Grupo espacial

En matemáticas , física y química , un grupo espacial es el grupo de simetría de un patrón repetitivo en el espacio, generalmente en tres dimensiones . ^[1] Los elementos de un grupo espacial (sus operaciones de simetría ) son las transformaciones rígidas del patrón que lo dejan inalterado. En tres dimensiones, los grupos espaciales se clasifican en 219 tipos distintos, o 230 tipos si las copias quirales se consideran distintas. Los grupos espaciales son grupos cocompactos discretos de isometrías de un espacio euclidiano orientado en cualquier número de dimensiones. En dimensiones distintas de 3, a veces se les llama grupos de Bieberbach .

En cristalografía , los grupos espaciales también se denominan grupos cristalográficos o grupos de Fedorov y representan una descripción de la simetría del cristal. Una fuente definitiva sobre los grupos espaciales tridimensionales son las Tablas Internacionales de Cristalografía de Hahn (2002).

Los grupos espaciales en dos dimensiones son los 17 grupos de papel tapiz que se conocen desde hace varios siglos, aunque la prueba de que la lista estaba completa recién se dio en 1891, después de que la clasificación mucho más difícil de los grupos espaciales se hubiera completado en gran medida. ^[2]

En 1879 el matemático alemán Leonhard Sohncke enumeró los 65 grupos espaciales (llamados grupos de Sohncke) cuyos elementos conservan la quiralidad . ^[3] Más exactamente, enumeró 66 grupos, pero tanto el matemático y cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov como el matemático alemán Arthur Moritz Schoenflies notaron que dos de ellos eran realmente los mismos. Los grupos espaciales en tres dimensiones fueron enumerados por primera vez en 1891 por Fedorov ^[4] (cuya lista tenía dos omisiones (I 4 3d y Fdd2) y una duplicación (Fmm2)), y poco después en 1891 fueron enumerados independientemente por Schönflies ^[5] (cuya lista tenía cuatro omisiones (I 4 3d, Pc, Cc, ?) y una duplicación (P 4 2 ₁ m)). La lista correcta de 230 grupos espaciales fue encontrada en 1892 durante la correspondencia entre Fedorov y Schönflies. ^[6] William Barlow  (1894) posteriormente enumeró los grupos con un método diferente, pero omitió cuatro grupos (Fdd2, I 4 2d, P 4 2 ₁ d, y P 4 2 ₁ c) a pesar de que ya tenía la lista correcta de 230 grupos de Fedorov y Schönflies; la afirmación común de que Barlow desconocía su trabajo es incorrecta. ^{[ cita requerida ]} Burckhardt (1967) describe la historia del descubrimiento de los grupos espaciales en detalle.

Los grupos espaciales en tres dimensiones se forman a partir de combinaciones de los 32 grupos puntuales cristalográficos con las 14 redes de Bravais , cada una de las cuales pertenece a uno de los 7 sistemas de redes . Esto significa que la acción de cualquier elemento de un grupo espacial dado se puede expresar como la acción de un elemento del grupo puntual apropiado seguida opcionalmente de una traslación. Un grupo espacial es, por tanto, una combinación de la simetría traslacional de una celda unitaria (incluido el centrado de la red ), las operaciones de simetría de grupo puntual de reflexión , rotación y rotación impropia (también llamada rotoinversión) y las operaciones de simetría de eje de tornillo y plano de deslizamiento . La combinación de todas estas operaciones de simetría da como resultado un total de 230 grupos espaciales diferentes que describen todas las simetrías cristalinas posibles.

El número de réplicas de la unidad asimétrica en una celda unitaria es, por lo tanto, el número de puntos reticulares en la celda multiplicado por el orden del grupo de puntos. Esto varía de 1 en el caso del grupo espacial P1 a 192 para un grupo espacial como Fm 3 m, la estructura NaCl .

Los elementos del grupo espacial que fijan un punto del espacio son el elemento identidad, las reflexiones, las rotaciones y las rotaciones impropias , incluidos los puntos de inversión .

Las traslaciones forman un subgrupo abeliano normal de rango 3, llamado red de Bravais (así llamada en honor al físico francés Auguste Bravais ). Hay 14 tipos posibles de red de Bravais. El cociente del grupo espacial por la red de Bravais es un grupo finito que es uno de los 32 grupos puntuales posibles .

