Función analítica

Análisis matemático → Análisis complejo
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En matemáticas , una función analítica es una función que está dada localmente por una serie de potencias convergentes . Existen funciones analíticas reales y funciones analíticas complejas . Las funciones de cada tipo son infinitamente diferenciables , pero las funciones analíticas complejas presentan propiedades que generalmente no se cumplen para las funciones analíticas reales.

Una función es analítica si y solo si su serie de Taylor converge a la función en algún entorno para cada en su dominio . Es un entorno y no solo en algún punto , ^{[ cita requerida ]} ya que cada función diferenciable tiene al menos una línea tangente en cada punto, que es su serie de Taylor de orden 1. Por lo tanto, tener una expansión polinómica en puntos singulares no es suficiente, y la serie de Taylor también debe converger a la función en puntos adyacentes a para ser considerada una función analítica. Como contraejemplo, véase la función de Weierstrass o la función de Fabius .${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

Formalmente, una función es analítica real en un conjunto abierto en la recta real si para cualquiera se puede escribir${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle x_{0}\in D}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$

en el que los coeficientes son números reales y la serie es convergente a para en un entorno de .${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$

Alternativamente, una función analítica real es una función infinitamente diferenciable tal que la serie de Taylor en cualquier punto de su dominio${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

converge a para en un entorno de . [ ^a] El conjunto de todas las funciones analíticas reales en un conjunto dado a menudo se denota por , o simplemente por si se entiende el dominio.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\,\omega }(D)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\,\omega }}$

Una función definida en algún subconjunto de la recta real se dice que es analítica real en un punto si existe un entorno de en el que es analítica real.${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

La definición de una función analítica compleja se obtiene reemplazando, en las definiciones anteriores, "real" por "compleja" y "línea real" por "plano complejo". Una función es analítica compleja si y solo si es holomorfa , es decir, es compleja diferenciable. Por esta razón, los términos "holomorfa" y "analítica" se usan a menudo indistintamente para tales funciones. ^[1]

Ejemplos típicos de funciones analíticas son

• Las siguientes funciones elementales :
  • Todos los polinomios : si un polinomio tiene grado n , todos los términos de grado mayor que n en su desarrollo en serie de Taylor deben anularse inmediatamente a 0, por lo que esta serie será trivialmente convergente. Además, cada polinomio es su propia serie de Maclaurin .
  • La función exponencial es analítica. Cualquier serie de Taylor para esta función converge no solo para valores x suficientemente cercanos a x ₀ (como en la definición), sino para todos los valores de x (reales o complejos).
  • Las funciones trigonométricas , logaritmo y funciones potencia son analíticas en cualquier conjunto abierto de su dominio.
• La mayoría de las funciones especiales (al menos en algún rango del plano complejo):
  • funciones hipergeométricas
  • Funciones de Bessel
  • funciones gamma

Ejemplos típicos de funciones que no son analíticas son

• La función de valor absoluto cuando se define en el conjunto de números reales o números complejos no es analítica en todas partes porque no es diferenciable en 0.
• Las funciones definidas por partes (funciones dadas por diferentes fórmulas en diferentes regiones) normalmente no son analíticas donde se unen las partes.
• La función conjugada compleja z  → z * no es analítica compleja, aunque su restricción a la recta real es la función identidad y por tanto analítica real, y es analítica real como función de a .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Otras funciones suaves no analíticas , y en particular cualquier función suave con soporte compacto, es decir , no pueden ser analíticas en . ^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle f}$es un análisis real sobre un conjunto abierto .${\displaystyle D}$
2. Existe una extensión analítica compleja de a un conjunto abierto que contiene .${\displaystyle f}$${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle D}$
3. ${\displaystyle f}$es suave y para cada conjunto compacto existe una constante tal que para cada entero no negativo se cumple el siguiente límite ^[3]${\displaystyle K\subset D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq C^{k+1}k!}$$

Las funciones analíticas complejas son exactamente equivalentes a las funciones holomorfas y, por lo tanto, se caracterizan mucho más fácilmente.

Para el caso de una función analítica con varias variables (ver más abajo), la analiticidad real se puede caracterizar utilizando la transformada de Fourier–Bros–Iagolnitzer .

En el caso multivariable, las funciones analíticas reales satisfacen una generalización directa de la tercera caracterización. ^[4] Sea un conjunto abierto, y sea . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$

Entonces, la analítica real es si y sólo si y para cada compacto existe una constante tal que para cada multiíndice se cumple el siguiente límite ^[5]${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{n}}$

${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right|\leq C^{|\alpha |+1}\alpha !}$

• Las sumas, productos y composiciones de funciones analíticas son analíticas.
• El recíproco de una función analítica que no es cero en ningún lugar es analítico, como lo es la inversa de una función analítica invertible cuya derivada no es cero en ningún lugar. (Véase también el teorema de inversión de Lagrange .)
• Toda función analítica es suave , es decir, infinitamente diferenciable. La inversa no es cierta para las funciones reales; de hecho, en cierto sentido, las funciones analíticas reales son dispersas en comparación con todas las funciones reales infinitamente diferenciables. Para los números complejos, la inversa sí se cumple y, de hecho, cualquier función diferenciable una vez en un conjunto abierto es analítica en ese conjunto (véase "analiticidad y diferenciabilidad" más adelante).
• Para cualquier conjunto abierto , el conjunto A (Ω) de todas las funciones analíticas es un espacio de Fréchet respecto de la convergencia uniforme sobre conjuntos compactos. El hecho de que los límites uniformes sobre conjuntos compactos de funciones analíticas sean analíticos es una consecuencia fácil del teorema de Morera . El conjunto de todas las funciones analíticas acotadas con la norma suprema es un espacio de Banach .${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {C} }$${\displaystyle A_{\infty }(\Omega )}$

