Ínfimo y supremo

En matemáticas, el ínfimo (abreviado inf ; pl. : infima ) de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es el mayor elemento en que es menor o igual que cada elemento de si tal elemento existe. ^[1] Si el ínfimo de existe, es único, y si b es un límite inferior de , entonces b es menor o igual que el ínfimo de . En consecuencia, el término límite inferior máximo (abreviado como GLB ) también se usa comúnmente. ^[1] El supremo (abreviado sup ; pl. : suprema ) de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es el menor elemento en que es mayor o igual que cada elemento de si tal elemento existe. ^[1] Si el supremo de existe, es único, y si b es un límite superior de , entonces el supremo de es menor o igual que b . En consecuencia, el supremo también se conoce como el límite superior mínimo (o LUB ). ^[1]${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización S,}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización S,}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$

El ínfimo es, en un sentido preciso, dual al concepto de supremo. El ínfimo y el supremo de los números reales son casos especiales comunes que son importantes en el análisis , y especialmente en la integración de Lebesgue . Sin embargo, las definiciones generales siguen siendo válidas en el contexto más abstracto de la teoría del orden, donde se consideran conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados.

Los conceptos de ínfimo y supremo son cercanos a mínimo y máximo , pero son más útiles en el análisis porque caracterizan mejor los conjuntos especiales que pueden no tener mínimo o máximo . Por ejemplo, el conjunto de números reales positivos (sin incluir ) no tiene un mínimo, porque cualquier elemento dado de podría simplemente dividirse por la mitad dando como resultado un número menor que todavía está en Sin embargo, hay exactamente un ínfimo de los números reales positivos relativo a los números reales: que es menor que todos los números reales positivos y mayor que cualquier otro número real que podría usarse como límite inferior. Un ínfimo de un conjunto siempre y solo se define en relación con un superconjunto del conjunto en cuestión. Por ejemplo, no hay ningún ínfimo de los números reales positivos dentro de los números reales positivos (como su propio superconjunto), ni ningún ínfimo de los números reales positivos dentro de los números complejos con parte real positiva.${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\estilo de visualización 0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$${\displaystyle 0,}$

Un límite inferior de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es un elemento de tal manera que${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle y\leq x}$a pesar de${\displaystyle x\in S.}$

Un límite inferior de se llama ínfimo (o máximo límite inferior , o encuentro ) de si${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• para todos los límites inferiores de en ( es mayor que cualquier otro límite inferior).${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle y\leq a}$${\displaystyle a}$

De manera similar, un límite superior de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es un elemento de tal manera que${\displaystyle S}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle z}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle z\geq x}$a pesar de${\displaystyle x\in S.}$

Un límite superior de se llama supremo (o límite superior mínimo , o unión ) de si${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• para todos los límites superiores de en ( es menor que cualquier otro límite superior).${\displaystyle z}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle z\geq b}$${\displaystyle b}$

No necesariamente existen ínfima y suprema. La existencia de un ínfimo de un subconjunto de puede fallar si no tiene límite inferior en absoluto, o si el conjunto de límites inferiores no contiene un elemento mayor. (Un ejemplo de esto es el subconjunto de . Tiene límites superiores, como 1.5, pero no supremo en .)${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

En consecuencia, los conjuntos parcialmente ordenados para los que se sabe que existen ciertos ínfimos se vuelven especialmente interesantes. Por ejemplo, un retículo es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos finitos no vacíos tienen tanto un supremo como un ínfimo, y un retículo completo es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos tienen tanto un supremo como un ínfimo. Se puede encontrar más información sobre las diversas clases de conjuntos parcialmente ordenados que surgen de tales consideraciones en el artículo sobre propiedades de completitud .

Si el supremo de un subconjunto existe, es único. Si contiene un elemento mayor, entonces ese elemento es el supremo; de lo contrario, el supremo no pertenece a (o no existe). Del mismo modo, si el ínfimo existe, es único. Si contiene un elemento menor, entonces ese elemento es el ínfimo; de lo contrario, el ínfimo no pertenece a (o no existe).${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

El ínfimo de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado , suponiendo que existe, no necesariamente pertenece a Si existe, es un mínimo o elemento menor de De manera similar, si el supremo de pertenece a es un máximo o elemento más grande de${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S.}$

Por ejemplo, considere el conjunto de números reales negativos (excluyendo el cero). Este conjunto no tiene un elemento mayor, ya que para cada elemento del conjunto, hay otro elemento mayor. Por ejemplo, para cualquier número real negativo hay otro número real negativo que es mayor. Por otra parte, cada número real mayor o igual a cero es ciertamente un límite superior en este conjunto. Por lo tanto, es el límite superior mínimo de los reales negativos, por lo que el supremo es 0. Este conjunto tiene un supremo pero no un elemento mayor.${\displaystyle x,}$${\displaystyle {\tfrac {x}{2}},}$${\displaystyle 0}$

Sin embargo, la definición de elementos máximos y mínimos es más general. En particular, un conjunto puede tener muchos elementos máximos y mínimos, mientras que ínfima y suprema son únicos.