Un plano de deslizamiento es una reflexión en un plano, seguida de una traslación paralela a ese plano. Esto se indica mediante , , o , dependiendo de qué eje se encuentre el deslizamiento. También existe el deslizamiento, que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de una diagonal de una cara, y el deslizamiento, que es un cuarto del camino a lo largo de una cara o diagonal espacial de la celda unitaria. Este último se denomina plano de deslizamiento de diamante, ya que aparece en la estructura de diamante . En 17 grupos espaciales, debido al centrado de la celda, los deslizamientos ocurren en dos direcciones perpendiculares simultáneamente, es decir, el mismo plano de deslizamiento puede llamarse b o c , a o b , a o c . Por ejemplo, el grupo Abm2 también podría llamarse Acm2, el grupo Ccca podría llamarse Cccb. En 1992, se sugirió utilizar el símbolo e para dichos planos. Se han modificado los símbolos de cinco grupos espaciales:${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización d}$

Un eje de tornillo es una rotación sobre un eje, seguida de una traslación a lo largo de la dirección del eje. Estos se indican con un número, n , para describir el grado de rotación, donde el número es la cantidad de operaciones que se deben aplicar para completar una rotación completa (por ejemplo, 3 significaría una rotación de un tercio del camino alrededor del eje cada vez). Luego, el grado de traslación se agrega como un subíndice que muestra qué tan lejos a lo largo del eje se encuentra la traslación, como una parte del vector reticular paralelo. Entonces, 2 ₁ es una rotación doble seguida de una traslación de 1/2 del vector reticular.

La fórmula general para la acción de un elemento de un grupo espacial es

y = M . x + D

donde M es su matriz, D es su vector, y donde el elemento transforma el punto x en el punto y . En general, D = D ( red ) + D ( M ), donde D ( M ) es una función única de M que es cero para M siendo la identidad. Las matrices M forman un grupo puntual que es una base del grupo espacial; la red debe ser simétrica bajo ese grupo puntual, pero la estructura cristalina en sí misma puede no ser simétrica bajo ese grupo puntual tal como se aplica a cualquier punto particular (es decir, sin una traslación). Por ejemplo, la estructura cúbica del diamante no tiene ningún punto donde se aplique el grupo puntual cúbico .

La dimensión reticular puede ser menor que la dimensión total, lo que da como resultado un grupo espacial "subperiódico". Para (dimensión total, dimensión reticular):

• (1,1): Grupos de líneas unidimensionales
• (2,1): Grupos de líneas bidimensionales : grupos de frisos
• (2,2): Grupos de fondos de pantalla
• (3,1): Grupos de líneas tridimensionales ; con los grupos puntuales cristalográficos 3D, los grupos de varillas
• (3,2): Grupos de capas
• (3,3): Los grupos espaciales analizados en este artículo

Los 65 grupos espaciales de "Sohncke", que no contienen espejos, puntos de inversión, rotaciones impropias ni planos de deslizamiento, dan lugar a cristales quirales , no idénticos a su imagen especular; mientras que los grupos espaciales que sí incluyen al menos uno de ellos dan lugar a cristales aquirales. Las moléculas aquirales a veces forman cristales quirales, pero las moléculas quirales siempre forman cristales quirales, en uno de los grupos espaciales que lo permiten.

Entre los 65 grupos de Sohncke hay 22 que vienen en 11 pares enantiomórficos .

En un grupo espacial sólo son posibles determinadas combinaciones de elementos de simetría. Las traslaciones están siempre presentes, y el grupo espacial P1 sólo tiene traslaciones y el elemento identidad. La presencia de espejos implica también planos de deslizamiento, y la presencia de ejes de rotación implica también ejes de tornillo, pero la inversa no es cierta. Una inversión y un espejo implican ejes de tornillo dobles, y así sucesivamente.

Existen al menos diez métodos para nombrar grupos espaciales. Algunos de estos métodos pueden asignar varios nombres diferentes al mismo grupo espacial, por lo que en total existen miles de nombres diferentes.

Número

La Unión Internacional de Cristalografía publica tablas de todos los tipos de grupos espaciales y asigna a cada uno un número único del 1 al 230. La numeración es arbitraria, excepto que a los grupos con el mismo sistema cristalino o grupo puntual se les asignan números consecutivos.

