Número

Un número es un objeto matemático que se utiliza para contar , medir y etiquetar . Los ejemplos más básicos son los números naturales 1 , 2 , 3 , 4 , etc. ^[1] Los números se pueden representar en el lenguaje con palabras numéricas . De manera más universal, los números individuales se pueden representar mediante símbolos , llamados numerales ; por ejemplo, "5" es un numeral que representa el número cinco . Como solo se puede memorizar una cantidad relativamente pequeña de símbolos, los numerales básicos se organizan comúnmente en un sistema de numeración , que es una forma organizada de representar cualquier número. El sistema de numeración más común es el sistema de numeración hindú-arábigo , que permite la representación de cualquier número entero no negativo utilizando una combinación de diez símbolos numéricos fundamentales, llamados dígitos . ^{[2] [a]} Además de su uso para contar y medir, los numerales se utilizan a menudo para etiquetas (como con los números de teléfono ), para ordenar (como con los números de serie ) y para códigos (como con los ISBN ). En el uso común, un numeral no se distingue claramente del número que representa.

En matemáticas , la noción de número se ha extendido a lo largo de los siglos para incluir el cero (0), ^[3] los números negativos , ^[4] los números racionales como un medio , los números reales como la raíz cuadrada de 2 y π , ^[5] y los números complejos ^[6] que extienden los números reales con una raíz cuadrada de −1 (y sus combinaciones con números reales sumando o restando sus múltiplos). ^[4] Los cálculos con números se realizan con operaciones aritméticas, siendo las más conocidas la suma , la resta , la multiplicación , la división y la exponenciación . Su estudio o uso se llama aritmética , un término que también puede referirse a la teoría de números , el estudio de las propiedades de los números.${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)}$

Además de sus usos prácticos, los números tienen un significado cultural en todo el mundo. ^{[7] [8]} Por ejemplo, en la sociedad occidental, el número 13 a menudo se considera de mala suerte , y " un millón " puede significar "mucho" en lugar de una cantidad exacta. ^[7] Aunque ahora se considera una pseudociencia , la creencia en un significado místico de los números, conocida como numerología , impregnó el pensamiento antiguo y medieval. ^[9] La numerología influyó mucho en el desarrollo de las matemáticas griegas , estimulando la investigación de muchos problemas en la teoría de números que todavía son de interés hoy en día. ^[9]

Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a desarrollar muchas abstracciones diferentes que comparten ciertas propiedades de los números y pueden considerarse como una extensión del concepto. Entre las primeras se encuentran los números hipercomplejos , que consisten en varias extensiones o modificaciones del sistema de números complejos . En las matemáticas modernas, los sistemas numéricos se consideran ejemplos especiales importantes de estructuras algebraicas más generales, como anillos y cuerpos , y la aplicación del término "número" es una cuestión de convención, sin importancia fundamental. ^[10]

Se han descubierto huesos y otros artefactos con marcas grabadas que muchos creen que son marcas de conteo . ^[11] Estas marcas de conteo pueden haber sido utilizadas para contar el tiempo transcurrido, como el número de días, los ciclos lunares o para mantener registros de cantidades, como de animales.

Un sistema de conteo no tiene el concepto de valor posicional (como en la notación decimal moderna ), lo que limita su representación de números grandes. No obstante, los sistemas de conteo se consideran el primer tipo de sistema numérico abstracto.

El primer sistema conocido con valor posicional fue el sistema mesopotámico de base 60 ( c.  3400  a. C.) y el primer sistema conocido de base 10 data del 3100 a. C. en Egipto . ^[12]

Los números deben distinguirse de los numerales , los símbolos utilizados para representar números. Los egipcios inventaron el primer sistema de numeración cifrado, y los griegos los siguieron al mapear sus números de conteo en los alfabetos jónico y dórico. ^[13] Los números romanos, un sistema que usaba combinaciones de letras del alfabeto romano, siguieron siendo dominantes en Europa hasta la difusión del sistema de numeración hindú-arábigo superior alrededor de fines del siglo XIV, y el sistema de numeración hindú-arábigo sigue siendo el sistema más común para representar números en el mundo actual. ^{[14] [ mejor fuente necesaria ]} La clave de la efectividad del sistema fue el símbolo del cero , que fue desarrollado por antiguos matemáticos indios alrededor del año 500 d. C. ^[14]

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El primer uso documentado conocido del cero data del año 628 d. C. y apareció en el Brāhmasphuṭasiddhānta , la obra principal del matemático indio Brahmagupta . Trató el 0 como un número y analizó las operaciones que lo involucraban, incluida la división . Para esa época (siglo VII), el concepto había llegado claramente a Camboya como numerales jemeres , y la documentación muestra que la idea se extendió más tarde a China y al mundo islámico .

El Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta es el primer libro que menciona el cero como número, por lo que se suele considerar a Brahmagupta como el primero en formular el concepto de cero. Propuso reglas para utilizar el cero con números negativos y positivos, como "cero más un número positivo es un número positivo, y un número negativo más cero es el número negativo". El Brāhmasphuṭasiddhānta es el texto más antiguo conocido que trata el cero como un número por derecho propio, en lugar de simplemente como un dígito sustituto para representar otro número, como hacían los babilonios, o como un símbolo de falta de cantidad, como hacían Ptolomeo y los romanos.

