Lógica de relevancia

La lógica de relevancia , también llamada lógica relevante , es un tipo de lógica no clásica que requiere que el antecedente y el consecuente de las implicaciones estén relacionados de manera relevante. Pueden considerarse como una familia de lógicas subestructurales o modales . Los lógicos británicos y, especialmente, los australianos la denominan, en general , lógica relevante , y los lógicos estadounidenses, lógica de relevancia .

La lógica de relevancia tiene como objetivo capturar aspectos de la implicación que son ignorados por el operador de " implicación material " en la lógica veritativo-funcional clásica , a saber, la noción de relevancia entre el antecedente y el condicional de una implicación verdadera. Esta idea no es nueva: CI Lewis fue llevado a inventar la lógica modal, y específicamente la implicación estricta , sobre la base de que la lógica clásica concede paradojas de implicación material como el principio de que una falsedad implica cualquier proposición . ^{[1] [2]} Por lo tanto, "si soy un burro, entonces dos y dos son cuatro" es verdadero cuando se traduce como una implicación material, pero parece intuitivamente falso ya que una implicación verdadera debe unir el antecedente y el consecuente mediante alguna noción de relevancia. Y si el hablante es o no un burro parece de ninguna manera relevante a si dos y dos son cuatro.

En términos de una restricción sintáctica para un cálculo proposicional , es necesario, pero no suficiente, que las premisas y la conclusión compartan fórmulas atómicas (fórmulas que no contienen ningún conectivo lógico ). En un cálculo de predicados , la relevancia requiere compartir variables y constantes entre premisas y conclusión. Esto se puede asegurar (junto con condiciones más fuertes) mediante, por ejemplo, la imposición de ciertas restricciones a las reglas de un sistema de deducción natural. En particular, una deducción natural al estilo de Fitch se puede adaptar para acomodar la relevancia introduciendo etiquetas al final de cada línea de una aplicación de una inferencia que indique las premisas relevantes para la conclusión de la inferencia. Los cálculos de secuentes al estilo de Gentzen se pueden modificar eliminando las reglas de debilitamiento que permiten la introducción de fórmulas arbitrarias en el lado derecho o izquierdo de los secuentes .

Una característica notable de las lógicas de relevancia es que son lógicas paraconsistentes : la existencia de una contradicción no necesariamente causará una " explosión ". Esto se desprende del hecho de que un condicional con un antecedente contradictorio que no comparte ninguna letra proposicional o predicativa con el consecuente no puede ser verdadero (o derivable).

La lógica de relevancia fue propuesta en 1928 por el filósofo soviético Ivan E. Orlov (1886 – circa 1936) en su artículo estrictamente matemático "La lógica de la compatibilidad de proposiciones" publicado en Matematicheskii Sbornik . La idea básica de la implicación relevante aparece en la lógica medieval, y algunos trabajos pioneros fueron realizados por Ackermann , ^[3] Moh, ^[4] y Church ^[5] en la década de 1950. Basándose en ellos, Nuel Belnap y Alan Ross Anderson (con otros) escribieron la obra magna del tema, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity en la década de 1970 (el segundo volumen se publicó en los años noventa). Se centraron tanto en los sistemas de implicación como en los sistemas de relevancia, donde se supone que las implicaciones de los primeros tipos son tanto relevantes como necesarias.

Los primeros desarrollos en lógica de relevancia se centraron en los sistemas más fuertes. El desarrollo de la semántica de Routley-Meyer dio lugar a una serie de lógicas más débiles. La más débil de estas lógicas es la lógica de relevancia B. Se axiomatiza con los siguientes axiomas y reglas.