Notación Hall ^[7]

Notación de grupos espaciales con un origen explícito. Los símbolos de rotación, traslación y dirección de ejes están claramente separados y los centros de inversión están definidos explícitamente. La construcción y el formato de la notación la hacen particularmente adecuada para la generación de información de simetría por computadora. Por ejemplo, el grupo número 3 tiene tres símbolos Hall: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).

Notación de Schönflies

Los grupos espaciales con un grupo puntual determinado se numeran con los números 1, 2, 3, ... (en el mismo orden que su número internacional) y este número se añade como superíndice al símbolo de Schönflies para el grupo puntual. Por ejemplo, los grupos números 3 a 5 cuyo grupo puntual es C ₂ tienen símbolos de Schönflies C¹
₂, C²
₂, C³
₂.

Notación de Coxeter

Grupos de simetría espacial y puntual, representados como modificaciones de los grupos de Coxeter reflexivos puros .

Notación geométrica ^[9]

Una notación de álgebra geométrica .

Existen (al menos) 10 formas diferentes de clasificar los grupos espaciales en clases. Las relaciones entre algunas de ellas se describen en la siguiente tabla. Cada sistema de clasificación es un refinamiento de los que se encuentran debajo. Para comprender una explicación dada aquí, puede ser necesario comprender la siguiente.

Conway , Delgado Friedrichs y Huson et al. (2001) dieron otra clasificación de los grupos espaciales, llamada notación de fibrillas , según las estructuras de fibrillas en las orbifold correspondientes . Dividieron los 219 grupos espaciales afines en grupos reducibles e irreducibles. Los grupos reducibles se dividen en 17 clases correspondientes a los 17 grupos de papel tapiz , y los 35 grupos irreducibles restantes son los mismos que los grupos cúbicos y se clasifican por separado.

En n dimensiones, un grupo espacial afín, o grupo de Bieberbach , es un subgrupo discreto de isometrías del espacio euclidiano n -dimensional con un dominio fundamental compacto. Bieberbach (1911, 1912) demostró que el subgrupo de traslaciones de cualquier grupo de este tipo contiene n traslaciones linealmente independientes, y es un subgrupo abeliano libre de índice finito, y es también el único subgrupo abeliano normal maximalista. También demostró que en cualquier dimensión n solo hay un número finito de posibilidades para la clase de isomorfismo del grupo subyacente de un grupo espacial, y además la acción del grupo en el espacio euclidiano es única hasta la conjugación por transformaciones afines. Esto responde a parte del decimoctavo problema de Hilbert . Zassenhaus (1948) demostró que, a la inversa, cualquier grupo que sea la extensión ^{[ cuando se define como? ]} de Z ⁿ por un grupo finito que actúa fielmente es un grupo espacial afín . La combinación de estos resultados muestra que clasificar grupos espaciales en n dimensiones hasta la conjugación mediante transformaciones afines es esencialmente lo mismo que clasificar clases de isomorfismo para grupos que son extensiones de Z ⁿ por un grupo finito que actúa fielmente.

En los teoremas de Bieberbach es esencial suponer que el grupo actúa como isometrías; los teoremas no se generalizan a grupos cocompactos discretos de transformaciones afines del espacio euclidiano. Un contraejemplo lo da el grupo de Heisenberg tridimensional de los números enteros que actúan por traslaciones sobre el grupo de Heisenberg de los números reales, identificado con el espacio euclidiano tridimensional. Se trata de un grupo cocompacto discreto de transformaciones afines del espacio, pero no contiene un subgrupo Z ³ .

Esta tabla muestra el número de tipos de grupos espaciales en pequeñas dimensiones, incluidos los números de varias clases de grupos espaciales. Los números de pares enantiomórficos se indican entre paréntesis.

