Funciones especiales

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Las funciones especiales son funciones matemáticas particulares que tienen nombres y notaciones más o menos establecidos debido a su importancia en el análisis matemático , análisis funcional , geometría , física u otras aplicaciones.

El término está definido por consenso y, por lo tanto, carece de una definición formal general, pero la lista de funciones matemáticas contiene funciones que se aceptan comúnmente como especiales.

Muchas funciones especiales aparecen como soluciones de ecuaciones diferenciales o integrales de funciones elementales . Por lo tanto, las tablas de integrales ^[1] suelen incluir descripciones de funciones especiales, y las tablas de funciones especiales ^[2] incluyen las integrales más importantes; al menos, la representación integral de funciones especiales. Debido a que las simetrías de las ecuaciones diferenciales son esenciales tanto para la física como para las matemáticas, la teoría de funciones especiales está estrechamente relacionada con la teoría de los grupos de Lie y las álgebras de Lie , así como con ciertos temas de física matemática .

Los motores de cálculo simbólico generalmente reconocen la mayoría de funciones especiales.

Las funciones con notaciones internacionales establecidas son el seno ( ), el coseno ( ), la función exponencial ( ) y la función de error ( o ).${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle \exp }$${\displaystyle \operatorname {erf} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} }$

Algunas funciones especiales tienen varias notaciones:

• El logaritmo natural se puede denotar como , , , o dependiendo del contexto.${\displaystyle \ln }$${\displaystyle \log }$${\displaystyle \log _{e}}$${\displaystyle \operatorname {Log} }$
• La función tangente ^{[ ancla rota ]} puede denotarse como , , o (usada en varios idiomas europeos).${\displaystyle \tan }$${\displaystyle \operatorname {Tan} }$${\displaystyle \operatorname {tg} }$
• El arcotangente puede denotarse como , , , o .${\displaystyle \arctan }$${\displaystyle \operatorname {atan} }$${\displaystyle \operatorname {arctg} }$${\displaystyle \tan ^{-1}}$
• Las funciones de Bessel pueden denotarse
  • ${\displaystyle J_{n}(x),}$
  • ${\displaystyle \operatorname {besselj} (n,x),}$
  • ${\displaystyle {\rm {BesselJ}}[n,x].}$

Los subíndices se utilizan a menudo para indicar argumentos, normalmente números enteros. En algunos casos, se utiliza el punto y coma (;) o incluso la barra invertida (\) como separador de argumentos. Esto puede confundir la traducción a lenguajes algorítmicos.

Los superíndices pueden indicar no solo una potencia (exponente), sino también alguna otra modificación de la función. Algunos ejemplos (en particular, con funciones trigonométricas e hiperbólicas ) son:

• ${\displaystyle \cos ^{3}(x)}$Generalmente significa${\displaystyle (\cos(x))^{3}}$
• ${\displaystyle \cos ^{2}(x)}$es típicamente , pero nunca${\displaystyle (\cos(x))^{2}}$${\displaystyle \cos(\cos(x))}$
• ${\displaystyle \cos ^{-1}(x)}$generalmente significa , no ; esto puede causar confusión, ya que el significado de este superíndice es inconsistente con los demás.${\displaystyle \arccos(x)}$${\displaystyle (\cos(x))^{-1}}$

La mayoría de las funciones especiales se consideran como una función de una variable compleja . Son analíticas ; se describen las singularidades y cortes; se conocen las representaciones diferenciales e integrales y se dispone de la expansión a la serie de Taylor o serie asintótica . Además, a veces existen relaciones con otras funciones especiales; una función especial complicada puede expresarse en términos de funciones más simples. Se pueden utilizar varias representaciones para la evaluación; la forma más sencilla de evaluar una función es expandirla en una serie de Taylor. Sin embargo, dicha representación puede converger lentamente o no converger en absoluto. En los lenguajes algorítmicos, se utilizan típicamente aproximaciones racionales , aunque pueden comportarse mal en el caso de argumentos complejos.

Si bien la trigonometría y las funciones exponenciales se sistematizaron y unificaron en el siglo XVIII, la búsqueda de una teoría completa y unificada de las funciones especiales ha continuado desde el siglo XIX. El punto culminante de la teoría de funciones especiales en 1800-1900 fue la teoría de las funciones elípticas ; tratados que eran esencialmente completos, como el de Tannery y Molk , ^[3] expusieron todas las identidades básicas de la teoría utilizando técnicas de la teoría analítica de funciones (basada en el análisis complejo ). El final del siglo también vio una discusión muy detallada de los armónicos esféricos .

Mientras que los matemáticos puros buscaban una teoría amplia que derivara la mayor cantidad posible de funciones especiales conocidas a partir de un principio único, durante mucho tiempo las funciones especiales fueron el campo de las matemáticas aplicadas . Las aplicaciones a las ciencias físicas y la ingeniería determinaron la importancia relativa de las funciones. Antes de la computación electrónica , la importancia de una función especial se afirmaba mediante el laborioso cálculo de tablas extendidas de valores para una fácil búsqueda , como las conocidas tablas de logaritmos . ( La máquina diferencial de Babbage fue un intento de calcular dichas tablas). Para este propósito, las principales técnicas son:

• análisis numérico , el descubrimiento de series infinitas u otras expresiones analíticas que permitan un cálculo rápido; y
• reducción de tantas funciones como sea posible a la función dada.

