Elipse

En matemáticas , una elipse es una curva plana que rodea dos puntos focales , de modo que para todos los puntos de la curva, la suma de las dos distancias a los puntos focales es una constante. Generaliza un círculo , que es el tipo especial de elipse en el que los dos puntos focales son iguales. La elongación de una elipse se mide por su excentricidad , un número que va desde (el caso límite de un círculo) hasta (el caso límite de elongación infinita, ya no una elipse sino una parábola ).${\estilo de visualización e}$${\displaystyle e=0}$${\displaystyle e=1}$

Una elipse tiene una solución algebraica simple para su área, pero para su perímetro (también conocido como circunferencia ) se requiere integración para obtener una solución exacta.

Analíticamente , la ecuación de una elipse estándar centrada en el origen con ancho y alto es:${\estilo de visualización 2a}$${\estilo de visualización 2b}$$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Suponiendo que los focos son para . La ecuación paramétrica estándar es:${\displaystyle a\geq b}$${\displaystyle (\pm c,0)}$${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$$${\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{para}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}$$

Las elipses son el tipo cerrado de sección cónica : una curva plana que traza la intersección de un cono con un plano (ver figura). Las elipses tienen muchas similitudes con las otras dos formas de secciones cónicas, las parábolas y las hipérbolas , ambas abiertas e ilimitadas . Una sección transversal en ángulo de un cilindro circular recto también es una elipse.

Una elipse también puede definirse en términos de un foco y una línea exterior a la elipse llamada directriz: para todos los puntos de la elipse, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es constante. Esta relación constante es la excentricidad mencionada anteriormente:$${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

Las elipses son comunes en física , astronomía e ingeniería . Por ejemplo, la órbita de cada planeta del Sistema Solar es aproximadamente una elipse con el Sol en un punto focal (más precisamente, el foco es el baricentro del par Sol-planeta). Lo mismo es cierto para las lunas que orbitan planetas y todos los demás sistemas de dos cuerpos astronómicos. Las formas de los planetas y las estrellas a menudo se describen bien mediante elipsoides . Un círculo visto desde un ángulo lateral parece una elipse: es decir, la elipse es la imagen de un círculo bajo una proyección paralela o en perspectiva . La elipse es también la figura de Lissajous más simple formada cuando los movimientos horizontales y verticales son sinusoides con la misma frecuencia: un efecto similar conduce a la polarización elíptica de la luz en óptica .

El nombre, ἔλλειψις ( élleipsis , "omisión"), fue dado por Apolonio de Perge en sus Cónicas .

Una elipse se puede definir geométricamente como un conjunto o lugar geométrico de puntos en el plano euclidiano:

Dados dos puntos fijos llamados focos y una distancia que es mayor que la distancia entre los focos, la elipse es el conjunto de puntos tales que la suma de las distancias es igual a :$Estilo de visualización F_{1},F_{2}}$${\estilo de visualización 2a}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|}$${\estilo de visualización 2a}$$${\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,\left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a\right\}.}$$

El punto medio del segmento de línea que une los focos se llama centro de la elipse. La línea que pasa por los focos se llama eje mayor y la línea perpendicular a ella que pasa por el centro se llama eje menor .${\estilo de visualización C}$El eje mayor corta la elipse en dos vértices que tienen una distancia al centro de . La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal. El cociente es la excentricidad .$Estilo de visualización V_{1}, V_{2}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización c}$${\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}$

El caso produce un círculo y se incluye como un tipo especial de elipse.$Estilo de visualización F_{1}=F_{2}}$

La ecuación se puede ver de otra manera (ver figura):${\displaystyle \left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a}$

Si es un círculo con centro y radio , entonces la distancia de un punto al círculo es igual a la distancia al foco :$Estilo de visualización c_{2}$$Estilo de visualización F_{2}$${\estilo de visualización 2a}$${\estilo de visualización P}$$Estilo de visualización c_{2}$$Estilo de visualización F_{1}$$${\displaystyle \left|PF_{1}\right|=\left|Pc_{2}\right|.}$$

$Estilo de visualización c_{2}$se llama directriz circular (relacionada con el foco ) de la elipse. ^{[1] [2]} Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una elipse usando una línea directriz a continuación.$Estilo de visualización F_{2}$

Utilizando las esferas de Dandelin , se puede demostrar que cualquier sección de un cono con un plano es una elipse, asumiendo que el plano no contiene el vértice y tiene una pendiente menor que la de las líneas del cono.