1. ${\displaystyle A\a A}$
2. ${\displaystyle A\land B\to A}$
3. ${\displaystyle A\land B\to B}$
4. ${\displaystyle (A\a B)\land (A\a C)\a (A\a B\land C)}$
5. ${\displaystyle A\to A\lo B}$
6. ${\displaystyle B\to A\lo B}$
7. ${\displaystyle (A\a C)\land (B\a C)\a (A\lo B\a C)}$
8. ${\displaystyle A\land (B\lor C)\to (A\land B)\lor (A\land C)}$
9. ${\displaystyle \lno \lno A\a A}$

Las reglas son las siguientes:

1. ${\displaystyle A,A\to B\vdash B}$
2. ${\displaystyle A,B\vdash A\ly B}$
3. ${\displaystyle A\to B\vdash (C\to A)\to (C\to B)}$
4. ${\displaystyle A\a B\vdash (B\a C)\a (A\a C)}$
5. ${\displaystyle A\a \lno B\vdash B\a \lno A}$

Se pueden obtener lógicas más fuertes añadiendo cualquiera de los siguientes axiomas.

1. ${\displaystyle (A\a B)\a (\no B\a \no A)}$
2. ${\displaystyle (A\a B)\land (B\a C)\a (A\a C)}$
3. ${\displaystyle (A\a B)\a ((B\a C)\a (A\a C))}$
4. ${\displaystyle (A\a B)\a ((C\a A)\a (C\a B))}$
5. ${\displaystyle (A\a (A\a B))\a (A\a B)}$
6. ${\displaystyle (A\land (A\to B))\to B}$
7. ${\displaystyle (A\a \lno A)\a \lno A}$
8. ${\displaystyle (A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))}$
9. ${\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)}$
10. ${\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B}$
11. ${\displaystyle A\lor \lnot A}$
12. ${\displaystyle A\to (A\to A)}$

Hay algunas lógicas notables más fuertes que B que pueden obtenerse añadiendo axiomas a B como sigue.

• Para DW, agregue el axioma 1.
• Para DJ, agregue los axiomas 1, 2.
• Para TW, agregue los axiomas 1, 2, 3, 4.
• Para RW, agregue los axiomas 1, 2, 3, 4, 8, 9.
• Para T, agregue los axiomas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
• Para R, agregue los axiomas 1-11.
• Para E, agregue los axiomas 1-7, 10, 11, y , donde se define como .${\displaystyle ((A\to A)\land (B\to B)\to C)\to C}$${\displaystyle \Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)}$${\displaystyle \Box A}$${\displaystyle (A\to A)\to A}$
• Para RM, agregue todos los axiomas adicionales.

La teoría del modelo estándar para la lógica de relevancia es la semántica ternaria-relacional de Routley-Meyer desarrollada por Richard Routley y Robert Meyer . Un marco de Routley-Meyer F para un lenguaje proposicional es un cuádruple (W,R,*,0), donde W es un conjunto no vacío, R es una relación ternaria en W, y * es una función de W a W, y . Un modelo de Routley-Meyer M es un marco de Routley-Meyer F junto con una valoración, , que asigna un valor de verdad a cada proposición atómica relativa a cada punto . Hay algunas condiciones impuestas a los marcos de Routley-Meyer. Defina como .${\displaystyle 0\in W}$${\displaystyle \Vdash }$${\displaystyle a\in W}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle R0ab}$

• ${\displaystyle a\leq a}$.
• Si y , entonces .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b\leq c}$${\displaystyle a\leq c}$
• Si y , entonces .${\displaystyle d\leq a}$${\displaystyle Rabc}$${\displaystyle Rdbc}$
• ${\displaystyle a^{**}=a}$.
• Si , entonces .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b^{*}\leq a^{*}}$

Escriba y para indicar que la fórmula es verdadera o falsa, respectivamente, en el punto en . Una condición final en los modelos de Routley-Meyer es la condición de heredabilidad.${\displaystyle M,a\Vdash A}$${\displaystyle M,a\nVdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$

• Si y , entonces , para todas las proposiciones atómicas .${\displaystyle M,a\Vdash p}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle M,b\Vdash p}$${\displaystyle p}$

Mediante un argumento inductivo, se puede demostrar que la heredabilidad se extiende a fórmulas complejas, utilizando las condiciones de verdad que se indican a continuación.

• Si y , entonces , para todas las fórmulas .${\displaystyle M,a\Vdash A}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle M,b\Vdash A}$${\displaystyle A}$

Las condiciones de verdad para fórmulas complejas son las siguientes.

