Estabilidad de Lyapunov

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Se pueden discutir varios tipos de estabilidad para las soluciones de ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias que describen sistemas dinámicos . El tipo más importante es el que se refiere a la estabilidad de soluciones cercanas a un punto de equilibrio. Esto se puede discutir mediante la teoría de Aleksandr Lyapunov . En términos simples, si las soluciones que comienzan cerca de un punto de equilibrio permanecen cerca para siempre, entonces es estable de Lyapunov . Más fuertemente, si es estable de Lyapunov y todas las soluciones que comienzan cerca convergen a , entonces se dice que es asintóticamente estable (ver análisis asintótico ). La noción de estabilidad exponencial garantiza una tasa mínima de decaimiento, es decir, una estimación de qué tan rápido convergen las soluciones. La idea de estabilidad de Lyapunov se puede extender a variedades de dimensión infinita, donde se conoce como estabilidad estructural , que se refiere al comportamiento de soluciones diferentes pero "cercanas" a ecuaciones diferenciales. La estabilidad de entrada a estado (ISS) aplica las nociones de Lyapunov a sistemas con entradas.${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$

La estabilidad de Lyapunov debe su nombre a Aleksandr Mikhailovich Lyapunov , un matemático ruso que defendió la tesis El problema general de la estabilidad del movimiento en la Universidad de Járkov en 1892. ^[1] AM Lyapunov fue un pionero en los esfuerzos exitosos para desarrollar un enfoque global para el análisis de la estabilidad de los sistemas dinámicos no lineales en comparación con el método local ampliamente extendido de linealizarlos sobre puntos de equilibrio. Su trabajo, publicado inicialmente en ruso y luego traducido al francés, recibió poca atención durante muchos años. La teoría matemática de la estabilidad del movimiento, fundada por AM Lyapunov, anticipó considerablemente el tiempo para su implementación en la ciencia y la tecnología. Además, Lyapunov no hizo él mismo una aplicación en este campo, su propio interés estaba en la estabilidad de las masas de fluidos en rotación con aplicación astronómica. No tuvo estudiantes de doctorado que siguieran la investigación en el campo de la estabilidad y su propio destino fue terriblemente trágico debido a su suicidio en 1918 ^{[ cita requerida ]} . Durante varias décadas, la teoría de la estabilidad se hundió en el olvido total. El matemático y mecánico ruso-soviético Nikolai Guryevich Chetaev, que trabajaba en el Instituto de Aviación de Kazán en la década de 1930, fue el primero en darse cuenta de la increíble magnitud del descubrimiento realizado por A. M. Lyapunov. La contribución de N. G. Chetaev a la teoría ^fue tan significativa que muchos matemáticos, físicos e ingenieros lo consideran el sucesor directo de Lyapunov y el siguiente descendiente científico en la creación y desarrollo de la teoría matemática de la estabilidad.

El interés en este campo se disparó repentinamente durante el período de la Guerra Fría , cuando se descubrió que el llamado "Segundo Método de Lyapunov" (ver más abajo) era aplicable a la estabilidad de los sistemas de guía aeroespacial que suelen contener fuertes no linealidades que no se pueden tratar con otros métodos. Apareció entonces y desde entonces una gran cantidad de publicaciones en la literatura de control y sistemas. ^{[3] [4] [5] [6] [7]} Más recientemente, el concepto del exponente de Lyapunov (relacionado con el Primer Método de Lyapunov para analizar la estabilidad) ha recibido un amplio interés en relación con la teoría del caos . Los métodos de estabilidad de Lyapunov también se han aplicado para encontrar soluciones de equilibrio en problemas de asignación de tráfico. ^[8]

Consideremos un sistema dinámico no lineal autónomo

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}}$,

donde denota el vector de estado del sistema , un conjunto abierto que contiene el origen, y es un campo vectorial continuo en . Supongamos que tiene un equilibrio en de modo que entonces${\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle f(x_{e})=0}$