El uso del 0 como número debe distinguirse de su uso como numeral de marcador de posición en los sistemas de valor posicional . Muchos textos antiguos usaban el 0. Los textos babilónicos y egipcios lo usaban. Los egipcios usaban la palabra nfr para denotar el saldo cero en la contabilidad de partida doble . Los textos indios usaban una palabra sánscrita Shunye o shunya para referirse al concepto de vacío . En los textos de matemáticas, esta palabra a menudo se refiere al número cero. ^[15] En una línea similar, Pāṇini (siglo V a. C.) usó el operador nulo (cero) en el Ashtadhyayi , un ejemplo temprano de una gramática algebraica para el idioma sánscrito (ver también Pingala ).

Hay otros usos del cero antes de Brahmagupta, aunque la documentación no es tan completa como en el Brāhmasphuṭasiddhānta .

Los registros muestran que los antiguos griegos parecían tener dudas sobre el estatus del 0 como número: se preguntaban "¿Cómo puede la 'nada' ser algo?", lo que dio lugar a interesantes argumentos filosóficos y, en la época medieval, religiosos sobre la naturaleza y la existencia del 0 y el vacío . Las paradojas de Zenón de Elea dependen en parte de la interpretación incierta del 0 (los antiguos griegos incluso cuestionaron si  el 1 era un número).

El pueblo olmeca tardío del centro-sur de México comenzó a utilizar un símbolo para el cero, un glifo de concha , en el Nuevo Mundo, posiblemente hacia el siglo IV a. C. pero con certeza hacia el 40 a. C., que se convirtió en una parte integral de los numerales mayas y del calendario maya . La aritmética maya usaba la base 4 y la base 5 escritas como base 20. George I. Sánchez en 1961 informó sobre un ábaco de "dedo" de base 4, base 5. ^{[16] [ se necesita una mejor fuente ]}

Hacia el año 130 d. C., Ptolomeo , influenciado por Hiparco y los babilonios, utilizaba un símbolo para el 0 (un pequeño círculo con una barra superior larga) dentro de un sistema de numeración sexagesimal que, de otro modo, utilizaba numeración griega alfabética . Debido a que se utilizaba solo, no solo como marcador de posición, este cero helenístico fue el primer uso documentado de un verdadero cero en el Viejo Mundo. En manuscritos bizantinos posteriores de su Syntaxis Mathematica ( Almagesto ), el cero helenístico se había transformado en la letra griega Omicron (que de otro modo significaba 70).

Otro cero verdadero se utilizó en las tablas junto con los números romanos hacia el año 525 (primer uso conocido por Dionisio el Exiguo ), pero como palabra, nulla significa nada , no como símbolo. Cuando la división producía 0 como resto, se utilizaba nihil , que también significa nada . Estos ceros medievales fueron utilizados por todos los futuros computistas medievales (calculadores de Pascua ). Un uso aislado de su inicial, N, fue utilizado en una tabla de números romanos por Beda o un colega alrededor del año 725, un símbolo de cero verdadero.

El concepto abstracto de números negativos fue reconocido ya en el 100-50 a. C. en China. Los Nueve capítulos sobre el arte matemático contienen métodos para hallar las áreas de las figuras; las barras rojas se usaban para denotar coeficientes positivos , las negras para negativos. ^[17] La ​​primera referencia en una obra occidental fue en el siglo III d. C. en Grecia. Diofanto se refirió a la ecuación equivalente a 4 x + 20 = 0 (la solución es negativa) en Aritmética , diciendo que la ecuación daba un resultado absurdo.

Durante el siglo VII, en la India se utilizaban números negativos para representar deudas. La referencia anterior de Diofanto fue discutida más explícitamente por el matemático indio Brahmagupta , en Brāhmasphuṭasiddhānta en 628, quien utilizó números negativos para producir la fórmula cuadrática en forma general que sigue utilizándose en la actualidad. Sin embargo, en el siglo XII en la India, Bhaskara proporciona raíces negativas para ecuaciones cuadráticas, pero dice que el valor negativo "en este caso no debe tomarse, porque es inadecuado; la gente no aprueba las raíces negativas".

Los matemáticos europeos, en su mayoría, se resistieron al concepto de números negativos hasta el siglo XVII, aunque Fibonacci permitió soluciones negativas en problemas financieros donde podían interpretarse como deudas (capítulo 13 del Liber Abaci , 1202) y más tarde como pérdidas (en Flos ). René Descartes los llamó raíces falsas ya que surgían en polinomios algebraicos, pero encontró una forma de intercambiar raíces verdaderas y raíces falsas también. Al mismo tiempo, los chinos indicaban números negativos dibujando un trazo diagonal a través del dígito distinto de cero más a la derecha del numeral del número positivo correspondiente. ^[18] El primer uso de números negativos en una obra europea fue por Nicolas Chuquet durante el siglo XV. Los usó como exponentes , pero se refirió a ellos como "números absurdos".

Incluso en el siglo XVIII, era una práctica común ignorar cualquier resultado negativo arrojado por las ecuaciones asumiendo que no tenían sentido.