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$y${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$o${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash \lnot A\iff M,a^{*}\nVdash A}$

Una fórmula se cumple en un modelo solo en el caso de que . Una fórmula se cumple en un marco si y solo si A se cumple en cada modelo . Una fórmula es válida en una clase de marcos si y solo si A se cumple en cada marco de esa clase. La clase de todos los marcos de Routley-Meyer que satisfacen las condiciones anteriores valida esa lógica de relevancia B. Se pueden obtener marcos de Routley-Meyer para otras lógicas de relevancia colocando restricciones apropiadas en R y en *. Estas condiciones son más fáciles de enunciar utilizando algunas definiciones estándar. Sea definido como , y sea definido como . Algunas de las condiciones de marco y los axiomas que validan son los siguientes.${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M,0\Vdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (F,\Vdash )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Rabcd}$${\displaystyle \exists x(Rabx\land Rxcd)}$${\displaystyle Ra(bc)d}$${\displaystyle \exists x(Rbcx\land Raxd)}$

Nombre	Estado del marco	Axioma
Pseudo-modus ponens	${\displaystyle Raaa}$	${\displaystyle (A\land (A\to B))\to B}$
Prefijación	${\displaystyle Rabcd\Rightarrow Ra(bc)d}$	${\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))}$
Sufijación	${\displaystyle Rabcd\Rightarrow Rb(ac)d}$	${\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))}$
Contracción	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rabbc}$	${\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)}$
Silogismo hipotético	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Ra(ab)c}$	${\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)}$
Afirmación	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rbac}$	${\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)}$
Axioma E	${\displaystyle Ra0a}$	${\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B}$
Axioma de la mezcla	${\displaystyle Rabc\Rightarrow a\leq c}$o${\displaystyle b\leq c}$	${\displaystyle A\to (A\to A)}$
Reducción	${\displaystyle Raa^{*}a}$	${\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A}$
Contraposición	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rac^{*}b^{*}}$	${\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)}$
Exclusión intermedia	${\displaystyle 0^{*}\leq 0}$	${\displaystyle A\lor \lnot A}$
Debilitamiento de implicación estricta	${\displaystyle 0\leq a}$	${\displaystyle A\to (B\to B)}$
Debilitación	${\displaystyle Rabc\Rightarrow b\leq c}$	${\displaystyle A\to (B\to A)}$

Las dos últimas condiciones validan formas de debilitamiento que las lógicas de relevancia se desarrollaron originalmente para evitar. Se incluyen para mostrar la flexibilidad de los modelos de Routley-Meyer.

Alasdair Urquhart desarrolló modelos operacionales para fragmentos de lógicas de relevancia sin negación en su tesis doctoral y en trabajos posteriores. La idea intuitiva detrás de los modelos operacionales es que los puntos en un modelo son piezas de información, y la combinación de información que respalda un condicional con la información que respalda su antecedente produce cierta información que respalda el consecuente. Dado que los modelos operacionales generalmente no interpretan la negación, esta sección considerará solo lenguajes con un condicional, conjunción y disyunción.

Un marco operacional es una tripleta , donde es un conjunto no vacío, y es una operación binaria sobre . Los marcos tienen condiciones, algunas de las cuales pueden eliminarse para modelar lógicas diferentes. Las condiciones que Urquhart propuso para modelar el condicional de la lógica de relevancia R son las siguientes.${\displaystyle F}$${\displaystyle (K,\cdot ,0)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0\in K}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle x\cdot x=x}$
• ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$
• ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$
• ${\displaystyle 0\cdot x=x}$

En estas condiciones el marco operacional es un semirretículo de unión .

