Modelo de Stoner-Wohlfarth

En electromagnetismo , el modelo de Stoner-Wohlfarth es un modelo ampliamente utilizado para la magnetización de ferroimanes con un solo dominio . ^[1] Es un ejemplo simple de histéresis magnética y es útil para modelar pequeñas partículas magnéticas en almacenamiento magnético , biomagnetismo , magnetismo de rocas y paleomagnetismo .

El modelo de Stoner-Wohlfarth fue desarrollado por Edmund Clifton Stoner y Erich Peter Wohlfarth y publicado en 1948. ^[1] Incluía un cálculo numérico de la respuesta integrada de imanes orientados aleatoriamente. Como esto se hizo antes de que las computadoras estuvieran ampliamente disponibles, recurrieron a tablas trigonométricas y cálculos manuales.

En el modelo de Stoner-Wohlfarth, la magnetización no varía dentro del ferroimán y se representa mediante un vector M . Este vector gira a medida que cambia el campo magnético H. El campo magnético solo varía a lo largo de un único eje; su valor escalar h es positivo en una dirección y negativo en la dirección opuesta. Se supone que el ferroimán tiene una anisotropía magnética uniaxial con parámetro de anisotropía K _u . A medida que varía el campo magnético, la magnetización se restringe al plano que contiene la dirección del campo magnético y el eje fácil . Por lo tanto, se puede representar mediante un único ángulo φ , el ángulo entre la magnetización y el campo (Figura 1). También se especifica el ángulo θ entre el campo y el eje fácil.

La energía del sistema es

${\displaystyle E=K_{u}V\sin ^{2}\left(\varphi -\theta \right)-\mu _{0}M_{s}VH\cos \varphi ,\,}$

( 1 )

donde V es el volumen del imán, M _s es la magnetización de saturación y μ ₀ es la permeabilidad al vacío . El primer término es la anisotropía magnética y el segundo la energía de acoplamiento con el campo aplicado (a menudo llamada energía Zeeman).

Stoner y Wohlfarth normalizaron esta ecuación:

${\displaystyle \eta ={\frac {E}{2K_{u}V}}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}\cos \left(2\left(\varphi -\theta \right)\right)-h\cos \varphi ,\,}$

( 2 )

donde h = μ ₀ M _s H /2 K _u . Una dirección de magnetización dada está en equilibrio mecánico si las fuerzas que actúan sobre ella son cero. Esto ocurre cuando la primera derivada de la energía con respecto a la dirección de magnetización es cero:

${\displaystyle {\frac {\parcial \eta }{\parcial \varphi }}={\frac {1}{2}}\sin \left(2\left(\varphi -\theta \right)\right)+h\sin \varphi =0.\,}$

( 3 )

Esta dirección es estable frente a perturbaciones cuando está en un mínimo de energía, teniendo una segunda derivada positiva:

${\displaystyle {\frac {\parcial ^{2}\eta }{\parcial \varphi ^{2}}}=\cos \left(2\left(\varphi -\theta \right)\right)+h\cos \varphi >0.\,}$

( 4 )

En un campo cero, el término de anisotropía magnética se minimiza cuando la magnetización está alineada con el eje fácil. En un campo grande, la magnetización apunta hacia el campo. ^[1]

Para cada ángulo θ entre el eje de fácil aproximación y el campo, la ecuación ( 3 ) tiene una solución que consta de dos curvas solución. Es fácil resolver estas curvas variando φ y despejando h . Hay una curva para φ entre 0 y π y otra para φ entre π y 2 π ; las soluciones en φ = 0 y π corresponden a h = ±∞ . ^[1]

Como la magnetización en la dirección del campo es M _s cos φ , estas curvas se suelen representar en la forma normalizada m _h vs. h , donde m _h = cos φ es el componente de magnetización en la dirección del campo. En la Figura 2 se muestra un ejemplo. Las curvas sólidas roja y azul conectan direcciones de magnetización estables. Para campos −1/2 ≤ h ≤ 1/2 , las dos curvas se superponen y hay dos direcciones estables. Esta es la región donde se produce la histéresis . Se incluyen tres perfiles de energía (recuadros). Las estrellas rojas y azules son las direcciones de magnetización estable, que corresponden a los mínimos de energía. Donde las líneas discontinuas verticales intersecan las líneas discontinuas rojas y azules, las direcciones de magnetización son máximos de energía y determinan las barreras de energía entre estados. ^[1]