Es probable que el concepto de números fraccionarios se remonte a tiempos prehistóricos . Los antiguos egipcios utilizaban su notación fraccionaria egipcia para los números racionales en textos matemáticos como el Papiro matemático Rhind y el Papiro Kahun . Los matemáticos clásicos griegos e indios realizaron estudios de la teoría de los números racionales, como parte del estudio general de la teoría de números . ^[19] El más conocido de ellos es los Elementos de Euclides , que datan aproximadamente del año 300 a. C. De los textos indios, el más relevante es el Sthananga Sutra , que también cubre la teoría de números como parte de un estudio general de las matemáticas.

El concepto de fracciones decimales está estrechamente vinculado con la notación decimal de valor posicional; ambos parecen haberse desarrollado en conjunto. Por ejemplo, es común que el sutra de matemáticas jainista incluya cálculos de aproximaciones de fracciones decimales a pi o la raíz cuadrada de 2. ^{[ cita requerida ]} De manera similar, los textos matemáticos babilónicos usaban fracciones sexagesimales (base 60) con gran frecuencia .

El uso más antiguo conocido de números irracionales fue en los Sulba Sutras indios compuestos entre 800 y 500 a. C. ^{[20] [ se necesita una mejor fuente ]} Las primeras pruebas de existencia de números irracionales generalmente se atribuyen a Pitágoras , más específicamente al pitagórico Hippasus de Metaponto , quien produjo una prueba (muy probablemente geométrica) de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. La historia cuenta que Hippasus descubrió los números irracionales al intentar representar la raíz cuadrada de 2 como una fracción. Sin embargo, Pitágoras creía en la absolutidad de los números y no podía aceptar la existencia de números irracionales. No podía refutar su existencia a través de la lógica, pero no podía aceptar los números irracionales y, por lo tanto, supuestamente y con frecuencia se informó, condenó a Hippasus a muerte por ahogamiento, para impedir la difusión de esta noticia desconcertante. ^{[21] [ se necesita una mejor fuente ]}

El siglo XVI trajo consigo la aceptación europea final de los números enteros y fraccionarios negativos . En el siglo XVII, los matemáticos utilizaban generalmente fracciones decimales con notación moderna. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX cuando los matemáticos separaron los irracionales en partes algebraicas y trascendentales, y emprendieron una vez más el estudio científico de los irracionales. Había permanecido casi inactivo desde Euclides . En 1872, se produjo la publicación de las teorías de Karl Weierstrass (por su alumno E. Kossak), Eduard Heine ^[22] , Georg Cantor ^[23] y Richard Dedekind ^[24] . En 1869, Charles Méray había tomado el mismo punto de partida que Heine, pero la teoría se refiere generalmente al año 1872. El método de Weierstrass fue completamente expuesto por Salvatore Pincherle (1880), y el de Dedekind ha recibido prominencia adicional a través del trabajo posterior del autor (1888) y el respaldo de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor y Heine basan sus teorías en series infinitas, mientras que Dedekind funda la suya en la idea de un corte (Schnitt) en el sistema de números reales , separando todos los números racionales en dos grupos que tienen ciertas propiedades características. El tema ha recibido contribuciones posteriores de manos de Weierstrass, Kronecker , ^[25] y Méray.

La búsqueda de raíces de ecuaciones de quinto grado y de grado superior fue un avance importante; el teorema de Abel-Ruffini ( Ruffini 1799, Abel 1824) demostró que no podían resolverse mediante radicales (fórmulas que involucraban solo operaciones aritméticas y raíces). Por lo tanto, era necesario considerar el conjunto más amplio de números algebraicos (todas las soluciones de ecuaciones polinómicas). Galois (1832) vinculó las ecuaciones polinómicas a la teoría de grupos, dando lugar al campo de la teoría de Galois .

Las fracciones continuas , estrechamente relacionadas con los números irracionales (y debidas a Cataldi, 1613), recibieron atención de la mano de Euler , ^[26] y a principios del siglo XIX cobraron importancia gracias a los escritos de Joseph Louis Lagrange . Otras contribuciones notables fueron las de Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) y Günther (1872). Ramus ^[27] fue el primero en conectar el tema con los determinantes , lo que dio como resultado, con las contribuciones posteriores de Heine, ^[28] Möbius y Günther, ^[29] la teoría de los determinantes de la fuerza de la compuerta .

La existencia de números trascendentales ^[30] fue establecida por primera vez por Liouville (1844, 1851). Hermite demostró en 1873 que e es trascendental y Lindemann demostró en 1882 que π es trascendental. Finalmente, Cantor demostró que el conjunto de todos los números reales es incontablemente infinito pero el conjunto de todos los números algebraicos es contablemente infinito , por lo que existe un número incontablemente infinito de números trascendentales.

La concepción más antigua conocida del infinito matemático aparece en el Yajur Veda , una antigua escritura india, que en un punto dice: "Si eliminas una parte del infinito o añades una parte al infinito, lo que queda es infinito". El infinito era un tema popular de estudio filosófico entre los matemáticos jainistas alrededor del año 400 a. C. Distinguían entre cinco tipos de infinito: infinito en una y dos direcciones, infinito en área, infinito en todas partes e infinito perpetuo. El símbolo se utiliza a menudo para representar una cantidad infinita.${\displaystyle {\text{∞}}}$

Aristóteles definió la noción occidental tradicional de infinito matemático. Distinguió entre infinito actual e infinito potencial , siendo el consenso general que sólo este último tenía valor verdadero. Las Dos nuevas ciencias de Galileo Galilei discutieron la idea de correspondencias biunívocas entre conjuntos infinitos. Pero el siguiente gran avance en la teoría lo realizó Georg Cantor ; en 1895 publicó un libro sobre su nueva teoría de conjuntos , introduciendo, entre otras cosas, los números transfinitos y formulando la hipótesis del continuo .