La forma estándar de una elipse en coordenadas cartesianas supone que el origen es el centro de la elipse, el eje x es el eje mayor y:

Para un punto arbitrario la distancia al foco es y al otro foco . Por lo tanto el punto está en la elipse siempre que:${\estilo de visualización (x,y)}$${\estilo de visualización (c,0)}$${\estilo de texto {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}}$${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle (x,\,y)}$$${\displaystyle {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$$

Eliminando los radicales mediante cuadrados adecuados y utilizando (ver diagrama) se obtiene la ecuación estándar de la elipse: ^[3] o, resuelto para y :$Estilo de visualización b^{2}=a^{2}-c^{2}}$$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$$${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$$

Los parámetros de ancho y altura se denominan semiejes mayor y semieje menor . Los puntos superior e inferior son los covértices . Las distancias desde un punto de la elipse hasta los focos izquierdo y derecho son y .${\estilo de visualización a,\;b}$${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$${\displaystyle (x,\,y)}$${\estilo de visualización a+ex}$${\displaystyle a-ex}$

De la ecuación se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y, por tanto, con respecto al origen.

A lo largo de este artículo, los ejes semimayor y semimenor se denotan como y , respectivamente, es decir${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\displaystyle a\geq b>0\ .}$

En principio, la ecuación de la elipse canónica puede tener (y por lo tanto la elipse sería más alta que ancha). Esta forma se puede convertir a la forma estándar transponiendo los nombres de las variables y y los nombres de los parámetros y${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$${\estilo de visualización a<b}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b.}$

Esta es la distancia desde el centro a un foco: .${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

La excentricidad se puede expresar como:$${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}},}$$

suponiendo que una elipse con ejes iguales ( ) tiene excentricidad cero y es un círculo.${\displaystyle a>b.}$${\estilo de visualización a=b}$

La longitud de la cuerda que pasa por un foco, perpendicular al eje mayor, se llama lado recto . La mitad de esta longitud es el semilado recto . Un cálculo muestra: ^[4]${\displaystyle \ell}$$${\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}$$

El semilato recto es igual al radio de curvatura en los vértices (ver sección curvatura).${\displaystyle \ell}$

Una línea arbitraria interseca una elipse en 0, 1 o 2 puntos, llamados respectivamente línea exterior , tangente y secante . A través de cualquier punto de una elipse existe una única tangente. La tangente en un punto de la elipse tiene la ecuación de coordenadas:${\estilo de visualización g}$${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$$${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$$

Una ecuación paramétrica vectorial de la tangente es:$${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}$$

Demostración: Sea un punto de una elipse y sea la ecuación de cualquier recta que contenga . Insertando la ecuación de la recta en la ecuación de la elipse y respetando se obtiene: Existen entonces casos:${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} }}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$${\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$$${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$$

1. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}$Entonces la recta y la elipse tienen solo un punto en común, y es una tangente. La dirección de la tangente tiene un vector perpendicular , por lo que la recta tangente tiene ecuación para algún . Como está sobre la tangente y la elipse, se obtiene .${\displaystyle g}$${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}$${\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$${\displaystyle k=1}$
2. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}$Entonces la línea tiene un segundo punto en común con la elipse y es secante.${\displaystyle g}$

Utilizando (1) se encuentra que es un vector tangente en el punto , lo que prueba la ecuación vectorial.${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$

Si y son dos puntos de la elipse tales que , entonces los puntos se encuentran en dos diámetros conjugados (ver más abajo). (Si , la elipse es un círculo y "conjugado" significa "ortogonal").${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (u,v)}$${\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$${\displaystyle a=b}$

Si la elipse estándar se desplaza para tener centro , su ecuación es${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$$${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

Los ejes siguen siendo paralelos a los ejes x e y .

