Papiro matemático de Rhind

Papiro matemático de Rhind
Papiro matemático de Rhind
Museo Británico , Londres
	Una porción del papiro Rhind
Fecha	Segundo Periodo Intermedio de Egipto
Lugar de origen	Tebas, Egipto
Idioma(s)	Egipcio ( Hieratico )
Escriba(s)	Ahmes
Material	Papiro
Tamaño	Primera sección (BM 10057 ): Longitud: 295,5 cm (116,3 pulgadas); Ancho: 32 cm (13 pulgadas); Segunda sección (BM 10058 ): Longitud: 199,5 cm (78,5 pulgadas); Ancho: 32 cm (13 pulgadas);

Documento matemático del antiguo Egipto

El Papiro Matemático de Rhind ( RMP ; también designado como papiro del Museo Británico 10057, pBM 10058 y del Museo de Brooklyn 37.1784Ea-b) es uno de los ejemplos más conocidos de las matemáticas del antiguo Egipto .

Es uno de los dos papiros matemáticos más conocidos, junto con el Papiro matemático de Moscú . El Papiro Rhind es el más grande, pero el más reciente, de los dos. ^[1]

En los párrafos iniciales del papiro, Ahmes presenta el papiro como un medio para "indagar con precisión y para conocer todas las cosas, los misterios... todos los secretos". Y continúa:

Este libro fue copiado en el año de reinado 33, mes 4 de Akhet , bajo la majestad del rey del Alto y Bajo Egipto, Awserre, a quien se le dio vida, a partir de una copia antigua hecha en la época del rey del Alto y Bajo Egipto Nimaatre. El escriba Ahmose escribe esta copia. ^[2]

Se han publicado varios libros y artículos sobre el Papiro matemático de Rhind, y algunos de ellos destacan. ^[1] El Papiro de Rhind fue publicado en 1923 por el egiptólogo inglés T. Eric Peet y contiene un análisis del texto que siguió el esquema de los Libros I, II y III de Francis Llewellyn Griffith . ^[3] Chace publicó un compendio entre 1927 y 1929 que incluía fotografías del texto. ^[4] Robins y Shute publicaron en 1987 una descripción general más reciente del Papiro de Rhind.

Historia

El Papiro Matemático Rhind data del Segundo Período Intermedio de Egipto . Fue copiado por el escriba Ahmes (es decir, Ahmose; Ahmes es una transcripción más antigua que prefieren los historiadores de las matemáticas) a partir de un texto ahora perdido del reinado del rey de la dinastía XII Amenemhat III .

Data de alrededor de 1550 a. C. ^[5] El documento está fechado en el año 33 del rey hicso Apofis y también contiene una nota histórica posterior separada en su reverso que probablemente data del "año 11" de su sucesor, Khamudi . ^[6]

Alexander Henry Rhind , un anticuario escocés , compró dos partes del papiro en 1858 en Luxor, Egipto ; ^[7] se afirmó que se encontró en "uno de los pequeños edificios cerca del Ramesseum ", cerca de Luxor. ^[3]

El Museo Británico, donde hoy se conserva la mayor parte del papiro, lo adquirió en 1865 junto con el Rollo de cuero matemático egipcio , también propiedad de Henry Rhind. ^[2]

Fragmentos del texto fueron comprados de forma independiente en Luxor por el egiptólogo estadounidense Edwin Smith a mediados de la década de 1860, fueron donados por su hija en 1906 a la Sociedad Histórica de Nueva York, ^[8] y ahora están en el Museo de Brooklyn . ^[1]^[9] Falta una sección central de 18 cm (7,1 pulgadas).

El papiro comenzó a ser transliterado y traducido matemáticamente a fines del siglo XIX. El aspecto de la traducción matemática aún está incompleto en varios aspectos. ^[6]

Libros

Libro I – Aritmética y Álgebra

La primera parte del papiro de Rhind consta de tablas de referencia y una colección de 21 problemas aritméticos y 20 algebraicos . Los problemas comienzan con expresiones fraccionarias simples, seguidas de problemas de terminación ( sekem ) y ecuaciones lineales más complejas ( problemas aha ). ^[1]

La primera parte del papiro está ocupada por la tabla 2/ n . Las fracciones 2/ n para n impares que van de 3 a 101 se expresan como sumas de fracciones unitarias . Por ejemplo, . La descomposición de 2/ n en fracciones unitarias nunca tiene más de 4 términos, como en, por ejemplo: ${\frac {2}{15}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}$

{\frac {2}{101}}={\frac {1}{101}}+{\frac {1}{202}}+{\frac {1}{303}}+{\frac {1}{606}}

A esta tabla le sigue una tabla mucho más pequeña y diminuta de expresiones fraccionarias para los números del 1 al 9 divididos por 10. Por ejemplo, la división de 7 por 10 se registra como:

7 dividido por 10 da como resultado 2/3 + 1/30

Después de estas dos tablas, el papiro registra 91 problemas en total, que los modernos han designado como problemas (o números) 1–87, incluidos otros cuatro ítems que han sido designados como problemas 7B, 59B, 61B y 82B. Los problemas 1–7, 7B y 8–40 se refieren a la aritmética y al álgebra elemental.

Los problemas 1 a 6 calculan divisiones de una cierta cantidad de panes entre 10 hombres y registran el resultado en fracciones unitarias. Los problemas 7 a 20 muestran cómo multiplicar las expresiones 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 y 1 + 2/3 + 1/3 = 2 por fracciones diferentes. Los problemas 21 a 23 son problemas de completitud, que en notación moderna son simplemente problemas de resta. Los problemas 24 a 34 son problemas de ''aha''; son ecuaciones lineales . El problema 32, por ejemplo, corresponde (en notación moderna) a resolver x + 1/3 x + 1/4 x = 2 para x. Los problemas 35 a 38 involucran divisiones del heqat, que es una antigua unidad egipcia de volumen. A partir de este punto, diversas unidades de medida se vuelven mucho más importantes en el resto del papiro, y de hecho una consideración importante en el resto del papiro es el análisis dimensional . Los problemas 39 y 40 calculan la división de panes y utilizan progresiones aritméticas . ^[2]

Libro II – Geometría

La segunda parte del papiro de Rhind, compuesta por los problemas 41 a 59, 59B y 60, está compuesta por problemas de geometría . Peet los denominó "problemas de medición". ^[1]

Volúmenes

Los problemas 41 a 46 muestran cómo hallar el volumen de graneros cilíndricos y rectangulares. En el problema 41, Ahmes calcula el volumen de un granero cilíndrico. Dado el diámetro d y la altura h, el volumen V viene dado por:

V=[\right(1-1/9\left)d\right]^{2}h

En notación matemática moderna (y utilizando d = 2r) esto da . El término fraccionario 256/81 aproxima el valor de π a 3,1605..., un error de menos del uno por ciento. $V=(8/9)^{2}d^{2}h=(256/81)r^{2}h$

El problema 47 es una tabla con igualdades fraccionarias que representan las diez situaciones en las que la cantidad de volumen físico de "100 heqats cuádruples" se divide por cada uno de los múltiplos de diez, desde diez hasta cien. Los cocientes se expresan en términos de fracciones de ojo de Horus , a veces también utilizando una unidad de volumen mucho más pequeña conocida como "ro cuádruple". El heqat cuádruple y el ro cuádruple son unidades de volumen derivadas de las más simples heqat y ro, de modo que estas cuatro unidades de volumen satisfacen las siguientes relaciones: 1 heqat cuádruple = 4 heqat = 1280 ro = 320 ro cuádruple. Por lo tanto,

100/10 cuádruple heqat = 10 cuádruple heqat

100/20 cuádruple heqat = 5 cuádruple heqat

100/30 cuádruple heqat = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64) cuádruple heqat + (1 + 2/3) cuádruple ro

100/40 cuádruple heqat = (2 + 1/2) cuádruple heqat

100/50 cuádruple heqat = 2 cuádruples heqat

100/60 cuádruple heqat = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32) cuádruple heqat + (3 + 1/3) cuádruple ro

100/70 cuádruple heqat = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64) cuádruple heqat + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42) cuádruple ro

100/80 cuádruple heqat = (1 + 1/4) cuádruple heqat

100/90 cuádruple heqat = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64) cuádruple heqat + (1/2 + 1/18) cuádruple ro

100/100 cuádruple heqat = 1 cuádruple heqat ^[2]

Áreas

Los problemas 48 a 55 muestran cómo calcular una variedad de áreas . El problema 48 es notable porque calcula sucintamente el área de un círculo aproximando π . Específicamente, el problema 48 refuerza explícitamente la convención (usada en toda la sección de geometría) de que "el área de un círculo es igual a la del cuadrado que lo circunscribe en la proporción 64/81". De manera equivalente, el papiro aproxima π como 256/81, como ya se señaló anteriormente en la explicación del problema 41.

Otros problemas muestran cómo encontrar el área de rectángulos, triángulos y trapecios.

