Lógica

La lógica es el estudio del razonamiento correcto . Incluye tanto la lógica formal como la informal . La lógica formal es el estudio de las inferencias deductivamente válidas o las verdades lógicas . Examina cómo las conclusiones se derivan de las premisas basadas únicamente en la estructura de los argumentos, independientemente de su tema y contenido. La lógica informal está asociada con las falacias informales , el pensamiento crítico y la teoría de la argumentación . La lógica informal examina los argumentos expresados ​​en lenguaje natural , mientras que la lógica formal utiliza el lenguaje formal . Cuando se usa como sustantivo contable , el término "una lógica" se refiere a un sistema formal lógico específico que articula un sistema de prueba . La lógica juega un papel central en muchos campos, como la filosofía , las matemáticas , la informática y la lingüística .

La lógica estudia los argumentos, que consisten en un conjunto de premisas que conducen a una conclusión. Un ejemplo es el argumento de las premisas "es domingo" y "si es domingo entonces no tengo que trabajar" que conduce a la conclusión "no tengo que trabajar". ^[1] Las premisas y conclusiones expresan proposiciones o afirmaciones que pueden ser verdaderas o falsas. Una característica importante de las proposiciones es su estructura interna. Por ejemplo, las proposiciones complejas se componen de proposiciones más simples unidas por vocabulario lógico como ( y ) o ( si...entonces ). Las proposiciones simples también tienen partes, como "domingo" o "trabajo" en el ejemplo. La verdad de una proposición generalmente depende de los significados de todas sus partes. Sin embargo, este no es el caso de las proposiciones lógicamente verdaderas. Son verdaderas solo debido a su estructura lógica independiente de los significados específicos de las partes individuales.${\displaystyle \tierra}$${\displaystyle \to}$

Los argumentos pueden ser correctos o incorrectos. Un argumento es correcto si sus premisas respaldan su conclusión. Los argumentos deductivos tienen la forma más fuerte de respaldo: si sus premisas son verdaderas, entonces su conclusión también debe ser verdadera. Este no es el caso de los argumentos ampliativos , que llegan a información genuinamente nueva que no se encuentra en las premisas. Muchos argumentos en el discurso cotidiano y en las ciencias son argumentos ampliativos. Se dividen en argumentos inductivos y abductivos . Los argumentos inductivos son generalizaciones estadísticas, como inferir que todos los cuervos son negros basándose en muchas observaciones individuales de cuervos negros. ^[2] Los argumentos abductivos son inferencias a la mejor explicación, por ejemplo, cuando un médico concluye que un paciente tiene una determinada enfermedad que explica los síntomas que sufre. ^[3] Los argumentos que no alcanzan los estándares del razonamiento correcto a menudo incorporan falacias . Los sistemas de lógica son marcos teóricos para evaluar la corrección de los argumentos.

La lógica ha sido estudiada desde la antigüedad . Los primeros enfoques incluyen la lógica aristotélica , la lógica estoica , el nyaya y el mohismo . La lógica aristotélica se centra en el razonamiento en forma de silogismos . Se consideró el principal sistema de lógica en el mundo occidental hasta que fue reemplazado por la lógica formal moderna, que tiene sus raíces en el trabajo de matemáticos de finales del siglo XIX como Gottlob Frege . Hoy en día, el sistema más utilizado es la lógica clásica . Consiste en la lógica proposicional y la lógica de primer orden . La lógica proposicional solo considera las relaciones lógicas entre proposiciones completas. La lógica de primer orden también tiene en cuenta las partes internas de las proposiciones, como los predicados y los cuantificadores . Las lógicas extendidas aceptan las intuiciones básicas detrás de la lógica clásica y las aplican a otros campos, como la metafísica , la ética y la epistemología . Las lógicas desviadas, por otro lado, rechazan ciertas intuiciones clásicas y brindan explicaciones alternativas de las leyes básicas de la lógica.

La palabra "lógica" se origina de la palabra griega "logos", que tiene una variedad de traducciones, como razón , discurso o lenguaje . ^[4] La lógica se define tradicionalmente como el estudio de las leyes del pensamiento o razonamiento correcto , ^[5] y generalmente se entiende en términos de inferencias o argumentos . El razonamiento es la actividad de extraer inferencias. Los argumentos son la expresión externa de las inferencias. ^[6] Un argumento es un conjunto de premisas junto con una conclusión. La lógica está interesada en si los argumentos son correctos, es decir, si sus premisas respaldan la conclusión. ^[7] Estas caracterizaciones generales se aplican a la lógica en el sentido más amplio, es decir, tanto a la lógica formal como a la informal , ya que ambas se ocupan de evaluar la corrección de los argumentos. ^[8] La lógica formal es el campo tradicionalmente dominante, y algunos lógicos restringen la lógica a la lógica formal. ^[9]

La lógica formal también se conoce como lógica simbólica y se utiliza ampliamente en la lógica matemática . Utiliza un enfoque formal para estudiar el razonamiento: reemplaza expresiones concretas con símbolos abstractos para examinar la forma lógica de los argumentos independientemente de su contenido concreto. En este sentido, es neutral en cuanto a temas, ya que solo se ocupa de la estructura abstracta de los argumentos y no de su contenido concreto. ^[10]

La lógica formal se interesa por argumentos deductivamente válidos , para los cuales la verdad de sus premisas asegura la verdad de su conclusión. Esto significa que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. ^[11] Para argumentos válidos, la estructura lógica de las premisas y la conclusión sigue un patrón llamado regla de inferencia . ^[12] Por ejemplo, el modus ponens es una regla de inferencia según la cual todos los argumentos de la forma "(1) p , (2) si p entonces q , (3) por lo tanto q " son válidos, independientemente de lo que signifiquen los términos p y q . ^[13] En este sentido, la lógica formal puede definirse como la ciencia de las inferencias válidas. Una definición alternativa ve a la lógica como el estudio de las verdades lógicas . ^[14] Una proposición es lógicamente verdadera si su verdad depende solo del vocabulario lógico utilizado en ella. Esto significa que es verdadera en todos los mundos posibles y bajo todas las interpretaciones de sus términos no lógicos, como la afirmación "o está lloviendo o no". ^[15] Estas dos definiciones de lógica formal no son idénticas, pero están estrechamente relacionadas. Por ejemplo, si la inferencia de p a q es deductivamente válida, entonces la afirmación “si p entonces q ” es una verdad lógica. ^[16]

La lógica formal utiliza lenguajes formales para expresar y analizar argumentos. ^[17] Normalmente tienen un vocabulario muy limitado y reglas sintácticas exactas . Estas reglas especifican cómo se pueden combinar sus símbolos para construir oraciones, las llamadas fórmulas bien formadas . ^[18] Esta simplicidad y exactitud de la lógica formal la hacen capaz de formular reglas precisas de inferencia. Determinan si un argumento dado es válido. ^[19] Debido a la dependencia del lenguaje formal, los argumentos en lenguaje natural no se pueden estudiar directamente. En cambio, deben traducirse al lenguaje formal antes de poder evaluar su validez. ^[20]

El término "lógica" también puede utilizarse en un sentido ligeramente diferente como sustantivo contable. En este sentido, una lógica es un sistema formal lógico. Las distintas lógicas difieren entre sí en cuanto a las reglas de inferencia que aceptan como válidas y los lenguajes formales que se utilizan para expresarlas. ^[21] A partir de finales del siglo XIX, se han propuesto muchos sistemas formales nuevos. Existen desacuerdos sobre qué hace que un sistema formal sea una lógica. ^[22] Por ejemplo, se ha sugerido que solo los sistemas lógicamente completos , como la lógica de primer orden , califican como lógicas. Por tales razones, algunos teóricos niegan que las lógicas de orden superior sean lógicas en sentido estricto. ^[23]