1. Se dice que este equilibrio es estable de Lyapunov si para cada existe un tal que si entonces para cada tenemos .${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon }$
2. Se dice que el equilibrio del sistema anterior es asintóticamente estable si es estable de Lyapunov y existe tal que si entonces .${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0}$
3. Se dice que el equilibrio del sistema anterior es exponencialmente estable si es asintóticamente estable y existen tales que si entonces para todo .${\displaystyle \alpha >0,~\beta >0,~\delta >0}$${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$${\displaystyle t\geq 0}$

Conceptualmente, los significados de los términos anteriores son los siguientes:

1. La estabilidad de Lyapunov de un equilibrio significa que las soluciones que comienzan "suficientemente cerca" del equilibrio (dentro de una distancia de éste) permanecen "suficientemente cerca" para siempre (dentro de una distancia de éste). Nótese que esto debe ser cierto para cualquiera que uno desee elegir.${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$
2. La estabilidad asintótica significa que las soluciones que comienzan lo suficientemente cerca no sólo permanecen lo suficientemente cerca sino que eventualmente convergen al equilibrio.
3. La estabilidad exponencial significa que las soluciones no sólo convergen, sino que de hecho convergen más rápido o al menos tan rápido como una tasa particular conocida .${\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$

La trayectoria es (localmente) atractiva si${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$

${\displaystyle \|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0}$ como ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

para todas las trayectorias que comienzan lo suficientemente cerca de , y globalmente atractivas si esta propiedad se cumple para todas las trayectorias.${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \phi (t)}$

Es decir, si x pertenece al interior de su variedad estable , es asintóticamente estable si es a la vez atractiva y estable. (Hay ejemplos que muestran que la atractividad no implica estabilidad asintótica. ^{[9] [10] [11]} Tales ejemplos son fáciles de crear usando conexiones homoclínicas ).

Si el jacobiano del sistema dinámico en equilibrio resulta ser una matriz de estabilidad (es decir, si la parte real de cada valor propio es estrictamente negativa), entonces el equilibrio es asintóticamente estable.

En lugar de considerar la estabilidad sólo cerca de un punto de equilibrio (una solución constante ), se pueden formular definiciones similares de estabilidad cerca de una solución arbitraria . Sin embargo, se puede reducir el caso más general al de un equilibrio mediante un cambio de variables llamado "sistema de desviaciones". Defina , obedeciendo a la ecuación diferencial:${\displaystyle x(t)=x_{e}}$${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$${\displaystyle y=x-\phi (t)}$

${\displaystyle {\dot {y}}=f(t,y+\phi (t))-{\dot {\phi }}(t)=g(t,y)}$.

Éste ya no es un sistema autónomo, sino que tiene un punto de equilibrio garantizado cuya estabilidad es equivalente a la estabilidad de la solución original . ${\displaystyle y=0}$${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$

Lyapunov, en su trabajo original de 1892, propuso dos métodos para demostrar la estabilidad . ^[1] El primer método desarrolló la solución en una serie que luego se demostró convergente dentro de límites. El segundo método, que ahora se conoce como el criterio de estabilidad de Lyapunov o el método directo, hace uso de una función de Lyapunov V(x) que tiene una analogía con la función potencial de la dinámica clásica. Se presenta de la siguiente manera para un sistema que tiene un punto de equilibrio en . Considere una función tal que${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle V(x)=0}$ Si y sólo si${\displaystyle x=0}$
• ${\displaystyle V(x)>0}$ Si y sólo si${\displaystyle x\neq 0}$
• ${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}f_{i}(x)=\nabla V\cdot f(x)\leq 0}$para todos los valores de . Nota: para estabilidad asintótica, se requiere para .${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0}$${\displaystyle x\neq 0}$

Entonces V(x) se denomina función de Lyapunov y el sistema es estable en el sentido de Lyapunov. (Obsérvese que se requiere; de ​​lo contrario, por ejemplo, "probaría" que es localmente estable). Se requiere una condición adicional llamada "propiedad" o "ilimitación radial" para concluir la estabilidad global. La estabilidad asintótica global (GAS) se deduce de manera similar.${\displaystyle V(0)=0}$${\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)}$${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x}$

Es más fácil visualizar este método de análisis pensando en un sistema físico (por ejemplo, un resorte vibrante y una masa) y considerando la energía de dicho sistema. Si el sistema pierde energía con el tiempo y esta nunca se recupera, eventualmente el sistema debe detenerse y alcanzar un estado de reposo final. Este estado final se llama atractor . Sin embargo, encontrar una función que proporcione la energía precisa de un sistema físico puede ser difícil y, para sistemas matemáticos abstractos, sistemas económicos o sistemas biológicos, el concepto de energía puede no ser aplicable.