Pirámides

Los últimos seis problemas están relacionados con las pendientes de las pirámides . A continuación se presenta un problema de búsqueda : ^[10]

Si una pirámide tiene 250 codos de altura y el lado de su base 360 codos de largo, ¿cuál es su seked ?

La solución del problema se da como la razón entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura, o la razón entre la longitud de la cara y la altura de la misma. En otras palabras, la cantidad hallada para el seked es la cotangente del ángulo entre la base de la pirámide y su cara. ^[10]

Libro III – Miscelánea

La tercera parte del papiro de Rhind consta del resto de los 91 problemas, a saber, 61, 61B, 62–82, 82B, 83–84 y los "números" 85–87, que son elementos que no son de naturaleza matemática. Esta sección final contiene tablas de datos más complicadas (que con frecuencia involucran fracciones del ojo de Horus), varios problemas pefsu que son problemas algebraicos elementales relacionados con la preparación de alimentos e incluso un problema divertido (79) que sugiere progresiones geométricas, series geométricas y ciertos problemas y acertijos posteriores en la historia. El problema 79 cita explícitamente "siete casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 espigas de espelta, 16807 hekats". En particular, el problema 79 se refiere a una situación en la que 7 casas contienen cada una siete gatos, que comen siete ratones, cada uno de los cuales habría comido siete espigas de grano, cada una de las cuales habría producido siete medidas de grano. La tercera parte del papiro de Rhind es, por tanto, una especie de miscelánea, que se basa en lo que ya se ha presentado. El problema 61 se ocupa de las multiplicaciones de fracciones. El problema 61B, por su parte, da una expresión general para calcular 2/3 de 1/n, donde n es impar. En notación moderna, la fórmula dada es

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

La técnica dada en 61B está estrechamente relacionada con la derivación de la tabla 2/n.

Los problemas 62 a 68 son problemas generales de naturaleza algebraica. Los problemas 69 a 78 son todos problemas pefsu de una forma u otra. Implican cálculos sobre la concentración del pan y la cerveza, con respecto a ciertas materias primas utilizadas en su producción. ^[2]

El problema 79 suma cinco términos en una progresión geométrica . Su lenguaje es muy similar al acertijo y la canción infantil más modernos " Mientras iba a St Ives ". ^[1] Los problemas 80 y 81 calculan fracciones de hinu (o heqats) correspondientes al ojo de Horus . Los últimos cuatro elementos matemáticos, problemas 82, 82B y 83-84, calculan la cantidad de alimento necesaria para varios animales, como aves y bueyes. ^[2] Sin embargo, estos problemas, especialmente el 84, están plagados de ambigüedad generalizada, confusión y simple inexactitud.

Los tres últimos elementos del papiro de Rhind se designan como "números" 85-87, en lugar de "problemas", y están dispersos ampliamente en el reverso del papiro. Son, respectivamente, una pequeña frase que termina el documento (y tiene algunas posibilidades de traducción, que se dan a continuación), un trozo de papel borrador no relacionado con el cuerpo del documento, utilizado para mantenerlo unido (pero que contiene palabras y fracciones egipcias que ahora son familiares para el lector del documento), y una pequeña nota histórica que se cree que fue escrita algún tiempo después de la finalización de la escritura del cuerpo del papiro. Se cree que esta nota describe eventos durante la " dominación de los hicsos ", un período de interrupción externa en la sociedad del antiguo Egipto que está estrechamente relacionado con su segundo período intermedio. Con estas erratas no matemáticas pero históricamente y filológicamente intrigantes, la escritura del papiro llega a su fin.

Concordancia de unidades

Gran parte del material del papiro Rhind se ocupa de las unidades de medida del Antiguo Egipto y, en especial, del análisis dimensional utilizado para realizar conversiones entre ellas. En la imagen se muestra una concordancia de las unidades de medida utilizadas en el papiro.

Contenido

Esta tabla resume el contenido del Papiro Rhind mediante una paráfrasis moderna concisa. Se basa en la exposición en dos volúmenes del papiro que fue publicada por Arnold Buffum Chace en 1927 y en 1929. ^[4] En general, el papiro consta de cuatro secciones: una página de título, la tabla 2/n, una pequeña "tabla 1–9/10" y 91 problemas o "números". Estos últimos están numerados del 1 al 87 e incluyen cuatro elementos matemáticos que han sido designados por los modernos como problemas 7B, 59B, 61B y 82B. Los números 85 a 87, por su parte, no son elementos matemáticos que forman parte del cuerpo del documento, sino que son respectivamente: una pequeña frase que termina el documento, un trozo de "papel borrador" utilizado para mantener unido el documento (que ya contenía escritos no relacionados) y una nota histórica que se cree que describe un período de tiempo poco después de la finalización del cuerpo del papiro. Estos tres últimos elementos están escritos en áreas dispares del reverso del papiro (lado posterior), lejos del contenido matemático. Por lo tanto, Chace los diferencia al llamarlos números en lugar de problemas , como los otros 88 elementos numerados.