Un modelo operacional es un marco con una valoración que asigna pares de puntos y proposiciones atómicas a valores de verdad, V o F. Puede extenderse a una valoración en fórmulas complejas de la siguiente manera.${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Vdash }$

• ${\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}$, para proposiciones atómicas
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$y${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$o${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Una fórmula se cumple en un modelo si y solo si . Una fórmula es válida en una clase de modelos si y solo si se cumple en cada modelo .${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M,0\Vdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M\in C}$

El fragmento condicional de R es sólido y completo con respecto a la clase de modelos de semirretículo. La lógica con conjunción y disyunción es propiamente más fuerte que el fragmento condicional, conjunción y disyunción de R. En particular, la fórmula es válida para los modelos operacionales pero no es válida en R. La lógica generada por los modelos operacionales para R tiene un sistema de prueba axiomática completo, debido a Kit Fine y a Gerald Charlwood. Charlwood también proporcionó un sistema de deducción natural para la lógica, que demostró ser equivalente al sistema axiomático. Charlwood demostró que su sistema de deducción natural es equivalente a un sistema proporcionado por Dag Prawitz .${\displaystyle (A\to (B\lor C))\land (B\to C)\to (A\to C)}$

La semántica operacional se puede adaptar para modelar el condicional de E agregando un conjunto no vacío de mundos y una relación de accesibilidad a los marcos. Se requiere que la relación de accesibilidad sea reflexiva y transitiva, para capturar la idea de que el condicional de E tiene una necesidad S4. Las valoraciones luego asignan triples de proposiciones atómicas, puntos y mundos a valores de verdad. La condición de verdad para el condicional se cambia a lo siguiente. ${\displaystyle W}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle W\times W}$

• ${\displaystyle M,a,w\Vdash A\to B\iff \forall b,\forall w'\geq w(M,b,w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)}$

La semántica operacional se puede adaptar para modelar el condicional de T agregando una relación en . La relación debe obedecer las siguientes condiciones.${\displaystyle \leq }$${\displaystyle K\times K}$

• ${\displaystyle 0\leq x}$
• Si y , entonces${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y\leq z}$${\displaystyle x\leq z}$
• Si , entonces${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x\cdot z\leq y\cdot z}$

La condición de verdad para el condicional se cambia a lo siguiente.

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Hay dos maneras de modelar las lógicas de relevancia sin contracción TW y RW con los modelos operacionales. La primera manera es eliminar la condición de que . La segunda manera es mantener las condiciones de semirretículo en los marcos y agregar una relación binaria, , de disyunción al marco. Para estos modelos, las condiciones de verdad para el condicional se cambian a lo siguiente, con la adición del ordenamiento en el caso de TW.${\displaystyle x\cdot x=x}$${\displaystyle J}$

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Urquhart demostró que la lógica de semirretículos para R es más fuerte que el fragmento positivo de R. Lloyd Humberstone proporcionó un enriquecimiento de los modelos operacionales que permitieron una condición de verdad diferente para la disyunción. La clase de modelos resultante genera exactamente el fragmento positivo de R.

Un marco operacional es un cuádruple , donde es un conjunto no vacío, y { , } son operaciones binarias sobre . Sea definido como . Las condiciones del marco son las siguientes.${\displaystyle F}$${\displaystyle (K,\cdot ,+,0)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0\in K}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle +}$${\displaystyle K}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle \exists x(a+x=b)}$

Un modelo operacional es un marco con una valoración que asigna pares de puntos y proposiciones atómicas a valores de verdad, V o F. Puede extenderse a una valoración en fórmulas complejas de la siguiente manera.${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Vdash }$

• ${\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}$, para proposiciones atómicas
• ${\displaystyle M,a+b\Vdash p\iff M,a\Vdash p}$y${\displaystyle M,b\Vdash p}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$y${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$o o ; y${\displaystyle M,a\Vdash B}$${\displaystyle \exists b,c(a=b+c}$${\displaystyle M,b\Vdash A}$${\displaystyle M,c\Vdash B)}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Una fórmula se cumple en un modelo si y solo si . Una fórmula es válida en una clase de modelos si y solo si se cumple en cada modelo .${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M,0\Vdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M\in C}$

El fragmento positivo de R es sólido y completo con respecto a la clase de estos modelos. La semántica de Humberstone se puede adaptar para modelar lógicas diferentes eliminando o agregando condiciones de marco de la siguiente manera.

