Leonhard Euler
Matemático suizo (1707-1783)

Leonhard Euler
Retrato de Jakob Emanuel Handmann , 1753
Nacido( 15-04-1707 )15 de abril de 1707
Basilea , Confederación Suiza
Fallecido18 de septiembre de 1783 (18 de septiembre de 1783)(76 años) [ OS : 7 de septiembre de 1783]
San Petersburgo , Imperio ruso
EducaciónUniversidad de Basilea ( MPhil )
Conocido por
Esposas
Katharina Gsell
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( m.  1734; murió 1773 )
Salomé Abigail Gsell
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( nacido en  1776 )
Niños13, incluido Johann
PremiosFRS (1747)
Carrera científica
Campos
Instituciones
TesisDissertatio physica de sono (Tesis física sobre el sonido)  (1726)
Asesor de doctoradoJuan Bernoulli
Estudiantes de doctoradoJuan Hennert
Otros estudiantes notables
Firma

Leonhard Euler ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -lər ; [b] alemán: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] ⓘ ,en alemán estándar suizo:[ˈleːɔnhartˈɔʏlər]; 15 de abril de 1707 - 18 de septiembre de 1783) fue unmatemático,físico,astrónomo,geógrafo,lógicoeingenierosuizoque fundó los estudios deteoría de grafosytopologíae hizo descubrimientos pioneros e influyentes en muchas otras ramas de las matemáticas, comola teoría analítica de números,el análisis complejoyel cálculo infinitesimal. Introdujo gran parte de la terminología ynotación, incluida la noción defunción matemática.[6]También es conocido por su trabajo enmecánica,dinámica de fluidos,óptica,astronomíayteoría musical.[7]

Euler es considerado uno de los matemáticos más grandes y prolíficos de la historia y el más grande del siglo XVIII. Varios grandes matemáticos que produjeron su trabajo después de la muerte de Euler han reconocido su importancia en el campo como lo muestran las citas atribuidas a muchos de ellos: Pierre-Simon Laplace expresó la influencia de Euler en las matemáticas al afirmar: "Lee a Euler, lee a Euler, él es el maestro de todos nosotros". [8] [c] Carl Friedrich Gauss escribió: "El estudio de las obras de Euler seguirá siendo la mejor escuela para los diferentes campos de las matemáticas, y nada más puede reemplazarla". [9] [d] Sus 866 publicaciones y su correspondencia se están recopilando en la Opera Omnia Leonhard Euler que, cuando esté completa, constará de 81 cuartos . [11] [12] [13] Pasó la mayor parte de su vida adulta en San Petersburgo , Rusia, y en Berlín , entonces capital de Prusia .

A Euler se le atribuye la popularización de la letra griega ( pi minúscula ) para denotar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro , así como el primer uso de la notación para el valor de una función, la letra para expresar la unidad imaginaria , la letra griega ( sigma mayúscula ) para expresar sumas , la letra griega ( delta mayúscula ) para diferencias finitas y letras minúsculas para representar los lados de un triángulo mientras que los ángulos se representan como letras mayúsculas. [14] Dio la definición actual de la constante , la base del logaritmo natural , ahora conocido como número de Euler . [15] π {\estilo de visualización \pi} F ( incógnita ) {\estilo de visualización f(x)} i {\estilo de visualización i} − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} Σ {\estilo de visualización \Sigma} Δ {\estilo de visualización \Delta} mi {\estilo de visualización e}

A Euler también se le atribuye ser el primero en desarrollar la teoría de grafos (en parte como solución para el problema de los Siete Puentes de Königsberg , que también se considera la primera aplicación práctica de la topología). También se hizo famoso por, entre muchos otros logros, proporcionar una solución a varios problemas no resueltos en teoría de números y análisis, incluido el famoso problema de Basilea . A Euler también se le atribuye el descubrimiento de que la suma de los números de vértices y caras menos el número de aristas de un poliedro es igual a 2, un número ahora conocido comúnmente como la característica de Euler . En el campo de la física, Euler reformuló las leyes de la física de Newton en nuevas leyes en su obra de dos volúmenes Mechanica para explicar mejor el movimiento de los cuerpos rígidos . También hizo contribuciones sustanciales al estudio de las deformaciones elásticas de los objetos sólidos.

Primeros años de vida

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea , hijo de Paul III Euler, pastor de la Iglesia Reformada , y Marguerite (de soltera Brucker), cuyos antepasados ​​incluyen a varios eruditos conocidos en los clásicos. [16] Era el mayor de cuatro hijos, teniendo dos hermanas menores, Anna Maria y Maria Magdalena, y un hermano menor, Johann Heinrich. [17] [16] Poco después del nacimiento de Leonhard, la familia Euler se mudó de Basilea a la ciudad de Riehen , Suiza, donde su padre se convirtió en pastor de la iglesia local y Leonhard pasó la mayor parte de su infancia. [16]