Números de sección o problema	Planteamiento del problema o descripción	Solución o descripción	Notas
Pagina de titulo	Ahmes se identifica a sí mismo y sus circunstancias históricas.	"Cálculo exacto. La entrada al conocimiento de todas las cosas existentes y todos los secretos oscuros. Este libro fue copiado en el año 33, en el cuarto mes de la temporada de inundaciones, bajo la majestad del rey del Alto y Bajo Egipto, 'A-user-Re', dotado de vida, a semejanza de escritos antiguos hechos en la época del rey del Alto y Bajo Egipto, Ne-ma'et-Re'. Es el escriba Ahmes quien copia este escrito".	De la portada se desprende claramente que Ahmes identifica tanto su propio período como el período de un texto o textos más antiguos de los que se supone que copió, creando así el Papiro Rhind. El papiro tiene material escrito en ambos lados, es decir, en el anverso y el reverso . Véase la imagen para obtener más detalles.
Tabla 2/n	Expresar cada uno de los cocientes desde 2/3 hasta 2/101 (donde el denominador siempre es impar) como fracciones egipcias .	Consulte el artículo de la tabla del Papiro matemático Rhind 2/n para obtener un resumen y las soluciones de esta sección.	En todo el papiro, la mayoría de las soluciones se dan como representaciones fraccionarias egipcias particulares de un número real dado. Sin embargo, dado que cada número racional positivo tiene infinitas representaciones como fracción egipcia, estas soluciones no son únicas. También hay que tener en cuenta que la fracción 2/3 es la única excepción, utilizada además de los números enteros, que Ahmes utiliza junto con todas las fracciones unitarias racionales (positivas) para expresar fracciones egipcias. Se puede decir que la tabla 2/n sigue parcialmente un algoritmo (véase el problema 61B) para expresar 2/n como una fracción egipcia de 2 términos, cuando n es compuesto. Sin embargo, este algoritmo incipiente se deja de lado en muchas situaciones cuando n es primo. El método de soluciones para la tabla 2/n, por tanto, también sugiere los inicios de la teoría de números , y no meramente de la aritmética .
Tabla 1–9/10	Escribe los cocientes de 1/10 a 9/10 como fracciones egipcias.	${\frac {1}{10}}={\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {2}{10}}={\ frac {1}{5}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {3}{10}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{ 10}}$ ${\frac {4}{10}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {6}{10}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}$ ${\frac {7}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {8}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {9}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}$
Problemas 1–6	Se reparten 1, 2, 6, 7, 8 y 9 panes (respectivamente, en cada problema) entre 10 hombres. En cada caso, represente la porción de pan que le corresponde a cada hombre como una fracción egipcia.	${\frac {1}{10}}={\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {2}{10}}={\ fracción {1}{5}}$ ${\frac {6}{10}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\ frac {7}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}$ ${\frac {8}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {9}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}$	Los primeros seis problemas del papiro son simples repeticiones de la información ya escrita en la tabla 1–9/10, ahora en el contexto de problemas de historia.
7, 7B, 8–20	Dejar $S=1+1/2+1/4={\frac {7}{4}}$ y $T=1+2/3+1/3=2$ . Luego, para las siguientes multiplicaciones, escribe el producto como una fracción egipcia.	$7:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;7B:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;8:{\frac {1}{4}}T={\frac {1}{2}}$ $9:{\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{14}}{\bigg )}S=1\;\;\;;\;\;\;10:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;11:{\frac {1}{7}}S={\frac {1}{4}}$ $12:{\frac {1}{14}}S={\frac {1}{8}}\;\;\;;\;\;\;13:{\bigg (}{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{112}}{\bigg )}S={\frac {1}{8}}\;\;\;;\;\;\;14:{\frac {1}{28}}S={\frac {1}{16}}$ $15:{\bigg (}{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{224}}{\bigg )}S={\frac {1}{16}}\;\;\;;\;\;\;16:{\frac {1}{2}}T=1\;\;\;;\;\;\;17:{\frac {1}{3}}T={\frac {2}{3}}$ $18:{\frac {1}{6}}T={\frac {1}{3}}\;\;\;;\;\;\;19:{\frac {1}{12}}T={\frac {1}{6}}\;\;\;;\;\;\;20:{\frac {1}{24}}T={\frac {1}{12}}$	Los mismos dos multiplicandos (aquí denominados S y T) se utilizan incesantemente en todos estos problemas. Ahmes escribe el mismo problema tres veces (7, 7B, 10), a veces abordando el mismo problema con diferente trabajo aritmético.
21–38	Para cada una de las siguientes ecuaciones lineales con variable , resuelva y exprésela como una fracción egipcia. $x$ $x$ $x$	$21:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{15}}{\bigg )}+x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}$ $22:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}{\bigg )}+x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ $23:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}{\bigg )}+x={\frac {2}{3}}\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{9}}+{\frac {1}{40}}$ $24:x+{\frac {1}{7}}x=19\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=16+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}$ $25:x+{\frac {1}{2}}x=16\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=10+{\frac {2}{3}}$ $26:x+{\frac {1}{4}}x=15\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=12$ $27:x+{\frac {1}{5}}x=21\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=17+{\frac {1}{2}}$ $28:{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}-{\frac {1}{3}}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=9$ $29:{\frac {1}{3}}{\Bigg (}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}+{\frac {1}{3}}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}{\Bigg )}=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=13+{\frac {1}{2}}$ $30:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}{\bigg )}x=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=13+{\frac {1}{23}}$ $31:x+{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{7}}x=33\;\;\;\rightarrow$ $x=14+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{97}}+{\frac {1}{194}}+{\frac {1}{388}}+{\frac {1}{679}}+{\frac {1}{776}}$ $32:x+{\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{4}}x=2\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=1+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{114}}+{\frac {1}{228}}$ $33:x+{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{7}}x=37\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=16+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{679}}+{\frac {1}{776}}$ $34:x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{4}}x=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=5+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}$ $35:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ $36:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{53}}+{\frac {1}{106}}+{\frac {1}{212}}$ $37:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{32}}$ $38:{\bigg (}3+{\frac {1}{7}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{66}}$	El problema 31 tiene una solución especialmente onerosa. Aunque el enunciado de los problemas 21-38 puede parecer complicado en ocasiones (especialmente en la prosa de Ahmes), cada uno de ellos se reduce en última instancia a una simple ecuación lineal. En algunos casos, se ha omitido alguna unidad , por lo que resulta superflua para estos problemas. Estos casos son los problemas 35-38, cuyos enunciados y "trabajo" hacen las primeras menciones de unidades de volumen conocidas como heqat y ro (donde 1 heqat = 320 ro), que ocuparán un lugar destacado en el resto del papiro. Por el momento, sin embargo, su mención y uso literal en 35-38 es cosmético.
39	100 panes se distribuirán de forma desigual entre 10 hombres. 50 panes se dividirán en partes iguales entre 4 hombres de modo que cada uno de esos 4 reciba una parte igual , mientras que los otros 50 panes se dividirán en partes iguales entre los otros 6 hombres de modo que cada uno de esos 6 reciba una parte igual . Halla la diferencia de estas dos partes y exprésala como fracción egipcia. $y$ $x$ $y-x$	$y-x=4+{\frac {1}{6}}$	En el problema 39, el papiro comienza a considerar situaciones con más de una variable.
40	Se deben dividir 100 panes entre cinco hombres. Las cinco porciones de pan de los hombres deben estar en progresión aritmética , de modo que las porciones consecutivas siempre difieran por una diferencia fija, o . Además, la suma de las tres porciones más grandes debe ser igual a siete veces la suma de las dos porciones más pequeñas. Encuéntrela y escríbala como fracción egipcia. $\Delta$ $\Delta$	$\Delta =9+{\frac {1}{6}}$	El problema 40 concluye la sección aritmética/algebraica del papiro, a la que seguirá la sección de geometría. Después del problema 40, hay incluso una gran sección de espacio en blanco en el papiro, que indica visualmente el final de la sección. En cuanto al problema 40 en sí, Ahmes elabora su solución considerando primero el caso análogo donde el número de panes es 60 en lugar de 100. Luego afirma que en este caso la diferencia es 5 1/2 y que la parte más pequeña es igual a uno, enumera las otras y luego vuelve a escalar su trabajo hasta 100 para obtener su resultado. Aunque Ahmes no enuncia la solución en sí tal como se ha dado aquí, la cantidad queda implícitamente clara una vez que ha reescalado su primer paso mediante la multiplicación 5/3 x 11/2, para enumerar las cinco partes (lo que hace). Cabe mencionar que este problema puede considerarse como si tuviera cuatro condiciones: a) cinco partes suman 100, b) las partes van de la más pequeña a la más grande, c) las partes consecutivas tienen una diferencia constante y d) la suma de las tres partes más grandes es igual a siete veces la suma de las dos partes más pequeñas. Comenzando solo con las primeras tres condiciones, uno puede usar álgebra elemental y luego considerar si agregar la cuarta condición produce un resultado consistente. Sucede que una vez que se cumplen las cuatro condiciones, la solución es única. El problema es, por lo tanto, un caso más elaborado de resolución de ecuaciones lineales que lo que se ha hecho hasta ahora, que raya en el álgebra lineal .