Mientras que los máximos y mínimos deben ser miembros del subconjunto que se está considerando, el ínfimo y el supremo de un subconjunto no necesitan ser miembros de ese subconjunto.

Por último, un conjunto parcialmente ordenado puede tener muchos límites superiores mínimos sin tener un límite superior mínimo. Los límites superiores mínimos son aquellos límites superiores para los cuales no existe ningún elemento estrictamente menor que también sea un límite superior. Esto no significa que cada límite superior mínimo sea menor que todos los demás límites superiores, simplemente no es mayor. La distinción entre "mínimo" y "mínimo" solo es posible cuando el orden dado no es total . En un conjunto totalmente ordenado, como en el caso de los números reales, los conceptos son los mismos.

Como ejemplo, sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de números naturales y considere el conjunto parcialmente ordenado que se obtiene al tomar todos los conjuntos de junto con el conjunto de números enteros y el conjunto de números reales positivos ordenados por inclusión de subconjuntos como se indicó anteriormente. Entonces, claramente, tanto y son mayores que todos los conjuntos finitos de números naturales. Sin embargo, ninguno es menor que ni es cierto lo inverso: ambos conjuntos son límites superiores mínimos, pero ninguno es un supremo.${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La propiedad de límite superior mínimo es un ejemplo de las propiedades de completitud mencionadas anteriormente , que es típica del conjunto de números reales. Esta propiedad a veces se denomina completitud de Dedekind .

Si un conjunto ordenado tiene la propiedad de que cada subconjunto no vacío de que tenga un límite superior también tiene un límite superior mínimo, entonces se dice que tiene la propiedad de límite superior mínimo. Como se señaló anteriormente, el conjunto de todos los números reales tiene la propiedad de límite superior mínimo. De manera similar, el conjunto de números enteros tiene la propiedad de límite superior mínimo; si es un subconjunto no vacío de y hay algún número tal que cada elemento de es menor o igual que entonces existe un límite superior mínimo para un entero que es un límite superior para y es menor o igual que cualquier otro límite superior para Un conjunto bien ordenado también tiene la propiedad de límite superior mínimo, y el subconjunto vacío también tiene un límite superior mínimo: el mínimo de todo el conjunto.${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

Un ejemplo de un conjunto que carece de la propiedad de límite superior mínimo es el conjunto de números racionales. Sea el conjunto de todos los números racionales tales que Entonces tiene un límite superior ( por ejemplo, o ) pero no un límite superior mínimo en : Si suponemos que es el límite superior mínimo, se deduce inmediatamente una contradicción porque entre dos reales cualesquiera y (incluidos y ) existe algún racional que tendría que ser el límite superior mínimo (si ) o un miembro de mayor que (si ). Otro ejemplo son los hiperreales ; no hay límite superior mínimo del conjunto de infinitesimales positivos.${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{2}<2.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1000,}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$

Existe una propiedad de máximo límite inferior correspondiente ; un conjunto ordenado posee la propiedad de máximo límite inferior si y solo si también posee la propiedad de mínimo límite superior; el mínimo límite superior del conjunto de límites inferiores de un conjunto es el máximo límite inferior, y el máximo límite inferior del conjunto de límites superiores de un conjunto es el mínimo límite superior del conjunto.

Si en un conjunto parcialmente ordenado cada subconjunto acotado tiene un supremo, esto se aplica también para cualquier conjunto en el espacio de funciones que contenga todas las funciones desde hasta donde si y sólo si para todos. Por ejemplo, se aplica para funciones reales y, dado que estas pueden considerarse casos especiales de funciones, para tuplas reales y secuencias de números reales.${\displaystyle P}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle n}$

La propiedad del límite superior mínimo es un indicador del supremo.

En el análisis , el ínfimo y el supremo de los subconjuntos de los números reales son particularmente importantes. Por ejemplo, los números reales negativos no tienen un elemento mayor, y su supremo es (que no es un número real negativo). ^[1] La completitud de los números reales implica (y es equivalente a) que cualquier subconjunto acotado no vacío de los números reales tiene un ínfimo y un supremo. Si no está acotado por debajo, a menudo se escribe formalmente Si está vacío , se escribe${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

Si es cualquier conjunto de números reales, entonces si y solo si y en caso contrario ^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle A\neq \varnothing }$${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$

Si son conjuntos de números reales entonces (a menos que ) y${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$${\displaystyle A=\varnothing \neq B}$${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

Identificando ínfima y suprema

Si el ínfimo de existe (es decir, es un número real) y si es cualquier número real, entonces si y solo si es un límite inferior y para cada hay un con De manera similar, si es un número real y si es cualquier número real, entonces si y solo si es un límite superior y si para cada hay un con${\displaystyle A}$${\displaystyle \inf A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=\inf A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$${\displaystyle \sup A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=\sup A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

Relación con los límites de las sucesiones

Si es cualquier conjunto no vacío de números reales, entonces siempre existe una secuencia no decreciente en tal que De manera similar, existirá una secuencia no creciente (posiblemente diferente) en tal que${\displaystyle S\neq \varnothing }$${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$