Desde muy joven, Euler recibió instrucción en matemáticas de su padre, quien había tomado cursos de Jacob Bernoulli algunos años antes en la Universidad de Basilea . Alrededor de los ocho años, Euler fue enviado a vivir a la casa de su abuela materna y se inscribió en la escuela de latín de Basilea. Además, recibió tutoría privada de Johannes Burckhardt, un joven teólogo con un gran interés en las matemáticas. [16]

En 1720, a los trece años de edad, Euler se matriculó en la Universidad de Basilea . [7] Asistir a la universidad a una edad tan temprana no era inusual en esa época. [16] El curso de matemáticas elementales lo impartía Johann Bernoulli , el hermano menor del fallecido Jacob Bernoulli (que había enseñado al padre de Euler). Johann Bernoulli y Euler pronto se conocieron mejor. Euler describió a Bernoulli en su autobiografía: [18]

"El famoso profesor Johann Bernoulli [...] se complacía especialmente en ayudarme en las ciencias matemáticas. Sin embargo, se negó a darme clases particulares debido a su apretada agenda. Sin embargo, me dio un consejo mucho más saludable, que consistía en conseguir algunos de los libros de matemáticas más difíciles y estudiarlos con gran diligencia, y si encontraba algunas objeciones o dificultades, me ofrecía acceso gratuito a él todos los sábados por la tarde, y tenía la gentileza de comentar las dificultades reunidas, lo que hizo con tal provecho que, cuando resolvió una de mis objeciones, otras diez desaparecieron a la vez, lo que sin duda es el mejor método para hacer un feliz progreso en las ciencias matemáticas".

Fue durante esta época que Euler, respaldado por Bernoulli, obtuvo el consentimiento de su padre para convertirse en matemático en lugar de pastor. [19] [20]

En 1723, Euler recibió una Maestría en Filosofía con una disertación que comparaba las filosofías de René Descartes e Isaac Newton . [16] Posteriormente, se inscribió en la facultad de teología de la Universidad de Basilea. [20]

En 1726, Euler completó una disertación sobre la propagación del sonido con el título De Sono [21] [22] con la que intentó sin éxito obtener una plaza en la Universidad de Basilea. [23] En 1727, participó por primera vez en el concurso de premios de la Academia de París (ofrecido anualmente y luego cada dos años por la academia a partir de 1720) [24] . El problema planteado ese año era encontrar la mejor manera de colocar los mástiles de un barco. Pierre Bouguer , que llegó a ser conocido como "el padre de la arquitectura naval", ganó y Euler quedó en segundo lugar. [25] A lo largo de los años, Euler participó en este concurso 15 veces, [24] ganando 12 de ellas. [25]

Carrera

San Petersburgo

Sello de la Unión Soviética de 1957 en conmemoración del 250 aniversario del nacimiento de Euler. El texto dice: 250 años del nacimiento del gran matemático y académico Leonhard Euler.

Los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolaus , entraron en servicio en la Academia Imperial Rusa de Ciencias en San Petersburgo en 1725, dejando a Euler con la seguridad de que lo recomendarían para un puesto cuando hubiera uno disponible. [23] El 31 de julio de 1726, Nicolaus murió de apendicitis después de pasar menos de un año en Rusia. [26] [27] Cuando Daniel asumió el puesto de su hermano en la división de matemáticas/física, recomendó que el puesto en fisiología que había dejado vacante lo ocupara su amigo Euler. [23] En noviembre de 1726, Euler aceptó con entusiasmo la oferta, pero retrasó el viaje a San Petersburgo mientras solicitaba sin éxito una cátedra de física en la Universidad de Basilea. [23]

Euler llegó a San Petersburgo en mayo de 1727. [23] [20] Fue ascendido desde su puesto de menor en el departamento médico de la academia a un puesto en el departamento de matemáticas. Se alojó con Daniel Bernoulli, con quien trabajó en estrecha colaboración. [28] Euler dominó el ruso, se instaló en San Petersburgo y aceptó un trabajo adicional como médico en la Armada rusa . [29]

La academia de San Petersburgo, fundada por Pedro el Grande , tenía como objetivo mejorar la educación en Rusia y cerrar la brecha científica con Europa occidental. Como resultado, se volvió especialmente atractiva para académicos extranjeros como Euler. [25] La benefactora de la academia, Catalina I , que había continuado las políticas progresistas de su difunto esposo, murió antes de la llegada de Euler a San Petersburgo. [30] La nobleza conservadora rusa ganó poder con la ascensión al trono de Pedro II, de doce años . [30] La nobleza, recelosa de los científicos extranjeros de la academia, recortó la financiación para Euler y sus colegas e impidió la entrada de estudiantes extranjeros y no aristocráticos en el Gymnasium y las universidades. [30]