En un sentido amplio, la lógica abarca tanto la lógica formal como la informal. ^[24] La lógica informal utiliza criterios y estándares no formales para analizar y evaluar la corrección de los argumentos. Su principal foco está en el discurso cotidiano. ^[25] Su desarrollo fue impulsado por las dificultades para aplicar los conocimientos de la lógica formal a los argumentos en lenguaje natural. ^[26] En este sentido, considera problemas que la lógica formal por sí sola no puede abordar. ^[27] Ambas proporcionan criterios para evaluar la corrección de los argumentos y distinguirlos de las falacias. ^[28]

Se han sugerido muchas caracterizaciones de la lógica informal, pero no hay un acuerdo general sobre su definición precisa. ^[29] El enfoque más literal considera que los términos "formal" e "informal" se aplican al lenguaje utilizado para expresar argumentos. Desde este punto de vista, la lógica informal estudia los argumentos que están en lenguaje informal o natural. ^[30] La lógica formal solo puede examinarlos indirectamente traduciéndolos primero a un lenguaje formal, mientras que la lógica informal los investiga en su forma original. ^[31] Desde este punto de vista, el argumento "Los pájaros vuelan. Piolín es un pájaro. Por lo tanto, Piolín vuela." pertenece al lenguaje natural y se examina mediante la lógica informal. Pero la traducción formal "(1) ; (2) ; (3) " se estudia mediante la lógica formal. ^[32] El estudio de los argumentos en lenguaje natural presenta varias dificultades. Por ejemplo, las expresiones en lenguaje natural suelen ser ambiguas, vagas y dependientes del contexto. ^[33] Otro enfoque define la lógica informal en un sentido amplio como el estudio normativo de los estándares, criterios y procedimientos de la argumentación. En este sentido, incluye preguntas sobre el papel de la racionalidad , el pensamiento crítico y la psicología de la argumentación. ^[34]${\displaystyle \forall x(Pájaro(x)\to Moscas(x))}$${\displaystyle Pájaro(Piolín)}$${\displaystyle Moscas(Tweety)}$

Otra caracterización identifica la lógica informal con el estudio de los argumentos no deductivos. De esta manera, contrasta con el razonamiento deductivo examinado por la lógica formal. ^[35] Los argumentos no deductivos hacen probable su conclusión pero no aseguran que sea verdadera. Un ejemplo es el argumento inductivo que parte de la observación empírica de que “todos los cuervos que he visto hasta ahora son negros” hasta la conclusión de que “todos los cuervos son negros”. ^[36]

Un enfoque adicional es definir la lógica informal como el estudio de las falacias informales . ^[37] Las falacias informales son argumentos incorrectos en los que hay errores en el contenido y el contexto del argumento. ^[38] Un falso dilema , por ejemplo, implica un error de contenido al excluir opciones viables. Este es el caso de la falacia "estás con nosotros o contra nosotros; no estás con nosotros; por lo tanto, estás contra nosotros". ^[39] Algunos teóricos afirman que la lógica formal estudia la forma general de los argumentos mientras que la lógica informal estudia instancias particulares de argumentos. Otro enfoque es sostener que la lógica formal solo considera el papel de las constantes lógicas para inferencias correctas mientras que la lógica informal también tiene en cuenta el significado de los conceptos sustantivos . Otros enfoques se centran en la discusión de temas lógicos con o sin dispositivos formales y en el papel de la epistemología para la evaluación de argumentos. ^[40]

Las premisas y conclusiones son las partes básicas de las inferencias o argumentos y, por lo tanto, desempeñan un papel central en la lógica. En el caso de una inferencia válida o un argumento correcto, la conclusión se sigue de las premisas, o en otras palabras, las premisas respaldan la conclusión. ^[41] Por ejemplo, las premisas "Marte es rojo" y "Marte es un planeta" respaldan la conclusión "Marte es un planeta rojo". Para la mayoría de los tipos de lógica, se acepta que las premisas y las conclusiones tienen que ser portadoras de verdad . ^{[41] [a]} Esto significa que tienen un valor de verdad : son verdaderas o falsas. La filosofía contemporánea generalmente las ve como proposiciones o como oraciones . ^[43] Las proposiciones son las denotaciones de oraciones y generalmente se las considera objetos abstractos . ^[44] Por ejemplo, la oración en inglés "el árbol es verde" es diferente de la oración alemana "der Baum ist grün", pero ambas expresan la misma proposición. ^[45]

Las teorías proposicionales de premisas y conclusiones suelen ser criticadas porque se basan en objetos abstractos. Por ejemplo, los naturalistas filosóficos suelen rechazar la existencia de objetos abstractos. Otros argumentos se refieren a los desafíos que implica especificar los criterios de identidad de las proposiciones. ^[43] Estas objeciones se evitan al considerar las premisas y conclusiones no como proposiciones sino como oraciones, es decir, como objetos lingüísticos concretos como los símbolos que se muestran en una página de un libro. Pero este enfoque conlleva nuevos problemas propios: las oraciones a menudo dependen del contexto y son ambiguas, lo que significa que la validez de un argumento no solo dependería de sus partes sino también de su contexto y de cómo se interpreta. ^[46] Otro enfoque es entender las premisas y conclusiones en términos psicológicos como pensamientos o juicios. Esta posición se conoce como psicologismo . Se discutió extensamente a principios del siglo XX, pero no es ampliamente aceptada en la actualidad. ^[47]

Las premisas y conclusiones tienen una estructura interna. Como proposiciones u oraciones, pueden ser simples o complejas. ^[48] Una proposición compleja tiene otras proposiciones como constituyentes, que están vinculadas entre sí a través de conectores proposicionales como "y" o "si... entonces". Las proposiciones simples, por otro lado, no tienen partes proposicionales. Pero también pueden concebirse como si tuvieran una estructura interna: están formadas por partes subproposicionales, como términos singulares y predicados . ^{[49] [48]} Por ejemplo, la proposición simple "Marte es rojo" puede formarse aplicando el predicado "rojo" al término singular "Marte". En contraste, la proposición compleja "Marte es rojo y Venus es blanco" está formada por dos proposiciones simples conectadas por el conector proposicional "y". ^[49]

La veracidad de una proposición depende, al menos en parte, de sus constituyentes. En el caso de proposiciones complejas formadas utilizando conectores proposicionales veritativo-funcionales , su verdad sólo depende de los valores de verdad de sus partes. ^{[49] [50]} Pero esta relación es más complicada en el caso de proposiciones simples y sus partes subproposicionales. Estas partes subproposicionales tienen significados propios, como referirse a objetos o clases de objetos. ^[51] La veracidad de la proposición simple que forman depende de su relación con la realidad, es decir, de cómo son los objetos a los que se refieren. Este tema es estudiado por las teorías de la referencia . ^[52]

Algunas proposiciones complejas son verdaderas independientemente de los significados sustantivos de sus partes. ^[53] En la lógica clásica, por ejemplo, la proposición compleja «Marte es rojo o Marte no es rojo» es verdadera independientemente de si sus partes, como la proposición simple «Marte es rojo», son verdaderas o falsas. En tales casos, la verdad se llama verdad lógica: una proposición es lógicamente verdadera si su verdad depende solo del vocabulario lógico utilizado en ella. ^[54] Esto significa que es verdadera bajo todas las interpretaciones de sus términos no lógicos. En algunas lógicas modales , esto significa que la proposición es verdadera en todos los mundos posibles. ^[55] Algunos teóricos definen la lógica como el estudio de las verdades lógicas. ^[16]

