de tiempo, por ejemplo, segundos) y f _s es la frecuencia de muestreo (en muestras por segundo o hercios ).$${\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}$$

Sea un tren de impulsos de muestreo (también llamado peine de Dirac ) y sea la representación muestreada de la función x ( t ) en el tiempo continuo .$${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}$$

La transformada de Laplace de la señal muestreada x _q ( t ) es$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}$$

Esta es la definición precisa de la transformada Z unilateral de la función discreta x [ n ]

$${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$$con la sustitución de z → e ^sT .

Comparando las dos últimas ecuaciones, encontramos la relación entre la transformada Z unilateral y la transformada de Laplace de la señal muestreada,$${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$$

La similitud entre las transformadas Z y de Laplace se amplía en la teoría del cálculo de escala de tiempo .

La forma integral de la transformada de Borel es un caso especial de la transformada de Laplace para f una función entera de tipo exponencial, es decir, para algunas constantes A y B . La transformada de Borel generalizada permite utilizar una función de ponderación diferente, en lugar de la función exponencial, para transformar funciones que no son de tipo exponencial. El teorema de Nachbin proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que la transformada de Borel esté bien definida.$${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}$$$${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$$

Dado que una transformada de Laplace ordinaria puede escribirse como un caso especial de una transformada bilateral, y dado que la transformada bilateral puede escribirse como la suma de dos transformadas unilaterales, la teoría de las transformadas de Laplace, Fourier, Mellin y Z son en el fondo el mismo tema. Sin embargo, con cada una de estas cuatro transformadas integrales principales se asocian un punto de vista diferente y diferentes problemas característicos.

La siguiente tabla proporciona transformadas de Laplace para muchas funciones comunes de una sola variable. ^{[31] [32]} Para definiciones y explicaciones, consulte las Notas explicativas al final de la tabla.

Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal,

• La transformada de Laplace de una suma es la suma de las transformadas de Laplace de cada término.$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$$
• La transformada de Laplace de un múltiplo de una función es ese múltiplo de la transformada de Laplace de esa función.$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$$

Utilizando esta linealidad y varias propiedades y/o identidades trigonométricas , hiperbólicas y de números complejos, etc., algunas transformadas de Laplace pueden obtenerse a partir de otras más rápidamente que utilizando la definición directamente.

La transformada de Laplace unilateral toma como entrada una función cuyo dominio del tiempo son los reales no negativos , razón por la cual todas las funciones del dominio del tiempo en la tabla a continuación son múltiplos de la función escalón de Heaviside, u ( t ) .

Las entradas de la tabla que implican un retardo temporal τ deben ser causales (es decir, que τ > 0 ). Un sistema causal es un sistema en el que la respuesta al impulso h ( t ) es cero para todo el tiempo t antes de t = 0. En general, la región de convergencia de los sistemas causales no es la misma que la de los sistemas anticausales .