En la década de 1960, Abraham Robinson demostró cómo los números infinitamente grandes e infinitesimales pueden definirse rigurosamente y utilizarse para desarrollar el campo del análisis no estándar. El sistema de números hiperreales representa un método riguroso de tratamiento de las ideas sobre números infinitos e infinitesimales que habían sido utilizadas de manera informal por matemáticos, científicos e ingenieros desde la invención del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz .

Una versión geométrica moderna del infinito la proporciona la geometría proyectiva , que introduce "puntos ideales en el infinito", uno para cada dirección espacial. Se postula que cada familia de líneas paralelas en una dirección dada converge al punto ideal correspondiente. Esto está estrechamente relacionado con la idea de los puntos de fuga en el dibujo en perspectiva .

La primera referencia fugaz a las raíces cuadradas de números negativos se produjo en el trabajo del matemático e inventor Herón de Alejandría en el siglo I d.C. , cuando consideró el volumen de un tronco de pirámide imposible . Se hicieron más prominentes cuando en el siglo XVI matemáticos italianos como Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano descubrieron fórmulas cerradas para las raíces de polinomios de tercer y cuarto grado . Pronto se comprendió que estas fórmulas, incluso si uno solo estaba interesado en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos.

Esto era doblemente inquietante, ya que ni siquiera consideraban que los números negativos estuvieran en terreno firme en ese momento. Cuando René Descartes acuñó el término "imaginario" para estas cantidades en 1637, lo hizo con un sentido peyorativo. (Véase número imaginario para un análisis de la "realidad" de los números complejos). Otra fuente de confusión fue que la ecuación

${\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$

Parecía caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica.

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}$

que es válida para números reales positivos a y b , y también se utilizó en cálculos con números complejos con uno de a , b positivo y el otro negativo. El uso incorrecto de esta identidad y la identidad relacionada

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$

en el caso en que tanto a como b son negativos, incluso Euler se vio en apuros . ^[31] Esta dificultad finalmente lo llevó a la convención de usar el símbolo especial i en lugar de para protegerse contra este error.${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

En el siglo XVIII aparecieron los trabajos de Abraham de Moivre y Leonhard Euler . La fórmula de De Moivre (1730) establece:

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }$

Mientras que la fórmula de análisis complejo de Euler (1748) nos dio:

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.}$

La existencia de los números complejos no fue aceptada por completo hasta que Caspar Wessel describió su interpretación geométrica en 1799. Carl Friedrich Gauss la redescubrió y popularizó varios años después, y como resultado, la teoría de los números complejos recibió una notable expansión. Sin embargo, la idea de la representación gráfica de los números complejos había aparecido ya en 1685, en el De algebra tractatus de Wallis .

En el mismo año, Gauss proporcionó la primera prueba generalmente aceptada del teorema fundamental del álgebra , mostrando que cada polinomio sobre los números complejos tiene un conjunto completo de soluciones en ese ámbito. Gauss estudió los números complejos de la forma a + bi , donde a y b son números enteros (ahora llamados enteros gaussianos ) o números racionales. Su estudiante, Gotthold Eisenstein , estudió el tipo a + bω , donde ω es una raíz compleja de x ³ − 1 = 0 (ahora llamados enteros de Eisenstein ). Otras clases similares (llamadas campos ciclotómicos ) de números complejos derivan de las raíces de la unidad x ^k − 1 = 0 para valores más altos de k . Esta generalización se debe en gran parte a Ernst Kummer , quien también inventó los números ideales , que fueron expresados ​​como entidades geométricas por Felix Klein en 1893.

En 1850, Victor Alexandre Puiseux dio el paso clave de distinguir entre polos y puntos de ramificación e introdujo el concepto de puntos singulares esenciales . ^{[ aclaración necesaria ]} Esto eventualmente condujo al concepto de plano complejo extendido .

Los números primos han sido estudiados a lo largo de la historia. ^{[ cita requerida ]} Son números enteros positivos que son divisibles solo por 1 y por ellos mismos. Euclides dedicó un libro de los Elementos a la teoría de los números primos; en él demostró la infinitud de los primos y el teorema fundamental de la aritmética , y presentó el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor de dos números.

En el año 240 a. C., Eratóstenes utilizó la criba de Eratóstenes para aislar rápidamente los números primos. Pero la mayor parte del desarrollo posterior de la teoría de los números primos en Europa data del Renacimiento y épocas posteriores. ^{[ cita requerida ]}

En 1796, Adrien-Marie Legendre conjeturó el teorema de los números primos , que describe la distribución asintótica de los números primos. Otros resultados relacionados con la distribución de los números primos incluyen la prueba de Euler de que la suma de los recíprocos de los primos diverge, y la conjetura de Goldbach , que afirma que cualquier número par suficientemente grande es la suma de dos primos. Otra conjetura relacionada con la distribución de los números primos es la hipótesis de Riemann , formulada por Bernhard Riemann en 1859. El teorema de los números primos fue finalmente demostrado por Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin en 1896. Las conjeturas de Goldbach y Riemann siguen sin demostrarse ni refutar.