En una medición de histéresis magnética ordinaria, h comienza en un valor positivo grande y disminuye a un valor negativo grande. La dirección de magnetización comienza en la curva azul. En h = 0,5 aparece la curva roja, pero para h > 0 el estado azul tiene una energía más baja porque está más cerca de la dirección del campo magnético. Cuando el campo se vuelve negativo, el estado rojo tiene la energía más baja, pero la magnetización no puede saltar inmediatamente a esta nueva dirección porque hay una barrera de energía en el medio (ver los recuadros). En h = −0,5 , sin embargo, la barrera de energía desaparece, y en campos más negativos el estado azul ya no existe. Por lo tanto, debe saltar al estado rojo. Después de este salto, la magnetización permanece en la curva roja hasta que el campo aumenta más allá de h = 0,5 , donde salta a la curva azul. Por lo general, solo se traza el bucle de histéresis; los máximos de energía solo son de interés si se calcula el efecto de las fluctuaciones térmicas . ^[1]

El modelo de Stoner-Wohlfarth es un ejemplo clásico de histéresis magnética. El bucle es simétrico (por una rotación de 180 ^{° ) respecto del origen y los saltos se producen en} h = ± h _s , donde h _s se conoce como el campo de conmutación . Toda la histéresis se produce en ± h _s .

La forma del bucle de histéresis tiene una fuerte dependencia del ángulo entre el campo magnético y el eje fácil (Figura 3). Si los dos son paralelos ( θ = 0 ), el bucle de histéresis es más grande (con m _h = h _s = 1 en unidades normalizadas). La magnetización comienza paralela al campo y no gira hasta que se vuelve inestable y salta a la dirección opuesta. En general, cuanto mayor es el ángulo, más rotación reversible ocurre. En el otro extremo de θ = 90 ^° , con el campo perpendicular al eje fácil, no ocurre ningún salto. La magnetización gira continuamente de una dirección a la otra (aunque tiene dos opciones de dirección de rotación).

Para un ángulo dado θ , el campo de conmutación es el punto donde la solución cambia de un mínimo de energía (∂ ² η /∂ φ ² > 0) a un máximo de energía (∂ ² η /∂ φ ² < 0) . Por lo tanto, se puede calcular directamente resolviendo la ecuación ( 3 ) junto con ∂ ² η /∂ φ ² = 0 . La solución es

${\displaystyle h_{s}={\frac {\left(1-t^{2}+t^{4}\right)^{1/2}}{1+t^{2}}},\,}$

( 5 )

dónde

${\displaystyle t=\tan ^{1/3}\theta .\,}$

( 6 )

En unidades normalizadas, 0,5 ≤ h _s ≤ 1 . ^[1]

Una forma alternativa de representar la solución del campo de conmutación es dividir el campo vectorial h en un componente h _|| = h cos θ que es paralelo al eje fácil, y un componente h _⊥ = h sen θ que es perpendicular. Entonces

${\displaystyle h_{\paralelo}^{2/3}+h_{\perp}^{2/3}=1.\,}$

( 7 )

Si se representan gráficamente los componentes entre sí, el resultado es un astroide de Stoner-Wohlfarth . Se puede calcular un bucle de histéresis magnética aplicando una construcción geométrica a este astroide. ^[2]

Stoner y Wohlfarth calcularon el bucle de histéresis principal para un sistema isótropo de partículas idénticas orientadas aleatoriamente. El resultado del cálculo se reproduce en la Figura 4. El cambio irreversible (flecha simple) ocurre para 0,5 < | h | < 1 , cambio reversible (flechas dobles) en el resto del ciclo. La remanencia de saturación normalizada m _rs y la coercitividad h _c se indican en la figura. La curva en el centro es la curva de magnetización inicial. Esto simula el comportamiento de la muestra si se desmagnetiza antes de aplicar un campo. Se supone que la desmagnetización deja a cada partícula con una probabilidad igual de ser magnetizada en cualquiera de las dos direcciones paralelas al eje fácil. Por lo tanto, es un promedio de las ramas superior e inferior del bucle principal. ^[1]

En la Figura 5 se muestran algunos cálculos de remanencia para partículas idénticas orientadas aleatoriamente. La magnetización remanente isotérmica (IRM) se adquiere después de desmagnetizar la muestra y luego aplicar un campo. La curva m _ir ( h ) muestra la remanencia normalizada como una función del campo. No se produce ningún cambio hasta h = 0,5 porque todos los campos de conmutación son mayores que 0,5 . Hasta este campo, los cambios en la magnetización son reversibles. La magnetización alcanza la saturación en h = 1 , el campo de conmutación más grande.