Las tablas de verdad se pueden utilizar para mostrar cómo funcionan los conectores lógicos o cómo los valores de verdad de proposiciones complejas dependen de sus partes. Tienen una columna para cada variable de entrada. Cada fila corresponde a una posible combinación de los valores de verdad que estas variables pueden tomar; para las tablas de verdad presentadas en la literatura inglesa, los símbolos "T" y "F" o "1" y "0" se utilizan comúnmente como abreviaturas para los valores de verdad "verdadero" y "falso". ^[56] Las primeras columnas presentan todas las posibles combinaciones de valores de verdad para las variables de entrada. Las entradas en las otras columnas presentan los valores de verdad de las expresiones correspondientes según lo determinado por los valores de entrada. Por ejemplo, la expresión " "${\displaystyle p\land q}$ utiliza el conector lógico ( y ). Podría usarse para expresar una oración como "ayer fue domingo y el clima era bueno". Solo es verdadera si ambas variables de entrada, ("ayer fue domingo") y ("el clima era bueno"), son verdaderas. En todos los demás casos, la expresión en su totalidad es falsa. Otros conectivos lógicos importantes son ( no ), ( o ), ( si...entonces ) y ( trazo de Sheffer ). ^[57] Dada la proposición condicional , se pueden formar tablas de verdad de su recíproco , su inverso ( ) y su contrapositivo ( ) . También se pueden definir tablas de verdad para expresiones más complejas que utilizan varios conectivos proposicionales. ^[58]${\displaystyle \tierra}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$${\displaystyle \lno}$${\displaystyle \lor}$${\displaystyle \to}$${\displaystyle \flecha arriba}$${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle q\to p}$ ${\displaystyle \lno p\to \lno q}$ ${\displaystyle \lno q\to \lno p}$

Tabla de verdad de varias expresiones

pag	q	p ∧ q	p ∨ q	p → q	¬p → ¬q	pq ​${\displaystyle \flecha arriba}$
yo	yo	yo	yo	yo	yo	F
yo	F	F	yo	F	yo	yo
F	yo	F	yo	yo	F	yo
F	F	F	F	yo	yo	yo

La lógica se define comúnmente en términos de argumentos o inferencias como el estudio de su corrección. ^[59] Un argumento es un conjunto de premisas junto con una conclusión. ^[60] Una inferencia es el proceso de razonamiento a partir de estas premisas hasta la conclusión. ^[43] Pero estos términos se usan a menudo indistintamente en lógica. Los argumentos son correctos o incorrectos dependiendo de si sus premisas respaldan su conclusión. Las premisas y conclusiones, por otro lado, son verdaderas o falsas dependiendo de si están de acuerdo con la realidad. En lógica formal, un argumento sólido es un argumento que es correcto y solo tiene premisas verdaderas. ^[61] A veces se hace una distinción entre argumentos simples y complejos. Un argumento complejo está formado por una cadena de argumentos simples. Esto significa que la conclusión de un argumento actúa como premisa de argumentos posteriores. Para que un argumento complejo tenga éxito, cada eslabón de la cadena tiene que tener éxito. ^[43]

Los argumentos y las inferencias son correctos o incorrectos. Si son correctos, sus premisas respaldan su conclusión. En el caso incorrecto, este respaldo falta. Puede tomar diferentes formas correspondientes a los diferentes tipos de razonamiento . ^[62] La forma más fuerte de respaldo corresponde al razonamiento deductivo . Pero incluso los argumentos que no son deductivamente válidos pueden seguir siendo buenos argumentos porque sus premisas ofrecen un respaldo no deductivo a sus conclusiones. Para tales casos, se utiliza el término razonamiento ampliativo o inductivo . ^[63] Los argumentos deductivos se asocian con la lógica formal en contraste con la relación entre los argumentos ampliativos y la lógica informal. ^[64]

Un argumento deductivamente válido es aquel cuyas premisas garantizan la verdad de su conclusión. ^[11] Por ejemplo, el argumento “(1) todas las ranas son anfibios; (2) ningún gato es anfibio; (3) por lo tanto ningún gato es rana” es deductivamente válido. Para la validez deductiva, no importa si las premisas o la conclusión son realmente verdaderas. Por lo tanto, el argumento “(1) todas las ranas son mamíferos; (2) ningún gato es mamífero; (3) por lo tanto ningún gato es rana” también es válido porque la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. ^[65]

Según una influyente visión de Alfred Tarski , los argumentos deductivos tienen tres características esenciales: (1) son formales, es decir, dependen sólo de la forma de las premisas y la conclusión; (2) son a priori, es decir, no se necesita experiencia sensorial para determinar si se obtienen; (3) son modales, es decir, que se mantienen por necesidad lógica para las proposiciones dadas, independientemente de cualquier otra circunstancia. ^[66]

Debido a la primera característica, el enfoque en la formalidad, la inferencia deductiva se identifica usualmente con las reglas de inferencia. ^[67] Las reglas de inferencia especifican la forma de las premisas y la conclusión: cómo deben estructurarse para que la inferencia sea válida. Los argumentos que no siguen ninguna regla de inferencia son deductivamente inválidos. ^[68] El modus ponens es una regla de inferencia prominente. Tiene la forma " p ; si p , entonces q ; por lo tanto q ". ^[69] Sabiendo que acaba de llover ( ) y que después de la lluvia las calles están mojadas ( ), uno puede usar el modus ponens para deducir que las calles están mojadas ( ). ^[70]${\estilo de visualización p}$${\displaystyle p\to q}$${\estilo de visualización q}$

La tercera característica puede expresarse afirmando que las inferencias deductivamente válidas preservan la verdad: es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. ^[71] Debido a esta característica, a menudo se afirma que las inferencias deductivas no son informativas, ya que la conclusión no puede llegar a información nueva que no esté ya presente en las premisas. ^[72] Pero este punto no siempre se acepta, ya que significaría, por ejemplo, que la mayor parte de las matemáticas no son informativas. Una caracterización diferente distingue entre información superficial y de profundidad. La información superficial de una oración es la información que presenta explícitamente. La información de profundidad es la totalidad de la información contenida en la oración, tanto explícita como implícitamente. Según este punto de vista, las inferencias deductivas no son informativas en el nivel de profundidad. Pero pueden ser altamente informativas en el nivel superficial al hacer explícita la información implícita. Esto sucede, por ejemplo, en las pruebas matemáticas. ^[73]

Los argumentos ampliativos son argumentos cuyas conclusiones contienen información adicional que no se encuentra en sus premisas. En este sentido, son más interesantes ya que contienen información sobre el nivel de profundidad y el pensador puede aprender algo genuinamente nuevo. Pero esta característica tiene un cierto costo: las premisas respaldan la conclusión en el sentido de que hacen que su verdad sea más probable, pero no aseguran su verdad. ^[74] Esto significa que la conclusión de un argumento ampliativo puede ser falsa aunque todas sus premisas sean verdaderas. Esta característica está estrechamente relacionada con la no monotonía y la refutación : puede ser necesario retractarse de una conclusión anterior al recibir nueva información o a la luz de nuevas inferencias extraídas. ^[75] El razonamiento ampliativo juega un papel central en muchos argumentos que se encuentran en el discurso cotidiano y las ciencias. Los argumentos ampliativos no son automáticamente incorrectos. En cambio, simplemente siguen diferentes estándares de corrección. El respaldo que brindan a su conclusión generalmente viene en grados. Esto significa que los argumentos ampliativos fuertes hacen que su conclusión sea muy probable, mientras que los débiles son menos seguros. En consecuencia, la línea entre argumentos correctos e incorrectos es borrosa en algunos casos, como cuando las premisas ofrecen un respaldo débil pero no desdeñable. Esto contrasta con los argumentos deductivos, que son válidos o inválidos sin nada intermedio. ^[76]