Los números se pueden clasificar en conjuntos , llamados conjuntos de números o sistemas de numeración , como los números naturales y los números reales . Los principales sistemas de numeración son los siguientes:

Principales sistemas numéricos

Símbolo	Nombre	Ejemplos/Explicación
${\displaystyle \mathbb {N} }$	Números naturales	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... o 1, 2, 3, 4, 5, ... ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$o se utilizan a veces.${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	Números enteros	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	Números racionales	⁠a/b⁠ donde a y b son números enteros y b no es 0
${\displaystyle \mathbb {R} }$	Números reales	El límite de una secuencia convergente de números racionales
${\displaystyle \mathbb {C} }$	Números complejos	a + bi donde a y b son números reales e i es una raíz cuadrada formal de −1

Cada uno de estos sistemas numéricos es un subconjunto del siguiente. Por ejemplo, un número racional también es un número real, y todo número real también es un número complejo. Esto se puede expresar simbólicamente como

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$.

Una lista más completa de conjuntos de números aparece en el siguiente diagrama.

Sistemas de numeración Complejo ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ Real ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ Racional ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ Entero ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ Natural ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ Cero : 0 Uno : 1 Números primos Números compuestos Números enteros negativos Fracción Decimal finito Diádico (binario finito) Decimal periódico Irracional Irracional algebraico Periodo irracional Trascendental Imaginario

Los números más familiares son los números naturales (a veces llamados números enteros o números de conteo): 1, 2, 3, etc. Tradicionalmente, la secuencia de números naturales comenzaba con 1 (0 ni siquiera se consideraba un número para los antiguos griegos ). Sin embargo, en el siglo XIX, los teóricos de conjuntos y otros matemáticos comenzaron a incluir 0 ( cardinalidad del conjunto vacío , es decir, 0 elementos, donde 0 es, por lo tanto, el número cardinal más pequeño ) en el conjunto de números naturales. ^{[32] [33]} Hoy en día, diferentes matemáticos usan el término para describir ambos conjuntos, incluido 0 o no. El símbolo matemático para el conjunto de todos los números naturales es N , también escrito , y a veces o cuando es necesario indicar si el conjunto debe comenzar con 0 o 1, respectivamente.${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$

En el sistema de numeración de base 10 , de uso casi universal en la actualidad para operaciones matemáticas, los símbolos de los números naturales se escriben utilizando diez dígitos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El radix o base es el número de dígitos numéricos únicos, incluido el cero, que un sistema de numeración utiliza para representar números (para el sistema decimal, el radix es 10). En este sistema de base 10, el dígito más a la derecha de un número natural tiene un valor posicional de 1, y cada otro dígito tiene un valor posicional diez veces mayor que el valor posicional del dígito a su derecha.

En la teoría de conjuntos , que es capaz de actuar como fundamento axiomático de las matemáticas modernas, ^[34] los números naturales pueden representarse mediante clases de conjuntos equivalentes. Por ejemplo, el número 3 puede representarse como la clase de todos los conjuntos que tienen exactamente tres elementos. Alternativamente, en la aritmética de Peano , el número 3 se representa como sss0, donde s es la función "sucesora" (es decir, 3 es el tercer sucesor de 0). Son posibles muchas representaciones diferentes; todo lo que se necesita para representar formalmente 3 es inscribir un cierto símbolo o patrón de símbolos tres veces.

El negativo de un entero positivo se define como un número que produce 0 cuando se suma al entero positivo correspondiente. Los números negativos se escriben generalmente con un signo negativo (un signo menos ). Como ejemplo, el negativo de 7 se escribe −7, y 7 + (−7) = 0. Cuando el conjunto de números negativos se combina con el conjunto de números naturales (incluido el 0), el resultado se define como el conjunto de números enteros , Z también se escribe . Aquí la letra Z proviene del alemán Zahl  'número'. El conjunto de números enteros forma un anillo con las operaciones de adición y multiplicación. ^[35]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los números naturales forman un subconjunto de los números enteros. Como no existe un estándar común para la inclusión o no del cero en los números naturales, los números naturales sin cero se denominan comúnmente enteros positivos y los números naturales con cero se denominan enteros no negativos .

Un número racional es un número que se puede expresar como una fracción con un numerador entero y un denominador entero positivo. Se permiten los denominadores negativos, pero se suelen evitar, ya que todo número racional es igual a una fracción con denominador positivo. Las fracciones se escriben como dos números enteros, el numerador y el denominador, con una barra divisoria entre ellos. La fracciónmetro/norte⁠ representa m partes de un todo dividido en n partes iguales. Dos fracciones diferentes pueden corresponder al mismo número racional; por ejemplo ⁠1/2⁠ y ⁠2/4⁠ son iguales, es decir:

${\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}.}$

En general,

${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$Si y sólo si${\displaystyle {a\times d}={c\times b}.}$