Además de los grupos espaciales cristalográficos, también existen los grupos espaciales magnéticos (también llamados grupos cristalográficos de dos colores (blanco y negro) o grupos de Shubnikov ). Estas simetrías contienen un elemento conocido como inversión temporal. Tratan el tiempo como una dimensión adicional, y los elementos del grupo pueden incluir la inversión temporal como reflexión en él. Son importantes en las estructuras magnéticas que contienen espines no apareados ordenados, es decir, estructuras ferro- , ferri- o antiferromagnéticas estudiadas por difracción de neutrones . El elemento de inversión temporal invierte un espín magnético mientras deja todas las demás estructuras iguales y se puede combinar con varios otros elementos de simetría. Incluyendo la inversión temporal, hay 1651 grupos espaciales magnéticos en 3D (Kim 1999, p.428). También ha sido posible construir versiones magnéticas para otras dimensiones generales y reticulares (artículos de Daniel Litvin, (Litvin 2008), (Litvin 2005)). Los grupos de frisos son grupos de líneas 1D magnéticos y los grupos de capas son grupos de papel tapiz magnéticos, y los grupos de puntos 3D axiales son grupos de puntos 2D magnéticos. Número de grupos originales y magnéticos por dimensión (general, reticular): (Palistrant 2012) (Souvignier 2006)

Dimensión total	Dimensión de la red	Grupos ordinarios			Grupos magnéticos
		Nombre	Símbolo	Contar	Símbolo	Contar
0	0	Grupo de simetría de dimensión cero	$Estilo de visualización G_{0}$	1	$Estilo de visualización G_{0}^{1}}$	2
1	0	Grupos de puntos unidimensionales	$Estilo de visualización G_{10}$	2	$Estilo de visualización G_{10}^{1}}$	5
	1	Grupos de simetría discretos unidimensionales	$Estilo de visualización G_{1}$	2	$Estilo de visualización G_{1}^{1}}$	7
2	0	Grupos de puntos bidimensionales	$Estilo de visualización G_{20}$	10	$Estilo de visualización G_{20}^{1}}$	31
	1	Grupos de frisos	$Estilo de visualización G_{21}$	7	$Estilo de visualización G_{21}^{1}}$	31
	2	Grupos de fondos de pantalla	$Estilo de visualización G_{2}$	17	$Estilo de visualización G_{2}^{1}}$	80
3	0	Grupos de puntos tridimensionales	$Estilo de visualización G_{30}$	32	$Estilo de visualización G_{30}^{1}}$	122
	1	Grupos de varillas	$Estilo de visualización G_{31}$	75	$Estilo de visualización G_{31}^{1}}$	394
	2	Grupos de capas	$Estilo de visualización G_{32}$	80	$Estilo de visualización G_{32}^{1}}$	528
	3	Grupos espaciales tridimensionales	$Estilo de visualización G3$	230	$Estilo de visualización G_{3}^{1}}$	1651
4	0	Grupos de puntos de cuatro dimensiones	$Estilo de visualización G_{40}$	271	$Estilo de visualización G_{40}^{1}}$	1202
	1		$Estilo de visualización G_{41}$	343
	2		$Estilo de visualización G_{42}$	1091
	3		$Estilo de visualización G_{43}$	1594
	4	Grupos de simetría discretos de cuatro dimensiones	$Estilo de visualización G_{4}$	4894	$Estilo de visualización G_{4}^{1}}$	62227

Tabla de grupos de papel tapiz utilizando la clasificación de los grupos espaciales bidimensionales:

Sistema cristalino , red de Bravais	Clase geométrica, grupo de puntos					Clase de aritmética	Grupos de fondos de pantalla (diagrama de celdas)
	Internacional	Hermoso.	Plegado orbi	Timonel.	Ordenanza.
Oblicuo	1	C 1	(1)	[ ] +	1	Ninguno	pág. 1 (1)
	2	C 2	(22)	[2] +	2	Ninguno	pág. 2 (2222)
Rectangular	metro	D1​	(*)	[ ]	2	A lo largo de	tarde (**)		pág. (××)
	2 mm	D2​	(*22)	[2]	4	A lo largo de	pmm (*2222)		pmg (22*)
Rectángulo centrado	metro	D1​	(*)	[ ]	2	Entre	cm (*×)
	2 mm	D2​	(*22)	[2]	4	Entre	cmm (2*22)		página (22×)
Cuadrado	4	C 4	(44)	[4] +	4	Ninguno	pág. 4 (442)
	4 mm	D4​	(*44)	[4]	8	Ambos	p4m (*442)		p4g (4*2)
Hexagonal	3	C 3	(33)	[3] +	3	Ninguno	pág. 3 (333)
	3 m	D3​	(*33)	[3]	6	Entre	p3m1 (*333)		p31m (3*3)
	6	C 6	(66)	[6] +	6	Ninguno	pág. 6 (632)
	6 mm	D6​	(*66)	[6]	12	Ambos	p6m (*632)