Las condiciones mejoraron ligeramente después de la muerte de Pedro II en 1730 y la influencia alemana de Ana de Rusia asumió el poder. [31] Euler ascendió rápidamente en las filas de la academia y fue nombrado profesor de física en 1731. [31] También abandonó la Armada rusa, rechazando un ascenso a teniente . [31] Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto de la censura y la hostilidad que enfrentó en San Petersburgo, se fue a Basilea. Euler lo sucedió como jefe del departamento de matemáticas. [32] En enero de 1734, se casó con Katharina Gsell (1707-1773), hija de Georg Gsell . [33] Federico II había intentado reclutar los servicios de Euler para su recién establecida Academia de Berlín en 1740, pero Euler inicialmente prefirió quedarse en San Petersburgo. [34] Pero después de que la emperatriz Ana muriera y Federico II aceptara pagarle 1600 escudos (lo mismo que Euler ganaba en Rusia), aceptó mudarse a Berlín. En 1741, solicitó permiso para irse a Berlín, argumentando que necesitaba un clima más templado para su vista. [34] La academia rusa dio su consentimiento y le pagaría 200 rublos por año como uno de sus miembros activos. [34]

Berlina

Preocupado por la continua agitación en Rusia, Euler dejó San Petersburgo en junio de 1741 para aceptar un puesto en la Academia de Berlín , que le había ofrecido Federico el Grande de Prusia . [35] Vivió durante 25 años en Berlín , donde escribió varios cientos de artículos. [20] En 1748 se publicó su texto sobre funciones llamado Introductio in analysin infinitorum y en 1755 se publicó un texto sobre cálculo diferencial llamado Institutiones calculi Differentialis . [36] [37] En 1755, fue elegido miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias [38] y de la Academia Francesa de Ciencias . [39] Entre los estudiantes notables de Euler en Berlín se encontraba Stepan Rumovsky , considerado más tarde como el primer astrónomo ruso. [40] [41] En 1748 rechazó una oferta de la Universidad de Basilea para suceder al recientemente fallecido Johann Bernoulli. [20] En 1753 compró una casa en Charlottenburg , en la que vivió con su familia y su madre viuda. [42] [43]

Euler se convirtió en el tutor de Federica Carlota de Brandeburgo-Schwedt , princesa de Anhalt-Dessau y sobrina de Federico. Le escribió más de 200 cartas a principios de la década de 1760, que luego se recopilaron en un volumen titulado Cartas de Euler sobre diferentes temas de filosofía natural dirigidas a una princesa alemana . [44] Esta obra contenía la exposición de Euler sobre varios temas relacionados con la física y las matemáticas y ofrecía valiosas perspectivas sobre la personalidad de Euler y sus creencias religiosas. Fue traducida a varios idiomas, publicada en toda Europa y en los Estados Unidos, y se leyó más ampliamente que cualquiera de sus obras matemáticas. La popularidad de las Cartas da testimonio de la capacidad de Euler para comunicar asuntos científicos de manera efectiva a un público no especializado, una habilidad poco común para un científico investigador dedicado. [37]

A pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la academia y de haber sido propuesto como candidato a la presidencia por Jean le Rond d'Alembert , Federico II se nombró a sí mismo presidente. [43] El rey prusiano tenía un gran círculo de intelectuales en su corte, y encontró al matemático poco sofisticado y mal informado sobre asuntos más allá de los números y las cifras. Euler era un hombre sencillo y devotamente religioso que nunca cuestionó el orden social existente ni las creencias convencionales. Era, en muchos sentidos, el polo opuesto de Voltaire , que disfrutaba de un alto lugar de prestigio en la corte de Federico. Euler no era un hábil debatiente y a menudo se esforzaba por discutir temas de los que sabía poco, lo que lo convertía en el blanco frecuente del ingenio de Voltaire. [37] Federico también expresó su decepción con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler, afirmando:

Yo quería tener un surtidor de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza de las ruedas necesaria para elevar el agua hasta un depósito, desde donde debía volver a caer por canales, para finalmente salir a borbotones en Sanssouci . Mi molino estaba realizado geométricamente y no podía elevar un trago de agua a menos de cincuenta pasos del depósito. ¡Vanidad de vanidades! ¡Vanidad de geometría! [45]

Sin embargo, es casi seguro que la decepción fue injustificada desde una perspectiva técnica. Parece probable que los cálculos de Euler sean correctos, aun cuando sus interacciones con Federico y con quienes construyeron su fuente hayan sido disfuncionales. [46]

Durante su estancia en Berlín, Euler mantuvo una fuerte conexión con la academia de San Petersburgo y también publicó 109 artículos en Rusia. [47] También ayudó a los estudiantes de la academia de San Petersburgo y en ocasiones alojó a estudiantes rusos en su casa de Berlín. [47] En 1760, con la Guerra de los Siete Años en pleno apogeo, la granja de Euler en Charlottenburg fue saqueada por las tropas rusas que avanzaban. [42] Al enterarse de este suceso, el general Ivan Petrovich Saltykov pagó una indemnización por los daños causados ​​a la propiedad de Euler, y la emperatriz Isabel de Rusia añadió más tarde un pago adicional de 4000 rublos, una cantidad exorbitante en aquel momento. [48] Euler decidió abandonar Berlín en 1766 y regresar a Rusia. [49]