En geometría analítica , la elipse se define como una cuádrica : el conjunto de puntos del plano cartesiano que, en casos no degenerados, satisfacen la ecuación implícita ^{[5] [6]} siempre que${\displaystyle (x,\,y)}$$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$$${\displaystyle B^{2}-4AC<0.}$

Para distinguir los casos degenerados del caso no degenerado, sea ∆ el determinante$${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}$$

Entonces la elipse es una elipse real no degenerada si y sólo si C∆ < 0. Si C∆ > 0, tenemos una elipse imaginaria, y si ∆ = 0, tenemos una elipse puntual. ^{[7] : 63}

Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir de los semiejes mayor y menor conocidos , las coordenadas del centro y el ángulo de rotación (el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la elipse) utilizando las fórmulas:${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Estas expresiones pueden derivarse de la ecuación canónica mediante una transformación euclidiana de las coordenadas :$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$${\displaystyle (X,\,Y)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Por el contrario, los parámetros de forma canónica se pueden obtener a partir de los coeficientes de forma general mediante las ecuaciones: ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}$$

donde atan2 es la función arcotangente de 2 argumentos.

Utilizando funciones trigonométricas , una representación paramétrica de la elipse estándar es:${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$$${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}$$

El parámetro t (llamado anomalía excéntrica en astronomía) no es el ángulo con el eje x , sino que tiene un significado geométrico debido a Philippe de La Hire (ver § Dibujar elipses más abajo). ^[8]${\displaystyle (x(t),y(t))}$

Con las fórmulas de sustitución y trigonométricas se obtiene${\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}$$${\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}$$

y la ecuación paramétrica racional de una elipse$${\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}$$

que cubre cualquier punto de la elipse excepto el vértice izquierdo .${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle (-a,\,0)}$

Para esta fórmula se representa el cuarto superior derecho de la elipse que se mueve en sentido antihorario con un aumento del vértice izquierdo. El límite${\displaystyle u\in [0,\,1],}$${\displaystyle u.}$${\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}$

Alternativamente, si se considera que el parámetro es un punto en la línea proyectiva real , entonces la parametrización racional correspondiente es${\displaystyle [u:v]}$ ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )}$$${\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}$$

Entonces${\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}$

Las representaciones racionales de secciones cónicas se utilizan comúnmente en el diseño asistido por computadora (ver curva de Bézier ).

Una representación paramétrica, que utiliza la pendiente de la tangente en un punto de la elipse, se puede obtener a partir de la derivada de la representación estándar :${\displaystyle m}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)^{\mathsf {T}}}$$${\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}$$

Con ayuda de fórmulas trigonométricas se obtiene:$${\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$$

Reemplazando y de la representación estándar se obtiene:${\displaystyle \cos t}$${\displaystyle \sin t}$$${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}$$

Aquí se muestra la pendiente de la tangente en el punto correspondiente de la elipse, que es la mitad superior e inferior de la elipse. Los vértices que tienen tangentes verticales no están cubiertos por la representación.${\displaystyle m}$${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$${\displaystyle (\pm a,\,0)}$

La ecuación de la tangente en el punto tiene la forma . La incógnita aún se puede determinar introduciendo las coordenadas del punto de la elipse correspondiente :${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$${\displaystyle y=mx+n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$$${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}$$

Esta descripción de las tangentes de una elipse es una herramienta esencial para la determinación de la ortóptica de una elipse. El artículo sobre la ortóptica contiene otra demostración, sin cálculo diferencial ni fórmulas trigonométricas.

Otra definición de elipse utiliza transformaciones afines :

Cualquier elipse es una imagen afín del círculo unitario con ecuación .${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Representación paramétrica

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (con determinante distinto de cero ) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , el círculo unitario , , se proyecta sobre la elipse:${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}$$

Aquí está el centro y son las direcciones de dos diámetros conjugados , en general no perpendiculares.${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}$

Vértices

Los cuatro vértices de la elipse son , para un parámetro definido por:${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}$${\displaystyle t=t_{0}}$$${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}$$

(Si , entonces .) Esto se deduce de la siguiente manera. El vector tangente en el punto es:${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}$${\displaystyle t_{0}=0}$${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$$${\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}$$

En un parámetro de vértice , la tangente es perpendicular a los ejes mayor/menor, por lo que:${\displaystyle t=t_{0}}$$${\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}$$

Al expandir y aplicar las identidades se obtiene la ecuación para${\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;}$${\displaystyle t=t_{0}\;.}$