Para cada clase geométrica, las posibles clases aritméticas son

• Ninguno: sin líneas de reflexión
• A lo largo de: líneas de reflexión a lo largo de direcciones reticulares
• Entre: líneas de reflexión a medio camino entre las direcciones de la red
• Ambos: líneas de reflexión tanto a lo largo como entre direcciones de la red

No.	Sistema cristalino , (cuenta), red de Bravais	Grupo de puntos					Grupos espaciales (símbolo internacional corto)
		Internacional	Hermoso.	Plegado orbi	Timonel.	Ordenanza.
1	Triclínica (2)	1	C 1	11	[ ] +	1	P1
2		1	C yo	1×	[2 + ,2 + ]	2	Pág. 1
3–5	Monoclínico (13)	2	C 2	22	[2] +	2	P2, P2 1 C2
6–9		metro	C s	*11	[ ]	2	Pm, Pc Cm, Cc
10–15		2/metro	C 2 horas	2*	[2,2 + ]	4	P2/m, P2 1 /m C2/m, P2/c, P2 1 /c C2/c
16–24	Ortorrómbico (59)	222	D2​	222	[2,2] +	4	P222, P222 1 , P2 1 2 1 2, P2 1 2 1 2 1 , C222 1 , C222, F222, I222, I2 1 2 1 2 1
25–46		mm2	C2v​	*22	[2]	4	Pmm2, Pmc2 1 , Pcc2, Pma2, Pca2 1, Pnc2, Pmn2 1 , Pba2, Pna2 1 , Pnn2 Cmm2, Cmc2 1 , Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2
47–74		mmm	D 2 horas	*222	[2,2]	8	Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd Immm, Ibam, Ibca , mamá
75–80	Tetragonal (68)	4	C 4	44	[4] +	4	P4, P4 1 , P4 2 , P4 3 , I4, I4 1
81–82		4	S 4	2×	[2 + ,4 + ]	4	P 4 , yo 4
83–88		4/m	C 4 horas	4*	[2,4 + ]	8	P4/m, P4 2 /m, P4/n, P4 2 /n I4/m, I4 1 /a
89–98		422	D4​	224	[2,4] +	8	P422, P42 1 2, P4 1 22, P4 1 2 1 2, P4 2 22, P4 2 2 1 2, P4 3 22, P4 3 2 1 2 I422, I4 1 22
99–110		4 mm	C 4v	*44	[4]	8	P4mm, P4bm, P4 2 cm, P4 2 nm, P4cc, P4nc, P4 2 mc, P4 2 bc , I4mm, I4cm, I4 1 md, I4 1 cd
111–122		4,2 m	D 2d	2*2	[2 + ,4]	8	P 4 2 m, P 4 2 c, P 4 2 1 m, P 4 2 1 c, P 4 m2, P 4 c2, P 4 b2, P 4 n2 I 4 m2, I 4 c2, I 4 2 m, I 4 2d
123–142		4/mmm	D 4 horas	*224	[2,4]	16	P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P4 2 /mmc, P4 2 /mcm, P4 2 /nbc, P4 2 /nnm, P4 2 /mbc, P4 2 /mnm, P4 2 /nmc, P4 2 /ncm I4/mmm, I4/mcm, I4 1 /amd, I4 1 /acd
143–146	Trigonal (25)	3	C 3	33	[3] +	3	P3, P3 1 , P3 2 R3
147–148		3	S 6	3×	[2 + ,6 + ]	6	P3 , R3​
149–155		32	D3​	223	[2,3] +	6	P312, P321, P3 1 12, P3 1 21, P3 2 12, P3 2 21 R32
156–161		3 m	C 3v	*33	[3]	6	P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c
162–167		3 metros	D 3d	2*3	[2 + ,6]	12	P3 1m , P3 1c , P3 m1 , P3 c1 R3 m , R3 c
168–173	Hexagonal (27)	6	C 6	66	[6] +	6	P6, P6 1 , P6 5 , P6 2 , P6 4 , P6 3
174		6	C 3 horas	3*	[2,3 + ]	6	Pág. 6
175–176		6/m	C 6 horas	6*	[2,6 + ]	12	P6/metro, P6 3 /metro
177–182		622	D6​	226	[2,6] +	12	P622 , P6122 , P6522 , P6222 , P6422 , P6322
183–186		6 mm	C 6v	*66	[6]	12	P6 mm, P6 cc, P6 3 cm, P6 3 mc
187–190		6m2​	D 3 horas	*223	[2,3]	12	P 6 m2, P 6 c2, P 6 2m, P 6 2c
191–194		6/mmm	D 6 horas	*226	[2,6]	24	P6/mmm, P6/mcc, P6 3 /mcm, P6 3 /mmc
195–199	Cúbico (36)	23	yo	332	[3,3] +	12	P23, F23, I23 P2 1 3, I2 1 3
200–206		metros 3	El​	3*2	[3 + ,4]	24	Pm3 , Pn3 , Fm3 , Fd3 , Im3 , Pa3 , Ia3​
207–214		432	Oh	432	[3,4] +	24	P432, P4 2 32 F432, F4 1 32 I432 P4 3 32, P4 1 32, I4 1 32
215–220		4 3 m	T.D.​	*332	[3,3]	24	P 4 3m, F 4 3m, Yo 4 3m P 4 3n, F 4 3c, Yo 4 3d
221–230		metros cúbicos​	Oh​	*432	[3,4]	48	Pm 3 m, Pn 3 n, Pm 3 n, Pn 3 m Fm 3 m, Fm 3 c, Fd 3 m, Fd 3 c Im 3 m, Ia 3 d