La terminología utilizada para categorizar los argumentos ampliativos es inconsistente. Algunos autores, como James Hawthorne, usan el término " inducción " para cubrir todas las formas de argumentos no deductivos. ^[77] Pero en un sentido más estricto, la inducción es solo un tipo de argumento ampliativo junto con los argumentos abductivos . ^[78] Algunos filósofos, como Leo Groarke, también permiten argumentos conductivos ^[b] como otro tipo. ^[79] En este sentido estricto, la inducción a menudo se define como una forma de generalización estadística. ^[80] En este caso, las premisas de un argumento inductivo son muchas observaciones individuales que muestran un cierto patrón. La conclusión entonces es una ley general de que este patrón siempre se obtiene. ^[81] En este sentido, uno puede inferir que "todos los elefantes son grises" basándose en las observaciones pasadas del color de los elefantes. ^[78] Una forma estrechamente relacionada de inferencia inductiva tiene como conclusión no una ley general sino un caso más específico, como cuando se infiere que un elefante que uno aún no ha visto también es gris. ^[81] Algunos teóricos, como Igor Douven, estipulan que las inferencias inductivas se basan únicamente en consideraciones estadísticas. De esta manera, pueden distinguirse de la inferencia abductiva. ^[78]

La inferencia abductiva puede o no tener en cuenta las observaciones estadísticas. En cualquier caso, las premisas ofrecen apoyo a la conclusión porque la conclusión es la mejor explicación de por qué las premisas son verdaderas. ^[82] En este sentido, la abducción también se denomina inferencia a la mejor explicación . ^[83] Por ejemplo, dada la premisa de que hay un plato con migas de pan en la cocina a primera hora de la mañana, se puede inferir la conclusión de que el compañero de casa tomó un refrigerio a medianoche y estaba demasiado cansado para limpiar la mesa. Esta conclusión está justificada porque es la mejor explicación del estado actual de la cocina. ^[78] Para la abducción, no es suficiente que la conclusión explique las premisas. Por ejemplo, la conclusión de que un ladrón entró en la casa anoche, tuvo hambre en el trabajo y tomó un refrigerio a medianoche, también explicaría el estado de la cocina. Pero esta conclusión no está justificada porque no es la mejor explicación ni la más probable. ^{[82] [83]}

No todos los argumentos están a la altura de los estándares del razonamiento correcto. Cuando no lo están, se los suele denominar falacias . Su aspecto central no es que su conclusión sea falsa, sino que existe algún fallo en el razonamiento que lleva a esa conclusión. ^[84] Por lo tanto, el argumento "hoy hace sol; por lo tanto, las arañas tienen ocho patas" es falaz aunque la conclusión sea verdadera. Algunos teóricos, como John Stuart Mill , dan una definición más restrictiva de las falacias al exigir además que parezcan correctas. ^[85] De esta manera, las falacias genuinas se pueden distinguir de los meros errores de razonamiento debidos al descuido. Esto explica por qué las personas tienden a cometer falacias: porque tienen un elemento atractivo que seduce a las personas a cometerlas y aceptarlas. ^[86] Sin embargo, esta referencia a las apariencias es controvertida porque pertenece al campo de la psicología , no de la lógica, y porque las apariencias pueden ser diferentes para diferentes personas. ^[87]

Las falacias suelen dividirse en falacias formales e informales. ^[38] En el caso de las falacias formales, la fuente del error se encuentra en la forma del argumento. Por ejemplo, negar el antecedente es un tipo de falacia formal, como en "si Otelo es soltero, entonces es hombre; Otelo no es soltero; por lo tanto, Otelo no es hombre". ^[88] Pero la mayoría de las falacias caen en la categoría de falacias informales, de las que se analiza una gran variedad en la literatura académica. La fuente de su error suele encontrarse en el contenido o el contexto del argumento. ^[89] Las falacias informales a veces se clasifican como falacias de ambigüedad, falacias de presunción o falacias de relevancia. En el caso de las falacias de ambigüedad, la ambigüedad y la vaguedad del lenguaje natural son responsables de su defecto, como en "las plumas son claras; lo que es claro no puede ser oscuro; por lo tanto, las plumas no pueden ser oscuras". ^[90] Las falacias de presunción tienen una premisa errónea o injustificada pero pueden ser válidas en otros casos. ^[91] En el caso de las falacias de relevancia, las premisas no respaldan la conclusión porque no son relevantes para ella. ^[92]

El principal objetivo de la mayoría de los lógicos es estudiar los criterios según los cuales un argumento es correcto o incorrecto. Se comete una falacia si se violan estos criterios. En el caso de la lógica formal, se conocen como reglas de inferencia . ^[93] Son reglas definitorias, que determinan si una inferencia es correcta o qué inferencias están permitidas. Las reglas definitorias contrastan con las reglas estratégicas. Las reglas estratégicas especifican qué movimientos inferenciales son necesarios para llegar a una conclusión dada basada en un conjunto de premisas. Esta distinción no solo se aplica a la lógica sino también a los juegos. En ajedrez , por ejemplo, las reglas definitorias dictan que los alfiles solo pueden moverse en diagonal. Las reglas estratégicas, por otro lado, describen cómo se pueden usar los movimientos permitidos para ganar un juego, por ejemplo, controlando el centro y defendiendo al propio rey . ^[94] Se ha argumentado que los lógicos deberían dar más énfasis a las reglas estratégicas, ya que son muy relevantes para el razonamiento efectivo. ^[93]

Un sistema formal de lógica consiste en un lenguaje formal junto con un conjunto de axiomas y un sistema de prueba utilizado para extraer inferencias de estos axiomas. ^[95] En lógica, los axiomas son afirmaciones que se aceptan sin prueba. Se utilizan para justificar otras afirmaciones. ^[96] Algunos teóricos también incluyen una semántica que especifica cómo se relacionan las expresiones del lenguaje formal con los objetos reales. ^[97] A partir de finales del siglo XIX, se han propuesto muchos sistemas formales nuevos. ^[98]

Un lenguaje formal consta de un alfabeto y reglas sintácticas. El alfabeto es el conjunto de símbolos básicos utilizados en expresiones . Las reglas sintácticas determinan cómo se pueden organizar estos símbolos para dar como resultado fórmulas bien formadas. ^[99] Por ejemplo, las reglas sintácticas de la lógica proposicional determinan que " "${\displaystyle P\land Q}$ es una fórmula bien formada pero " "${\displaystyle \land Q}$ no lo es ya que la conjunción lógica requiere términos en ambos lados. ^[100]${\displaystyle \tierra}$

Un sistema de prueba es una colección de reglas para construir pruebas formales. Es una herramienta para llegar a conclusiones a partir de un conjunto de axiomas. Las reglas en un sistema de prueba se definen en términos de la forma sintáctica de las fórmulas independientemente de su contenido específico. Por ejemplo, la regla clásica de introducción de conjunciones establece que se sigue de las premisas y . Tales reglas se pueden aplicar secuencialmente, lo que proporciona un procedimiento mecánico para generar conclusiones a partir de las premisas. Hay diferentes tipos de sistemas de prueba, incluida la deducción natural y los cálculos secuenciales . ^[101]${\displaystyle P\land Q}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización Q}$