A algunas lógicas de relevancia se les pueden dar modelos algebraicos, como la lógica R. Las estructuras algebraicas para R son los monoides de Morgan, que son séxtuples donde${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot ,\circ ,e)}$

• ${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot )}$es una red distributiva con una operación unaria, que obedece las leyes y si entonces ;${\displaystyle \lnot }$${\displaystyle \lnot \lnot x=x}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle \lnot y\leq \lnot x}$
• ${\displaystyle e\in D}$, la operación binaria es conmutativa ( ) y asociativa ( ), y , es decir, es un monoide abeliano con identidad ;${\displaystyle \circ }$${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$${\displaystyle e\circ x=x}$${\displaystyle (D,\circ ,e)}$ ${\displaystyle e}$
• El monoide está ordenado en red y satisface ;${\displaystyle x\circ (y\lor z)=(x\circ y)\lor (x\circ z)}$
• ${\displaystyle x\leq x\circ x}$; y
• Si , entonces .${\displaystyle x\circ y\leq z}$${\displaystyle x\circ \lnot z\leq \lnot y}$

La operación que interpreta el condicional de R se define como . Un monoide de De Morgan es una red residual , que obedece la siguiente condición de residualidad. ${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle \lnot (x\circ \lnot y)}$

${\displaystyle x\circ y\leq z\iff x\leq y\to z}$

Una interpretación es un homomorfismo del lenguaje proposicional a un monoide de Morgan tal que ${\displaystyle v}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle v(p)\in D}$para todas las proposiciones atómicas,
• ${\displaystyle v(\lnot A)=\lnot v(A)}$
• ${\displaystyle v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\land B)=v(A)\land v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\to B)=v(A)\to v(B)}$

Dado un monoide de De Morgan y una interpretación , se puede decir que la fórmula se cumple en el caso de que . Una fórmula es válida en el caso de que se cumpla en todas las interpretaciones de todos los monoides de De Morgan. La lógica R es correcta y completa para los monoides de De Morgan.${\displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v}$${\displaystyle e\leq v(A)}$${\displaystyle A}$

• Lógica conectiva , una aproximación diferente a las paradojas de la implicación material
• Non sequitur (lógica)
• Sistema de tipos relevante , un sistema de tipos subestructural

• Alan Ross Anderson y Nuel Belnap , 1975. Implicación: la lógica de la relevancia y la necesidad, vol. I. Princeton University Press. ISBN 0-691-07192-6 
• ------- y JM Dunn, 1992. Implicación: la lógica de la relevancia y la necesidad, vol. II , Princeton University Press.
• Mares, Edwin, y Meyer, RK, 2001, "Lógicas relevantes", en Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell.
• Richard Routley, Val Plumwood, Robert K. Meyer y Ross T. Brady. Lógicas relevantes y sus rivales . Ridgeview, 1982.
• R. Brady (ed.), Lógicas relevantes y sus rivales (Volumen II) , Aldershot: Ashgate, 2003.
• Urquhart, Alasdair (1972). "Semántica para lógicas relevantes" (PDF) . Journal of Symbolic Logic . 37 : 159–169. doi :10.2307/2272559.
• Alasdair Urquhart. La semántica de la implicación . Tesis doctoral, Universidad de Pittsburgh, 1972.
• Katalin Bimbó , Lógicas de relevancia, en Filosofía de la lógica , D. Jacquette (ed.), (volumen 5 del Manual de la filosofía de la ciencia , D. Gabbay, P. Thagard, J. Woods (eds.)), Elsevier (Holanda del Norte), 2006, pp. 723–789.
• J. Michael Dunn y Greg Restall. Lógica de relevancia. En Handbook of Philosophical Logic , volumen 6, F. Guenthner y D. Gabbay (eds.), Dordrecht: Kluwer, 2002, págs. 1–136.
• Stephen Read, Lógica relevante , Oxford: Blackwell, 1988.
• Humberstone, Lloyd (1987). "Semántica operacional para R positiva". Notre Dame Journal of Formal Logic . 29 (1): 61–80. doi : 10.1305/ndjfl/1093637771 .

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Lógica de relevancia", por Edwin Mares.
• Lógica de la relevancia – por J. Michael Dunn y Greg Restall
• Lógica relevante – por Stephen Read