Durante sus años en Berlín (1741-1766), Euler alcanzó la cima de su productividad. Escribió 380 obras, 275 de las cuales fueron publicadas. [50] Esto incluía 125 memorias en la Academia de Berlín y más de 100 memorias enviadas a la Academia de San Petersburgo , que lo había mantenido como miembro y le pagaba un estipendio anual. La Introductio in Analysin Infinitorum de Euler se publicó en dos partes en 1748. Además de su propia investigación, Euler supervisó la biblioteca, el observatorio, el jardín botánico y la publicación de calendarios y mapas de los que la academia obtenía ingresos. [51] Incluso participó en el diseño de las fuentes de agua en Sanssouci , el palacio de verano del rey. [52]

Regreso a Rusia

La situación política en Rusia se estabilizó tras la ascensión al trono de Catalina la Grande , por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para regresar a la Academia de San Petersburgo. Sus condiciones eran bastante exorbitantes: un salario anual de 3000 rublos, una pensión para su esposa y la promesa de nombramientos de alto rango para sus hijos. En la universidad contó con la ayuda de su alumno Anders Johan Lexell . [53] Mientras vivía en San Petersburgo, un incendio en 1771 destruyó su casa. [54]

Vida personal

El 7 de enero de 1734 se casó con Katharina Gsell (1707-1773), hija de Georg Gsell , pintor de la Academia Gymnasium de San Petersburgo. [33] La joven pareja compró una casa junto al río Nevá .

De sus trece hijos, sólo cinco sobrevivieron a la infancia, [55] tres varones y dos mujeres. [56] Su primer hijo fue Johann Albrecht Euler , cuyo padrino fue Christian Goldbach . [56]

Tres años después de la muerte de su esposa en 1773, [54] Euler se casó con su media hermana, Salomé Abigail Gsell (1723-1794). [57] Este matrimonio duró hasta su muerte en 1783.

Su hermano Johann Heinrich se instaló en San Petersburgo en 1735 y trabajó como pintor en la academia. [34]

A temprana edad, Euler memorizó la totalidad de la Eneida de Virgilio y, cuando era mayor, podía recitar el poema completo, además de indicar la primera y la última frase de cada página de la edición de la que lo había aprendido. [58] [59]

Deterioro de la vista

La vista de Euler empeoró a lo largo de su carrera matemática. En 1738, tres años después de casi morir de fiebre, [60] se quedó casi ciego de su ojo derecho. Euler culpó a la cartografía que realizó para la Academia de San Petersburgo por su condición, [61] pero la causa de su ceguera sigue siendo objeto de especulación. [62] [63] La visión de Euler en ese ojo empeoró durante su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico se refirió a él como " Cíclope ". Euler comentó sobre su pérdida de visión, diciendo "Ahora tendré menos distracciones". [61] En 1766 se descubrió una catarata en su ojo izquierdo. Aunque la corrección de la catarata mejoró temporalmente su visión, las complicaciones finalmente lo dejaron casi totalmente ciego también en el ojo izquierdo. [39] Sin embargo, su condición pareció tener poco efecto en su productividad. Con la ayuda de sus escribas, la productividad de Euler en muchas áreas de estudio aumentó; [64] y, en 1775, produjo, en promedio, un artículo matemático por semana. [39]

Muerte

En San Petersburgo, el 18 de septiembre de 1783, después de un almuerzo con su familia, Euler estaba discutiendo el recién descubierto planeta Urano y su órbita con Anders Johan Lexell cuando colapsó y murió de una hemorragia cerebral . [62] Jacob von Staehlin  [de] escribió un breve obituario para la Academia Rusa de Ciencias y el matemático ruso Nicolas Fuss , uno de los discípulos de Euler, escribió un panegírico más detallado, [55] que pronunció en una reunión conmemorativa. En su panegírico para la Academia Francesa , el matemático y filósofo francés Marqués de Condorcet escribió:

La tumba de Euler en el Monasterio de Alejandro Nevski

il cessa de calculer et de vivre —... dejó de calcular y de vivir. [65]

Euler fue enterrado junto a Katharina en el cementerio luterano de Smolensk , en la isla Vasilievsky . En 1837, la Academia Rusa de Ciencias instaló un nuevo monumento, reemplazando su placa funeraria cubierta de vegetación. Para conmemorar el 250 aniversario del nacimiento de Euler en 1957, su tumba fue trasladada al cementerio Lazarevskoe en el monasterio de Alexander Nevsky . [66]

Contribuciones a las matemáticas y la física

Parte de una serie de artículos sobre el
constante matemática e
Propiedades
Aplicaciones
Definiendo e
Gente
Temas relacionados

Euler trabajó en casi todas las áreas de las matemáticas, incluyendo geometría , cálculo infinitesimal , trigonometría , álgebra y teoría de números , así como física del continuo , teoría lunar y otras áreas de la física . Es una figura seminal en la historia de las matemáticas; si se imprimieran, sus obras, muchas de las cuales son de interés fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes en cuarto . [39] El nombre de Euler está asociado con una gran cantidad de temas . El trabajo de Euler tiene un promedio de 800 páginas al año desde 1725 hasta 1783. También escribió más de 4500 cartas y cientos de manuscritos. Se ha estimado que Leonhard Euler fue el autor de una cuarta parte de la producción combinada en matemáticas, física, mecánica, astronomía y navegación en el siglo XVIII. [14]