La semántica es un sistema para mapear expresiones de un lenguaje formal a sus denotaciones. En muchos sistemas de lógica, las denotaciones son valores de verdad. Por ejemplo, la semántica para la lógica proposicional clásica asigna a la fórmula la denotación "verdadera" siempre que y sean verdaderas. Desde el punto de vista semántico, una premisa implica una conclusión si la conclusión es verdadera siempre que la premisa sea verdadera. ^[102]${\displaystyle P\land Q}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización Q}$

Un sistema de lógica es sólido cuando su sistema de prueba no puede derivar una conclusión de un conjunto de premisas a menos que éstas la impliquen semánticamente. En otras palabras, su sistema de prueba no puede llevar a conclusiones falsas, tal como se define en la semántica. Un sistema es completo cuando su sistema de prueba puede derivar todas las conclusiones que se impliquen semánticamente en sus premisas. En otras palabras, su sistema de prueba puede llevar a cualquier conclusión verdadera, tal como se define en la semántica. Por lo tanto, la solidez y la completitud describen juntas un sistema cuyas nociones de validez y de implicación se alinean perfectamente. ^[103]

Los sistemas de lógica son marcos teóricos para evaluar la corrección del razonamiento y los argumentos. Durante más de dos mil años, la lógica aristotélica fue considerada el canon de la lógica en el mundo occidental, ^[104] pero los avances modernos en este campo han llevado a una vasta proliferación de sistemas lógicos. ^[105] Una categorización destacada divide los sistemas lógicos formales modernos en lógica clásica , lógica extendida y lógica desviada . ^[106]

La lógica aristotélica abarca una gran variedad de temas. Incluye tesis metafísicas sobre categorías ontológicas y problemas de explicación científica. Pero en un sentido más estricto, es idéntica a la lógica de términos o silogística. Un silogismo es una forma de argumento que involucra tres proposiciones: dos premisas y una conclusión. Cada proposición tiene tres partes esenciales: un sujeto , un predicado y una cópula que conecta el sujeto con el predicado. ^[107] Por ejemplo, la proposición "Sócrates es sabio" está formada por el sujeto "Sócrates", el predicado "sabio" y la cópula "es". ^[108] El sujeto y el predicado son los términos de la proposición. La lógica aristotélica no contiene proposiciones complejas formadas por proposiciones simples. Se diferencia en este aspecto de la lógica proposicional, en la que dos proposiciones cualesquiera pueden vincularse utilizando un conectivo lógico como "y" para formar una nueva proposición compleja. ^[109]

En la lógica aristotélica, el sujeto puede ser universal , particular , indefinido o singular . Por ejemplo, el término «todos los humanos» es un sujeto universal en la proposición «todos los humanos son mortales». Se podría formar una proposición similar reemplazándolo por el término particular «algunos humanos», el término indefinido «un humano» o el término singular «Sócrates». ^[110]

La lógica aristotélica sólo incluye predicados para propiedades simples de entidades. Pero carece de predicados correspondientes a relaciones entre entidades. ^[111] El predicado puede vincularse al sujeto de dos maneras: ya sea afirmándolo o negándolo. ^[112] Por ejemplo, la proposición "Sócrates no es un gato" implica la negación del predicado "gato" al sujeto "Sócrates". Utilizando combinaciones de sujetos y predicados, se pueden formar una gran variedad de proposiciones y silogismos. Los silogismos se caracterizan por el hecho de que las premisas están vinculadas entre sí y con la conclusión al compartir un predicado en cada caso. ^[113] Así, estas tres proposiciones contienen tres predicados, denominados término mayor , término menor y término medio . ^[114] El aspecto central de la lógica aristotélica implica clasificar todos los silogismos posibles en argumentos válidos e inválidos según cómo se formen las proposiciones. ^{[112] [115]} Por ejemplo, el silogismo «todos los hombres son mortales; Sócrates es un hombre; luego, Sócrates es mortal» es válido. El silogismo «todos los gatos son mortales; Sócrates es mortal; luego, Sócrates es un gato», por otra parte, es inválido. ^[116]

La lógica clásica es distinta de la lógica tradicional o aristotélica. Abarca la lógica proposicional y la lógica de primer orden. Es "clásica" en el sentido de que se basa en intuiciones lógicas básicas compartidas por la mayoría de los lógicos. ^[117] Estas intuiciones incluyen la ley del tercero excluido , la eliminación de la doble negación , el principio de explosión y la bivalencia de la verdad. ^[118] Se desarrolló originalmente para analizar argumentos matemáticos y solo más tarde se aplicó también a otros campos. Debido a este enfoque en las matemáticas, no incluye vocabulario lógico relevante para muchos otros temas de importancia filosófica. Ejemplos de conceptos que pasa por alto son el contraste entre necesidad y posibilidad y el problema de la obligación ética y el permiso. De manera similar, no aborda las relaciones entre pasado, presente y futuro. ^[119] Tales cuestiones se abordan mediante lógicas extendidas. Se basan en las intuiciones básicas de la lógica clásica y las expanden al introducir nuevo vocabulario lógico. De esta manera, el enfoque lógico exacto se aplica a campos como la ética o la epistemología que están más allá del alcance de las matemáticas. ^[120]

La lógica proposicional comprende sistemas formales en los que las fórmulas se construyen a partir de proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos . Por ejemplo, la lógica proposicional representa la conjunción de dos proposiciones atómicas y como la fórmula compleja . A diferencia de la lógica de predicados donde los términos y predicados son las unidades más pequeñas, la lógica proposicional toma proposiciones completas con valores de verdad como su componente más básico. ^[121] Por lo tanto, las lógicas proposicionales solo pueden representar relaciones lógicas que surgen de la forma en que las proposiciones complejas se construyen a partir de otras más simples. Pero no pueden representar inferencias que resulten de la estructura interna de una proposición. ^[122]${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización Q}$${\displaystyle P\land Q}$

La lógica de primer orden incluye los mismos conectivos proposicionales que la lógica proposicional, pero se diferencia de ella porque articula la estructura interna de las proposiciones. Esto sucede a través de dispositivos como términos singulares, que se refieren a objetos particulares, predicados , que se refieren a propiedades y relaciones, y cuantificadores, que tratan nociones como "algunos" y "todos". ^[123] Por ejemplo, para expresar la proposición "este cuervo es negro", se puede utilizar el predicado de la propiedad "negro" y el término singular que se refiere al cuervo para formar la expresión . Para expresar que algunos objetos son negros, el cuantificador existencial se combina con la variable para formar la proposición . La lógica de primer orden contiene varias reglas de inferencia que determinan cómo las expresiones articuladas de esta manera pueden formar argumentos válidos, por ejemplo, que se puede inferir de . ^[124]${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización r}$$Estilo de visualización B(r)$${\displaystyle \existe}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \existe xB(x)}$${\displaystyle \existe xB(x)}$$Estilo de visualización B(r)$

Las lógicas extendidas son sistemas lógicos que aceptan los principios básicos de la lógica clásica e introducen símbolos y principios adicionales para aplicarla a campos como la metafísica , la ética y la epistemología . ^[125]

La lógica modal es una extensión de la lógica clásica. En su forma original, a veces llamada "lógica modal alética", introduce dos nuevos símbolos: expresa que algo es posible mientras que expresa que algo es necesario. ^[126] Por ejemplo, si la fórmula representa la oración "Sócrates es banquero", entonces la fórmula articula la oración "Es posible que Sócrates sea banquero". ^[127] Para incluir estos símbolos en el formalismo lógico, la lógica modal introduce nuevas reglas de inferencia que gobiernan el papel que desempeñan en las inferencias. Una regla de inferencia establece que, si algo es necesario, entonces también es posible. Esto significa que se sigue de . Otro principio establece que si una proposición es necesaria, entonces su negación es imposible y viceversa. Esto significa que es equivalente a . ^[128]${\displaystyle \Diamante}$${\displaystyle \Cuadro}$${\displaystyle B(s)}$${\displaystyle \Diamante B(s)}$${\displaystyle \Diamante A}$${\displaystyle \Cuadro A}$${\displaystyle \Cuadro A}$${\displaystyle \lno \Diamante \lno A}$

