Función holomorfa

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En matemáticas , una función holomorfa es una función de valor complejo de una o más variables complejas que es compleja diferenciable en un entorno de cada punto en un dominio en el espacio de coordenadas complejo . La existencia de una derivada compleja en un entorno es una condición muy fuerte: implica que una función holomorfa es infinitamente diferenciable y localmente igual a su propia serie de Taylor (es analítica ). Las funciones holomorfas son los objetos centrales de estudio en el análisis complejo .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Aunque el término función analítica se utiliza a menudo indistintamente con el de "función holomorfa", la palabra "analítica" se define en un sentido más amplio para denotar cualquier función (real, compleja o de tipo más general) que pueda escribirse como una serie de potencias convergentes en un entorno de cada punto de su dominio . Que todas las funciones holomorfas son funciones analíticas complejas, y viceversa, es un teorema importante en el análisis complejo . ^[1]

Las funciones holomorfas también se denominan a veces funciones regulares . ^[2] Una función holomorfa cuyo dominio es todo el plano complejo se llama función completa . La frase "holomorfa en un punto ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ " significa no solo diferenciable en ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ , sino diferenciable en todas partes dentro de algún entorno cercano de ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ en el plano complejo.

Dada una función de valor complejo de una única${\estilo de visualización f}$ variable compleja, la derivada de en un${\estilo de visualización f}$ punto de su dominio se define${\displaystyle z_{0}}$ como el límite ^[3]

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}} .}$

Esta es la misma definición que para la derivada de una función real , excepto que todas las cantidades son complejas. En particular, el límite se toma como el número complejo ⁠ ⁠${\estilo de visualización z}$ que tiende a ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ , y esto significa que se obtiene el mismo valor para cualquier secuencia de valores complejos para ⁠ ⁠${\estilo de visualización z}$ que tiende a ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ . Si existe el límite, se dice que ⁠ ⁠ es ${\estilo de visualización f}$compleja diferenciable en ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ . Este concepto de diferenciabilidad compleja comparte varias propiedades con la diferenciabilidad real : es lineal y obedece a la regla del producto , la regla del cociente y la regla de la cadena . ^[4]

Una función es holomorfa en un conjunto abierto ⁠ ⁠${\estilo de visualización U}$ si es compleja diferenciable en cada punto de ⁠ ⁠${\estilo de visualización U}$ . Una función ⁠ ⁠${\estilo de visualización f}$ es holomorfa en un punto ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ si es holomorfa en algún entorno de ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ . ^[5] Una función es holomorfa en algún conjunto no abierto ⁠ ⁠${\estilo de visualización A}$ si es holomorfa en cada punto de ⁠ ⁠${\estilo de visualización A}$ .

Una función puede ser compleja diferenciable en un punto pero no holomorfa en ese punto. Por ejemplo, la función es compleja diferenciable en ⁠ ⁠ , pero no es compleja diferenciable en ningún otro lugar, esp. incluyendo ningún lugar cercano a ⁠ ⁠ (ver las ecuaciones de Cauchy–Riemann, a continuación). Por lo tanto, no es holomorfa en ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \textstyle f(z)=|z|{\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

La relación entre diferenciabilidad real y diferenciabilidad compleja es la siguiente: Si una función compleja ⁠ ⁠${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ es holomorfa, entonces ⁠ ⁠${\displaystyle u}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle v}$ tienen primeras derivadas parciales con respecto a ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ , y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann : ^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

o, equivalentemente, la derivada de Wirtinger de ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ con respecto a ⁠ ⁠${\displaystyle {\bar {z}}}$ , el complejo conjugado de ⁠ ⁠${\displaystyle z}$ , es cero: ^[7]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

lo que quiere decir que, aproximadamente, ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ es funcionalmente independiente de ⁠ ⁠${\displaystyle {\bar {z}}}$ , el complejo conjugado de ⁠ ⁠${\displaystyle z}$ .

Si no se da continuidad, la recíproca no es necesariamente cierta. Una recíproca simple es que si ⁠ ⁠${\displaystyle u}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle v}$ tienen derivadas parciales primeras continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ es holomorfa. Una recíproca más satisfactoria, que es mucho más difícil de demostrar, es el teorema de Looman-Menchoff : si ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ es continua, ⁠ ⁠${\displaystyle u}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle v}$ tienen derivadas parciales primeras (pero no necesariamente continuas), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ es holomorfa. ^[8]

El término holomorfo fue introducido en 1875 por Charles Briot y Jean-Claude Bouquet , dos de los estudiantes de Cauchy , y deriva del griego ὅλος ( hólos ) que significa "todo", y μορφή ( morphḗ ) que significa "forma" o "apariencia" o "tipo", en contraste con el término meromórfico derivado de μέρος ( méros ) que significa "parte". Una función holomorfa se asemeja a una función entera ("todo") en un dominio del plano complejo mientras que una función meromórfica (definida como holomorfa excepto en ciertos polos aislados ), se asemeja a una fracción racional ("parte") de funciones enteras en un dominio del plano complejo. ^{[a] [9] [10]} Cauchy había usado en cambio el término sinéctico . ^[b]

En la actualidad, el término "función holomorfa" se prefiere a veces al de "función analítica". Un resultado importante del análisis complejo es que toda función holomorfa es analítica compleja, un hecho que no se desprende de manera obvia de las definiciones. Sin embargo, el término "analítica" también se utiliza ampliamente.