Notación matemática

Euler introdujo y popularizó varias convenciones de notación a través de sus numerosos y ampliamente difundidos libros de texto. En particular, introdujo el concepto de función [6] y fue el primero en escribir f ( x ) para denotar la función f aplicada al argumento x . También introdujo la notación moderna para las funciones trigonométricas , la letra e para la base del logaritmo natural (ahora también conocido como número de Euler ), la letra griega Σ para las sumas y la letra i para denotar la unidad imaginaria . [67] El uso de la letra griega π para denotar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque se originó con el matemático galés William Jones . [68]

Análisis

El desarrollo del cálculo infinitesimal estuvo a la vanguardia de la investigación matemática del siglo XVIII, y los Bernoulli —amigos de la familia de Euler— fueron responsables de gran parte de los primeros avances en el campo. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en el foco principal del trabajo de Euler. Si bien algunas de las pruebas de Euler no son aceptables según los estándares modernos de rigor matemático [69] (en particular su confianza en el principio de generalidad del álgebra ), sus ideas llevaron a muchos grandes avances. Euler es bien conocido en análisis por su uso y desarrollo frecuente de las series de potencias , la expresión de funciones como sumas de infinitos términos, [70] como e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( 1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}

El uso de las series de potencias por parte de Euler le permitió resolver el problema de Basilea , hallando la suma de los recíprocos de los cuadrados de cada número natural, en 1735 (proporcionó un argumento más elaborado en 1741). El problema de Basilea fue planteado originalmente por Pietro Mengoli en 1644, y en la década de 1730 era un famoso problema abierto, popularizado por Jacob Bernoulli y atacado sin éxito por muchos de los principales matemáticos de la época. Euler descubrió que: [71] [72] [69]

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2 ) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Euler introdujo la constante ahora conocida como constante de Euler o constante de Euler-Mascheroni, y estudió su relación con la serie armónica , la función gamma y los valores de la función zeta de Riemann . [73] γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n − ln ⁡ ( n ) ) ≈ 0.5772 , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772,}

Una interpretación geométrica de la fórmula de Euler

Euler introdujo el uso de la función exponencial y los logaritmos en las demostraciones analíticas . Descubrió formas de expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias y definió con éxito los logaritmos para números negativos y complejos , ampliando así en gran medida el alcance de las aplicaciones matemáticas de los logaritmos. [67] También definió la función exponencial para números complejos y descubrió su relación con las funciones trigonométricas . Para cualquier número real φ (tomado como radianes), la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja satisface e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }

que fue llamada "la fórmula más notable en matemáticas" por Richard Feynman . [74]

Un caso especial de la fórmula anterior se conoce como identidad de Euler . e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Euler elaboró ​​la teoría de funciones trascendentales superiores introduciendo la función gamma [75] [76] e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones cuárticas . [77] Encontró una forma de calcular integrales con límites complejos, anticipando el desarrollo del análisis complejo moderno . Inventó el cálculo de variaciones y formuló la ecuación de Euler-Lagrange para reducir los problemas de optimización en esta área a la solución de ecuaciones diferenciales .

Euler fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas de teoría de números. Al hacerlo, unió dos ramas dispares de las matemáticas e introdujo un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de números . Al abrir camino en este nuevo campo, Euler creó la teoría de series hipergeométricas , series q , funciones trigonométricas hiperbólicas y la teoría analítica de fracciones continuas . Por ejemplo, demostró la infinitud de los números primos utilizando la divergencia de la serie armónica y utilizó métodos analíticos para comprender la forma en que se distribuyen los números primos . El trabajo de Euler en esta área condujo al desarrollo del teorema de los números primos . [78]

Teoría de números

El interés de Euler por la teoría de números se remonta a la influencia de Christian Goldbach , [79] su amigo en la Academia de San Petersburgo. [60] Gran parte del trabajo inicial de Euler sobre la teoría de números se basó en el trabajo de Pierre de Fermat . Euler desarrolló algunas de las ideas de Fermat y refutó algunas de sus conjeturas, como su conjetura de que todos los números de la forma ( números de Fermat ) son primos. [80] 2 2 n + 1 {\textstyle 2^{2^{n}}+1}

Euler relacionó la naturaleza de la distribución de números primos con ideas de análisis. Demostró que la suma de los recíprocos de los números primos diverge . Al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos; esto se conoce como la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann . [81]

Euler inventó la función totiente φ( n ), el número de números enteros positivos menores o iguales al entero n que son coprimos con n . Utilizando propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que ahora se conoce como teorema de Euler . [82] Contribuyó significativamente a la teoría de los números perfectos , que había fascinado a los matemáticos desde Euclides . Demostró que la relación mostrada entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne (que había demostrado anteriormente) era uno a uno, un resultado también conocido como el teorema de Euclides-Euler . [83] Euler también conjeturó la ley de reciprocidad cuadrática . El concepto se considera un teorema fundamental dentro de la teoría de números, y sus ideas allanaron el camino para el trabajo de Carl Friedrich Gauss , particularmente Disquisitiones Arithmeticae . [84] En 1772 Euler había demostrado que 2 31  − 1 = 2.147.483.647 es un primo de Mersenne. Es posible que haya seguido siendo el mayor primo conocido hasta 1867. [85]

Euler también contribuyó con importantes desarrollos a la teoría de particiones de un número entero . [86]

Teoría de grafos

Mapa de Königsberg en la época de Euler que muestra la disposición actual de los siete puentes , destacando el río Pregel y los puentes.