Expresar el ínfimo y el supremo como un límite de una secuencia de este tipo permite aplicar teoremas de varias ramas de las matemáticas. Consideremos, por ejemplo, el hecho bien conocido de la topología de que si es una función continua y es una secuencia de puntos en su dominio que converge a un punto entonces necesariamente converge a Esto implica que si es un número real (donde todos están en ) y si es una función continua cuyo dominio contiene y entonces lo que (por ejemplo) garantiza ^{[nota 1]} que es un punto adherente del conjunto Si además de lo que se ha supuesto, la función continua es también una función creciente o no decreciente , entonces es incluso posible concluir que Esto se puede aplicar, por ejemplo, para concluir que siempre que es una función de valor real (o complejo ) con dominio cuya norma sup es finita, entonces para cada número real no negativo ya que la función definida por es una función continua no decreciente cuyo dominio siempre contiene y${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$${\displaystyle p,}$${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$${\displaystyle f(p).}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sup S,}$$${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$${\displaystyle f(\sup S)}$${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$ ${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$${\displaystyle q,}$$${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=x^{q}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

Aunque esta discusión se centró en conclusiones similares se puede llegar a con cambios apropiados (como requerir que no sea creciente en lugar de no decreciente). Otras normas definidas en términos de o incluyen las normas espaciales débiles (para ), la norma en el espacio de Lebesgue y las normas de operadores . Las secuencias monótonas en que convergen a (o a ) también se pueden usar para ayudar a demostrar muchas de las fórmulas que se dan a continuación, ya que la suma y la multiplicación de números reales son operaciones continuas.${\displaystyle \sup ,}$${\displaystyle \inf }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle \inf }$${\displaystyle L^{p,w}}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sup S}$${\displaystyle \inf S}$

Las siguientes fórmulas dependen de una notación que generaliza convenientemente las operaciones aritméticas sobre conjuntos. En todas ellas, son conjuntos de números reales. ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$

Suma de conjuntos

La suma de Minkowski de dos conjuntos y de números reales es el conjunto formado por todas las sumas aritméticas posibles de pares de números, uno de cada conjunto. El ínfimo y el supremo de la suma de Minkowski satisfacen y ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$$${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$$${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

Producto de conjuntos

La multiplicación de dos conjuntos y de números reales se define de forma similar a su suma de Minkowski:${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

Si y son conjuntos no vacíos de números reales positivos, entonces y de manera similar para suprema ^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$

Producto escalar de un conjunto

El producto de un número real y un conjunto de números reales es el conjunto${\displaystyle r}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

Si entonces mientras que si entonces Usando y la notación se sigue que${\displaystyle r\geq 0}$$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$${\displaystyle r\leq 0}$$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$${\displaystyle r=-1}$${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$$${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

Inverso multiplicativo de un conjunto

Para cualquier conjunto que no contenga let${\displaystyle S}$${\displaystyle 0,}$$${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

Si no está vacío, entonces donde esta ecuación también se cumple cuando se utiliza la definición si . ^{[nota 2]} Esta igualdad puede escribirse alternativamente como Además, si y solo si donde si ^{[nota 2]} entonces${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$$${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$${\displaystyle \inf _{}S=0}$${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$ ${\displaystyle \inf _{}S>0,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

Si se denota por el conjunto parcialmente ordenado con la relación de orden opuesta ; es decir, para todo se declara: entonces el ínfimo de un subconjunto en es igual al supremo de en y viceversa.${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$$${\displaystyle x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ if and only if }}\quad x\geq y{\text{ in }}P,}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$

Para los subconjuntos de los números reales, se cumple otro tipo de dualidad: donde${\displaystyle \inf S=-\sup(-S),}$${\displaystyle -S:=\{-s~:~s\in S\}.}$

• El ínfimo del conjunto de números es El número es un límite inferior, pero no el límite inferior máximo y, por lo tanto, no es el ínfimo.${\displaystyle \{2,3,4\}}$${\displaystyle 2.}$${\displaystyle 1}$
• En términos más generales, si un conjunto tiene un elemento mínimo, entonces el elemento mínimo es el ínfimo del conjunto. En este caso, también se lo denomina mínimo del conjunto.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• Si es una secuencia decreciente con límite entonces${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

• El supremo del conjunto de números es El número es un límite superior, pero no es el límite superior mínimo y, por lo tanto, no es el supremo.${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle 3.}$${\displaystyle 4}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

En el último ejemplo, el supremo de un conjunto de racionales es irracional , lo que significa que los racionales son incompletos .

Una propiedad básica del supremo es que para cualquier funcional y$${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g.}$

El supremo de un subconjunto de donde denota " divide ", es el mínimo común múltiplo de los elementos de${\displaystyle S}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$${\displaystyle \,\mid \,}$${\displaystyle S.}$

El supremo de un conjunto que contiene subconjuntos de algún conjunto es la unión de los subconjuntos cuando se considera el conjunto parcialmente ordenado , donde es el conjunto potencia de y es el subconjunto .${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$

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• Límites superior e inferior  : mayor y menor en matemáticas

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313.OCLC 883392544  .

• "Límites superiores e inferiores", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Breitenbach, Jerome R. y Weisstein, Eric W. "Ínfimo y supremo". MathWorld .