Lógica subestructural

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En lógica , una lógica subestructural es una lógica que carece de una de las reglas estructurales habituales (por ejemplo, de la lógica clásica y la intuicionista ), como el debilitamiento , la contracción , el intercambio o la asociatividad. Dos de las lógicas subestructurales más importantes son la lógica de relevancia y la lógica lineal .

En un cálculo secuencial , se escribe cada línea de una prueba como

${\displaystyle \Gamma \vdash \Sigma }$.

Aquí las reglas estructurales son reglas para reescribir el LHS del consecuente, denotado Γ, inicialmente concebido como una cadena (secuencia) de proposiciones. La interpretación estándar de esta cadena es como conjunción : esperamos leer

${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$

como la notación secuencial para

( A y B ) implica C .

Aquí tomamos el RHS Σ como una única proposición C (que es el estilo intuicionista del secuente); pero todo se aplica igualmente al caso general, ya que todas las manipulaciones se llevan a cabo a la izquierda del símbolo del torniquete .${\estilo de visualización \vdash}$

Dado que la conjunción es una operación conmutativa y asociativa , el planteamiento formal de la teoría de secuencias normalmente incluye reglas estructurales para reescribir la secuencia Γ en consecuencia, por ejemplo para deducir

${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {A}}\vdash {\mathcal {C}}}$

de

${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$.

Existen otras reglas estructurales correspondientes a las propiedades idempotentes y monótonas de la conjunción:

${\displaystyle \Gamma ,{\mathcal {A}},{\mathcal {A}},\Delta \vdash {\mathcal {C}}}$

podemos deducir

${\displaystyle \Gamma ,{\mathcal {A}},\Delta \vdash {\mathcal {C}}}$.

También de

${\displaystyle \Gamma ,{\mathcal {A}},\Delta \vdash {\mathcal {C}}}$

se puede deducir, para cualquier B ,

${\displaystyle \Gamma ,{\mathcal {A}},{\mathcal {B}},\Delta \vdash {\mathcal {C}}}$.

La lógica lineal , en la que las hipótesis duplicadas "cuentan" de manera diferente a las ocurrencias individuales, omite ambas reglas, mientras que la lógica relevante (o de relevancia) simplemente omite la última regla, sobre la base de que B es claramente irrelevante para la conclusión.

Los ejemplos anteriores son básicos de reglas estructurales. No es que estas reglas sean polémicas cuando se aplican en el cálculo proposicional convencional. Aparecen naturalmente en la teoría de la demostración y fueron observadas por primera vez allí (antes de recibir un nombre).

Existen numerosas formas de componer premisas (y en el caso de conclusiones múltiples, también conclusiones). Una forma es agruparlas en un conjunto. Pero como, por ejemplo, {a,a} = {a}, tenemos contracción de forma gratuita si las premisas son conjuntos. También tenemos asociatividad y permutación (o conmutatividad) de forma gratuita, entre otras propiedades. En las lógicas subestructurales, normalmente las premisas no se componen en conjuntos, sino que se componen en estructuras de grano más fino, como árboles o multiconjuntos (conjuntos que distinguen múltiples ocurrencias de elementos) o secuencias de fórmulas. Por ejemplo, en la lógica lineal, como la contracción falla, las premisas deben estar compuestas en algo al menos tan de grano fino como los multiconjuntos.

La lógica subestructural es un campo relativamente joven. El primer congreso sobre este tema se celebró en octubre de 1990 en Tübingen, bajo el título "Lógica con reglas estructurales restringidas". Durante el congreso, Kosta Došen propuso el término "lógica subestructural", que se utiliza actualmente.

• Sistema de tipo subestructural
• Celosía residual

• F. Paoli (2002), Lógica subestructural: una introducción , Kluwer.
• G. Restall (2000) Introducción a la lógica subestructural , Routledge.

• Galatos, Nikolaos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski y Hiroakira Ono (2007), Residuated Lattices. Una mirada algebraica a la lógica subestructural , Elsevier, ISBN  978-0-444-52141-5 .

• Medios relacionados con Lógica subestructural en Wikimedia Commons
• Restall, Greg. "Lógica subestructural". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .