Unidades de Planck

Unidades definidas únicamente por constantes físicas

En física de partículas y cosmología física , las unidades de Planck son un sistema de unidades de medida definidas exclusivamente en términos de cuatro constantes físicas universales : c , G , ħ y kB (descritas más adelante). Expresar una de estas constantes físicas en términos de unidades de Planck produce un valor numérico de 1. Son un sistema de _unidades naturales , definidas utilizando propiedades fundamentales de la naturaleza (específicamente, propiedades del espacio libre ) en lugar de propiedades de un objeto prototipo elegido . Originalmente propuestas en 1899 por el físico alemán Max Planck , son relevantes en la investigación sobre teorías unificadas como la gravedad cuántica .

El término escala de Planck se refiere a cantidades de espacio, tiempo, energía y otras unidades que son similares en magnitud a las unidades de Planck correspondientes. Esta región puede caracterizarse por energías de partículas de alrededor de10 ¹⁹ GeV o10 ⁹ J , intervalos de tiempo de alrededor de5 × 10 ⁻⁴⁴ s y longitudes de alrededor de10 ⁻³⁵ m (aproximadamente el equivalente energético de la masa de Planck, el tiempo de Planck y la longitud de Planck, respectivamente). En la escala de Planck, no se espera que se apliquen las predicciones del Modelo Estándar , la teoría cuántica de campos y la relatividad general , y se espera que predominen los efectos cuánticos de la gravedad . Un ejemplo está representado por las condiciones en los primeros 10 ⁻⁴³ segundos de nuestro universo después del Big Bang , hace aproximadamente 13.800 millones de años.

Las cuatro constantes universales que, por definición, tienen un valor numérico 1 cuando se expresan en estas unidades son:

Existen variantes de la idea básica de las unidades de Planck, como opciones alternativas de normalización que dan otros valores numéricos a una o más de las cuatro constantes anteriores.

Introducción

A cualquier sistema de medición se le puede asignar un conjunto mutuamente independiente de magnitudes base y unidades base asociadas , de las cuales se pueden derivar todas las demás magnitudes y unidades. En el Sistema Internacional de Unidades , por ejemplo, las magnitudes base del SI incluyen la longitud con la unidad asociada del metro . En el sistema de unidades de Planck, se puede seleccionar un conjunto similar de magnitudes base y unidades asociadas, en términos de las cuales se pueden expresar otras magnitudes y unidades coherentes. ^[1]^[2]^{: 1215} La unidad de longitud de Planck se conoce como longitud de Planck, y la unidad de tiempo de Planck se conoce como tiempo de Planck, pero esta nomenclatura no se ha establecido como extensible a todas las magnitudes.

Todas las unidades de Planck se derivan de las constantes físicas universales dimensionales que definen el sistema, y en una convención en la que se omiten estas unidades (es decir, se tratan como si tuvieran el valor adimensional 1), estas constantes se eliminan de las ecuaciones de física en las que aparecen. Por ejemplo, la ley de gravitación universal de Newton , se puede expresar como: Ambas ecuaciones son dimensionalmente consistentes e igualmente válidas en cualquier sistema de cantidades, pero la segunda ecuación, con $G$ ausente, relaciona solo cantidades adimensionales ya que cualquier relación de dos cantidades de dimensiones similares es una cantidad adimensional. Si, por una convención abreviada, se entiende que cada magnitud física es la razón correspondiente con una unidad de Planck coherente (o "expresada en unidades de Planck"), las razones anteriores pueden expresarse simplemente con los símbolos de la magnitud física, sin ser escaladas explícitamente por su unidad correspondiente: Esta última ecuación (sin $G$ ) es válida con $F$ $'$ , $m$ $1$ $'$ , $m$ $2$ $'$ y $r$ $'$ siendo las magnitudes de razón adimensionales correspondientes a las magnitudes estándar, escritas p. ej. $F$ $'$ $≘$ $F$ o $F$ $'$ $=$ $F$ $/$ $F$ $P$ , pero no como una igualdad directa de magnitudes. Esto puede parecer "establecer las constantes $c$ , $G$ , etc., a 1" si la correspondencia de las magnitudes se piensa como una igualdad. Por esta razón, las unidades de Planck u otras unidades naturales deben emplearse con cuidado. Refiriéndose a “ $G$ $=$ $c$ $= 1$ ”, Paul S. Wesson escribió que “matemáticamente es un truco aceptable que ahorra trabajo. Físicamente representa una pérdida de información y puede llevar a confusión”. ^[3] $F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {F_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{m_{\text{P}}^{2}}}\right){\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},$ ${\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left({\dfrac {m_{1}}{m_{\text{P}}}}\right)\left({\dfrac {m_{2}}{m_{\text{P}}}}\right)}{\left({\dfrac {r}{l_{\text{P}}}}\right)^{2}}}.$ $F'={\frac {m_{1}'m_{2}'}{r'^{2}}}.$

Historia y definición

El concepto de unidades naturales fue introducido en 1874, cuando George Johnstone Stoney , notando que la carga eléctrica está cuantizada, derivó unidades de longitud, tiempo y masa, ahora llamadas unidades de Stoney en su honor. Stoney eligió sus unidades de modo que G , c y la carga del electrón e fueran numéricamente iguales a 1. ^[4] En 1899, un año antes del advenimiento de la teoría cuántica, Max Planck introdujo lo que luego se conocería como la constante de Planck. ^[5]^[6] Al final del artículo, propuso las unidades base que luego fueron nombradas en su honor. Las unidades de Planck se basan en el cuanto de acción , ahora conocido generalmente como la constante de Planck, que apareció en la aproximación de Wien para la radiación del cuerpo negro . Planck subrayó la universalidad del nuevo sistema de unidades, escribiendo: ^[5]

... die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch ausserirdische und aussermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als »natürliche Maasseinheiten« bezeichnet werden können.

... es posible establecer unidades de longitud, masa, tiempo y temperatura que sean independientes de cuerpos o sustancias especiales, conservando necesariamente su significado para todos los tiempos y para todas las civilizaciones, incluidas las extraterrestres y no humanas, y que puedan denominarse "unidades naturales de medida".

Planck consideró sólo las unidades basadas en las constantes universales , , , y para llegar a unidades naturales para longitud , tiempo , masa y temperatura . ^[6] Sus definiciones difieren de las modernas por un factor de , porque las definiciones modernas usan en lugar de . ^[5]^[6] ${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización h}$ ${\estilo de visualización c}$ $estilo de visualización k_{\rm {B}}}$ ${\sqrt {2\pi }}$ ${\estilo de visualización \hbar}$ ${\estilo de visualización h}$

Tabla 1: Valores modernos para la elección original de cantidades de Planck
Nombre	Dimensión	Expresión	Valor ( unidades SI )
Longitud de Planck	longitud (L)	$l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	1.616 255 (18) × 10 ⁻³⁵ m ‍ [^7]
Masa de Planck	masa (M)	No se pudo analizar (SVG (MathML se puede habilitar a través del complemento del navegador): Respuesta no válida ("La extensión Math no se puede conectar a Restbase") del servidor "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}}	2,176 434 (24) × 10 ⁻⁸ kg ‍ [^8]
Tiempo de Planck	tiempo (T)	$t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$	5.391 247 (60) × 10 ⁻⁴⁴ s ‍ [^9]
Temperatura de Planck	temperatura (Θ)	$T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk_{\text{B}}^{2}}}}$	1,416 784 (16) × 10 ³² K ‍ [^10]

A diferencia del caso del Sistema Internacional de Unidades , no existe una entidad oficial que establezca una definición de un sistema de unidades de Planck. Algunos autores definen las unidades base de Planck como las de masa, longitud y tiempo, considerando redundante una unidad adicional para la temperatura. ^{[nota 1]} Otras tabulaciones añaden, además de una unidad para la temperatura, una unidad para la carga eléctrica, de modo que o bien la constante de Coulomb ^[12]^[13]^[14] o bien la permitividad del vacío ^[15] se normaliza a 1. Así, dependiendo de la elección del autor, esta unidad de carga viene dada por para , o para . Algunas de estas tabulaciones también sustituyen la masa por la energía al hacerlo. ^[15] En unidades del SI, los valores de c , h , e y k _B son exactos y los valores de ε ₀ y G en unidades del SI respectivamente tienen incertidumbres relativas de $k_{\text{e}}$ $estilo de visualización {\displaystyle \epsilon _{0}}$ $q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\aproximadamente 1,875546\times 10^{-18}{\text{ C}}\aproximadamente 11,7\ e$ $k_{\text{e}}=1$ $q_{\text{P}}={\sqrt {\epsilon _{0}\hbar c}}\aproximadamente 5,290818\times 10^{-19}{\text{ C}}\aproximadamente 3,3\ e$ $\varepsilon _{0}=1$ 1,6 × 10 ⁻¹⁰ ‍ [^16] y2,2 × 10 ⁻⁵ . ^[17] Por lo tanto, las incertidumbres en los valores SI de las unidades de Planck se derivan casi en su totalidad de la incertidumbre en el valor SI de G .

En comparación con las unidades de Stoney , las unidades base de Planck son todas más grandes por un factor , donde es la constante de estructura fina . ^[18] ${\textstyle {\sqrt {{1}/{\alpha }}}\aproximadamente 11,7}$ ${\estilo de visualización \alpha}$

Unidades derivadas

En cualquier sistema de medición, las unidades para muchas magnitudes físicas pueden derivarse de unidades básicas. La Tabla 2 ofrece una muestra de unidades de Planck derivadas, algunas de las cuales rara vez se utilizan. Al igual que con las unidades básicas, su uso se limita principalmente a la física teórica porque la mayoría de ellas son demasiado grandes o demasiado pequeñas para un uso empírico o práctico y existen grandes incertidumbres en sus valores.

Tabla 2: Unidades derivadas coherentes de las unidades de Planck
Unidad derivada de	Expresión	Equivalente aproximado del SI
área (L ² )	$l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$	2,6121 × 10 ⁻⁷⁰ m2
volumen (L ³ )	$l_{\text{P}}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {(\hbar G)^{3}}{c^{9}}}}$	4,2217 × 10 ⁻¹⁰⁵ m3
momento (LMT ⁻¹ )	$m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	6,5249 kg⋅m/s
energía (L ² MT ⁻² )	$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	1,9561 × 10 ⁹ J
fuerza (LMT ⁻² )	$F_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	1,2103 × 10 ⁴⁴ N
densidad (L ⁻³ M)	$\rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	5,1550 × 10 ⁹⁶ kg/ ^m3
aceleración (LT ⁻² )	$a_{\text{P}}={\frac {c}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{\hbar G}}}$	5,5608 × 10 ⁵¹ m/ ^s2

Algunas unidades de Planck, como las de tiempo y longitud, son muchos órdenes de magnitud demasiado grandes o demasiado pequeñas para ser de uso práctico, de modo que las unidades de Planck como sistema normalmente solo son relevantes para la física teórica. En algunos casos, una unidad de Planck puede sugerir un límite a un rango de una cantidad física donde se aplican las teorías actuales de la física. ^[19] Por ejemplo, nuestra comprensión del Big Bang no se extiende a la época de Planck , es decir, cuando el universo tenía menos de un tiempo de Planck. Describir el universo durante la época de Planck requiere una teoría de la gravedad cuántica que incorporaría efectos cuánticos en la relatividad general . Tal teoría aún no existe.

Varias cantidades no son "extremas" en magnitud, como la masa de Planck, que es de aproximadamente 22 microgramos : muy grande en comparación con las partículas subatómicas y dentro del rango de masa de los organismos vivos. ^[20]^{: 872} De manera similar, las unidades relacionadas de energía y de momento están en el rango de algunos fenómenos cotidianos.

Significado

Las unidades de Planck tienen poca arbitrariedad antropocéntrica , pero sí implican algunas elecciones arbitrarias en términos de las constantes que las definen. A diferencia del metro y el segundo , que existen como unidades básicas en el sistema SI por razones históricas, la longitud de Planck y el tiempo de Planck están conceptualmente vinculados a un nivel físico fundamental. En consecuencia, las unidades naturales ayudan a los físicos a replantear las cuestiones. Frank Wilczek lo expresa sucintamente:

Vemos que la pregunta [planteada] no es: "¿Por qué la gravedad es tan débil?", sino más bien: "¿Por qué la masa del protón es tan pequeña?". Porque en unidades naturales (de Planck), la fuerza de la gravedad es simplemente lo que es, una cantidad primaria, mientras que la masa del protón es el minúsculo número 1/13 de quintillón . ^[21]

Si bien es cierto que la fuerza de repulsión electrostática entre dos protones (solos en el espacio libre) excede en gran medida la fuerza de atracción gravitatoria entre los mismos dos protones, no se trata de las intensidades relativas de las dos fuerzas fundamentales. Desde el punto de vista de las unidades de Planck, esto es comparar manzanas con naranjas , porque la masa y la carga eléctrica son cantidades inconmensurables . Más bien, la disparidad de magnitud de la fuerza es una manifestación de que la carga del protón es aproximadamente la carga unitaria, pero la masa del protón es mucho menor que la masa unitaria en un sistema que trata ambas fuerzas como si tuvieran la misma forma.

Cuando Planck propuso sus unidades, el objetivo era únicamente el de establecer una forma universal ("natural") de medir objetos, sin dar ningún significado especial a cantidades que midieran una sola unidad. En 1918, Arthur Eddington sugirió que la longitud de Planck podría tener un significado especial para comprender la gravitación, pero esta sugerencia no fue influyente. ^[22]^[23] Durante la década de 1950, varios autores, incluidos Lev Landau y Oskar Klein, argumentaron que las cantidades del orden de la escala de Planck indicaban los límites de la validez de la teoría cuántica de campos. John Archibald Wheeler propuso en 1955 que las fluctuaciones cuánticas del espacio-tiempo se vuelven significativas en la escala de Planck, aunque en ese momento desconocía el sistema de unidades de Planck. ^[22]^[24] En 1959, CA Mead demostró que las distancias que se medían del orden de una longitud de Planck, o, de manera similar, veces que se medían del orden del tiempo de Planck, tenían implicaciones especiales relacionadas con el principio de incertidumbre de Heisenberg : ^[25]

Un análisis del efecto de la gravitación en experimentos hipotéticos indica que es imposible medir la posición de una partícula con un error menor que $𝛥𝑥 ≳ \sqrt𝐺 = 1,6 \times 10 -33 cm$ , donde 𝐺 es la constante gravitacional en unidades naturales. Una limitación similar se aplica a la sincronización precisa de los relojes.

Escala de Planck

En física de partículas y cosmología física , la escala de Planck es una escala de energía alrededor1,22 × 10 ²⁸ eV (la energía de Planck, correspondiente al equivalente energético de la masa de Planck,2.176 45 × 10 ⁻⁸ kg ) en la que los efectos cuánticos de la gravedad se vuelven significativos. En esta escala, las descripciones y teorías actuales de las interacciones de partículas subatómicas en términos de la teoría cuántica de campos se desmoronan y se vuelven inadecuadas, debido al impacto de la aparente no renormalización de la gravedad dentro de las teorías actuales. ^[19]

Relación con la gravedad

En la escala de longitud de Planck, se espera que la fuerza de la gravedad se vuelva comparable con las otras fuerzas, y se ha teorizado que todas las fuerzas fundamentales están unificadas en esa escala, pero el mecanismo exacto de esta unificación sigue siendo desconocido. ^[26] La escala de Planck es, por lo tanto, el punto en el que los efectos de la gravedad cuántica ya no pueden ignorarse en otras interacciones fundamentales , donde los cálculos y enfoques actuales comienzan a fallar y es necesario un medio para tener en cuenta su impacto. ^[27] Sobre estas bases, se ha especulado que puede ser un límite inferior aproximado en el que un agujero negro podría formarse por colapso. ^[28]

Aunque los físicos tienen una comprensión bastante buena de las otras interacciones fundamentales de fuerzas en el nivel cuántico, la gravedad es problemática y no se puede integrar con la mecánica cuántica a energías muy altas utilizando el marco habitual de la teoría cuántica de campos. En niveles de energía menores, generalmente se ignora, mientras que para energías que se acercan o superan la escala de Planck, es necesaria una nueva teoría de la gravedad cuántica . Los enfoques para este problema incluyen la teoría de cuerdas y la teoría M , la gravedad cuántica de bucles , la geometría no conmutativa y la teoría de conjuntos causales . ^[29]

En cosmología

En la cosmología del Big Bang , la época de Planck o era de Planck es la etapa más temprana del Big Bang , antes de que el tiempo transcurrido fuera igual al tiempo de Planck, t _P , o aproximadamente 10 ⁻⁴³ segundos. ^[30] Actualmente no hay ninguna teoría física disponible para describir tiempos tan cortos, y no está claro en qué sentido el concepto de tiempo es significativo para valores más pequeños que el tiempo de Planck. En general, se supone que los efectos cuánticos de la gravedad dominan las interacciones físicas en esta escala de tiempo. En esta escala, se supone que la fuerza unificada del Modelo Estándar está unificada con la gravitación . Inmensurablemente caliente y denso, el estado de la época de Planck fue sucedido por la época de gran unificación , donde la gravitación se separa de la fuerza unificada del Modelo Estándar, seguida a su vez por la época inflacionaria , que terminó después de unos 10 ⁻³² segundos (o aproximadamente 10 ¹¹ t _P ). ^[31]

La Tabla 3 enumera las propiedades del universo observable actual expresadas en unidades de Planck. ^[32]^[33]

Tabla 3: El universo actual en unidades de Planck
Propiedad del universo observable actual	Número aproximado de unidades de Planck	Equivalentes
Edad	8,08 × ₁₀⁶⁰ toneladas	4,35 × 10 ¹⁷ s o 1,38 × 10 ¹⁰ años
Diámetro	5,4 × ₁₀⁶¹ l	8,7 × 10 ²⁶ m o 9,2 × 10 ¹⁰ años luz
Masa	aprox. 10 ⁶⁰ m _P	3 × 10 ⁵² kg o 1,5 × 10 ²² masas solares (contando solo las estrellas) 10 ⁸⁰ protones (a veces conocido como número de Eddington )
Densidad	1,8 × ¹⁰⁻¹²³ mP ⋅ _lP₋₃	9,9 × 10 ⁻²⁷ kg⋅m ⁻³
Temperatura	1,9 × 10 ⁻³² T _P	2,725 K temperatura de la radiación de fondo cósmico de microondas
Constante cosmológica	≈ 10 ⁻¹²² l^-2 _P	≈ 10 ⁻⁵² m ⁻²
Constante de Hubble	≈ 10 ⁻⁶¹ t^-1 _P	≈ 10 ⁻¹⁸ s ⁻¹ ≈ 10 ² (km/s)/ Mpc

Tras la medición de la constante cosmológica (Λ) en 1998, estimada en 10 ⁻¹²² en unidades de Planck, se observó que ésta se acerca sugestivamente al recíproco de la edad del universo ( T ) al cuadrado. Barrow y Shaw propusieron una teoría modificada en la que Λ es un campo que evoluciona de tal manera que su valor permanece Λ ~ T ⁻² a lo largo de la historia del universo. ^[34]

Análisis de las unidades

Longitud de Planck

La longitud de Planck, denotada $ℓ P$ , es una unidad de longitud definida como: Es igual a $\ell _{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$ 1.616 255 (18) × 10 ⁻³⁵ m ‍ [^7] (los dos dígitos entre paréntesis son el error estándar estimado asociado con el valor numérico informado) o aproximadamente10 ⁻²⁰ veces el diámetro de un protón . ^[35] Puede motivarse de varias maneras, como por ejemplo considerando una partícula cuya longitud de onda Compton reducida es comparable a su radio de Schwarzschild , ^[35]^[36]^[37] aunque si esos conceptos son de hecho aplicables simultáneamente es un tema abierto a debate. ^[38] (El mismo argumento heurístico motiva simultáneamente la masa de Planck. ^[36] )

La longitud de Planck es una escala de distancia de interés en las especulaciones sobre la gravedad cuántica. La entropía de Bekenstein-Hawking de un agujero negro es una cuarta parte del área de su horizonte de sucesos en unidades de longitud de Planck al cuadrado. ^[11]^{: 370} Desde la década de 1950, se ha conjeturado que las fluctuaciones cuánticas de la métrica del espacio-tiempo podrían hacer que la noción familiar de distancia no sea aplicable por debajo de la longitud de Planck. ^[24]^[39]^[22] Esto a veces se expresa diciendo que "el espacio-tiempo se convierte en espuma en la escala de Planck ". ^[40] Es posible que la longitud de Planck sea la distancia más corta medible físicamente, ya que cualquier intento de investigar la posible existencia de distancias más cortas, realizando colisiones de mayor energía, daría como resultado la producción de agujeros negros. Las colisiones de mayor energía, en lugar de dividir la materia en pedazos más finos, simplemente producirían agujeros negros más grandes. ^[41]

Las cuerdas de la teoría de cuerdas están modeladas para que sean del orden de la longitud de Planck. ^[42]^[43] En teorías con grandes dimensiones adicionales , la longitud de Planck calculada a partir del valor observado de puede ser menor que la longitud de Planck fundamental verdadera. ^[11]^{: 61}^[44] $G$

Tiempo de Planck

El tiempo de Planck, denotado $t P$ , se define como: Este es el tiempo requerido para que la luz recorra una distancia de 1 longitud de Planck en el vacío , que es un intervalo de tiempo de aproximadamente $t_{\mathrm {P} }={\frac {\ell _{\mathrm {P} }}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$ 5,39 × 10 ⁻⁴⁴ s . Ninguna teoría física actual puede describir escalas de tiempo más cortas que el tiempo de Planck, como los primeros eventos después del Big Bang. ^[30] Algunas conjeturas afirman que la estructura del tiempo no necesita permanecer uniforme en intervalos comparables al tiempo de Planck. ^[45]

Energía de Planck

La energía de Planck _EPes aproximadamente igual a la energía liberada en la combustión del combustible en el tanque de combustible de un automóvil (57,2 L a 34,2 MJ/L de energía química). El rayo cósmico de energía ultraalta observado en 1991 tenía una energía medida de aproximadamente 50 J, equivalente a aproximadamente 2,5 × 10 ⁻⁸ E _P . ^[46]^[47]

Las propuestas de teorías de relatividad doblemente especial postulan que, además de la velocidad de la luz, también existe una escala de energía invariante para todos los observadores inerciales. Normalmente, se elige la energía de Planck como escala de energía. ^[48]^[49]

Unidad de fuerza de Planck

La unidad de fuerza de Planck puede considerarse como la unidad de fuerza derivada en el sistema de Planck si las unidades de Planck de tiempo, longitud y masa se consideran unidades base. Es la fuerza de atracción gravitatoria de dos cuerpos de 1 masa de Planck cada uno que se mantienen separados por una longitud de Planck. Una convención para la carga de Planck es elegirla de modo que la repulsión electrostática de dos objetos con carga y masa de Planck que se mantienen separados por una longitud de Planck equilibre la atracción newtoniana entre ellos. ^[50] $F_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}\approx \mathrm {1.2103\times 10^{44}~N}$

Algunos autores han argumentado que la fuerza de Planck es del orden de la fuerza máxima que puede ocurrir entre dos cuerpos. ^[51]^[52] Sin embargo, la validez de estas conjeturas ha sido cuestionada. ^[53]^[54]

Temperatura de Planck

La temperatura de Planck T _P es1.416 784 (16) × 10 ³² K . ^[10] A esta temperatura, la longitud de onda de la luz emitida por la radiación térmica alcanza la longitud de Planck. No existen modelos físicos conocidos capaces de describir temperaturas mayores que T _P ; se requeriría una teoría cuántica de la gravedad para modelar las energías extremas alcanzadas. ^[55] Hipotéticamente, un sistema en equilibrio térmico a la temperatura de Planck podría contener agujeros negros de escala de Planck, formándose constantemente a partir de la radiación térmica y decayendo mediante evaporación de Hawking . Agregar energía a un sistema de este tipo podría disminuir su temperatura creando agujeros negros más grandes, cuya temperatura de Hawking es menor. ^[56]

Ecuaciones no dimensionalizadas

Las magnitudes físicas que tienen dimensiones diferentes (como el tiempo y la longitud) no pueden equipararse aunque sean numéricamente iguales (por ejemplo, 1 segundo no es lo mismo que 1 metro). Sin embargo, en física teórica, este escrúpulo puede dejarse de lado mediante un proceso llamado adimensionalización . El resultado efectivo es que muchas ecuaciones fundamentales de la física, que a menudo incluyen algunas de las constantes utilizadas para definir las unidades de Planck, se convierten en ecuaciones en las que estas constantes se reemplazan por un 1.

Los ejemplos incluyen la relación energía-momento (que se convierte en ) y la ecuación de Dirac (que se convierte en ). $E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}$ $E^{2}=m^{2}+p^{2}$ $(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0$ $(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0$

Opciones alternativas de normalización

Como ya se ha dicho, las unidades de Planck se obtienen "normalizando" los valores numéricos de ciertas constantes fundamentales a 1. Estas normalizaciones no son las únicas posibles ni necesariamente las mejores. Además, la elección de los factores que se deben normalizar, entre los factores que aparecen en las ecuaciones fundamentales de la física, no es evidente, y los valores de las unidades de Planck son sensibles a esta elección.

El factor 4 $π$ es omnipresente en la física teórica porque en el espacio tridimensional, el área de superficie de una esfera de radio r es 4 $π$ r ² . Esto, junto con el concepto de flujo , son la base de la ley del cuadrado inverso , la ley de Gauss y el operador de divergencia aplicado a la densidad de flujo . Por ejemplo, los campos gravitatorios y electrostáticos producidos por objetos puntuales tienen simetría esférica, por lo que el flujo eléctrico a través de una esfera de radio r alrededor de una carga puntual se distribuirá uniformemente sobre esa esfera. De esto, se deduce que un factor de 4 $π$ r ² aparecerá en el denominador de la ley de Coulomb en forma racionalizada . ^[32]^{: 214–15} (Tanto el factor numérico como la potencia de la dependencia de r cambiarían si el espacio fuera de dimensiones superiores; las expresiones correctas se pueden deducir de la geometría de esferas de dimensiones superiores . ^[11]^{: 51} ) Lo mismo ocurre con la ley de gravitación universal de Newton: un factor de 4 $π$ aparece naturalmente en la ecuación de Poisson al relacionar el potencial gravitacional con la distribución de la materia. ^[11]^{: 56}

Por lo tanto, un cuerpo sustancial de teoría física desarrollada desde el artículo de Planck de 1899 sugiere normalizar no G sino 4 $π$ G (o 8 $π$ G ) a 1. Hacerlo introduciría un factor de ⁠1/4π $$ ⁠ (o ⁠1/8π $$ ) en la forma no dimensionalizada de la ley de gravitación universal, en consonancia con la formulación racionalizada moderna de la ley de Coulomb en términos de la permitividad del vacío. De hecho, las normalizaciones alternativas con frecuencia preservan el factor de ⁠1/4π $$ ⁠ también en la forma no dimensionalizada de la ley de Coulomb, de modo que las ecuaciones de Maxwell no dimensionalizadas para el electromagnetismo y el gravitoelectromagnetismo toman la misma forma que las del electromagnetismo en el SI, que no tienen ningún factor de 4 $π$ . Cuando esto se aplica a las constantes electromagnéticas, ε ₀ , este sistema de unidades se llama " racionalizado " . Cuando se aplica además a la gravitación y a las unidades de Planck, se denominan unidades de Planck racionalizadas ^[57] y se ven en la física de alta energía. ^[58]

Las unidades de Planck racionalizadas se definen de modo que c = 4 πG = ħ = ε ₀ = k _B = 1 .

Existen varias normalizaciones alternativas posibles.

Constante gravitacional

En 1899, la ley de gravitación universal de Newton todavía se consideraba exacta, en lugar de una aproximación conveniente para velocidades y masas "pequeñas" (la naturaleza aproximada de la ley de Newton se demostró tras el desarrollo de la relatividad general en 1915). Por lo tanto, Planck normalizó a 1 la constante gravitacional G en la ley de Newton. En las teorías que surgieron después de 1899, G casi siempre aparece en las fórmulas multiplicada por 4 $π$ o un múltiplo entero pequeño de este. Por lo tanto, una elección que se debe hacer al diseñar un sistema de unidades naturales es qué instancias de 4 $π$ que aparecen en las ecuaciones de la física, si las hay, se eliminarán mediante la normalización.

Normalizando 4 π G a 1 (y por lo tanto estableciendo G = ⁠1/4π $$ ⁠ ):
- La ley de Gauss para la gravedad se convierte en Φ _g = − M (en lugar de Φ _g = −4 $π$ M en unidades de Planck).
- Elimina 4 $π$ G de la ecuación de Poisson .
- Elimina 4 $π$ G en las ecuaciones gravitoelectromagnéticas (GEM), que se cumplen en campos gravitacionales débiles o en un espacio-tiempo localmente plano . Estas ecuaciones tienen la misma forma que las ecuaciones de Maxwell (y la ecuación de fuerza de Lorentz ) del electromagnetismo , con la densidad de masa reemplazando la densidad de carga , y con ⁠1/4πG $$ ⁠ reemplazando ε ₀ .
- Normaliza la impedancia característica Z _g de la radiación gravitacional en el espacio libre a 1 (normalmente expresada como ⁠4πG $$ /do⁠ ). ^{[nota 2]}
- Elimina 4 $π$ G de la fórmula de Bekenstein-Hawking (para la entropía de un agujero negro en términos de su masa m _BH y el área de su horizonte de eventos A _BH ), que se simplifica a S _BH = $π$ A _BH = ( m _BH ) ² .
Ajuste 8 $π$ G = 1 (y por lo tanto ajuste G = ⁠1/8π $$ ⁠ ). Esto eliminaría 8 $π$ G de las ecuaciones de campo de Einstein , la acción de Einstein-Hilbert y las ecuaciones de Friedmann , para la gravitación. Las unidades de Planck modificadas de modo que 8 $π$ G = 1 se conocen como unidades de Planck reducidas , porque la masa de Planck se divide por √ 8 $π$ . Además, la fórmula de Bekenstein-Hawking para la entropía de un agujero negro se simplifica a S _BH = ( m _BH ) ² /2 = 2 $π$ A _BH .

Véase también

Notas explicativas

^ Por ejemplo, tanto Frank Wilczek como Barton Zwiebach lo hacen, ^[1]^[11]^{: 54} al igual que el libro de texto Gravitación . ^[2]^{: 1215}
^ La relatividad general predice que la radiación gravitacional se propaga a la misma velocidad que la radiación electromagnética . ^[59]^{: 60}^[60]^{: 158}

Referencias

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Enlaces externos

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