41	Utilice la fórmula del volumen $V={\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}^{2}h$ $={\frac {64}{81}}d^{2}h$ Calcular el volumen de un silo cilíndrico de grano con un diámetro de 9 codos y una altura de 10 codos. Dar la respuesta en términos de codos cúbicos. Además, dadas las siguientes igualdades entre otras unidades de volumen, 1 codo cúbico = 3/2 khar = 30 heqats = 15/2 heqats cuádruples, expresar también la respuesta en términos de khar y heqats cuádruples.	$V=640\;\;\;cubit^{3}$ $=960\;\;\;khar$ $=4800\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	Este problema abre la sección de geometría del papiro y también proporciona su primer resultado factualmente incorrecto (aunque con una aproximación muy buena de , que difiere en menos de un uno por ciento). Otras unidades de volumen del antiguo Egipto , como el heqat cuádruple y el khar, se informan más adelante en este problema mediante la conversión de unidades. Por lo tanto, el problema 41 es también el primer problema que trata significativamente el análisis dimensional . $\pi$
42	Reutilice la fórmula de volumen y la información de unidades que se dan en 41 para calcular el volumen de un silo cilíndrico de grano con un diámetro de 10 codos y una altura de 10 codos. Dé la respuesta en términos de codos cúbicos, khar y cientos de heqats cuádruples, donde 400 heqats = 100 heqats cuádruples = 1 cien heqats cuádruples, todo como fracciones egipcias.	$V={\bigg (}790+{\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}+{\frac {1}{81}}{\bigg )}\;\;\;cubit^{3}$ $={\bigg (}1185+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{54}}{\bigg )}\;\;\;khar$ $={\bigg (}59+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{108}}{\bigg )}\;\;\;hundred\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	El problema 42 es, en efecto, una repetición del 41, que realiza conversiones de unidades similares al final. Sin embargo, aunque el problema comienza como se indica, la aritmética es considerablemente más compleja y algunos de los últimos términos fraccionarios dados no están presentes en el documento original. Sin embargo, el contexto es suficiente para llenar los vacíos y, por lo tanto, Chace se ha tomado la licencia de agregar ciertos términos fraccionarios en su traducción matemática (repetida aquí) que dan lugar a una solución internamente consistente.
43	Utilice la fórmula del volumen $V={\frac {2}{3}}{\Bigg (}{\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}+{\frac {1}{3}}{\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}{\Bigg )}^{2}h$ $={\frac {2048}{2187}}d^{2}h$ para calcular el volumen de un silo de grano cilíndrico con un diámetro de 9 codos y una altura de 6 codos, encontrando directamente la respuesta en términos fraccionarios egipcios de khar, y luego en términos fraccionarios egipcios de heqats cuádruples y ro cuádruples, donde 1 heqat cuádruple = 4 heqat = 1280 ro = 320 ro cuádruples.	$V={\bigg (}455+{\frac {1}{9}}{\bigg )}\;\;\;khar$ $={\bigg (}2275+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{36}}{\bigg )}\;\;\;quadruple\;\;\;ro$	El problema 43 representa el primer error matemático grave del papiro. Ahmes (o la fuente de la que pudo haber estado copiando) intentó un atajo para realizar tanto el cálculo del volumen como la conversión de unidades de codos cúbicos a khar en un solo paso, para evitar la necesidad de utilizar codos cúbicos en un resultado inicial. Sin embargo, este intento (que fracasó debido a que confundió parte del proceso utilizado en 41 y 42 con el que probablemente se pretendía utilizar en 43, lo que dio resultados consistentes mediante un método diferente) resultó en cambio en una nueva fórmula de volumen que es incoherente con (y peor que) la aproximación utilizada en 41 y 42.
44, 45	Un codo cúbico equivale a 15/2 heqats cuádruples. Consideremos (44) un silo cúbico de grano con una longitud de 10 codos en cada arista. Expresemos su volumen en términos de heqats cuádruples. Por otro lado, (45) consideremos un silo cúbico de grano que tiene un volumen de 7500 heqats cuádruples, y expresemos la longitud de su arista en términos de codos. $V$ $l$	$V=7500\;\;\;quadruple\;\;heqat$ $l=10\;\;\;cubit$	El problema 45 es una inversión exacta del problema 44, y por eso se presentan juntos aquí.
46	Un silo de grano con forma de prisma rectangular tiene un volumen de 2500 heqats cuádruples. Describe sus tres dimensiones en términos de codos. $l_{1},l_{2},l_{3}$	$l_{1}=l_{2}=10\;\;\;cubit$ $l_{3}=3+{\frac {1}{3}}\;\;\;cubit$	Este problema tal como está planteado tiene infinitas soluciones, pero se hace una elección simple de solución estrechamente relacionada con los términos de 44 y 45.
47	Divida la cantidad de volumen físico de 100 heqats cuádruples por cada uno de los múltiplos de 10, desde 10 hasta 100. Exprese los resultados en términos fraccionarios egipcios de heqat cuádruple y ro cuádruple, y presente los resultados en una tabla.	${\begin{bmatrix}{\frac {100}{10}}&q.\;heqat&=&10&q.\;heqat\\{\frac {100}{20}}&q.\;heqat&=&5&q.\;heqat\\{\frac {100}{30}}&q.\;heqat&=&(3+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&(1+{\frac {2}{3}})&q.\;ro\\{\frac {100}{40}}&q.\;heqat&=&(2+{\frac {1}{2}})&q.\;heqat\\{\frac {100}{50}}&q.\;heqat&=&2&q.\;heqat\\{\frac {100}{60}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&q.\;heqat\\&&+&(3+{\frac {1}{3}})&q.\;ro\\{\frac {100}{70}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&(2+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}})&q.\;ro\\{\frac {100}{80}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{4}})&q.\;heqat\\{\frac {100}{90}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{18}})&q.\;ro\\{\frac {100}{100}}&q.\;heqat&=&1&q.\;heqat\\\end{bmatrix}}$	En el problema 47, Ahmes insiste especialmente en representar cadenas de fracciones más elaboradas como fracciones del ojo de Horus , en la medida de lo posible. Compárense los problemas 64 y 80 para ver una preferencia de representación similar. Para ahorrar espacio, "cuádruple" se ha acortado a "q." en todos los casos.
48	Compare el área de un círculo con diámetro 9 con la del cuadrado que lo circunda, que también tiene una longitud lateral de 9. ¿Cuál es la relación entre el área del círculo y la del cuadrado?	${\frac {64}{81}}$	El enunciado y la solución del problema 48 dejan en claro explícitamente este método preferido para aproximar el área de un círculo, que se había utilizado anteriormente en los problemas 41 a 43. Sin embargo, es erróneo . El enunciado original del problema 48 implica el uso de una unidad de área conocida como setat, que pronto se contextualizará en problemas futuros. Por el momento, es cosmético.
49	Un khet es una unidad de longitud, que equivale a 100 codos. Asimismo, una "franja de codo" es una medida de área en forma de franja rectangular, que mide 1 codo por 100 codos, o 100 codos cuadrados (o una cantidad física de área igual). Consideremos una parcela rectangular de tierra que mide 10 khet por 1 khet. Exprese su área en términos de franjas de codo. $A$	$A=1000\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
50	Un khet cuadrado es una unidad de área igual a un setat. Considere un círculo con un diámetro de 9 khet. Exprese su área en términos de setat. $A$	$A=64\;\;\;setat$	El problema 50 es efectivamente un refuerzo de la regla 64/81 de 48 para el área de un círculo, que impregna el papiro.
51	Una parcela de tierra triangular tiene una base de 4 khet y una altura de 10 khet. Halla su área en términos de setat. $A$	$A=20\;\;\;setat$	El planteamiento y la solución de 51 recuerdan la conocida fórmula para calcular el área de un triángulo, y según Chace está parafraseada como tal. Sin embargo, el diagrama triangular del papiro, los errores anteriores y los problemas de traducción presentan ambigüedad sobre si el triángulo en cuestión es un triángulo rectángulo o si Ahmes realmente entendió las condiciones bajo las cuales la respuesta indicada es correcta. En concreto, no está claro si la dimensión de 10 khet se entendía como una altitud (en cuyo caso el problema se resuelve correctamente como se indica) o si "10 khet" simplemente se refiere a un lado del triángulo, en cuyo caso la figura tendría que ser un triángulo rectángulo para que la respuesta sea factualmente correcta y se resuelva correctamente, como se hizo. Estos problemas y confusiones se perpetúan a lo largo de 51-53, hasta el punto en que Ahmes parece perder la comprensión de lo que está haciendo, especialmente en 53.
52	Una extensión de tierra trapezoidal tiene dos bases, que son 6 khet y 4 khet. Su altitud es 20 khet. Halla su área en términos de setat. $A$	$A=100\;\;\;setat$	Los problemas del problema 52 son muy similares a los del 51. El método de solución es familiar para los modernos, y sin embargo circunstancias como las del 51 ponen en duda hasta qué punto Ahmes o su fuente comprendían lo que estaban haciendo.