Si el valor absoluto de m es mayor que n (se supone que es positivo), entonces el valor absoluto de la fracción es mayor que 1. Las fracciones pueden ser mayores, menores o iguales a 1 y también pueden ser positivas, negativas o 0. El conjunto de todos los números racionales incluye los números enteros, ya que cada número entero se puede escribir como una fracción con denominador 1. Por ejemplo, −7 se puede escribir  ⁠-7/1⁠ . El símbolo de los números racionales es Q (de cociente ), también escrito .${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El símbolo de los números reales es R , también escrito como Incluyen todos los números de medida. Cada número real corresponde a un punto en la recta numérica . El siguiente párrafo se centrará principalmente en los números reales positivos. El tratamiento de los números reales negativos se realiza de acuerdo con las reglas generales de la aritmética y su denotación es simplemente anteponiendo el numeral positivo correspondiente con un signo menos , p. ej. −123,456.${\displaystyle \mathbb {R} .}$

La mayoría de los números reales solo se pueden aproximar mediante numeración decimal , en la que se coloca un punto decimal a la derecha del dígito con valor posicional 1. Cada dígito a la derecha del punto decimal tiene un valor posicional que es una décima parte del valor posicional del dígito a su izquierda. Por ejemplo, 123,456 representa ⁠123456/1000⁠ , o, en palabras, cien, dos decenas, tres unidades, cuatro décimas, cinco centésimas y seis milésimas. Un número real puede expresarse mediante un número finito de dígitos decimales solo si es racional y su parte fraccionaria tiene un denominador cuyos factores primos son 2 o 5 o ambos, porque estos son los factores primos de 10, la base del sistema decimal. Así, por ejemplo, un medio es 0,5, un quinto es 0,2, un décimo es 0,1 y un quincuagésimo es 0,02. Representar otros números reales como decimales requeriría una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal. Si esta secuencia infinita de dígitos sigue un patrón, puede escribirse con puntos suspensivos u otra notación que indique el patrón repetitivo. Un decimal de este tipo se llama decimal periódico . Así ⁠1/3⁠ se puede escribir como 0,333..., con puntos suspensivos para indicar que el patrón continúa. Los 3 que se repiten eternamente también se escriben como 0,3 . [ ^36]

Resulta que estos decimales periódicos (incluida la repetición de ceros ) denotan exactamente los números racionales, es decir, todos los números racionales son también números reales, pero no es el caso de que todo número real sea racional. Un número real que no es racional se llama irracional . Un número real irracional famoso es el π , el cociente de la circunferencia de cualquier círculo a su diámetro . Cuando pi se escribe como

${\displaystyle \pi =3.14159265358979\dots ,}$

Como sucede a veces, la elipsis no significa que los decimales se repitan (no lo hacen), sino que no tienen fin. Se ha demostrado que π es irracional . Otro número conocido, que se ha demostrado que es un número real irracional, es

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,}$

la raíz cuadrada de 2 , es decir, el único número real positivo cuyo cuadrado es 2. Ambos números han sido aproximados (por computadora) a billones (1 billón = 10 ¹² = 1,000,000,000,000) de dígitos.

No solo estos ejemplos destacados, sino casi todos los números reales son irracionales y, por lo tanto, no tienen patrones repetitivos y, por lo tanto, no tienen un numeral decimal correspondiente. Solo se pueden aproximar mediante numerales decimales, que denotan números reales redondeados o truncados . Cualquier número redondeado o truncado es necesariamente un número racional, del cual solo hay un número contable . Todas las mediciones son, por su naturaleza, aproximaciones y siempre tienen un margen de error . Por lo tanto, 123,456 se considera una aproximación de cualquier número real mayor o igual a ⁠1234555/10000⁠ y estrictamente menos de ⁠1234565/10000⁠ (redondeando a 3 decimales), o de cualquier número real mayor o igual a ⁠123456/1000⁠ y estrictamente menos de ⁠123457/1000⁠ (truncamiento después del 3. decimal). Los dígitos que sugieren una mayor precisión que la propia medición, deben eliminarse. Los dígitos restantes se denominan dígitos significativos . Por ejemplo, las mediciones con una regla rara vez se pueden realizar sin un margen de error de al menos 0,001 m . Si los lados de un rectángulo se miden como 1,23 m y 4,56 m, entonces la multiplicación da un área para el rectángulo entre 5,614591 m ² y 5,603011 m ² . Dado que ni siquiera se conserva el segundo dígito después del decimal, los dígitos siguientes no son significativos . Por lo tanto, el resultado generalmente se redondea a 5,61.

Así como una misma fracción puede escribirse de más de una forma, un mismo número real puede tener más de una representación decimal. Por ejemplo, 0,999... , 1,0, 1,00, 1,000, ..., todos representan al número natural 1. Un número real dado tiene únicamente las siguientes representaciones decimales: una aproximación a un número finito de decimales, una aproximación en la que se establece un patrón que continúa para un número ilimitado de decimales o un valor exacto con un número finito de decimales. En este último caso, el último dígito distinto de cero puede sustituirse por el dígito uno más pequeño seguido de un número ilimitado de nueves, o el último dígito distinto de cero puede ir seguido de un número ilimitado de ceros. Así, el número real exacto 3,74 también se puede escribir 3,7399999999... y 3,74000000000... De manera similar, un numeral decimal con un número ilimitado de 0 se puede reescribir eliminando los 0 a la derecha del dígito distinto de cero más a la derecha, y un numeral decimal con un número ilimitado de 9 se puede reescribir incrementando en uno el dígito más a la derecha menor que 9, y cambiando todos los 9 a la derecha de ese dígito por 0. Finalmente, se puede eliminar una secuencia ilimitada de 0 a la derecha de un decimal. Por ejemplo, 6,849999999999... = 6,85 y 6,850000000000... = 6,85. Por último, si todos los dígitos de un numeral son 0, el número es 0, y si todos los dígitos de un numeral son una cadena interminable de 9, puedes quitar los nueves a la derecha del decimal y agregar uno a la cadena de 9 a la izquierda del decimal. Por ejemplo, 99,999... = 100.