Otras formas de lógica modal introducen símbolos similares pero les asocian significados diferentes para aplicar la lógica modal a otros campos. Por ejemplo, la lógica deóntica concierne al campo de la ética e introduce símbolos para expresar las ideas de obligación y permiso , es decir, para describir si un agente tiene que realizar una determinada acción o se le permite realizarla. ^[129] Los operadores modales en la lógica modal temporal articulan relaciones temporales. Pueden usarse para expresar, por ejemplo, que algo sucedió en un momento dado o que algo está sucediendo todo el tiempo. ^[129] En epistemología, la lógica modal epistémica se usa para representar las ideas de saber algo en contraste con simplemente creer que es el caso. ^[130]

Las lógicas de orden superior extienden la lógica clásica no mediante el uso de operadores modales sino introduciendo nuevas formas de cuantificación. ^[131] Los cuantificadores corresponden a términos como "todos" o "algunos". En la lógica clásica de primer orden, los cuantificadores solo se aplican a individuos. La fórmula " "${\displaystyle \exists x(Manzana(x)\land Dulce(x))}$ ( algunas manzanas son dulces) es un ejemplo del cuantificador existencial " "${\displaystyle \existe}$ aplicado a la variable individual " "${\estilo de visualización x}$ . En las lógicas de orden superior, la cuantificación también se permite sobre predicados. Esto aumenta su poder expresivo. Por ejemplo, para expresar la idea de que María y Juan comparten algunas cualidades, se podría utilizar la fórmula " "${\displaystyle \existe Q(Q(María)\land Q(Juan))}$ . En este caso, el cuantificador existencial se aplica a la variable predicado " "${\estilo de visualización Q}$ . ^[132] El poder expresivo añadido es especialmente útil para las matemáticas, ya que permite formulaciones más sucintas de teorías matemáticas. ^[43] Pero tiene desventajas con respecto a sus propiedades metalógicas e implicaciones ontológicas, por lo que la lógica de primer orden todavía se utiliza más comúnmente. ^[133]

Las lógicas desviadas son sistemas lógicos que rechazan algunas de las intuiciones básicas de la lógica clásica. Por ello, no se las suele considerar como complementos de la misma, sino como rivales de ella. Los sistemas lógicos desviados se diferencian entre sí ya sea porque rechazan intuiciones clásicas diferentes o porque proponen alternativas diferentes a la misma cuestión. ^[134]

La lógica intuicionista es una versión restringida de la lógica clásica. ^[135] Utiliza los mismos símbolos pero excluye algunas reglas de inferencia. Por ejemplo, según la ley de eliminación de la doble negación, si una oración no es no verdadera, entonces es verdadera. Esto significa que se sigue de . Esta es una regla de inferencia válida en la lógica clásica pero no es válida en la lógica intuicionista. Otro principio clásico que no forma parte de la lógica intuicionista es la ley del tercero excluido . Establece que para cada oración, ya sea ella o su negación es verdadera. Esto significa que cada proposición de la forma es verdadera. ^[135] Estas desviaciones de la lógica clásica se basan en la idea de que la verdad se establece mediante la verificación utilizando una prueba. La lógica intuicionista es especialmente prominente en el campo de las matemáticas constructivas , que enfatiza la necesidad de encontrar o construir un ejemplo específico para probar su existencia. ^[136]${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \lno \lno A}$${\displaystyle A\lor \lno A}$

Las lógicas multivaluadas se apartan de la clasicismo al rechazar el principio de bivalencia , que requiere que todas las proposiciones sean verdaderas o falsas. Por ejemplo, Jan Łukasiewicz y Stephen Cole Kleene propusieron lógicas ternarias que tienen un tercer valor de verdad que representa que el valor de verdad de una afirmación es indeterminado. ^[137] Estas lógicas se han aplicado en el campo de la lingüística. Las lógicas difusas son lógicas multivaluadas que tienen un número infinito de "grados de verdad", representados por un número real entre 0 y 1. ^[138]

Las lógicas paraconsistentes son sistemas lógicos que pueden lidiar con las contradicciones. Están formuladas para evitar el principio de explosión: para ellas, no es el caso que algo se siga de una contradicción. ^[139] A menudo están motivadas por el dialeísmo , la visión de que las contradicciones son reales o que la realidad misma es contradictoria. Graham Priest es un defensor contemporáneo influyente de esta posición y se han atribuido puntos de vista similares a Georg Wilhelm Friedrich Hegel . ^[140]

La lógica informal suele llevarse a cabo de una manera menos sistemática. A menudo se centra en cuestiones más específicas, como la investigación de un tipo particular de falacia o el estudio de un determinado aspecto de la argumentación. No obstante, también se han presentado algunos marcos de lógica informal que intentan proporcionar una caracterización sistemática de la corrección de los argumentos. ^[141]

El enfoque pragmático o dialógico de la lógica informal considera los argumentos como actos de habla y no simplemente como un conjunto de premisas junto con una conclusión. ^[142] Como actos de habla, ocurren en un contexto determinado, como un diálogo , que afecta los estándares de argumentos correctos e incorrectos. ^[143] Una versión destacada de Douglas N. Walton entiende un diálogo como un juego entre dos jugadores. La posición inicial de cada jugador se caracteriza por las proposiciones a las que se comprometen y la conclusión que pretenden demostrar. Los diálogos son juegos de persuasión: cada jugador tiene el objetivo de convencer al oponente de su propia conclusión. ^[144] Esto se logra haciendo argumentos: los argumentos son los movimientos del juego. ^[145] Afectan a qué proposiciones se comprometen los jugadores. Un movimiento ganador es un argumento exitoso que toma los compromisos del oponente como premisas y muestra cómo la propia conclusión se sigue de ellos. Esto generalmente no es posible de inmediato. Por esta razón, normalmente es necesario formular una secuencia de argumentos como pasos intermedios, cada uno de los cuales acerca al oponente un poco más a la conclusión pretendida. Además de estos argumentos positivos que nos acercan a la victoria, también hay argumentos negativos que impiden la victoria del oponente al negar su conclusión. ^[144] La corrección de un argumento depende de si promueve el progreso del diálogo. Las falacias, por otro lado, son violaciones de los estándares de las reglas argumentativas adecuadas. ^[146] Estos estándares también dependen del tipo de diálogo. Por ejemplo, los estándares que rigen el discurso científico difieren de los estándares en las negociaciones comerciales. ^[147]