53	Un triángulo isósceles (una extensión de tierra, por ejemplo) tiene una base igual a 4 1/2 khet y una altura igual a 14 khet. Dos segmentos de línea paralelos a la base dividen el triángulo en tres sectores, que son un trapezoide inferior, un trapezoide medio y un triángulo superior (similar) más pequeño. Los segmentos de línea cortan la altura del triángulo en su punto medio (7) y más adelante en un cuarto de punto (3 1/2) más cerca de la base, de modo que cada trapezoide tiene una altura de 3 1/2 khet, mientras que el triángulo similar más pequeño tiene una altura de 7 khet. Halla las longitudes de los dos segmentos de línea, donde son los segmentos de línea más cortos y más largos respectivamente, y exprésalos en términos fraccionarios egipcios de khet. Además, encuentra las áreas de los tres sectores, donde son el trapezoide grande, el trapezoide medio y el triángulo pequeño respectivamente, y exprésalos en términos fraccionarios egipcios de tiras de setat y codo. Utilice el hecho de que 1 setat = 100 tiras de codo para las conversiones de unidades. $l_{1},l_{2}$ $A_{1},A_{2},A_{3}$	$l_{1}={\bigg (}2+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;khet$ $l_{2}={\bigg (}3+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;khet$ $A_{1}={\bigg (}13+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}3+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$ $A_{2}={\bigg (}9+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}9+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$ $A_{3}={\bigg (}7+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;setat$	El problema 53, al ser más complejo, está plagado de muchos de los mismos problemas que los problemas 51 y 52: ambigüedades de traducción y varios errores numéricos. En particular, en lo que respecta al gran trapezoide inferior, Ahmes parece atascarse en la búsqueda de la base superior y propone en el trabajo original restar "un décimo, igual a 1 + 1/4 + 1/8 setat más 10 tiras de codo" de un rectángulo que es (presumiblemente) 4 1/2 x 3 1/2 (khet). Sin embargo, incluso la respuesta de Ahmes aquí es inconsistente con la otra información del problema. Afortunadamente, el contexto de 51 y 52, junto con la base, la línea media y el área del triángulo más pequeño (que se dan como 4 + 1/2, 2 + 1/4 y 7 + 1/2 + 1/4 + 1/8, respectivamente) hacen posible interpretar el problema y su solución como se ha hecho aquí. Por lo tanto, la paráfrasis dada representa una estimación coherente de la intención del problema, que sigue a Chace. Ahmes también se refiere a las "tiras de codo" nuevamente durante el cálculo de este problema, y por lo tanto, repetimos su uso aquí. Vale la pena mencionar que ni Ahmes ni Chace dan explícitamente el área del trapezoide medio en sus soluciones (Chace sugiere que esto es una trivialidad desde el punto de vista de Ahmes); por lo tanto, se ha tomado la libertad de informarlo de una manera que sea coherente con lo que Chace había propuesto hasta ahora.
54	Hay 10 parcelas de tierra. En cada parcela, se divide un sector de manera que la suma del área de estas 10 nuevas particiones sea 7 setat. Cada nueva partición tiene el mismo área. Halla el área de cualquiera de estas 10 nuevas particiones y exprésala en términos fraccionarios egipcios de setat y franjas de codo. $A$	$A={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}{\bigg )}\;\;\;setat$ $={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}7+{\frac {1}{2}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
55	Hay 5 parcelas de tierra. En cada parcela, se divide un sector de manera que la suma del área de estas 5 nuevas particiones sea 3 setat. Cada nueva partición tiene el mismo área. Halla el área de cualquiera de estas 5 nuevas particiones y exprésala en términos fraccionarios egipcios de setat y franjas de codo. $A$	$A={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}{\bigg )}\;\;\;setat$ $={\frac {1}{2}}\;\;\;setat+10\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
56	1) La unidad de longitud conocida como codo real es (y ha sido, a lo largo del papiro) lo que se quiere decir cuando simplemente nos referimos a un codo . Un codo real , o un codo, es igual a siete palmos, y un palmo es igual a cuatro dedos. En otras palabras, se cumplen las siguientes igualdades: 1 codo (real) = 1 codo = 7 palmos = 28 dedos. 2) Considérese una pirámide cuadrada regular recta cuya base, la cara cuadrada, es coplanar con un plano (o el suelo, por ejemplo), de modo que cualquiera de los planos que contienen sus caras triangulares tiene el ángulo diedro de con respecto al plano del suelo (es decir, en el interior de la pirámide). En otras palabras, es el ángulo de las caras triangulares de la pirámide con respecto al suelo. El seked de dicha pirámide, entonces, que tiene una altura y una longitud del borde de la base , se define como la longitud física tal que . Dicho de otra manera, el seked de una pirámide puede interpretarse como la relación entre la carrera de sus caras triangulares por una unidad (codo) de altura . O, para el triángulo rectángulo apropiado en el interior de una pirámide que tiene catetos y la bisectriz perpendicular de una cara triangular como la hipotenusa, entonces el seked de la pirámide satisface . Por lo tanto, se describen triángulos similares, y uno puede escalarse al otro. $\theta$ $\theta$ $a$ $b$ $S$ ${\frac {S}{1\;\;\;royal\;\;\;cubit}}=$ $\cot {\theta }$ $a,{\frac {b}{2}}$ $S$ $\cot {\theta }={\frac {b}{2a}}={\frac {S}{1\;\;\;royal\;\;\;cubit}}$ 3) Una pirámide tiene una altura de 250 codos (reales) y el lado de su base tiene una longitud de 360 codos (reales). Halla su seked en términos fraccionarios egipcios de codos (reales) y también en términos de palmos. $S$	$S={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{50}}{\bigg )}\;\;\;cubit$ $={\bigg (}5+{\frac {1}{25}}{\bigg )}\;\;\;palm$	El problema 56 es el primero de los "problemas de pirámides" o problemas seked del papiro de Rhind, 56-59, 59B y 60, que tratan sobre la noción de la inclinación facial de una pirámide con respecto a un terreno plano. En este sentido, el concepto de seked sugiere los inicios de la trigonometría . Sin embargo, a diferencia de la trigonometría moderna, cabe señalar especialmente que un seked se encuentra con respecto a alguna pirámide y es en sí mismo una medida de longitud física , que puede darse en términos de cualquier unidad de longitud física. Sin embargo, por razones obvias, nosotros (y el papiro) limitamos nuestra atención a situaciones que involucran unidades egipcias antiguas. También hemos aclarado que los codos reales se utilizan en todo el papiro, para diferenciarlos de los codos "cortos" que se usaban en otras partes del antiguo Egipto. Un codo "corto" equivale a seis palmos.
57, 58	El seked de una pirámide es de 5 palmos y 1 dedo, y el lado de su base es de 140 codos. Halla (57) su altura en términos de codos. Por otro lado, (58), la altura de una pirámide es de 93 + 1/3 codos, y el lado de su base es de 140 codos. Halla su seked y exprésalo en términos de palmos y dedos. $a$ $S$	$a={\bigg (}93+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;cubit$ $S=5\;\;\;palm+1\;\;\;finger$	El problema 58 es una inversión exacta del problema 57, y por lo tanto se presentan juntos aquí.
59, 59B	La altura de una pirámide (59) es de 8 codos y la longitud de su base es de 12 codos. Expresa su seked en términos de palmas y dedos. Por otro lado, (59B), el seked de una pirámide es de cinco palmas y un dedo, y el lado de su base es de 12 codos. Expresa su altura en términos de codos. $S$ $a$	$S=5\;\;\;palm+1\;\;\;finger$ $a=8\;\;\;cubit$	Los problemas 59 y 59B consideran un caso similar a los problemas 57 y 58, que terminan con resultados conocidos. Como son exactamente lo contrario, se presentan juntos aquí.
60	Si un "pilar" (es decir, un cono) tiene una altura de 30 codos, y el lado de su base (o diámetro) tiene una longitud de 15 codos, encuentre su seked y expréselo en términos de codos. $S$	$S={\frac {1}{4}}\;\;\;cubit$	Ahmes utiliza palabras ligeramente diferentes para presentar este problema, lo que se presta a problemas de traducción. Sin embargo, el contexto general del problema, junto con el diagrama que lo acompaña (que difiere de los diagramas anteriores), lleva a Chace a concluir que se refiere a un cono. La noción de seked se generaliza fácilmente a la cara lateral de un cono; por lo tanto, informa el problema en estos términos. El problema 60 concluye la sección de geometría del papiro. Además, es el último problema en el recto (lado frontal) del documento; todo el contenido posterior de este resumen está presente en el verso (lado posterior) del papiro. La transición del 60 al 61 es, por lo tanto, un cambio tanto temático como físico en el papiro.
61	Diecisiete multiplicaciones deben tener sus productos expresados como fracciones egipcias. El total debe presentarse en forma de tabla.	${\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}&;&{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{18}}\\{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{18}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1}{12}}+{\frac {1}{36}}\\{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}&;&{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{12}}&;&{\frac {1}{12}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{24}}\\{\frac {1}{9}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{18}}+{\frac {1}{54}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{9}}={\frac {1}{18}}+{\frac {1}{54}}\\{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {1}{20}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{14}}+{\frac {1}{42}}\\{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{14}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{22}}+{\frac {1}{66}}\\{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{33}}&;&{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{22}}\\{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{44}}&&\\\end{bmatrix}}$	La sintaxis del documento original y sus multiplicaciones repetidas indican una comprensión rudimentaria de que la multiplicación es conmutativa .
61B	Proporcione un procedimiento general para convertir el producto de 2/3 y el recíproco de cualquier número impar (positivo) 2n+1 en una fracción egipcia de dos términos, por ejemplo, con p y q naturales. En otras palabras, encuentre p y q en términos de n. ${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2n+1}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}$	$p=2(2n+1)$ $q=6(2n+1)$	El problema 61B y el método de descomposición que describe (y sugiere) están estrechamente relacionados con el cálculo de la tabla 2/n del Papiro matemático de Rhind . En particular, se puede decir que todos los casos de la tabla 2/n que involucran un denominador que es múltiplo de 3 siguen el ejemplo del problema 61B. El enunciado y la solución del problema 61B también sugieren una generalidad que la mayoría de los demás problemas más concretos del papiro no tienen. Por lo tanto, representa una sugerencia temprana tanto de álgebra como de algoritmos .
62	Se ha comprado una bolsa de tres metales preciosos, oro, plata y plomo, por 84 sha'ty, que es una unidad monetaria. Las tres sustancias pesan lo mismo y un deben es una unidad de peso. 1 deben de oro cuesta 12 sha'ty, 1 deben de plata cuesta 6 sha'ty y 1 deben de plomo cuesta 3 sha'ty. Halla el peso común de cualquiera de los tres metales que hay en la bolsa. $W$	$W=4\;\;\;deben$	El problema 62 se convierte en un problema de división que implica un pequeño análisis dimensional. Su configuración, que implica pesos estándar, hace que el problema sea sencillo.
63	Se deben dividir 700 panes entre cuatro hombres, en cuatro porciones desiguales y ponderadas. Las porciones estarán en las proporciones respectivas . Halla cada porción. ${\frac {2}{3}}:{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{4}}$	$266+{\frac {2}{3}}$ $200$ $133+{\frac {1}{3}}$ $100$	-
64	Recordemos que el heqat es una unidad de volumen. Se deben distribuir diez heqats de cebada entre diez hombres en una progresión aritmética, de modo que las porciones de los hombres consecutivos tengan una diferencia de 1/8 de heqat. Encuentre las diez porciones y enumérelas en orden descendente, en términos fraccionarios egipcios de heqat.	${\bigg (}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$	El problema 64 es una variante del 40, que en esta ocasión implica un número par de incógnitas. Para una rápida referencia moderna, aparte de las fracciones egipcias, las proporciones van desde 25/16 hasta 7/16, donde el numerador disminuye en números impares consecutivos. Los términos se dan como fracciones del ojo de Horus ; compare los problemas 47 y 80 para obtener más información al respecto.
65	Se dividirán 100 panes de manera desigual entre diez hombres. Siete de ellos recibirán una porción única, mientras que los otros tres, que son un barquero, un capataz y un portero, recibirán una porción doble cada uno. Exprese cada una de estas dos cantidades en fracciones egipcias.	$7+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{39}}$ $15+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{78}}$	-
66	Recordemos que el heqat es una unidad de volumen y que un heqat equivale a 320 ro. Se distribuyen 10 heqat de grasa entre una persona a lo largo de un año (365 días), en raciones diarias de igual cantidad. Expresemos la ración como fracción egipcia en términos de heqat y ro. $a$	$a={\frac {1}{64}}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{2190}}{\bigg )}\;\;\;ro$	El problema 66, en su forma original, establece explícitamente que un año equivale a 365 días y utiliza repetidamente el número 365 para sus cálculos. Por lo tanto, constituye una prueba histórica primaria de la comprensión del año por parte del antiguo Egipto .
67	Un pastor tenía un rebaño de animales y debía entregar una parte de su rebaño a un señor como tributo. Se le dijo al pastor que entregara dos tercios DE un tercio de su rebaño original como tributo. El pastor entregó 70 animales. Halla el tamaño del rebaño original del pastor.	$315$	-
68	Cuatro supervisores están a cargo de cuatro cuadrillas de hombres, de 12, 8, 6 y 4 hombres, respectivamente. Cada miembro de la cuadrilla trabaja a un ritmo fungible, para producir un único producto de trabajo: la producción (recolección, por ejemplo) de grano. Trabajando en un intervalo de tiempo determinado, estas cuatro cuadrillas produjeron colectivamente 100 unidades, o 100 heqats cuádruples de grano, donde el producto de trabajo de cada cuadrilla se entregará al supervisor de cada cuadrilla. Exprese la producción de cada cuadrilla en términos de heqats cuádruples. $O_{12},O_{8},O_{6},O_{4}$	$O_{12}=40\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{8}=26+{\frac {2}{3}}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{6}=20\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{4}=13+{\frac {1}{3}}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	-
69	1) Consideremos la cocina y la preparación de alimentos. Supongamos que existe una forma estandarizada de cocinar, o un proceso de producción, que tomará unidades de volumen, específicamente heqats de materia prima alimentaria (en particular, alguna materia prima alimentaria) y producirá unidades de algún producto alimenticio terminado. El pefsu del (un) producto alimenticio terminado con respecto a la (una) materia prima alimentaria, entonces, se define como la cantidad de unidades de producto alimenticio terminado producidas a partir de exactamente un heqat de materia prima alimentaria. En otras palabras, . $P$ $p$ $P={\frac {p\;\;\;finished\;\;\;unit}{1\;\;\;heqat_{raw\;\;\;material}}}$ 2) 3 + 1/2 heqats de harina producen 80 panes. Halla la harina por pan en heqats y ro, y halla el pefsu de estos panes con respecto a la harina. Exprésalos como fracciones egipcias. $m$ $P$	$m={\frac {1}{32}}\;\;\;heqat+4\;\;\;ro$ $P={\bigg (}22+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{21}}{\bigg )}{\frac {loaf}{heqat_{meal}}}$	El problema 69 da comienzo a los problemas "pefsu", 69-78, en el contexto de la preparación de alimentos. La noción de pefsu presupone un proceso de producción estandarizado sin accidentes, desperdicios, etc., y sólo concierne a la relación de un producto alimenticio terminado estandarizado con una materia prima particular. Es decir, el pefsu no se ocupa inmediatamente de cuestiones como el tiempo de producción o (en cualquier caso dado) la relación de otras materias primas o equipos con el proceso de producción, etc. Aun así, la noción de pefsu es otro indicio de abstracción en el papiro, capaz de aplicarse a cualquier relación binaria entre un producto alimenticio (o un producto terminado, en realidad) y una materia prima. Los conceptos que implica el pefsu son, por lo tanto, típicos de la fabricación .
70	(7 + 1/2 + 1/4 + 1/8) heqats de harina producen 100 barras de pan. Halla la harina por barra en heqats y ro, y halla el pefsu de estas barras con respecto a la harina. Exprésalos como fracciones egipcias. $m$ $P$	$m={\bigg (}{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\frac {1}{5}}\;\;\;ro$ $P={\bigg (}12+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{126}}{\bigg )}{\frac {loaf}{heqat_{meal}}}$	-
71	1/2 heqats de besha, una materia prima, produce exactamente un vaso lleno de cerveza. Supongamos que existe un proceso de producción de vasos de cerveza diluidos. Se vierte 1/4 del vaso que acabamos de describir y lo que se acaba de verter se recoge y se reutiliza más tarde. Este vaso, que ahora está lleno hasta 3/4, se vuelve a diluir con agua hasta su capacidad máxima, lo que produce exactamente un vaso lleno de cerveza diluida. Halla el pefsu de estos vasos de cerveza diluidos con respecto a la besha como fracción egipcia. $P$	$P={\bigg (}2+{\frac {2}{3}}{\bigg )}{\frac {des-measure}{heqat_{besha}}}$	El problema 71 describe los pasos intermedios de un proceso de producción, así como una segunda materia prima, el agua. Estos son irrelevantes para la relación entre la unidad terminada y la materia prima (besha en este caso).
72	Se deben cambiar 100 panes de "pefsu 10" por panes de "pefsu 45" en partes iguales. Halla . $x$ $x$	$x=450$	Ahora que se ha establecido el concepto de pefsu, los problemas 72-78 exploran incluso intercambios de diferentes montones de alimentos terminados, que tienen diferentes pefsu. Sin embargo, en general, suponen una materia prima común de algún tipo. Específicamente, la materia prima común supuesta en todos los problemas 72-78 se llama harina de wedyet , que incluso está implicada en la producción de cerveza, de modo que la cerveza se puede intercambiar por pan en los últimos problemas. La declaración original de 74 también menciona "cebada del Alto Egipto", pero para nuestros propósitos esto es cosmético. Lo que dicen los problemas 72-78, entonces, es realmente esto: se utilizan cantidades iguales de materia prima en dos procesos de producción diferentes, para producir dos unidades diferentes de alimento terminado, donde cada tipo tiene un pefsu diferente. Se da una de las dos unidades de alimento terminado. Encuentre la otra. Esto se puede lograr dividiendo ambas unidades (conocidas y desconocidas) por sus respectivos pefsu, donde las unidades de alimento terminado se desvanecen en el análisis dimensional y solo se considera la misma materia prima. Uno puede entonces resolver fácilmente para x. Por lo tanto, los puntos 72 a 78 realmente requieren que se proporcione x para que se utilicen cantidades iguales de materia prima en dos procesos de producción diferentes.
73	Se deben intercambiar 100 panes de pefsu 10 por panes de pefsu 15 en partes iguales. Halla . $x$ $x$	$x=150$	-
74	Se deben dividir 1000 panes de Pefsu 5 en dos montones de 500 panes cada uno. Cada montón se debe intercambiar por otros dos montones, uno de panes de Pefsu 10 y el otro de panes de Pefsu 20. Halla y . $x$ $y$ $x$ $y$	$x=1000$ $y=2000$	-
75	Se deben intercambiar 155 panes de pefsu 20 por panes de pefsu 30 en partes iguales. Halla . $x$ $x$	$x=232+{\frac {1}{2}}$	-
76	1000 panes de Pefsu 10, un montón, se intercambiarán de manera uniforme por otros dos montones de panes. Los otros dos montones tienen cada uno un número igual de panes, uno de Pefsu 20, el otro de Pefsu 30. Halla . $x$ $x$	$x=1200$	-