En 1735, Euler presentó una solución al problema conocido como los Siete Puentes de Königsberg . [87] La ​​ciudad de Königsberg , Prusia, estaba situada en el río Pregel , e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre sí y con el continente por siete puentes. El problema consiste en decidir si es posible seguir un camino que cruce cada puente exactamente una vez y regrese al punto de partida. No es posible: no existe un circuito euleriano . Esta solución se considera el primer teorema de la teoría de grafos . [87]

Euler también descubrió la fórmula que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo [88] y, por lo tanto, de un grafo plano . La constante en esta fórmula se conoce ahora como la característica de Euler para el grafo (u otro objeto matemático), y está relacionada con el género del objeto. [89] El estudio y generalización de esta fórmula, específicamente por Cauchy [90] y L'Huilier [91] , está en el origen de la topología . [88] V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2}

Física, astronomía e ingeniería.

Part of a series on
Classical mechanics
F = d p d t {\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}
Second law of motion
Branches
Fundamentals
Formulations
Core topics
Rotation
Scientists

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron la resolución analítica de problemas del mundo real y la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli , las series de Fourier , los números de Euler , las constantes e y π , las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxiones de Newton y desarrolló herramientas que facilitaron la aplicación del cálculo a problemas físicos. Hizo grandes avances en la mejora de la aproximación numérica de las integrales, inventando lo que ahora se conoce como las aproximaciones de Euler . Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler [92] y la fórmula de Euler-Maclaurin . [93] [94] [95]

Euler ayudó a desarrollar la ecuación de Euler-Bernoulli , que se convirtió en una piedra angular de la ingeniería. [96] Además de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a problemas de mecánica clásica , Euler aplicó estas técnicas a problemas celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido con múltiples premios de la Academia de París a lo largo de su carrera. Sus logros incluyen la determinación con gran precisión de las órbitas de los cometas y otros cuerpos celestes, la comprensión de la naturaleza de los cometas y el cálculo de la paralaje del Sol. Sus cálculos contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud precisas . [97]

Euler realizó importantes contribuciones en el campo de la óptica . [98] No estaba de acuerdo con la teoría corpuscular de la luz de Newton , [99] que era la teoría predominante en la época. Sus artículos de la década de 1740 sobre óptica ayudaron a garantizar que la teoría ondulatoria de la luz propuesta por Christiaan Huygens se convirtiera en el modo de pensamiento dominante, al menos hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz . [100]

En dinámica de fluidos , Euler fue el primero en predecir el fenómeno de la cavitación , en 1754, mucho antes de su primera observación a fines del siglo XIX, y el número de Euler utilizado en los cálculos de flujo de fluidos proviene de su trabajo relacionado con la eficiencia de las turbinas . [101] En 1757 publicó un conjunto importante de ecuaciones para el flujo no viscoso en dinámica de fluidos , que ahora se conocen como las ecuaciones de Euler . [102]

Euler es bien conocido en ingeniería estructural por su fórmula que proporciona la carga crítica de Euler , la carga crítica de pandeo de un puntal ideal, que depende solo de su longitud y rigidez a la flexión . [103]

Lógica

A Euler se le atribuye el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Estos diagramas se conocen como diagramas de Euler . [104]

Un diagrama de Euler

Un diagrama de Euler es un medio diagramático para representar conjuntos y sus relaciones. Los diagramas de Euler consisten en curvas cerradas simples (generalmente círculos) en el plano que representan conjuntos . Cada curva de Euler divide el plano en dos regiones o "zonas": el interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y el exterior, que representa todos los elementos que no son miembros del conjunto. Los tamaños o formas de las curvas no son importantes; la importancia del diagrama está en cómo se superponen. Las relaciones espaciales entre las regiones limitadas por cada curva (superposición, contención o ninguna) corresponden a relaciones de teoría de conjuntos ( intersección , subconjunto y disyunción ). Las curvas cuyas zonas interiores no se intersecan representan conjuntos disjuntos . Dos curvas cuyas zonas interiores se intersecan representan conjuntos que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva que está contenida completamente dentro de la zona interior de otra representa un subconjunto de ella.

