Quiralidad (matemáticas)

En geometría , una figura es quiral (y se dice que tiene quiralidad ) si no es idéntica a su imagen especular o, más precisamente, si no se puede representar en su imagen especular solo mediante rotaciones y traslaciones . Un objeto que no es quiral se dice que es aquiral .

Se dice que un objeto quiral y su imagen especular son enantiomorfos . La palabra quiralidad se deriva del griego χείρ (cheir), la mano, el objeto quiral más conocido; la palabra enantiomorfo proviene del griego ἐναντίος (enantios), 'opuesto' + μορφή (morphe), 'forma'.

Los tetrominós S y Z son enantiomorfos en 2 dimensiones.

S	O

A algunos objetos tridimensionales quirales, como la hélice , se les puede asignar una lateralidad derecha o izquierda , según la regla de la mano derecha .

Muchos otros objetos familiares presentan la misma simetría quiral del cuerpo humano, como los guantes y los zapatos. Los zapatos derechos se diferencian de los izquierdos solo en que son imágenes especulares entre sí. Por el contrario, los guantes finos pueden no considerarse quirales si se pueden usar al revés. ^[1]

Los tetrominós en forma de J, L, S y Z del popular videojuego Tetris también presentan quiralidad, pero solo en un espacio bidimensional. Individualmente no presentan simetría especular en el plano.

Una figura es aquiral si y solo si su grupo de simetría contiene al menos una isometría de inversión de orientación . (En geometría euclidiana, cualquier isometría se puede escribir como con una matriz ortogonal y un vector . El determinante de es entonces 1 o −1. Si es −1, la isometría es de inversión de orientación; de lo contrario, preserva la orientación.${\displaystyle v\mapsto Av+b}$ ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización A}$

Existe una definición general de quiralidad basada en la teoría de grupos. ^[2] No hace referencia a ningún concepto de orientación: una isometría es directa si y solo si es un producto de cuadrados de isometrías, y si no, es una isometría indirecta. La definición de quiralidad resultante funciona en el espacio-tiempo. ^{[3] [4]}

En dos dimensiones, toda figura que posee un eje de simetría es aquiral, y se puede demostrar que toda figura aquiral acotada debe tener un eje de simetría. (Un eje de simetría de una figura es una línea , tal que es invariante bajo la aplicación , cuando se elige como el eje - del sistema de coordenadas). Por esa razón, un triángulo es aquiral si es equilátero o isósceles , y es quiral si es escaleno .${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y)}$${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización x}$

Considere el siguiente patrón:

Esta figura es quiral, ya que no es idéntica a su imagen reflejada:

Pero si se prolonga el patrón en ambas direcciones hasta el infinito, se obtiene una figura aquiral (ilimitada) que no tiene eje de simetría. Su grupo de simetría es un grupo de friso generado por una única reflexión de deslizamiento .

En tres dimensiones, toda figura que posee un plano de simetría especular S ₁ , un centro de simetría de inversión S ₂ o un eje de simetría de rotación impropia (rotorreflexión) S _n ^{superior [5]} es aquiral. (Un plano de simetría de una figura es un plano , tal que es invariante bajo la aplicación , cuando se elige como el plano - del sistema de coordenadas. Un centro de simetría de una figura es un punto , tal que es invariante bajo la aplicación , cuando se elige como el origen del sistema de coordenadas). Nótese, sin embargo, que hay figuras aquirales que carecen tanto de plano como de centro de simetría. Un ejemplo es la figura${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,y,-z)}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$${\estilo de visualización C}$

${\displaystyle F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}}$

que es invariante bajo la isometría de inversión de orientación y por lo tanto aquiral, pero no tiene ni plano ni centro de simetría. La figura${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)}$

${\displaystyle F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}}$

También es aquiral ya que el origen es un centro de simetría, pero carece de un plano de simetría.

Las figuras aquirales pueden tener un eje central .

Un nudo se denomina aquiral si puede deformarse continuamente hasta convertirse en su imagen especular; de lo contrario, se denomina nudo quiral . Por ejemplo, el nudo desuniforme y el nudo en forma de ocho son aquirales, mientras que el nudo de trébol es quiral.

• Politopo quiral
• Quiralidad (física)
• Paridad (física)
• Quiralidad (química)
• Asimetría
• Oblicuidad
• Álgebra de vértices

• Flapan, Erica (2000). Cuando la topología se encuentra con la química . Perspectivas. Cambridge University Press y Mathematical Association of America. ISBN 0-521-66254-0.

• Simetría, quiralidad, medidas de simetría y medidas de quiralidad: definiciones generales
• Poliedros quirales de Eric W. Weisstein , The Wolfram Demonstrations Project .
• Variedad quiral en el Atlas de Variedades.