Otras cuestiones teóricas incluyen: análisis asintótico ; continuación analítica y monodromía en el plano complejo ; y principios de simetría y otras ecuaciones estructurales.

El siglo XX fue testigo de varias oleadas de interés en la teoría de funciones especiales. El clásico libro de texto de Whittaker y Watson (1902) ^[4] intentó unificar la teoría mediante el análisis complejo; el libro de GN Watson Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel llevó las técnicas lo más lejos posible para un tipo importante, incluidos los resultados asintóticos.

El posterior Proyecto del Manuscrito Bateman , bajo la dirección de Arthur Erdélyi , intentó ser enciclopédico y surgió en una época en la que el cálculo electrónico estaba cobrando importancia y la tabulación había dejado de ser el tema principal.

La teoría moderna de polinomios ortogonales tiene un alcance definido pero limitado. Las series hipergeométricas , observadas por Felix Klein como importantes en astronomía y física matemática , ^[5] se convirtieron en una teoría intrincada, que requirió una ordenación conceptual posterior. Las representaciones de grupos de Lie dan una generalización inmediata de funciones esféricas ; a partir de 1950, partes sustanciales de la teoría clásica fueron reformuladas en términos de grupos de Lie. Además, el trabajo sobre combinatoria algebraica también reavivó el interés en partes más antiguas de la teoría. Las conjeturas de Ian G. Macdonald ayudaron a abrir nuevos campos grandes y activos con un sabor a función especial. Las ecuaciones en diferencias han comenzado a tomar su lugar junto a las ecuaciones diferenciales como una fuente de funciones especiales.

En teoría de números , se han estudiado tradicionalmente ciertas funciones especiales, como las series particulares de Dirichlet y las formas modulares . En ellas se reflejan casi todos los aspectos de la teoría de funciones especiales, así como algunos nuevos, como los surgidos de la monstruosa teoría de la luz de la luna.

Se han definido análogos de varias funciones especiales en el espacio de matrices definidas positivas , entre ellas la función potencia que se remonta a Atle Selberg , ^[6] la función gamma multivariada , ^[7] y tipos de funciones de Bessel . ^[8]

La Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST tiene una sección que cubre varias funciones especiales de argumentos matriciales. ^[9]

• Lista de funciones matemáticas
• Lista de funciones especiales y epónimos
• Función elemental

• Andrews, George E. ; Askey, Richard ; Roy, Ranjan (1999). Funciones especiales . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 71. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-62321-6.Señor 1688958  .
• Terras, Audrey (2016). Análisis armónico en espacios simétricos: espacios de rango superior, espacio matricial definido positivo y generalizaciones (segunda edición). Springer Nature . ISBN 978-1-4939-3406-5.Señor 3496932  .
• Whittaker, ET; Watson, GN (13 de septiembre de 1996). Un curso de análisis moderno . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2 . 
• NN Levedev (traducido y editado por Richard A. Sliverman): Funciones especiales y sus aplicaciones , DOVER, ISBN 978-0-486-60624-8 (1972). # Publicado originalmente en Prentice-Hall Inc. (1965).
• Nico M. Temme: Funciones especiales: una introducción a las funciones clásicas de la física matemática , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11313-1 (1996).
• Yury A. Brychkov: Manual de funciones especiales: derivadas, integrales, series y otras fórmulas , CRC Press, ISBN 978-1-58488-956-4 (2008).
• WW Bell: Funciones especiales: para científicos e ingenieros , Dover, ISBN 978-0-486-43521-3 (2004).

• Shanjie Zhang y Jian-Ming Jin: Cálculo de funciones especiales , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11963-0 (1996).
• William J. Thompson: Atlas para calcular funciones matemáticas: una guía ilustrada para profesionales; con programas en Fortran 90 y Mathematica , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-18171-2 (1997).
• Amparo Gil, Javier Segura y Nico M. Temme: Métodos numéricos para funciones especiales , SIAM, ISBN 978-0-898716-34-4 (2007).

• Instituto Nacional de Estándares y Tecnología , Departamento de Comercio de los Estados Unidos. Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST. Archivado desde el original el 13 de diciembre de 2018.
• Weisstein, Eric W. "Función especial". MathWorld .
• Calculadora en línea, Calculadora científica en línea con más de 100 funciones (>=32 dígitos, muchas complejas) (idioma alemán)
• Funciones especiales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas
• Funciones especiales y polinomios por Gerard 't Hooft y Stefan Nobbenhuis (8 de abril de 2013)
• Métodos numéricos para funciones especiales, por A. Gil, J. Segura, NM Temme (2007).
• R. Jagannathan, (P,Q)-Funciones especiales
• Funciones especialeswiki