Como la diferenciación compleja es lineal y obedece las reglas del producto, el cociente y la cadena, las sumas, productos y composiciones de funciones holomorfas son holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas es holomorfas siempre que el denominador no sea cero. ^[12] Es decir, si las funciones ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle g}$ son holomorfas en un dominio ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ , entonces también lo son ⁠ ⁠${\displaystyle f+g}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle f-g}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle fg}$ , y ⁠ ⁠${\displaystyle f\circ g}$ . Además, ⁠ ⁠${\displaystyle f/g}$ es holomorfa si ⁠ ⁠${\displaystyle g}$ no tiene ceros en ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ ; de lo contrario, es meromórfica .

Si uno se identifica con${\displaystyle \mathbb {C} }$ el plano real ,${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ entonces las funciones holomorfas coinciden con aquellas funciones de dos variables reales con derivadas primeras continuas que resuelven las ecuaciones de Cauchy-Riemann , un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales . ^[6]

Toda función holomorfa se puede separar en sus partes real e imaginaria ⁠ ⁠${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ , y cada una de ellas es una función armónica en ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ (cada una satisface la ecuación de Laplace ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0}$ ), con ⁠ ⁠${\displaystyle v}$ el conjugado armónico de ⁠ ⁠${\displaystyle u}$ . ^[13] A la inversa, toda función armónica ⁠ ⁠${\displaystyle u(x,y)}$ en un dominio simplemente conexo ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ es la parte real de una función holomorfa: Si ⁠ ⁠${\displaystyle v}$ es el conjugado armónico de ⁠ ⁠${\displaystyle u}$ , único hasta una constante, entonces ⁠ ⁠${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ es holomorfa.

El teorema integral de Cauchy implica que la integral de contorno de cada función holomorfa a lo largo de un bucle se desvanece: ^[14]

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

Aquí ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ hay un camino rectificable en un dominio complejo simplemente conexo ⁠ ⁠${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ cuyo punto de inicio es igual a su punto final, y ⁠ ⁠${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ es una función holomorfa.

La fórmula integral de Cauchy establece que cada función holomorfa dentro de un disco está completamente determinada por sus valores en el borde del disco. ^[14] Además: Supóngase que ⁠ ⁠${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ es un dominio complejo, ⁠ ⁠${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ es una función holomorfa y el disco cerrado ⁠ ⁠${\displaystyle D\equiv \{z:}$ está completamente contenido en ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ . Sea ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ el círculo que forma el borde de ⁠ ⁠${\displaystyle D}$ . Entonces, para cada ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ en el interior de ⁠ ⁠${\displaystyle D}$ :

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z}$

donde la integral del contorno se toma en sentido antihorario .

La derivada ⁠ ⁠${\displaystyle {f'}(a)}$ se puede escribir como una integral de contorno ^[14] utilizando la fórmula de diferenciación de Cauchy :

${\displaystyle f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{2}}}\,\mathrm {d} z,}$

para cualquier bucle simple que se enrolle positivamente una vez alrededor de ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , y

${\displaystyle f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},}$

para bucles positivos infinitesimales ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ alrededor ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ .

En las regiones donde la primera derivada no es cero, las funciones holomorfas son conformes : preservan los ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas. ^[15]

Toda función holomorfa es analítica . Es decir, una función holomorfa ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ tiene derivadas de cada orden en cada punto ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ de su dominio, y coincide con su propia serie de Taylor en ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ en un entorno de ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ . De hecho, ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ coincide con su serie de Taylor en ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ en cualquier disco centrado en ese punto y que se encuentre dentro del dominio de la función.

Desde un punto de vista algebraico, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto es un anillo conmutativo y un espacio vectorial complejo . Además, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto es${\displaystyle U}$ un dominio integral si y solo si el conjunto abierto es conexo${\displaystyle U}$ . ^[7] De hecho, es un espacio vectorial topológico localmente convexo , donde las seminormas son supremas en subconjuntos compactos .