Área

Del teorema de Apolonio (ver abajo) se obtiene:
El área de una elipse es${\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;}$$${\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}$$

Semiejes

Con las abreviaturas, los enunciados del teorema de Apolonio se pueden escribir como: Resolviendo este sistema no lineal para se obtienen los semiejes:${\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .}$$${\displaystyle a,b}$$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}$$

Representación implícita

Resolviendo la representación paramétrica para mediante la regla de Cramer y utilizando , se obtiene la representación implícita${\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}$${\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}$$${\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}$$

Por el contrario: si la ecuación

${\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,}$con${\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,}$

de una elipse centrada en el origen, entonces los dos vectores apuntan a dos puntos conjugados y son aplicables las herramientas desarrolladas anteriormente.$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}$$

Ejemplo : Para la elipse con ecuación los vectores son ${\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;}$$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}$$

Elipse estándar rotada

Para ello se obtiene una representación paramétrica de la elipse estándar rotada por un ángulo :${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}$$

Elipse en el espacio

La definición de elipse en esta sección da una representación paramétrica de una elipse arbitraria, incluso en el espacio, si se permiten vectores en el espacio.${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

En coordenadas polares , con el origen en el centro de la elipse y con la coordenada angular medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es ^{[7] : 75} donde es la excentricidad, no el número de Euler.${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}$$${\displaystyle e}$

Si en cambio utilizamos coordenadas polares con el origen en un foco, con la coordenada angular todavía medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es${\displaystyle \theta =0}$$${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}$$

donde el signo en el denominador es negativo si la dirección de referencia apunta hacia el centro (como se ilustra a la derecha), y positivo si esa dirección apunta lejos del centro.${\displaystyle \theta =0}$

El ángulo se denomina anomalía verdadera del punto. El numerador es el semilato recto .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}$

Cada una de las dos rectas paralelas al eje menor, y a una distancia de éste, se llama directriz de la elipse (ver diagrama).${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {a}{e}}}$

Para un punto arbitrario de la elipse, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad:${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .}$$

La prueba del par se deriva del hecho de que y satisfacen la ecuación${\displaystyle F_{1},l_{1}}$${\textstyle \left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$${\displaystyle y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}$$${\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\,.}$$

El segundo caso se prueba de forma análoga.

La inversa también es cierta y se puede utilizar para definir una elipse (de manera similar a la definición de una parábola):

Para cualquier punto (foco), cualquier recta (directriz) que no pase por , y cualquier número real con la elipse es el lugar geométrico de los puntos para los cuales el cociente de las distancias al punto y a la recta es :${\displaystyle F}$${\displaystyle l}$${\displaystyle F}$${\displaystyle e}$${\displaystyle 0<e<1,}$${\displaystyle e,}$$${\displaystyle E=\left\{P\ \left|\ {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right.\right\}.}$$

La extensión a , que es la excentricidad de un círculo, no está permitida en este contexto en el plano euclidiano. Sin embargo, se puede considerar que la directriz de un círculo es la línea en el infinito en el plano proyectivo .${\displaystyle e=0}$

(La elección da como resultado una parábola y, si , una hipérbola).${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e>1}$

Prueba

Sea , y supongamos que es un punto de la curva. La directriz tiene ecuación . Con , la relación produce las ecuaciones${\displaystyle F=(f,\,0),\ e>0}$${\displaystyle (0,\,0)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$${\displaystyle P=(x,\,y)}$${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\frac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$y${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

La sustitución produce${\displaystyle p=f(1+e)}$$${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2px-y^{2}=0.}$$

Esta es la ecuación de una elipse ( ), o de una parábola ( ), o de una hipérbola ( ). Todas estas cónicas no degeneradas tienen en común el origen como vértice (ver diagrama).${\displaystyle e<1}$${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e>1}$

Si , introduzca nuevos parámetros de modo que , y entonces la ecuación anterior se convierte en${\displaystyle e<1}$${\displaystyle a,\,b}$${\displaystyle 1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$$${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$

que es la ecuación de una elipse con centro , eje x como eje mayor y semieje mayor/menor .${\displaystyle (a,\,0)}$${\displaystyle a,\,b}$