Los números reales también tienen una propiedad importante pero altamente técnica llamada propiedad del límite superior mínimo .

Se puede demostrar que cualquier cuerpo ordenado , que además sea completo , es isomorfo a los números reales. Sin embargo, los números reales no son un cuerpo algebraicamente cerrado , porque no incluyen una solución (a menudo llamada raíz cuadrada de menos uno ) a la ecuación algebraica .${\displaystyle x^{2}+1=0}$

Pasando a un nivel mayor de abstracción, los números reales pueden extenderse a los números complejos . Este conjunto de números surgió históricamente al intentar encontrar fórmulas cerradas para las raíces de polinomios cúbicos y cuadráticos . Esto condujo a expresiones que involucraban las raíces cuadradas de números negativos y, finalmente, a la definición de un nuevo número: una raíz cuadrada de −1, denotada por i , un símbolo asignado por Leonhard Euler y llamado la unidad imaginaria . Los números complejos consisten en todos los números de la forma

${\displaystyle \,a+bi}$

donde a y b son números reales. Por ello, los números complejos corresponden a puntos del plano complejo , un espacio vectorial de dos dimensiones reales . En la expresión a + bi , el número real a se denomina parte real y b se denomina parte imaginaria . Si la parte real de un número complejo es 0, entonces el número se denomina número imaginario o se dice que es puramente imaginario ; si la parte imaginaria es 0, entonces el número es un número real. Por tanto, los números reales son un subconjunto de los números complejos. Si las partes real e imaginaria de un número complejo son ambas enteras, entonces el número se denomina entero gaussiano . El símbolo de los números complejos es C o .${\displaystyle \mathbb {C} }$

El teorema fundamental del álgebra afirma que los números complejos forman un cuerpo algebraicamente cerrado , es decir, que todo polinomio con coeficientes complejos tiene una raíz en los números complejos. Al igual que los reales, los números complejos forman un cuerpo , que es completo , pero a diferencia de los números reales, no está ordenado . Es decir, no hay un significado consistente asignable a decir que i es mayor que 1, ni hay ningún significado en decir que i es menor que 1. En términos técnicos, los números complejos carecen de un orden total que sea compatible con las operaciones de cuerpo .

Un número par es un entero que es "divisible de manera uniforme" por dos, es decir, divisible por dos sin resto ; un número impar es un entero que no es par. (El término antiguo "divisible de manera uniforme" ahora casi siempre se abrevia como " divisible "). Cualquier número impar n puede construirse mediante la fórmula n = 2 k + 1, para un entero adecuado k . Comenzando con k = 0, los primeros números impares no negativos son {1, 3, 5, 7, ...}. Cualquier número par m tiene la forma m = 2 k donde k es nuevamente un entero . De manera similar, los primeros números pares no negativos son {0, 2, 4, 6, ...}.

Un número primo , a menudo abreviado simplemente como primo , es un entero mayor que 1 que no es el producto de dos enteros positivos más pequeños. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7 y 11. No existe una fórmula tan simple como para que los números pares e impares generen los números primos. Los primos han sido ampliamente estudiados durante más de 2000 años y han dado lugar a muchas preguntas, de las cuales solo algunas han sido respondidas. El estudio de estas preguntas pertenece a la teoría de números . La conjetura de Goldbach es un ejemplo de una pregunta aún sin respuesta: "¿Es todo número par la suma de dos primos?"

Se confirmó una pregunta respondida sobre si todo entero mayor que uno es producto de primos de una sola manera, excepto por un reordenamiento de los primos; esta afirmación probada se llama teorema fundamental de la aritmética . Una prueba aparece en los Elementos de Euclides .

Muchos subconjuntos de los números naturales han sido objeto de estudios específicos y han recibido nombres, a menudo en honor al primer matemático que los estudió. Ejemplos de estos conjuntos de números enteros son los números de Fibonacci y los números perfectos . Para más ejemplos, véase Sucesión de números enteros .

Los números algebraicos son aquellos que son solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. Los números reales que no son racionales se denominan números irracionales . Los números complejos que no son algebraicos se denominan números trascendentales . Los números algebraicos que son solución de una ecuación polinómica mónica con coeficientes enteros se denominan números enteros algebraicos .