Transformadas de Laplace seleccionadas

Función	Dominio del tiempo ${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}$	Dominio s de Laplace ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}$	Región de convergencia	Referencia
impulso unitario	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1}$	todo s	inspección
impulso retardado	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$	todo s	desplazamiento temporal del impulso unitario
paso unitario	${\displaystyle u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	unidad de integración de impulsos
paso unitario retrasado	${\displaystyle u(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{-\tau s}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	desplazamiento temporal del paso unitario
producto de función retardada y paso retardado	${\displaystyle f(t-\tau )u(t-\tau )}$	${\displaystyle e^{-s\tau }{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$		sustitución u,${\displaystyle u=t-\tau }$
impulso rectangular	${\displaystyle u(t)-u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}(1-e^{-\tau s})}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
rampa	${\displaystyle t\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	integrar impulso unitario dos veces
n -ésima potencia (para el entero n )	${\displaystyle t^{n}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {n! \over s^{n+1}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ ( n > −1 )	integrar paso unitario n veces
q -ésima potencia (para q complejo)	${\displaystyle t^{q}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\operatorname {\Gamma } (q+1) \over s^{q+1}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (q)>-1}$	[33] [34]
n -ésima raíz	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{n}}+1\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	Establezca q = 1/ n arriba.
n- ésima potencia con cambio de frecuencia	${\displaystyle t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	Integrar paso unitario, aplicar cambio de frecuencia
potencia n -ésima retardada con cambio de frecuencia	${\displaystyle (t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	integrar paso unitario, aplicar cambio de frecuencia, aplicar cambio de tiempo
decaimiento exponencial	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s+\alpha }}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	Cambio de frecuencia del paso unitario
decaimiento exponencial bilateral (solo para transformada bilateral)	${\displaystyle e^{-\alpha |t|}\ }$	${\displaystyle {2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}}$	${\displaystyle -\alpha <\operatorname {Re} (s)<\alpha }$	Cambio de frecuencia del paso unitario
enfoque exponencial	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	paso unitario menos decaimiento exponencial
seno	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[35]
coseno	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[35]
seno hiperbólico	${\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|}$	[36]
coseno hiperbólico	${\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|}$	[36]
onda sinusoidal de decaimiento exponencial	${\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	[35]
onda coseno de decaimiento exponencial	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	[35]
logaritmo natural	${\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{1 \over s}\left[\ln(s)+\gamma \right]}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[36]
Función de Bessel de primer tipo, de orden n	${\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{\!n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ ( n > −1 )	[37]
Función de error	${\displaystyle \operatorname {erf} (t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{(1/4)s^{2}}\!\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[37]
Notas explicativas: u ( t ) representa la función escalón de Heaviside . δ representa la función delta de Dirac . Γ( z ) representa la función gamma . γ es la constante de Euler-Mascheroni . t , un número real, normalmente representa el tiempo , aunque puede representar cualquier dimensión independiente. s es elparámetro complejo del dominio de frecuencia, y Re( s ) es su parte real . α , β , τ y ω son números reales . n es un entero .

La transformada de Laplace se utiliza a menudo en el análisis de circuitos y permite realizar conversiones sencillas al dominio s de los elementos del circuito. Los elementos del circuito se pueden transformar en impedancias , de forma muy similar a las impedancias fasoriales .

A continuación se muestra un resumen de equivalencias:

Tenga en cuenta que la resistencia es exactamente la misma en el dominio del tiempo y en el dominio s . Las fuentes se introducen si existen condiciones iniciales en los elementos del circuito. Por ejemplo, si un condensador tiene un voltaje inicial a través de él, o si el inductor tiene una corriente inicial a través de él, las fuentes insertadas en el dominio s tienen en cuenta eso.

Los equivalentes para fuentes de corriente y voltaje se derivan simplemente de las transformaciones en la tabla anterior.

La transformada de Laplace se utiliza con frecuencia en ingeniería y física ; la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo se puede calcular convolucionando su respuesta al impulso unitario con la señal de entrada. Realizar este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación; esta última es más fácil de resolver debido a su forma algebraica. Para obtener más información, consulte teoría de control . La transformada de Laplace es invertible en una gran clase de funciones. Dada una descripción matemática o funcional simple de una entrada o salida de un sistema , la transformada de Laplace proporciona una descripción funcional alternativa que a menudo simplifica el proceso de análisis del comportamiento del sistema o de síntesis de un nuevo sistema basado en un conjunto de especificaciones. ^[38]

La transformada de Laplace también se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales y se utiliza ampliamente en ingeniería mecánica e ingeniería eléctrica . La transformada de Laplace reduce una ecuación diferencial lineal a una ecuación algebraica, que luego se puede resolver mediante las reglas formales del álgebra. La ecuación diferencial original se puede resolver aplicando la transformada de Laplace inversa. El ingeniero eléctrico inglés Oliver Heaviside propuso por primera vez un esquema similar, aunque sin utilizar la transformada de Laplace; y el cálculo operacional resultante se acredita como el cálculo de Heaviside.