El enfoque epistémico de la lógica informal, por otra parte, se centra en el papel epistémico de los argumentos. ^[148] Se basa en la idea de que los argumentos tienen como objetivo aumentar nuestro conocimiento. Lo logran vinculando creencias justificadas con creencias que aún no están justificadas. ^[149] Los argumentos correctos tienen éxito en expandir el conocimiento, mientras que las falacias son fracasos epistémicos: no justifican la creencia en su conclusión. ^[150] Por ejemplo, la falacia de petición de principio es una falacia porque no proporciona una justificación independiente para su conclusión, aunque sea deductivamente válida. ^[151] En este sentido, la normatividad lógica consiste en el éxito epistémico o la racionalidad. ^[149] El enfoque bayesiano es un ejemplo de un enfoque epistémico. ^[152] Central para el bayesianismo no es solo si el agente cree algo, sino el grado en que lo cree, la llamada creencia . Los grados de creencia se consideran probabilidades subjetivas en la proposición creída, es decir, cuán seguro está el agente de que la proposición es verdadera. ^[153] Desde esta perspectiva, el razonamiento puede interpretarse como un proceso de cambio de las creencias de uno, a menudo en reacción a nueva información entrante. ^[154] El razonamiento correcto y los argumentos en los que se basa siguen las leyes de probabilidad, por ejemplo, el principio de condicionalización . El razonamiento malo o irracional, por otro lado, viola estas leyes. ^[155]

La lógica se estudia en diversos campos. En muchos casos, esto se hace aplicando su método formal a temas específicos fuera de su ámbito, como la ética o la informática. ^[156] En otros casos, la lógica misma se convierte en objeto de investigación en otra disciplina. Esto puede suceder de diversas maneras. Por ejemplo, puede implicar la investigación de los supuestos filosóficos vinculados a los conceptos básicos utilizados por los lógicos. Otras formas incluyen la interpretación y el análisis de la lógica a través de estructuras matemáticas, así como el estudio y la comparación de las propiedades abstractas de los sistemas lógicos formales. ^[157]

La filosofía de la lógica es la disciplina filosófica que estudia el alcance y la naturaleza de la lógica. ^[59] Examina muchas presuposiciones implícitas en la lógica, como la forma de definir sus conceptos básicos o los supuestos metafísicos asociados a ellos. ^[158] También se ocupa de cómo clasificar los sistemas lógicos y considera los compromisos ontológicos que conllevan. ^[159] La lógica filosófica es una de las áreas dentro de la filosofía de la lógica. Estudia la aplicación de métodos lógicos a problemas filosóficos en campos como la metafísica, la ética y la epistemología. ^[160] Esta aplicación suele darse en forma de sistemas lógicos extendidos o desviados. ^[161]

La metalógica es el campo de investigación que estudia las propiedades de los sistemas lógicos formales. Por ejemplo, cuando se desarrolla un nuevo sistema formal, los metalógicos pueden estudiarlo para determinar qué fórmulas se pueden probar en él. También pueden estudiar si se podría desarrollar un algoritmo para encontrar una prueba para cada fórmula y si cada fórmula demostrable en él es una tautología. Finalmente, pueden compararlo con otros sistemas lógicos para comprender sus características distintivas. Una cuestión clave en metalógica se refiere a la relación entre sintaxis y semántica. Las reglas sintácticas de un sistema formal determinan cómo deducir conclusiones de las premisas, es decir, cómo formular pruebas. La semántica de un sistema formal gobierna qué oraciones son verdaderas y cuáles son falsas. Esto determina la validez de los argumentos ya que, para argumentos válidos, es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. La relación entre sintaxis y semántica se refiere a cuestiones como si cada argumento válido es demostrable y si cada argumento demostrable es válido. Los metalógicos también estudian si los sistemas lógicos son completos, sólidos y consistentes . Los metalógicos se interesan por saber si los sistemas son decidibles y qué poder expresivo tienen. Los metalógicos suelen basarse en gran medida en el razonamiento matemático abstracto al examinar y formular pruebas metalógicas. De esta manera, pretenden llegar a conclusiones precisas y generales sobre estos temas. ^[162]

El término "lógica matemática" se utiliza a veces como sinónimo de "lógica formal". Pero en un sentido más restringido, se refiere al estudio de la lógica dentro de las matemáticas. Las subáreas principales incluyen la teoría de modelos , la teoría de la prueba , la teoría de conjuntos y la teoría de la computabilidad . ^[164] La investigación en lógica matemática aborda comúnmente las propiedades matemáticas de los sistemas formales de lógica. Sin embargo, también puede incluir intentos de usar la lógica para analizar el razonamiento matemático o para establecer fundamentos de las matemáticas basados ​​en la lógica . ^[165] Esto último fue una preocupación importante en la lógica matemática de principios del siglo XX, que siguió el programa del logicismo iniciado por filósofos-lógicos como Gottlob Frege, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell . Se suponía que las teorías matemáticas eran tautologías lógicas , y su programa era demostrar esto por medio de una reducción de las matemáticas a la lógica. Muchos intentos de realizar este programa fracasaron, desde la paralización del proyecto de Frege en sus Grundgesetze por la paradoja de Russell , hasta la derrota del programa de Hilbert por los teoremas de incompletitud de Gödel . ^[166]

La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por parte de Georg Cantor , y ha sido la fuente de muchos de los problemas más desafiantes e importantes en la lógica matemática. Entre ellos se incluyen el teorema de Cantor , el estatus del axioma de elección , la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuo y el debate moderno sobre los grandes axiomas cardinales . ^[167]

La teoría de la computabilidad es la rama de la lógica matemática que estudia los procedimientos efectivos para resolver problemas de cálculo. Uno de sus principales objetivos es comprender si es posible resolver un problema dado utilizando un algoritmo. Por ejemplo, dada una determinada afirmación sobre los números enteros positivos, examina si se puede encontrar un algoritmo para determinar si esta afirmación es verdadera. La teoría de la computabilidad utiliza varias herramientas y modelos teóricos, como las máquinas de Turing , para explorar este tipo de cuestiones. ^[168]

La lógica computacional es la rama de la lógica y la informática que estudia cómo implementar el razonamiento matemático y los formalismos lógicos utilizando computadoras. Esto incluye, por ejemplo, los demostradores automáticos de teoremas , que emplean reglas de inferencia para construir una prueba paso a paso a partir de un conjunto de premisas hasta la conclusión prevista sin intervención humana. ^{[169] Los lenguajes} de programación lógica están diseñados específicamente para expresar hechos utilizando fórmulas lógicas y para extraer inferencias de estos hechos. Por ejemplo, Prolog es un lenguaje de programación lógica basado en la lógica de predicados. ^[170] Los científicos informáticos también aplican conceptos de la lógica a los problemas de computación. Los trabajos de Claude Shannon fueron influyentes en este sentido. Mostró cómo se puede utilizar la lógica booleana para comprender e implementar circuitos informáticos. ^[171] Esto se puede lograr utilizando puertas lógicas electrónicas , es decir, circuitos electrónicos con una o más entradas y generalmente una salida. Los valores de verdad de las proposiciones se representan mediante niveles de voltaje. De esta manera, se pueden simular funciones lógicas aplicando los voltajes correspondientes a las entradas del circuito y determinando el valor de la función midiendo el voltaje de la salida. ^[172]

La semántica formal es un subcampo de la lógica, la lingüística y la filosofía del lenguaje . La disciplina de la semántica estudia el significado del lenguaje. La semántica formal utiliza herramientas formales de los campos de la lógica simbólica y las matemáticas para dar teorías precisas del significado de las expresiones del lenguaje natural . Entiende el significado generalmente en relación con las condiciones de verdad , es decir, examina en qué situaciones una oración sería verdadera o falsa. Uno de sus supuestos metodológicos centrales es el principio de composicionalidad . Afirma que el significado de una expresión compleja está determinado por los significados de sus partes y cómo se combinan. Por ejemplo, el significado de la frase verbal "caminar y cantar" depende de los significados de las expresiones individuales "caminar" y "cantar". Muchas teorías en semántica formal se basan en la teoría de modelos. Esto significa que emplean la teoría de conjuntos para construir un modelo y luego interpretar los significados de la expresión en relación con los elementos de este modelo. Por ejemplo, el término "caminar" puede interpretarse como el conjunto de todos los individuos en el modelo que comparten la propiedad de caminar. Los primeros teóricos influyentes en este campo fueron Richard Montague y Barbara Partee , quienes centraron su análisis en el idioma inglés. ^[173]