77	10 des-medida de cerveza, de pefsu 2, se deben cambiar equitativamente por hogazas de pan, de pefsu 5. Halla . $x$ $x$	$x=25$	-
78	100 panes de pefsu 10 se deben cambiar en partes iguales por des-medidas de cerveza de pefsu 2. Halla . $x$ $x$	$x=20$	-
79	El inventario de una finca consta de 7 casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 plantas de espelta (un tipo de trigo) y 16.807 unidades de heqat (de cualquier sustancia, un tipo de grano, supongamos). Enumere los artículos del inventario de las fincas en forma de tabla e incluya su total.	${\begin{bmatrix}houses&7\\cats&49\\mice&343\\spelt&2401\\heqat&16807\\Total&19607\\\end{bmatrix}}$	El problema 79 se ha presentado en su interpretación más literal. Sin embargo, el problema es uno de los más interesantes del papiro, ya que su planteamiento e incluso el método de solución sugieren progresión geométrica (es decir, secuencias geométricas), comprensión elemental de las series finitas , así como el problema de St. Ives —incluso Chace no puede evitar interrumpir su propia narración para comparar el problema 79 con la canción infantil de St. Ives—. También indica que un tercer ejemplo sospechosamente familiar de este tipo de problemas se puede encontrar en el Liber Abaci de Fibonacci . Chace sugiere la interpretación de que 79 es una especie de ejemplo de ahorro, donde se ahorra una cierta cantidad de grano al tener gatos a mano para matar a los ratones que de otro modo se comerían la espelta utilizada para hacer el grano. En el documento original, el término 2401 está escrito como 2301 (un error obvio), mientras que los otros términos se dan correctamente; por lo tanto, se corrige aquí. Además, uno de los métodos de Ahmes para resolver la suma sugiere una comprensión de las series geométricas finitas . Ahmes realiza una suma directa, pero también presenta una multiplicación simple para obtener la misma respuesta: "2801 x 7 = 19607". Chace explica que, dado que el primer término, el número de casas (7) es igual a la razón común de multiplicación (7), entonces se cumple lo siguiente (y se puede generalizar a cualquier situación similar): $\sum \limits _{k=1}^{n}7^{k}=7{\bigg (}1+\sum \limits _{k=1}^{n-1}7^{k}{\bigg )}$ Es decir, cuando el primer término de una sucesión geométrica es igual a la razón común, las sumas parciales de sucesiones geométricas, o series geométricas finitas, pueden reducirse a multiplicaciones que implican que la serie finita tenga un término menos, lo que resulta conveniente en este caso. En este caso, Ahmes simplemente suma los primeros cuatro términos de la sucesión (7 + 49 + 343 + 2401 = 2800) para producir una suma parcial, suma uno (2801) y luego simplemente multiplica por 7 para producir la respuesta correcta.
80	El hinu es otra unidad de volumen, de modo que un heqat equivale a diez hinu. Consideremos las situaciones en las que se tiene una fracción de heqats equivalente al ojo de Horus y expresemos sus conversiones a hinu en una tabla.	${\begin{bmatrix}1&heqat&=&10&hinu\\{\frac {1}{2}}&heqat&=&5&hinu\\{\frac {1}{4}}&heqat&=&(2+{\frac {1}{2}})&hinu\\{\frac {1}{8}}&heqat&=&(1+{\frac {1}{4}})&hinu\\{\frac {1}{16}}&heqat&=&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}})&hinu\\{\frac {1}{32}}&heqat&=&({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}})&hinu\\{\frac {1}{64}}&heqat&=&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&hinu\\\end{bmatrix}}$	Compare los problemas 47 y 64 para obtener otra información tabular con fracciones repetidas del ojo de Horus.
81	Realizar "otro cálculo del hinu", es decir, expresar una variedad de fracciones egipcias, muchos de cuyos términos también son fracciones del ojo de Horus, en varios términos de heqats, hinu y ro.		La sección principal del problema 81 es una tabla de conversión mucho más grande de fracciones egipcias variadas, que amplía la idea del problema 80; de hecho, representa una de las formas tabulares más grandes de todo el papiro. La primera parte del problema 81 es una repetición exacta de la tabla del problema 80, sin la primera fila que establece que 1 heqat = 10 hinu; por lo tanto, no se repite aquí. La segunda parte del problema 81, o su "cuerpo", es la gran tabla que se presenta aquí. El lector atento notará dos cosas: varias filas repiten información idéntica, y varias formas (pero no todas) dadas en ambas áreas "heqat" a cada lado de la tabla son de hecho idénticas. Hay dos puntos que vale la pena mencionar para explicar por qué la tabla se ve como se ve. Por un lado, Ahmes de hecho repite exactamente ciertos grupos de información en diferentes áreas de la tabla, y en consecuencia se repiten aquí. Por otra parte, Ahmes también comienza con ciertas formas de heqat "de mano izquierda", y comete algunos errores en sus primeros cálculos. Sin embargo, en muchos casos corrige estos errores más tarde en su escritura de la tabla, produciendo un resultado consistente. Dado que la información actual es simplemente una recreación de la traducción e interpretación de Chace del papiro, y dado que Chace eligió interpretar y corregir los errores de Ahmes sustituyendo la información correcta posterior en ciertas filas anteriores, corrigiendo así los errores de Ahmes y, por lo tanto, repitiendo información en el curso de la traducción, este método de interpretación explica la duplicación de información en ciertas filas. En cuanto a la duplicación de información en ciertas columnas (1/4 heqat = ... = 1/4 heqat, etc.), esto parece haber sido simplemente una convención que Ahmes completó al considerar ciertas proporciones fraccionarias importantes del ojo de Horus tanto desde el punto de vista del hinu como también del heqat (y sus conversiones). En resumen, las diversas repeticiones de información son el resultado de las decisiones tomadas por Ahmes, su posible documento fuente y las decisiones editoriales de Chace, con el fin de presentar una traducción matemáticamente consistente de la tabla más grande del problema 81.
82	Calcular en harina de wedyet, convertida en pan, la ración diaria de alimento para diez gansos de engorde . Para ello, realizar los cálculos siguientes, expresando las cantidades en términos fraccionarios egipcios de cientos de heqats, heqats y ro, salvo que se especifique lo contrario: Comience con la afirmación de que "10 gansos de engorde comen 2 + 1/2 heqats en un día". En otras palabras, la tasa diaria de consumo (y la condición inicial) es igual a 2 + 1/2. Determine la cantidad de heqats que comen 10 gansos de engorde en 10 días y en 40 días. Llamemos a estas cantidades y , respectivamente. $i$ $t$ $f$ Multiplique la última cantidad anterior por 5/3 para expresar la cantidad de "espelta", o , que se requiere moler. $f$ $s$ Multiplica por 2/3 para expresar la cantidad de "trigo", o , requerida. $f$ $w$ Dividir por 10 para expresar una "porción de trigo", o , que se debe restar de . $w$ $p$ $f$ Halla . Ésta es la cantidad de "grano" (o harina de trigo, al parecer) que se requiere para preparar el alimento para los gansos, presumiblemente en el intervalo de 40 días (lo que parecería contradecir un poco el enunciado original del problema). Finalmente, expresa de nuevo en términos de cientos de heqats dobles, heqats dobles y ro dobles , donde 1 centenar de heqats dobles = 200 heqats = 100 heqats dobles = 200 heqats = 32.000 ro dobles = 64.000 ro. Llamamos a esta cantidad final . $f-p=g$ $g$ $g_{2}$	$t=25\;\;\;heqat$ $f=100\;\;\;heqat$ $s={\bigg (}1+{\frac {1}{2}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}16+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $w={\bigg (}{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}8+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $p={\bigg (}6+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $g={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}18+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $g_{2}={\bigg (}{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}21+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;ro$	A partir del problema 82, el papiro se vuelve cada vez más difícil de interpretar (debido a errores e información faltante), hasta el punto de resultar ininteligible. Sin embargo, todavía es posible darle algún sentido al problema 82. En pocas palabras, parece que existen reglas establecidas, o buenas estimaciones, para las fracciones que se deben tomar de este o aquel material alimenticio en un proceso de cocción o producción. El problema 82 de Ahmes simplemente da expresión a algunas de estas cantidades, en lo que después de todo se declara en el documento original como una "estimación", a pesar de su lenguaje algo contradictorio y confuso. Además de su rareza, los problemas 82, 82B, 83 y 84 también son notables por continuar la línea de pensamiento sobre la "comida" de los problemas pefsu recientes, esta vez considerando cómo alimentar a los animales en lugar de a las personas. Tanto el problema 82 como el 82B hacen uso de la unidad "cien heqat" con respecto a t y f; estas convenciones son cosméticas y no se repiten aquí. También se toma licencia a lo largo de estos últimos problemas (según Chace) para corregir errores numéricos del documento original, para intentar presentar una paráfrasis coherente.
82B	Estimar la cantidad de alimento para otros gansos. Es decir, considerar una situación idéntica al problema 82, con la única excepción de que la condición inicial, o tasa diaria de consumo, es exactamente la mitad. Es decir, sea = 1 + 1/4. Hallar , y especialmente utilizando álgebra elemental para omitir los pasos intermedios. $i$ $t$ $f$ $g_{2}$	$t={\bigg (}12+{\frac {1}{2}}{\bigg )}\;\;\;heqat$ $f=50\;\;\;heqat$ $g_{2}={\bigg (}23+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;ro$	El problema 82B se presenta en paralelo con el problema 82 y considera rápidamente la situación idéntica en la que las cantidades asociadas se reducen a la mitad. En ambos casos, parece que el objetivo real de Ahmes es encontrar g_2. Ahora que tiene un "procedimiento", se siente libre de saltarse los onerosos pasos del problema 82. Uno podría simplemente observar que la división por dos lleva a cabo todo el trabajo del problema, de modo que g_2 también es exactamente la mitad de grande que en el problema 82. Un enfoque un poco más exhaustivo utilizando álgebra elemental sería retroceder a las relaciones entre las cantidades en 82, hacer la observación esencial de que g = 14/15 xf y luego realizar las conversiones de unidades para transformar g en g_2.