Los otros dos tipos de remanencia implican la desmagnetización de una remanencia isotérmica de saturación (SIRM), por lo que en unidades normalizadas comienzan en 1. Nuevamente, no le sucede nada a la remanencia hasta que el campo alcanza 0,5 . El campo en el que m _dc llega a cero se denomina coercitividad de la remanencia .

Parámetros de histéresis previstos para partículas idénticas y orientadas aleatoriamente

Parámetro	Predicción
$Estilo de visualización M_{rs}/M_{s}$	${\estilo de visualización 0.5}$
$Estilo de visualización: H_{c}/2K_{u}$	${\estilo de visualización 0,479}$
$Estilo de visualización: H_{cr}/2K_{u}$	${\estilo de visualización 0,524}$
${\displaystyle \chi_{0}/2K_{u}}$	${\estilo de visualización 2/3}$
$Estilo de visualización: H_{cr}/H_{c}$	${\estilo de visualización 1.09}$

En la tabla adjunta se muestran algunos parámetros de histéresis magnética predichos por este cálculo. Las cantidades normalizadas utilizadas en las ecuaciones anteriores se han expresado en términos de las cantidades medidas normales. El parámetro H _cr es la coercitividad de la remanencia y χ ₀ es la susceptibilidad inicial (la susceptibilidad magnética de una muestra desmagnetizada). ^[1]

Los cálculos anteriores son para partículas idénticas. En una muestra real, el parámetro de anisotropía magnética K _u será diferente para cada partícula. Esto no cambia la relación M _rs / M _s , pero sí cambia la forma general del bucle. ^[3] Un parámetro que se utiliza a menudo para caracterizar la forma del bucle es la relación H _cr / H _c , que es 1,09 para una muestra con partículas idénticas y mayor si no son idénticas. Los gráficos de M _rs / M _s contra H _cr / H _c se utilizan ampliamente en el magnetismo de rocas como una medida del estado del dominio ( dominio único o multidominio ) en minerales magnéticos. ^[4]

Wohlfarth identificó relaciones entre las remanencias que son válidas para cualquier sistema de partículas de Stoner-Wohlfarth:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{af}(H)&=M_{rs}-M_{ir}(H)\\M_{df}(H)&=M_{rs}-2M_{ir}(H)\end{aligned}}.\,}$

( 8 )

Estas relaciones de Wohlfarth comparan la IRM con la desmagnetización de la remanencia de saturación. Wohlfarth también describió relaciones más generales que comparan la adquisición de una IRM de no saturación y su desmagnetización. ^[3]

Las relaciones de Wohlfarth se pueden representar mediante gráficos lineales de una remanencia en relación con otra. Estos gráficos de Henkel se utilizan a menudo para mostrar curvas de remanencia medidas de muestras reales y determinar si la teoría de Stoner-Wohlfarth se aplica a ellas. ^[5]

El modelo de Stoner-Wohlfarth es útil en parte porque es muy simple, pero a menudo no logra representar las propiedades magnéticas reales de un imán. Se ha ampliado de varias maneras:

• Generalización de la anisotropía magnética : se han calculado bucles de histéresis para partículas con anisotropía magnetocristalina cúbica pura , así como mezclas de anisotropía cúbica y uniaxial.
• Adición de fluctuaciones térmicas : las fluctuaciones térmicas hacen posibles los saltos entre estados estables, lo que reduce la histéresis en el sistema. Pfeiffer ^[6] añadió el efecto de las fluctuaciones térmicas al modelo de Stoner-Wohlfarth. Esto hace que la histéresis dependa del tamaño de la partícula magnética. A medida que el tamaño de la partícula (y el tiempo entre saltos ) disminuye, finalmente se pasa al superparamagnetismo .
• Adición de interacciones entre partículas: el acoplamiento magnetostático o de intercambio entre imanes puede tener un gran efecto en las propiedades magnéticas. Si los imanes están en cadena, pueden actuar al unísono, comportándose de forma muy similar a las partículas de Stoner-Wohlfarth. Este efecto se observa en los magnetosomas de las bacterias magnetotácticas . En otras disposiciones, las interacciones pueden reducir la histéresis.
• Generalizando a la magnetización no uniforme: este es el dominio del micromagnetismo .

• Astroide de Stoner-Wohlfarth
• Modelo de Jiles-Atherton
• Modelo de histéresis de Preisach

• Aplicación de inversión de magnetización de Stoner-Wohlfarth