Desde una perspectiva geométrica, una función ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ es holomorfa en ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ si y solo si su derivada exterior ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} f}$ en un entorno ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ es igual a ⁠ ⁠${\displaystyle f'(z)\,\mathrm {d} z}$ para alguna función continua ⁠ ⁠${\displaystyle f'}$ . Se sigue de

${\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}f=\mathrm {d} (f'\,\mathrm {d} z)=\mathrm {d} f'\wedge \mathrm {d} z}$

que ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} f'}$ también es proporcional a ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} z}$ , lo que implica que la derivada ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} f'}$ es en sí misma holomorfa y, por lo tanto, que ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ es infinitamente diferenciable. De manera similar, ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} (f\,\mathrm {d} z)=f'\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} z=0}$ implica que cualquier función ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ que sea holomorfa en la región simplemente conexa ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ también es integrable en ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ .

(Para un camino ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ de ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ a ⁠ ⁠${\displaystyle z}$ que se encuentra completamente en ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ , defina ⁠ ⁠${\displaystyle F_{\gamma }(z)=F(0)+\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} z}$ ; a la luz del teorema de la curva de Jordan y el teorema generalizado de Stokes , ⁠ ⁠${\displaystyle F_{\gamma }(z)}$ es independiente de la elección particular del camino ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ , y por lo tanto ⁠ ⁠${\displaystyle F(z)}$ es una función bien definida en ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ que tiene ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} F=f\,\mathrm {d} z}$ o ⁠ ⁠${\displaystyle f={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} z}}}$ .

Todas las funciones polinómicas en ⁠ ⁠ con ${\displaystyle z}$coeficientes complejos son funciones enteras (holomorfas en todo el plano complejo ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$ ), y también lo son la función exponencial ⁠ ⁠${\displaystyle \exp z}$ y las funciones trigonométricas ⁠ ⁠${\displaystyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ (cf. fórmula de Euler ). La rama principal de la función logaritmo compleja ⁠ ⁠${\displaystyle \log z}$ es holomorfa en el dominio ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}}$ . La función raíz cuadrada se puede definir como ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ y, por lo tanto, es holomorfa dondequiera que esté el logaritmo ⁠ ⁠${\displaystyle \log z}$ . La función recíproca ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$ es holomorfa en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{0\}}$ . (La función recíproca, y cualquier otra función racional , es meromórfica en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$ .)

Como consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann , cualquier función holomorfa de valor real debe ser constante . Por lo tanto, el valor absoluto , el argumento , la parte real y la parte imaginaria no son holomorfas . Otro ejemplo típico de una función continua que no es holomorfa es el conjugado complejo (el conjugado complejo es antiholomorfa ) .${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)}$ ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

La definición de una función holomorfa se generaliza a varias variables complejas de una manera sencilla. Una función ⁠ ⁠${\displaystyle f\colon (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$ en ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ variables complejas es analítica en un punto ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ si existe un entorno de ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ en el que ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ es igual a una serie de potencias convergentes en ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ variables complejas; ^[16] la función ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ es holomorfa en un subconjunto abierto ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ si es analítica en cada punto de ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ . El lema de Osgood muestra (usando la fórmula integral multivariante de Cauchy) que, para una función continua ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ , esto es equivalente a ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ ser holomorfa en cada variable por separado (lo que significa que si alguna de las coordenadas de ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ es fija, entonces la restricción de ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ es una función holomorfa de la coordenada restante). El teorema de Hartogs, mucho más profundo, demuestra que el supuesto de continuidad es innecesario: ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ es holomorfa si y solo si es holomorfa en cada variable por separado.

De manera más general, una función de varias variables complejas que es integrable al cuadrado sobre cada subconjunto compacto de su dominio es analítica si y sólo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el sentido de distribuciones.

Las funciones de varias variables complejas son, en algunos aspectos básicos, más complicadas que las funciones de una única variable compleja. Por ejemplo, la región de convergencia de una serie de potencias no es necesariamente una esfera abierta; estas regiones son dominios de Reinhardt logarítmicamente convexos , cuyo ejemplo más simple es un polidisco . Sin embargo, también tienen algunas restricciones fundamentales. A diferencia de las funciones de una única variable compleja, los posibles dominios en los que hay funciones holomorfas que no se pueden extender a dominios más grandes son muy limitados. Un conjunto de este tipo se denomina dominio de holomorfía .

Una forma diferencial compleja es ${\displaystyle (p,0)}$ holomorfa si y solo si su derivada de Dolbeault antiholomórfica es cero :${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$

El concepto de función holomorfa se puede extender a los espacios de dimensión infinita del análisis funcional . Por ejemplo, la derivada de Fréchet o de Gateaux se puede utilizar para definir una noción de función holomorfa en un espacio de Banach sobre el cuerpo de números complejos.

• Blakey, Joseph (1958). Matemáticas universitarias (2.ª ed.). Londres, Reino Unido: Blackie and Sons. OCLC  2370110.

• "Función analítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]