Nota: Un plano e es un plano de doble deslizamiento, es decir, que se desliza en dos direcciones diferentes. Se encuentran en siete grupos espaciales ortorrómbicos, cinco tetragonales y cinco cúbicos, todos con red centrada. El uso del símbolo e se oficializó con Hahn (2002).

El sistema reticular se puede encontrar de la siguiente manera. Si el sistema cristalino no es trigonal, entonces el sistema reticular es del mismo tipo. Si el sistema cristalino es trigonal, entonces el sistema reticular es hexagonal a menos que el grupo espacial sea uno de los siete en el sistema reticular romboédrico que consiste en los 7 grupos espaciales trigonales en la tabla anterior cuyo nombre comienza con R. (El término sistema romboédrico también se usa a veces como un nombre alternativo para todo el sistema trigonal). El sistema reticular hexagonal es más grande que el sistema cristalino hexagonal y consiste en el sistema cristalino hexagonal junto con los 18 grupos del sistema cristalino trigonal distintos de los siete cuyos nombres comienzan con R.

La red de Bravais del grupo espacial está determinada por el sistema de red junto con la letra inicial de su nombre, que para los grupos no romboédricos es P, I, F, A o C, que representan la red principal, centrada en el cuerpo, centrada en las caras, centrada en las caras A o centrada en las caras C. Hay siete grupos espaciales romboédricos, con la letra inicial R.

1. Dejemos de lado el tipo Bravais
2. Convierte todos los elementos de simetría con componentes traslacionales en sus respectivos elementos de simetría sin simetría traslacional (los planos de deslizamiento se convierten en planos de espejo simples; los ejes de tornillo se convierten en ejes de rotación simples)
3. Los ejes de rotación, los ejes de rotoinversión y los planos de espejo permanecen sin cambios.

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• Unión Internacional de Cristalografía
• Grupos de puntos y redes de Bravais Archivado el 16 de julio de 2012 en Wayback Machine
• [1] Servidor Cristalográfico de Bilbao
• Información del grupo espacial (antigua)
• Información del grupo espacial (nueva)
• Estructuras de red cristalina: índice por grupo espacial
• Lista completa de 230 grupos espaciales cristalográficos
• Visualización 3D interactiva de los 230 grupos espaciales cristalográficos Archivado el 18 de abril de 2021 en Wayback Machine
• Huson, Daniel H. (1999), La notación y clasificación de fibrillas para grupos espaciales 3D (PDF)^{[ enlace muerto permanente ]}
• El Centro de Geometría: 2.1 Fórmulas para Simetrías en Coordenadas Cartesianas (dos dimensiones)
• El Centro de Geometría: 10.1 Fórmulas para Simetrías en Coordenadas Cartesianas (tres dimensiones)