Sea . Entonces (ver la tabla anterior)${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$

$${\displaystyle \partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-F(s)}$$

De donde se obtiene:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}$$

En el límite , se obtiene siempre que se pueda justificar el intercambio de límites. Esto es a menudo posible como consecuencia del teorema del valor final . Incluso cuando el intercambio no se puede justificar el cálculo puede ser sugerente. Por ejemplo, con a ≠ 0 ≠ b , procediendo formalmente se tiene${\displaystyle s\rightarrow 0}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}$$

La validez de esta identidad puede demostrarse por otros medios. Es un ejemplo de una integral de Frullani .

Otro ejemplo es la integral de Dirichlet .

En la teoría de circuitos eléctricos , el flujo de corriente en un capacitor es proporcional a la capacitancia y a la tasa de cambio del potencial eléctrico (con ecuaciones como para el sistema de unidades SI ). Simbólicamente, esto se expresa mediante la ecuación diferencial donde C es la capacitancia del capacitor, i = i ( t ) es la corriente eléctrica a través del capacitor en función del tiempo, y v = v ( t ) es el voltaje a través de los terminales del capacitor, también en función del tiempo.$${\displaystyle i=C{dv \over dt},}$$

Tomando la transformada de Laplace de esta ecuación, obtenemos donde y$${\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle V_{0}=v(0).}$$

Resolviendo para V ( s ) tenemos$${\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}$$

La definición de la impedancia compleja Z (en ohmios ) es la relación entre el voltaje complejo V dividido por la corriente compleja I mientras se mantiene el estado inicial V ₀ en cero:$${\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}$$

Utilizando esta definición y la ecuación anterior, encontramos: que es la expresión correcta para la impedancia compleja de un capacitor. Además, la transformada de Laplace tiene grandes aplicaciones en la teoría de control.$${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},}$$

Consideremos un sistema lineal invariante en el tiempo con función de transferencia$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}$$

La respuesta al impulso es simplemente la transformada de Laplace inversa de esta función de transferencia:$${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}$$

Expansión de fracciones parciales

Para evaluar esta transformada inversa, comenzamos expandiendo H ( s ) utilizando el método de expansión de fracciones parciales,$${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}$$

Las constantes desconocidas P y R son los residuos ubicados en los polos correspondientes de la función de transferencia. Cada residuo representa la contribución relativa de esa singularidad a la forma general de la función de transferencia.

Por el teorema de los residuos , la transformada inversa de Laplace depende únicamente de los polos y sus residuos. Para hallar el residuo P , multiplicamos ambos lados de la ecuación por s + α para obtener$${\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}$$

Luego, al dejar s = − α , la contribución de R se desvanece y todo lo que queda es$${\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}$$

De manera similar, el residuo R viene dado por$${\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}$$

Nótese que, por lo tanto, la sustitución de R y P en la expresión expandida para H ( s ) da$${\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P}$$$${\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}$$

Finalmente, utilizando la propiedad de linealidad y la transformada conocida para el decaimiento exponencial (ver el Artículo # 3 en la Tabla de Transformadas de Laplace , arriba), podemos tomar la transformada de Laplace inversa de H ( s ) para obtener que es la respuesta al impulso del sistema.$${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),}$$

Circunvolución

Se puede lograr el mismo resultado utilizando la propiedad de convolución como si el sistema fuera una serie de filtros con funciones de transferencia 1/( s + α ) y 1/( s + β ) . Es decir, la inversa de es$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.}$$

Función de tiempo	Transformada de Laplace
${\displaystyle \sin {(\omega t+\varphi )}}$	${\displaystyle {\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle \cos {(\omega t+\varphi )}}$	${\displaystyle {\frac {s\cos(\varphi )-\omega \sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}.}$

Comenzando con la transformada de Laplace, encontramos la inversa reordenando primero los términos en la fracción:$${\displaystyle X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Ahora podemos realizar la transformada de Laplace inversa de nuestros términos:$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}}$$

Esto es simplemente el seno de la suma de los argumentos, lo que da como resultado:$${\displaystyle x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).}$$