Los diagramas de Euler (y su refinamiento a diagramas de Venn ) se incorporaron como parte de la instrucción en teoría de conjuntos como parte del nuevo movimiento matemático en la década de 1960. [105] Desde entonces, han entrado en uso amplio como una forma de visualizar combinaciones de características. [106]

Música

Uno de los intereses más inusuales de Euler fue la aplicación de ideas matemáticas en la música . En 1739 escribió Tentamen novae theoriae musicae ( Intento de una nueva teoría de la música ), con la esperanza de incorporar eventualmente la teoría musical como parte de las matemáticas. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no recibió mucha atención y alguna vez fue descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos. [107] Incluso cuando trata con música, el enfoque de Euler es principalmente matemático, [108] por ejemplo, su introducción de logaritmos binarios como una forma de describir numéricamente la subdivisión de octavas en partes fraccionarias. [109] Sus escritos sobre música no son particularmente numerosos (unos pocos cientos de páginas, en su producción total de aproximadamente treinta mil páginas), pero reflejan una preocupación temprana y que permaneció con él durante toda su vida. [108]

Un primer punto de la teoría musical de Euler es la definición de "géneros", es decir, de posibles divisiones de la octava utilizando los números primos 3 y 5. Euler describe 18 de estos géneros, con la definición general 2 m A, donde A es el "exponente" del género (es decir, la suma de los exponentes de 3 y 5) y 2 m (donde "m es un número indefinido, pequeño o grande, siempre que los sonidos sean perceptibles" [110] ), expresa que la relación se cumple independientemente del número de octavas en cuestión. El primer género, con A = 1, es la octava misma (o sus duplicados); el segundo género, 2 m .3, es la octava dividida por la quinta (quinta + cuarta, C–G–C); el tercer género es 2 m .5, tercera mayor + sexta menor (C–E–C); el cuarto es 2 m .3 2 , dos cuartas partes y un tono (C–F–B ♭ –C); el quinto es 2 m .3.5 (C–E–G–B–C); etc. Los géneros 12 (2 m .3 3 .5), 13 (2 m .3 2 .5 2 ) y 14 (2 m .3.5 3 ) son versiones corregidas del diatónico, cromático y enarmónico , respectivamente, de los Antiguos. El género 18 (2 m .3 3 .5 2 ) es el "diatónico-cromático", "usado generalmente en todas las composiciones", [111] y que resulta ser idéntico al sistema descrito por Johann Mattheson . [112] Euler concibió más tarde la posibilidad de describir géneros que incluyeran el número primo 7. [113]

Euler ideó un gráfico específico, el Speculum musicum , [114] [115] para ilustrar el género diatónico-cromático, y analizó las trayectorias en este gráfico para intervalos específicos, recordando su interés en los Siete Puentes de Königsberg (véase más arriba). El dispositivo atrajo un renovado interés como el Tonnetz en la teoría neoriemanniana (véase también Lattice (music) ). [116]

Euler utilizó además el principio del "exponente" para proponer una derivación del gradus suavitatis (grado de suavidad, de amabilidad) de intervalos y acordes a partir de sus factores primos – hay que tener en cuenta que consideró sólo la entonación, es decir, 1 y los números primos 3 y 5 solamente. [117] Se han propuesto fórmulas que extienden este sistema a cualquier número de números primos, por ejemplo en la forma donde p i son números primos y k i sus exponentes. [118] d s = ∑ i ( k i p i − k i ) + 1 , {\displaystyle ds=\sum _{i}(k_{i}p_{i}-k_{i})+1,}

Filosofía personal y creencias religiosas

Euler fue una persona religiosa durante toda su vida. [20] Gran parte de lo que se sabe de las creencias religiosas de Euler se puede deducir de sus Cartas a una princesa alemana y de una obra anterior, Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister ( Defensa de la revelación divina contra las objeciones de los librepensadores ). Estas obras muestran que Euler era un cristiano devoto que creía que la Biblia estaba inspirada; la Rettung era principalmente un argumento a favor de la inspiración divina de las escrituras . [119] [120]

Euler se opuso a los conceptos del monadismo de Leibniz y a la filosofía de Christian Wolff . [121] Euler insistió en que el conocimiento se basa en parte en leyes cuantitativas precisas, algo que el monadismo y la ciencia wolffiana no pudieron proporcionar. Euler también calificó las ideas de Wolff de "paganas y ateas". [122]

Existe una famosa leyenda [123] inspirada en las discusiones de Euler con filósofos seculares sobre religión, que se desarrolla durante la segunda etapa de Euler en la Academia de San Petersburgo. El filósofo francés Denis Diderot estaba de visita en Rusia por invitación de Catalina la Grande. Sin embargo, la emperatriz se alarmó porque los argumentos del filósofo a favor del ateísmo estaban influyendo en los miembros de su corte, por lo que le pidió a Euler que se enfrentara al francés. Diderot fue informado de que un erudito matemático había presentado una prueba de la existencia de Dios : aceptó ver la prueba tal como se presentó en la corte. Euler apareció, avanzó hacia Diderot y en un tono de perfecta convicción anunció este non-sequitur :

"Señor, por lo tanto, Dios existe –responda!" a + b n n = x {\displaystyle {\frac {a+b^{n}}{n}}=x}