La conclusión de Lyapunov fue que se puede demostrar la estabilidad sin necesidad de conocer la verdadera energía física, siempre que se pueda encontrar una función de Lyapunov que satisfaga las restricciones anteriores.

La definición de sistemas de tiempo discreto es casi idéntica a la de sistemas de tiempo continuo. La definición que aparece a continuación la proporciona utilizando un lenguaje alternativo que se utiliza comúnmente en textos más matemáticos.

Sea ( X , d ) un espacio métrico y f  : X → X una función continua . Se dice que un punto x en X es estable según el método de Lyapunov si:

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].}$

Decimos que x es asintóticamente estable si pertenece al interior de su conjunto estable , es decir si,

${\displaystyle \exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].}$

Un modelo de espacio de estados lineal

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$,

donde es una matriz finita, es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable ) si todas las partes reales de los valores propios de son negativos. Esta condición es equivalente a la siguiente: ^[12]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{\textsf {T}}M+MA}$

es definida negativa para alguna matriz definida positiva . (La función de Lyapunov relevante es ).${\displaystyle M=M^{\textsf {T}}}$${\displaystyle V(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$

En consecuencia, un modelo de espacio de estados lineal discreto en el tiempo

${\displaystyle {\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}}$

es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable) si todos los valores propios de tienen un módulo menor que uno.${\displaystyle A}$

Esta última condición se ha generalizado a los sistemas conmutados: un sistema de tiempo discreto conmutado lineal (regido por un conjunto de matrices ).${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

${\displaystyle {{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable) si el radio espectral conjunto del conjunto es menor que uno.${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

Un sistema con entradas (o controles) tiene la forma

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})}$

donde la entrada (generalmente dependiente del tiempo) u(t) puede verse como un control , una entrada externa , un estímulo , una perturbación o una función de fuerza . Se ha demostrado ^[13] que cerca de un punto de equilibrio que es estable según el método de Lyapunov, el sistema permanece estable bajo pequeñas perturbaciones. Para perturbaciones de entrada mayores, el estudio de tales sistemas es el tema de la teoría de control y se aplica en la ingeniería de control . Para sistemas con entradas, se debe cuantificar el efecto de las entradas en la estabilidad del sistema. Los dos enfoques principales para este análisis son la estabilidad BIBO (para sistemas lineales ) y la estabilidad de entrada a estado (ISS) (para sistemas no lineales ).

Este ejemplo muestra un sistema en el que se puede utilizar una función de Lyapunov para demostrar la estabilidad de Lyapunov, pero no se puede demostrar la estabilidad asintótica. Considere la siguiente ecuación, basada en la ecuación del oscilador de Van der Pol con el término de fricción modificado:

${\displaystyle {\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.}$

Dejar

${\displaystyle x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}}$

de manera que el sistema correspondiente sea

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}}$

El origen es el único punto de equilibrio. Elijamos como función de Lyapunov${\displaystyle x_{1}=0,\ x_{2}=0}$

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}$

que es claramente definida positiva . Su derivada es

${\displaystyle {\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.}$

Parece que si el parámetro es positivo, la estabilidad es asintótica para Pero esto es incorrecto, ya que no depende de , y será 0 en todas partes del eje. El equilibrio es estable según el método de Lyapunov pero no asintóticamente estable.${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x_{2}^{2}<3.}$${\displaystyle {\dot {V}}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$

Puede resultar difícil encontrar una función de Lyapunov con una derivada definida negativa, como lo exige el criterio de estabilidad de Lyapunov; sin embargo, puede estar disponible una función que sea solo semidefinida negativa. En sistemas autónomos, el teorema de conjuntos invariantes se puede aplicar para demostrar la estabilidad asintótica, pero este teorema no es aplicable cuando la dinámica es una función del tiempo. ^[14]${\displaystyle V}$${\displaystyle {\dot {V}}}$