La epistemología de la lógica estudia cómo se sabe que un argumento es válido o que una proposición es lógicamente verdadera. ^[174] Esto incluye preguntas como cómo justificar que el modus ponens es una regla válida de inferencia o que las contradicciones son falsas. ^[175] La visión tradicionalmente dominante es que esta forma de comprensión lógica pertenece al conocimiento a priori . ^[176] En este sentido, a menudo se argumenta que la mente tiene una facultad especial para examinar las relaciones entre ideas puras y que esta facultad también es responsable de aprehender verdades lógicas. ^[177] Un enfoque similar entiende las reglas de la lógica en términos de convenciones lingüísticas . En esta visión, las leyes de la lógica son triviales ya que son verdaderas por definición: solo expresan los significados del vocabulario lógico. ^[178]

Algunos teóricos, como Hilary Putnam y Penelope Maddy , se oponen a la idea de que la lógica es cognoscible a priori. Sostienen, en cambio, que las verdades lógicas dependen del mundo empírico . Esto suele combinarse con la afirmación de que las leyes de la lógica expresan regularidades universales que se encuentran en las características estructurales del mundo. Según esta visión, pueden explorarse estudiando patrones generales de las ciencias fundamentales . Por ejemplo, se ha argumentado que ciertas ideas de la mecánica cuántica refutan el principio de distributividad en la lógica clásica, que establece que la fórmula es equivalente a . Esta afirmación puede utilizarse como argumento empírico para la tesis de que la lógica cuántica es el sistema lógico correcto y debería sustituir a la lógica clásica. ^[179]${\displaystyle A\land (B\lor C)}$${\displaystyle (A\land B)\lor (A\land C)}$

La lógica se desarrolló de forma independiente en varias culturas durante la antigüedad. Uno de los primeros contribuyentes importantes fue Aristóteles , que desarrolló la lógica de términos en su Organon y en sus Analíticos previos . ^[183] ​​Fue responsable de la introducción del silogismo hipotético ^[184] y de la lógica modal temporal. ^[185] Otras innovaciones incluyen la lógica inductiva ^[186] , así como la discusión de nuevos conceptos lógicos como términos , predicables , silogismos y proposiciones. La lógica aristotélica fue muy valorada en la época clásica y medieval, tanto en Europa como en Oriente Medio. Se mantuvo en uso amplio en Occidente hasta principios del siglo XIX. ^[187] Ahora ha sido reemplazada por trabajos posteriores, aunque muchas de sus ideas clave todavía están presentes en los sistemas modernos de lógica. ^[188]

Ibn Sina (Avicena) fue el fundador de la lógica aviceniana, que reemplazó a la lógica aristotélica como el sistema dominante de lógica en el mundo islámico . ^[189] Influyó en escritores medievales occidentales como Alberto Magno y Guillermo de Ockham . ^[190] Ibn Sina escribió sobre el silogismo hipotético ^[191] y sobre el cálculo proposicional . ^[192] Desarrolló una teoría silogística "temporalmente modalizada" original, que involucraba lógica temporal y lógica modal. ^[193] También hizo uso de la lógica inductiva, como sus métodos de acuerdo, diferencia y variación concomitante, que son críticos para el método científico . ^[191] Fakhr al-Din al-Razi fue otro lógico musulmán influyente. Criticó la silogística aristotélica y formuló un sistema temprano de lógica inductiva, prefigurando el sistema de lógica inductiva desarrollado por John Stuart Mill. ^[194]

Durante la Edad Media se realizaron muchas traducciones e interpretaciones de la lógica aristotélica. Las obras de Boecio fueron particularmente influyentes. Además de traducir la obra de Aristóteles al latín, también produjo libros de texto sobre lógica. ^[195] Más tarde, se utilizaron las obras de filósofos islámicos como Ibn Sina e Ibn Rushd (Averroes). Esto amplió la gama de obras antiguas disponibles para los eruditos cristianos medievales, ya que los eruditos musulmanes tenían más obras griegas disponibles que se habían conservado en comentarios en latín. En 1323, se publicó la influyente Summa Logicae de Guillermo de Ockham . Es un tratado completo sobre lógica que analiza muchos conceptos básicos de la lógica y proporciona una exposición sistemática de los tipos de proposiciones y sus condiciones de verdad. ^[196]

En la filosofía china, la Escuela de los Nombres y el Mohismo fueron particularmente influyentes. La Escuela de los Nombres se centró en el uso del lenguaje y en las paradojas. Por ejemplo, Gongsun Long propuso la paradoja del caballo blanco , que defiende la tesis de que un caballo blanco no es un caballo. La escuela del Mohismo también reconoció la importancia del lenguaje para la lógica y trató de relacionar las ideas de estos campos con el ámbito de la ética. ^[197]

En la India, el estudio de la lógica fue principalmente realizado por las escuelas Nyaya , Budismo y Jainismo . No fue tratada como una disciplina académica separada y las discusiones de sus temas generalmente ocurrieron en el contexto de la epistemología y las teorías del diálogo o la argumentación. ^[198] En Nyaya, la inferencia se entiende como una fuente de conocimiento ( pramāṇa ). Sigue la percepción de un objeto e intenta llegar a conclusiones, por ejemplo, sobre la causa de este objeto. ^[199] Un énfasis similar en la relación con la epistemología también se encuentra en las escuelas de lógica budista y jainista, donde la inferencia se utiliza para expandir el conocimiento obtenido a través de otras fuentes. ^[200] Algunas de las teorías posteriores de Nyaya, pertenecientes a la escuela Navya-Nyāya , se parecen a las formas modernas de lógica, como la distinción de Gottlob Frege entre sentido y referencia y su definición de número. ^[201]

La lógica silogística desarrollada por Aristóteles predominó en Occidente hasta mediados del siglo XIX, cuando el interés por los fundamentos de las matemáticas estimuló el desarrollo de la lógica simbólica moderna. ^{[202] Muchos ven} la Begriffsschrift de Gottlob Frege como la cuna de la lógica moderna. La idea de Gottfried Wilhelm Leibniz de un lenguaje formal universal suele considerarse un precursor. Otros pioneros fueron George Boole , que inventó el álgebra de Boole como un sistema matemático de lógica, y Charles Peirce , que desarrolló la lógica de relativos . Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, a su vez, condensaron muchas de estas ideas en su obra Principia Mathematica . La lógica moderna introdujo conceptos novedosos, como funciones , cuantificadores y predicados relacionales. Un sello distintivo de la lógica simbólica moderna es su uso del lenguaje formal para codificar con precisión sus ideas. En este sentido, se aparta de los lógicos anteriores, que se basaban principalmente en el lenguaje natural. ^[203] De particular influencia fue el desarrollo de la lógica de primer orden, que suele considerarse el sistema estándar de la lógica moderna. ^[204] Su generalidad analítica permitió la formalización de las matemáticas e impulsó la investigación de la teoría de conjuntos . También hizo posible el enfoque de Alfred Tarski sobre la teoría de modelos y proporcionó la base de la lógica matemática moderna. ^[205]

Escucha este artículo ( 1 hora y 9 minutos )

Este archivo de audio se creó a partir de una revisión de este artículo con fecha del 5 de noviembre de 2023 y no refleja ediciones posteriores. ( 5 de noviembre de 2023 )

( Ayuda de audio  · Más artículos hablados )