Un polinomio no puede ser cero en demasiados puntos a menos que sea el polinomio cero (más precisamente, el número de ceros es como máximo el grado del polinomio). Una afirmación similar pero más débil se aplica a las funciones analíticas. Si el conjunto de ceros de una función analítica ƒ tiene un punto de acumulación dentro de su dominio , entonces ƒ es cero en todas partes en el componente conexo que contiene el punto de acumulación. En otras palabras, si ( r _n ) es una secuencia de números distintos tales que ƒ( r _n ) = 0 para todo n y esta secuencia converge a un punto r en el dominio de D , entonces ƒ es idénticamente cero en el componente conexo de D que contiene r . Esto se conoce como el teorema de la identidad .

Además, si todas las derivadas de una función analítica en un punto son cero, la función es constante en el componente conexo correspondiente.

Estas afirmaciones implican que, si bien las funciones analíticas tienen más grados de libertad que los polinomios, siguen siendo bastante rígidas.

Como se señaló anteriormente, cualquier función analítica (real o compleja) es infinitamente diferenciable (también conocida como suave o ). (Tenga en cuenta que esta diferenciabilidad se refiere a variables reales; compare las derivadas complejas a continuación). Existen funciones reales suaves que no son analíticas: consulte función suave no analítica . De hecho, existen muchas funciones de este tipo.${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

La situación es muy diferente cuando se consideran funciones analíticas complejas y derivadas complejas. Se puede demostrar que cualquier función compleja diferenciable (en el sentido complejo) en un conjunto abierto es analítica . En consecuencia, en el análisis complejo , el término función analítica es sinónimo de función holomorfa .

Las funciones analíticas reales y complejas tienen diferencias importantes (que se pueden notar incluso en su diferente relación con la diferenciabilidad). La analiticidad de las funciones complejas es una propiedad más restrictiva, ya que tiene condiciones necesarias más restrictivas y las funciones analíticas complejas tienen más estructura que sus contrapartes de línea real. ^[6]

Según el teorema de Liouville , cualquier función analítica compleja acotada definida en todo el plano complejo es constante. La afirmación correspondiente para funciones analíticas reales, con el plano complejo reemplazado por la recta real, es claramente falsa; esto se ilustra mediante

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$

Además, si una función analítica compleja se define en una bola abierta alrededor de un punto x ₀ , su desarrollo en serie de potencias en x ₀ es convergente en toda la bola abierta ( las funciones holomorfas son analíticas ). Esta afirmación para funciones analíticas reales (donde bola abierta significa un intervalo abierto de la línea real en lugar de un disco abierto del plano complejo) no es cierta en general; la función del ejemplo anterior da un ejemplo para x ₀  = 0 y una bola de radio superior a 1, ya que la serie de potencias 1 − x ² + x ⁴ − x ⁶ ... diverge para | x | ≥ 1.

Cualquier función analítica real sobre algún conjunto abierto en la recta real puede extenderse a una función analítica compleja sobre algún conjunto abierto del plano complejo. Sin embargo, no toda función analítica real definida sobre toda la recta real puede extenderse a una función compleja definida sobre todo el plano complejo. La función ƒ( x ) definida en el párrafo anterior es un contraejemplo, ya que no está definida para x  = ± i . Esto explica por qué la serie de Taylor de ƒ( x ) diverge para | x | > 1, es decir, el radio de convergencia es 1 porque la función complejizada tiene un polo a una distancia 1 del punto de evaluación 0 y no tiene más polos dentro del disco abierto de radio 1 alrededor del punto de evaluación.

Se pueden definir funciones analíticas de varias variables mediante series de potencias en esas variables (véase series de potencias ). Las funciones analíticas de varias variables tienen algunas de las mismas propiedades que las funciones analíticas de una variable. Sin embargo, especialmente en el caso de funciones analíticas complejas, aparecen fenómenos nuevos e interesantes en dos o más dimensiones complejas:

• Los conjuntos cero de funciones analíticas complejas en más de una variable nunca son discretos . Esto se puede demostrar mediante el teorema de extensión de Hartog .
• Los dominios de holomorfía para funciones univaluadas consisten en conjuntos abiertos arbitrarios (conexos). Sin embargo, en varias variables complejas, solo algunos conjuntos abiertos conexos son dominios de holomorfía. La caracterización de los dominios de holomorfía conduce al concepto de pseudoconvexidad .

• Ecuaciones de Cauchy-Riemann
• Función holomorfa
• Teorema de Paley-Wiener
• Función cuasi-analítica
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Función suave no analítica

• Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja I. Textos de posgrado en matemáticas 11 (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Krantz, Steven ; Parks, Harold R. (2002). Introducción a las funciones analíticas reales (2.ª ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4264-1.

• "Función analítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Función analítica". MathWorld .
• Solucionador de todos los ceros de una función analítica compleja que se encuentran dentro de una región rectangular por Ivan B. Ivanov