En cambio, el lema de Barbalat permite un análisis similar al de Lyapunov de estos sistemas no autónomos. El lema está motivado por las siguientes observaciones. Suponiendo que f es una función del tiempo únicamente:

• Tener no implica que tenga un límite en . Por ejemplo, .${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0}$
• El hecho de haberse acercado a un límite como no implica que . Por ejemplo, .${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$${\displaystyle f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0}$
• Al tener un límite inferior y ser decreciente ( ) implica que converge a un límite. Pero no dice si converge o no a medida que .${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle {\dot {f}}\leq 0}$${\displaystyle {\dot {f}}\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

El lema de Barbalat dice:

Si tiene un límite finito como y si es uniformemente continua (una condición suficiente para la continuidad uniforme es que esté acotada), entonces como . ^[15]${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle {\dot {f}}}$${\displaystyle {\ddot {f}}}$${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

Una versión alternativa es la siguiente:

Sea y . Si y , entonces como ^[16]${\displaystyle p\in [1,\infty )}$${\displaystyle q\in (1,\infty ]}$${\displaystyle f\in L^{p}(0,\infty )}$${\displaystyle {\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )}$${\displaystyle f(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty .}$

En la siguiente forma el Lema es verdadero también en el caso de valor vectorial:

Sea una función uniformemente continua con valores en un espacio de Banach y supongamos que tiene un límite finito cuando . Entonces , cuando . ^[17]${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau }$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle f(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

El siguiente ejemplo está tomado de la página 125 del libro de Slotine y Li Applied Nonlinear Control . ^[14]

Consideremos un sistema no autónomo

${\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)}$

${\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}$

Esto no es autónomo porque la entrada es una función del tiempo. Supongamos que la entrada está acotada.${\displaystyle w}$${\displaystyle w(t)}$

Tomando da${\displaystyle V=e^{2}+g^{2}}$${\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}$

Esto dice que, por las dos primeras condiciones, y por lo tanto y están acotados. Pero no dice nada sobre la convergencia de a cero, ya que es solo semidefinida negativa (nota: puede ser distinta de cero cuando = 0) y la dinámica no es autónoma.${\displaystyle V(t)\leq V(0)}$${\displaystyle e}$${\displaystyle g}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\dot {V}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\dot {V}}}$

Utilizando el lema de Barbalat:

${\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)}$.

Esto está acotado porque , y están acotados. Esto implica que como y por lo tanto . Esto demuestra que el error converge.${\displaystyle e}$${\displaystyle g}$${\displaystyle w}$${\displaystyle {\dot {V}}\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle e\to 0}$

• Función de Lyapunov
• Principio de invariancia de LaSalle
• Teorema de Lyapunov-Malkin
• Conjetura de Markus-Yamabe
• Órbita del punto de libración
• Teorema de Hartman-Grobman
• Teoría de la perturbación

• Bhatia, Nam Parshad; Szegő, Giorgio P. (2002). Teoría de la estabilidad de sistemas dinámicos . Springer. ISBN 978-3-540-42748-3.
• Chervin, Robert (1971). Estabilidad de Lyapunov y control por retroalimentación de sistemas de plasma de dos corrientes (PhD). Universidad de Columbia.
• Gandolfo, Giancarlo (1996). Dinámica económica (tercera edición). Berlín: Springer. pp. 407–428. ISBN 978-3-540-60988-9.
• Parks, PC (1992). "La teoría de estabilidad de A. M. Lyapunov: 100 años después". IMA Journal of Mathematical Control & Information . 9 (4): 275–303. doi :10.1093/imamci/9.4.275.
• Slotine, Jean-Jacques E.; Weiping Li (1991). Control no lineal aplicado . Nueva Jersey: Prentice Hall.
• Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Wiggins, S. (2003). Introducción a los sistemas dinámicos no lineales aplicados y al caos (2.ª ed.). Nueva York: Springer Verlag . ISBN 978-0-387-00177-7.

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