Construcción de una directriz

Debido a que el punto de la directriz (ver diagrama) y el foco son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo (en el diagrama verde), se puede construir como se muestra en el diagrama. La directriz es la perpendicular al eje principal en el punto .${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle L_{1}}$

Elipse general

Si el foco es y la directriz , se obtiene la ecuación${\displaystyle F=\left(f_{1},\,f_{2}\right)}$${\displaystyle ux+vy+w=0}$$${\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}\ .}$$

(El lado derecho de la ecuación utiliza la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ).${\displaystyle |Pl|}$

Una elipse posee la siguiente propiedad:

La normal en un punto biseca el ángulo entre las líneas .${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}}$

Prueba

Como la línea tangente es perpendicular a la normal, una afirmación equivalente es que la tangente es la bisectriz del ángulo externo de las líneas a los focos (ver diagrama). Sea el punto en la línea con distancia al foco , donde es el semieje mayor de la elipse. Sea línea la bisectriz del ángulo externo de las líneas y Tome cualquier otro punto en Por la desigualdad del triángulo y el teorema de la bisectriz del ángulo , por lo tanto debe estar fuera de la elipse. Como esto es cierto para cada elección de solo interseca la elipse en el único punto, también debe ser la línea tangente.${\displaystyle L}$${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle w}$${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}.}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle w.}$${\displaystyle 2a=\left|LF_{2}\right|<{}}$${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|={}}$${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle w}$${\displaystyle P}$

Solicitud

Los rayos de un foco se reflejan en la elipse hacia el segundo foco. Esta propiedad tiene aplicaciones ópticas y acústicas similares a la propiedad de reflexión de una parábola (véase la galería de susurros ).

Además, debido a la propiedad de reflexión de foco a foco de las elipses, si se permite que los rayos continúen propagándose, los rayos reflejados eventualmente se alinearán estrechamente con el eje mayor.

Un círculo tiene la siguiente propiedad:

Los puntos medios de las cuerdas paralelas se encuentran en un diámetro.

Una transformación afín conserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de línea, por lo que esta propiedad es válida para cualquier elipse. (Tenga en cuenta que las cuerdas paralelas y el diámetro ya no son ortogonales).

Definición

Dos diámetros de una elipse son conjugados si los puntos medios de las cuerdas paralelas a se encuentran en${\displaystyle d_{1},\,d_{2}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}\ .}$

Del diagrama se desprende lo siguiente:

Dos diámetros de una elipse son conjugados siempre que las tangentes en y sean paralelas a .${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}$

Los diámetros conjugados en una elipse generalizan los diámetros ortogonales en un círculo.

En la ecuación paramétrica para una elipse general dada anteriormente,$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}$$

cualquier par de puntos pertenece a un diámetro, y el par pertenece a su diámetro conjugado.${\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}$${\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

Para la representación paramétrica común de la elipse con ecuación se obtiene: Los puntos ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }$(signos: (+,+) o (−,−) )

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }$(signos: (−,+) o (+,−) )

son conjugados y

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}$

En el caso de un círculo la última ecuación colapsa a${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}$

Para una elipse con semiejes se cumple lo siguiente: ^{[9] [10]}${\displaystyle a,\,b}$

Sean y sean mitades de dos diámetros conjugados (ver diagrama) entonces${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$

1. ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}$.
2. El triángulo de lados (ver diagrama) tiene un área constante , que también se puede expresar como . es la altura del punto y el ángulo entre los medios diámetros. Por lo tanto, el área de la elipse (ver sección propiedades métricas) se puede escribir como .${\displaystyle O,P_{1},P_{2}}$${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$${\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}$${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha }$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha }$
3. El paralelogramo de tangentes adyacentes a los diámetros conjugados dados tiene la${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}$

Prueba

Sea la elipse en forma canónica con ecuación paramétrica$${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}$$

Los dos puntos están en diámetros conjugados (ver sección anterior). A partir de fórmulas trigonométricas se obtiene y${\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$${\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}$$${\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}$$

El área del triángulo generado por es${\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}$$${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}$$

y del diagrama se puede ver que el área del paralelogramo es 8 veces la de . Por lo tanto${\displaystyle A_{\Delta }}$$${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\,.}$$