Diderot, para quien (según la historia) todas las matemáticas eran un galimatías, se quedó estupefacto mientras las carcajadas estallaban en la corte. Avergonzado, pidió abandonar Rusia, una petición que la emperatriz le concedió amablemente. Por muy divertida que pueda resultar la anécdota, es apócrifa, dado que el propio Diderot investigó en el campo de las matemáticas. [124] Al parecer, la leyenda fue contada por primera vez por Dieudonné Thiébault, con adornos de Augustus De Morgan . [123]

Conmemoraciones

Retrato de Euler en la sexta serie del billete de 10 francos
Retrato de Euler en la séptima serie del billete de 10 francos

Euler apareció en la sexta [125] y séptima [126] serie del billete suizo de 10 francos y en numerosos sellos postales suizos, alemanes y rusos. En 1782 fue elegido Miembro Honorario Extranjero de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias . [127] El asteroide 2002 Euler recibió su nombre en su honor. [128]

Bibliografía seleccionada

Euler tiene una extensa bibliografía . Entre sus libros se encuentran:

La mayor parte de las obras póstumas de Euler no se publicaron individualmente hasta 1830, [135] con un lote adicional de 61 obras inéditas descubiertas por Paul Heinrich von Fuss (bisnieto de Euler e hijo de Nicolas Fuss ) y publicadas como colección en 1862. [135] [136] Un catálogo cronológico de las obras de Euler fue compilado por el matemático sueco Gustaf Eneström y publicado entre 1910 y 1913. [137] El catálogo, conocido como el índice Eneström , numera las obras de Euler de E1 a E866. [138] El Archivo Euler se inició en el Dartmouth College [139] antes de trasladarse a la Asociación Matemática de América [140] y, más recientemente, a la Universidad del Pacífico en 2017. [141]

En 1907, la Academia Suiza de Ciencias creó la Comisión Euler y le encargó la publicación de las obras completas de Euler. Después de varios retrasos en el siglo XIX, [135] el primer volumen de la Opera Omnia , se publicó en 1911. [142] Sin embargo, el descubrimiento de nuevos manuscritos continuó aumentando la magnitud de este proyecto. Afortunadamente, la publicación de la Opera Omnia de Euler ha avanzado de manera constante, con más de 70 volúmenes (con un promedio de 426 páginas cada uno) publicados en 2006 y 80 volúmenes publicados en 2022. [143] [12] [14] Estos volúmenes están organizados en cuatro series. La primera serie recopila las obras sobre análisis, álgebra y teoría de números; consta de 29 volúmenes y números de más de 14.000 páginas. Los 31 volúmenes de la Serie II, que suman 10.660 páginas, contienen las obras sobre mecánica, astronomía e ingeniería. La Serie III contiene 12 volúmenes sobre física. La Serie IV, que contiene la enorme cantidad de correspondencia de Euler, manuscritos inéditos y notas, recién comenzó a compilarse en 1967. Después de publicar 8 volúmenes impresos en la Serie IV, el proyecto decidió en 2022 publicar los volúmenes restantes proyectados en la Serie IV solo en formato en línea. [12] [142] [14]

  • Ilustración de Solutio problematis... a. 1743 propuestas publicadas en Acta Eruditorum, 1744
    Ilustración de Solutio problematis... a. 1743 propositi publicadas en Acta Eruditorum , 1744
  • La portada del Methodus inveniendi lineas curvas de Euler
    La portada del Methodus inveniendi lineas curvas de Euler
  • Mapamundi de Euler de 1760
    Mapamundi de Euler de 1760
  • Mapa de África de Euler de 1753
    Mapa de África de Euler de 1753

Notas

  1. ^ Euler es considerado por una genealogía académica como el equivalente al asesor doctoral de Lagrange. [1]
  2. ^ La pronunciación / ˈ juː l ər / YOO -lər se considera incorrecta. [2] [3] [4] [5]
  3. ↑ La cita apareció en la reseña de Gugliemo Libri de una colección recientemente publicada de correspondencia entre matemáticos del siglo XVIII: " ... nous rappellerions que Laplace lui même, ... ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles mémorables que nous avons entendues de sa propre bouche: 'Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous'. " [... recordemos que el propio Laplace, ... nunca dejó de repetir a los jóvenes matemáticos estas memorables palabras que escuchamos de su propia boca: 'Leed a Euler, leed a Euler, él es nuestro maestro en todo.'] [ 144]
  4. ^ Esta cita apareció en una carta de Gauss a Paul Fuss fechada el 11 de septiembre de 1849: [10] " Die besondere Herausgabe der kleinern Eulerschen Abhandlungen ist gewiß etwas höchst verdienstliches, [...] und das Studium aller Eulerschen Arbeiten doch stets die beste durch nichts anderes zu ersetzende Schule für die verschiedenen mathematischen Gebiete bleiben wird. " [La publicación especial de los tratados más pequeños de Euler es ciertamente algo muy meritorio, [...] y el estudio de todas las obras de Euler siempre seguirá siendo la mejor escuela para el varios campos matemáticos, que no pueden ser reemplazados por nada más.]

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Fuentes

Lectura adicional

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