Un período es un número complejo que puede expresarse como una integral de una función algebraica sobre un dominio algebraico . Los períodos son una clase de números que incluye, junto con los números algebraicos, muchas constantes matemáticas bien conocidas como el número π . El conjunto de períodos forma un anillo contable y cierra la brecha entre los números algebraicos y los trascendentales. ^{[37] [38]}

Los períodos se pueden extender permitiendo que el integrando sea el producto de una función algebraica y la exponencial de una función algebraica. Esto da otro anillo contable: los períodos exponenciales. El número e, así como la constante de Euler, son períodos exponenciales. ^{[37] [39]}

Motivados por los problemas clásicos de construcciones con regla y compás , los números construibles son aquellos números complejos cuyas partes reales e imaginarias pueden construirse utilizando regla y compás, a partir de un segmento dado de longitud unitaria, en un número finito de pasos.

Un número computable , también conocido como número recursivo , es un número real tal que existe un algoritmo que, dado un número positivo n como entrada, produce los primeros n dígitos de la representación decimal del número computable. Se pueden dar definiciones equivalentes utilizando funciones μ-recursivas , máquinas de Turing o λ-cálculo . Los números computables son estables para todas las operaciones aritméticas habituales, incluido el cálculo de las raíces de un polinomio , y por lo tanto forman un cuerpo real cerrado que contiene los números algebraicos reales .

Los números computables pueden considerarse como los números reales que pueden representarse exactamente en una computadora: un número computable se representa exactamente por sus primeros dígitos y un programa para calcular los dígitos posteriores. Sin embargo, los números computables rara vez se utilizan en la práctica. Una razón es que no existe un algoritmo para probar la igualdad de dos números computables. Más precisamente, no puede existir ningún algoritmo que tome cualquier número computable como entrada y decida en cada caso si este número es igual a cero o no.

El conjunto de números computables tiene la misma cardinalidad que los números naturales. Por lo tanto, casi todos los números reales son no computables. Sin embargo, es muy difícil producir explícitamente un número real que no sea computable.

Los números p -ádicos pueden tener expansiones infinitamente largas a la izquierda del punto decimal, de la misma manera que los números reales pueden tener expansiones infinitamente largas a la derecha. El sistema numérico resultante depende de la base que se use para los dígitos: cualquier base es posible, pero una base de números primos proporciona las mejores propiedades matemáticas. El conjunto de los números p -ádicos contiene los números racionales, pero no está contenido en los números complejos.

Los elementos de un campo de funciones algebraicas sobre un campo finito y los números algebraicos tienen muchas propiedades similares (véase Analogía de campo de funciones ). Por lo tanto, los teóricos de números los consideran a menudo números. Los números p -ádicos desempeñan un papel importante en esta analogía.

Algunos sistemas de numeración que no están incluidos en los números complejos pueden construirse a partir de los números reales de forma que generalicen la construcción de los números complejos. A veces se denominan números hipercomplejos . Entre ellos se incluyen los cuaterniones , introducidos por Sir William Rowan Hamilton , en los que la multiplicación no es conmutativa , los octoniones , en los que la multiplicación no es asociativa además de no ser conmutativa, y los sedeniones , en los que la multiplicación no es alternativa , ni asociativa ni conmutativa. Los números hipercomplejos incluyen una unidad real junto con unidades imaginarias, para las que n es un entero no negativo. Por ejemplo, los cuaterniones pueden representarse generalmente utilizando la forma${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle 2^{n}-1}$

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

donde los coeficientes a , b , c , d son números reales, e i , j , k son 3 unidades imaginarias diferentes.

Cada sistema de números hipercomplejos es un subconjunto del siguiente sistema de números hipercomplejos de doble dimensión obtenido mediante la construcción de Cayley–Dickson . Por ejemplo, los cuaterniones de 4 dimensiones son un subconjunto de los cuaterniones de 8 dimensiones , que a su vez son un subconjunto de los sedeniones de 16 dimensiones , a su vez un subconjunto de los trigintaduoniones de 32 dimensiones , y así sucesivamente con las dimensiones, siendo n cualquier entero no negativo. Incluyendo los números complejos y reales y sus subconjuntos, esto se puede expresar simbólicamente como:${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {O} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots }$

Alternativamente, a partir de los números reales , que tienen cero unidades complejas, esto se puede expresar como${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}\subset {\mathcal {C}}_{1}\subset {\mathcal {C}}_{2}\subset {\mathcal {C}}_{3}\subset {\mathcal {C}}_{4}\subset {\mathcal {C}}_{5}\subset \cdots \subset C_{n}}$

con dimensiones contenedoras . ^[40]${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$

Para tratar con conjuntos infinitos , los números naturales se han generalizado a los números ordinales y a los números cardinales . Los primeros dan el orden del conjunto, mientras que los segundos dan su tamaño. Para los conjuntos finitos, tanto los números ordinales como los cardinales se identifican con los números naturales. En el caso infinito, muchos números ordinales corresponden al mismo número cardinal.

Los números hiperreales se utilizan en el análisis no estándar . Los hiperreales, o reales no estándar (generalmente denotados como * R ), denotan un cuerpo ordenado que es una extensión propia del cuerpo ordenado de números reales R y satisface el principio de transferencia . Este principio permite que las afirmaciones verdaderas de primer orden sobre R se reinterpreten como afirmaciones verdaderas de primer orden sobre * R .

Los números superreales y surrealistas extienden los números reales sumando números infinitesimalmente pequeños y números infinitamente grandes, pero aún así forman campos .

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