83	Calcular la alimentación de distintos tipos de aves. Se trata de un "problema" con múltiples componentes, que puede interpretarse como una serie de observaciones: Supongamos que cuatro gansos están enjaulados y que su ración diaria de alimento es igual a un hinu. Exprese la ración diaria de alimento de un ganso en términos de heqats y ro. $a_{1}$ Supongamos que la ración diaria de un ganso "que va al estanque" es igual a 1/16 + 1/32 heqats + 2 ro. Expresemos esta misma ración diaria en términos de hinu. $a_{2}$ Supongamos que la ración diaria de alimento para 10 gansos es de un heqat. Halla la ración para 10 días y para 30 días, o para un mes, para el mismo grupo de animales, en heqats. $a_{10}$ $a_{30}$ Finalmente se presentará una tabla con las porciones diarias de alimento para engordar un animal de cualquiera de las especies indicadas.	$a_{1}={\frac {1}{64}}\;\;\;heqat+3\;\;\;ro$ $a_{2}=1\;\;\;hinu$ $a_{10}=10\;\;\;heqat$ $a_{30}=30\;\;\;heqat$ ${\begin{bmatrix}goose&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\terp-goose&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\crane&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\set-duck&({\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&heqat&+&1&ro\\ser-goose&{\frac {1}{64}}&heqat&+&3&ro\\dove&&&&3&ro\\quail&&&&3&ro\\\end{bmatrix}}$	Dado que los diversos elementos del problema 83 se ocupan de las conversiones de unidades entre heqats, ro e hinu, en el espíritu de los problemas 80 y 81, es natural preguntarse en qué se convierten los elementos de la tabla cuando se convierten a hinu. La porción compartida por el ganso, el ganso terp y la grulla es igual a 5/3 de hinu, la porción de los patos es igual a 1/2 hinu, la porción de los gansos ser es igual a 1/4 de hinu (compare el primer elemento del problema) y la porción compartida por la paloma y la codorniz es igual a 1/16 + 1/32 de hinu. La presencia de varias fracciones de ojos de Horus es familiar en el resto del papiro, y la tabla parece considerar estimaciones de alimentación para las aves, que van desde la más grande a la más pequeña. Las porciones "5/3 hinu" en la parte superior de la tabla, específicamente su factor de 5/3, recuerdan el método para hallar s en el problema 82. El problema 83 menciona el "grano del Bajo Egipto", o cebada, y también utiliza la unidad "cien heqat" en un lugar; estos son cosméticos y se omiten en la presente declaración.
84	Estimar la alimentación para un establo de bueyes.	${\begin{bmatrix}&Loaves&Common\;food\\4\;fine\;oxen&24\;heqat&2\;heqat\\2\;fine\;oxen&22\;heqat&6\;heqat\\3\;cattle&20\;heqat&2\;heqat\\1\;ox&20\;heqat&\\Total&86\;heqat&10\;heqat\\in\;spelt&9\;heqat&(7+{\frac {1}{2}})\;heqat\\10\;days&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat\\&+15\;heqat&\\one\;month&200\;heqat&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat\\&&+15\;heqat\\double\;heqat&{\frac {1}{2}}\;c.\;heqat&{\frac {1}{4}}\;c.\;heqat\\&+(11+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}})\;heqat&+5\;heqat\\&+3\;ro&\\\end{bmatrix}}$	84 es el último problema, o número, que comprende el contenido matemático del papiro de Rhind. Con respecto al 84 en sí, Chace se hace eco de Peet: "Uno sólo puede estar de acuerdo con Peet en que 'con este problema el papiro alcanza su límite de ininteligibilidad e inexactitud'" (Chace, V.2, Problema 84). Aquí, los casos de la unidad "cien heqat" se han expresado mediante "c. heqat" para ahorrar espacio. Los tres "ganado" mencionados se describen como ganado "común", para diferenciarlos de los otros animales, y los dos encabezados que se refieren a los panes y a la "comida común" se refieren a los heqat. Los "bueyes finos" al comienzo de la tabla se describen como bueyes del Alto Egipto, una frase que también se ha eliminado aquí por razones de espacio. El problema 84 parece sugerir un procedimiento para estimar diversos materiales alimenticios y asignaciones en términos similares a los tres problemas anteriores, pero la información existente es profundamente confusa. Aun así, hay indicios de coherencia. El problema parece comenzar como un problema de cuento convencional, que describe un establo con diez animales de cuatro tipos diferentes. Parece que los cuatro tipos de animales consumen alimento, o "panes" a diferentes ritmos, y que hay cantidades correspondientes de alimento "común". Estas dos columnas de información se suman correctamente en la fila "total", sin embargo, están seguidas por dos elementos "espeltados" de dudosa relación con los anteriores. Estos dos elementos espeltados están efectivamente multiplicados por diez para obtener las dos entradas en la fila "10 días", una vez que se tienen en cuenta las conversiones de unidades. Sin embargo, los elementos de la fila "un mes" no parecen ser coherentes con los dos anteriores. Finalmente, la información contenida en "dobles heqats" (léase cien dobles heqats, dobles heqats y doble ro para estos elementos) concluye el problema, de una manera que recuerda a los casos 82 y 82B. Los dos elementos de la última fila tienen aproximadamente, pero no exactamente, la misma proporción entre sí que los dos elementos de la fila "un mes".
Número 85	Se escribe un pequeño grupo de signos jeroglíficos en cursiva, que Chace sugiere que pueden representar al escriba "probando su pluma". Parece ser una frase u oración de algún tipo, y se sugieren dos traducciones: 1) "Mata alimañas, ratones, hierbas frescas, numerosas arañas. Ruega al dios Re por calor, viento y crecidas". 2) "Interpreta este extraño asunto, que el escriba escribió... según lo que sabía".		Los elementos restantes 85, 86 y 87, que son diversas erratas que no son de naturaleza matemática, son denominados por Chace como "números" en lugar de problemas. También están ubicados en áreas del papiro que están bastante alejadas del cuerpo del escrito, que acababa de terminar con el Problema 84. El número 85, por ejemplo, está a cierta distancia del Problema 84 en el reverso, pero no demasiado lejos. Por lo tanto, su ubicación en el papiro sugiere una especie de coda, en cuyo caso la última traducción, que Chace describe como un ejemplo de la interpretación de la "escritura enigmática" de los documentos del Antiguo Egipto, parece más apropiada para su contexto en el documento.
Número 86	El número 86 parece proceder de algún relato o memorando y enumera una variedad de productos y cantidades, utilizando palabras que resultan familiares por el contexto del resto del papiro. [El texto original es una serie de líneas escritas, que por lo tanto se numeran a continuación.]	"1... viviendo para siempre. Lista de los alimentos de Hebenti... 2... su hermano el mayordomo Ka-mose... 3...de su año, plata, 50 piezas dos veces en el año... 4... ganado 2, en plata 3 piezas en el año... 5... uno dos veces; es decir, 1/6 y 1/6. Ahora bien, en cuanto al uno... 6... 12 hinu; es decir, plata, 1/4 pieza; una... 7... (oro o plata) 5 piezas, su precio por cada una; pescado, 120, el doble... 8... año, cebada, en cuádruple heqat, 1/2 + 1/4 de 100 heqat 15 heqat; espelta, 100 heqat... heqat... 9... cebada, en cuádruple heqat, 1/2 + 1/4 de 100 heqat 15 heqat; espelta, 1 + 1/2 + 1/4 por 100 heqat 17 heqat... 10... 146 + 1/2; cebada, 1 + 1/2 + 1/4 veces 100 heqat 10 heqat; espelta, 300 heqat... heqat... 11... 1/2, trajeron vino, 1 burro... 12... plata 1/2 pieza;... 4; es decir, en plata... 13... 1 + 1/4; gordo, 36 hinu; es decir, en plata... 14... 1 + 1/2 + 1/4 veces 100 heqat 21 heqat; espelta, en cuádruple heqat, 400 heqat 10 heqat... 15-18 (Estas líneas son repeticiones de la línea 14.)"	Chace indica que el número 86 se pegó en el extremo izquierdo del reverso (frente a los problemas de geometría posteriores del recto) para reforzar el papiro. Por lo tanto, el número 86 puede interpretarse como un trozo de "papel de descarte".
Número 87	El número 87 es un breve relato de ciertos acontecimientos. Chace indica que existe un consenso académico (que, aunque es cierto, ya está fechado y posiblemente modificado) de que el número 87 se añadió al papiro poco después de que se completara su contenido matemático. Continúa indicando que los acontecimientos que se describen en él "ocurrieron durante el período de la dominación de los hicsos".	"Año 11, segundo mes de la época de la cosecha. Se entró en Heliópolis. El primer mes de la temporada de inundaciones, el día 23, el comandante (?) del ejército (?) atacó (?) Zaru. El día 25 se supo que Zaru había entrado. Año 11, primer mes de la estación de las inundaciones, tercer día. Nacimiento de Set; la majestad de este dios hizo que su voz se oyera. Nacimiento de Isis, los cielos llovieron."	El número 87 está ubicado hacia el medio del reverso, rodeado por un gran espacio en blanco y sin uso.

Véase también

Bibliografía

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Referencias

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^ ab Peet, T. Eric (1923). El papiro matemático de Rhind: Museo Británico 10057 y 10058. Prensa Universitaria de Liverpool.Para saber el lugar donde se encontró el papiro, consulte la página 2.
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Enlaces externos

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Página web del Museo Británico sobre la segunda sección del Papiro
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