No dimensionalización

La no dimensionalización es la eliminación parcial o total de las dimensiones físicas de una ecuación que involucra cantidades físicas mediante una sustitución adecuada de variables . Esta técnica puede simplificar y parametrizar problemas donde se involucran unidades de medida . Está estrechamente relacionada con el análisis dimensional . En algunos sistemas físicos , el término escalamiento se usa indistintamente con no dimensionalización , para sugerir que ciertas cantidades se miden mejor en relación con alguna unidad apropiada. Estas unidades se refieren a cantidades intrínsecas al sistema, en lugar de unidades como las unidades del SI . La no dimensionalización no es lo mismo que convertir cantidades extensivas en una ecuación a cantidades intensivas, ya que el último procedimiento da como resultado variables que aún tienen unidades. ^[1]

La no dimensionalización también puede recuperar propiedades características de un sistema. Por ejemplo, si un sistema tiene una frecuencia de resonancia intrínseca , una longitud o una constante de tiempo , la no dimensionalización puede recuperar estos valores. La técnica es especialmente útil para sistemas que se pueden describir mediante ecuaciones diferenciales . Un uso importante es en el análisis de sistemas de control . Una de las unidades características más simples es el tiempo de duplicación de un sistema que experimenta un crecimiento exponencial o, a la inversa, la vida media de un sistema que experimenta un decaimiento exponencial ; un par de unidades características más natural es la edad media/ vida media , que corresponden a la base e en lugar de la base 2.

Muchos ejemplos ilustrativos de adimensionalización se originan a partir de la simplificación de ecuaciones diferenciales. Esto se debe a que una gran cantidad de problemas físicos se pueden formular en términos de ecuaciones diferenciales. Considere lo siguiente:

• Lista de temas sobre sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales
• Lista de temas de ecuaciones diferenciales parciales
• Ecuaciones diferenciales de la física matemática

Aunque la no dimensionalización se adapta bien a estos problemas, no se limita a ellos. Un ejemplo de una aplicación de ecuaciones no diferenciales es el análisis dimensional; otro ejemplo es la normalización en estadística .

Los aparatos de medición son ejemplos prácticos de la adimensionalización que se da en la vida cotidiana. Los aparatos de medición se calibran en relación con una unidad conocida. Las mediciones posteriores se realizan en relación con este estándar. Luego, el valor absoluto de la medición se recupera escalando con respecto al estándar.

Supongamos que un péndulo oscila con un período determinado T . Para un sistema de este tipo, resulta ventajoso realizar cálculos relacionados con la oscilación relativa a T . En cierto sentido, esto es normalizar la medición con respecto al período.

Las mediciones realizadas en relación con una propiedad intrínseca de un sistema se aplicarán a otros sistemas que también tengan la misma propiedad intrínseca. También permite comparar una propiedad común de diferentes implementaciones del mismo sistema. La adimensionalización determina de manera sistemática las unidades características de un sistema a utilizar, sin depender en gran medida del conocimiento previo de las propiedades intrínsecas del sistema (no se deben confundir las unidades características de un sistema con las unidades naturales de la naturaleza ). De hecho, la adimensionalización puede sugerir los parámetros que se deben utilizar para analizar un sistema. Sin embargo, es necesario comenzar con una ecuación que describa el sistema de manera apropiada.

Para adimensionalizar un sistema de ecuaciones, se debe hacer lo siguiente:

1. Identificar todas las variables independientes y dependientes;
2. Sustituir cada uno de ellos por una cantidad escalada respecto de una unidad de medida característica a determinar;
3. Dividir por el coeficiente del polinomio de orden más alto o término derivado;
4. Elegir juiciosamente la definición de la unidad característica de cada variable de modo que los coeficientes del mayor número posible de términos sean 1;
5. Reescriba el sistema de ecuaciones en términos de sus nuevas cantidades adimensionales.

Los últimos tres pasos suelen ser específicos del problema en el que se aplica la adimensionalización. Sin embargo, casi todos los sistemas requieren que se realicen los dos primeros pasos.

No existen restricciones sobre los nombres de las variables que se utilizan para reemplazar " x " y " t ". Sin embargo, generalmente se eligen de modo que resulten convenientes e intuitivos de utilizar para el problema en cuestión. Por ejemplo, si " x " representa la masa, la letra " m " podría ser un símbolo apropiado para representar la cantidad de masa adimensional.

En este artículo se han utilizado las siguientes convenciones:

• t – representa la variable independiente, generalmente una cantidad de tiempo. Su contraparte no dimensionalizada es .${\estilo de visualización \tau}$
• x – representa la variable dependiente – puede ser masa, voltaje o cualquier cantidad medible. Su contraparte no dimensionalizada es .${\estilo de visualización \chi}$

Se utiliza un subíndice "c" añadido al nombre de la variable de una cantidad para indicar la unidad característica utilizada para escalar esa cantidad. Por ejemplo, si x es una cantidad, entonces x _c es la unidad característica utilizada para escalarla.

Como ejemplo ilustrativo, considere una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes :$${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

1. En esta ecuación la variable independiente aquí es t , y la variable dependiente es x .
2. Establezca . Esto da como resultado la ecuación${\displaystyle x=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}}}$$${\displaystyle a{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AF(\tau ).}$$
3. El coeficiente del término de mayor orden se encuentra delante del término de la primera derivada. Dividiéndolo por esto se obtiene$${\displaystyle {\frac {d\chi }{d\tau }}+{\frac {bt_{\text{c}}}{a}}\chi ={\frac {At_{\text{c}}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau ).}$$
4. El coeficiente que se encuentra delante de solo contiene una variable característica t _c , por lo tanto, es más fácil elegir establecerlo primero en la unidad:${\estilo de visualización \chi}$

${\displaystyle {\frac {bt_{\text{c}}}{a}}=1\Rightarrow t_{\text{c}}={\frac {a}{b}}.}$

( 1 )

Después,

${\displaystyle {\frac {At_{\text{c}}}{ax_{\text{c}}}}={\frac {A}{bx_{\text{c}}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\frac {A}{b}}.}$

( 2 )

1. La ecuación adimensional final en este caso se vuelve completamente independiente de cualquier parámetro con unidades:$${\displaystyle {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

Supongamos, para simplificar, que un determinado sistema se caracteriza por dos variables: una variable dependiente x y una variable independiente t , donde x es una función de t . Tanto x como t representan cantidades con unidades. Para escalar estas dos variables, supongamos que hay dos unidades de medida intrínsecas x _c y t _c con las mismas unidades que x y t respectivamente, de modo que se cumplan estas condiciones:$${\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{\text{c}}}}\Rightarrow t=\tau t_{\text{c}}}$$$${\displaystyle \chi ={\frac {x}{x_{\text{c}}}}\Rightarrow x=\chi x_{\text{c}}.}$$

Estas ecuaciones se utilizan para reemplazar x y t cuando se realiza una adimensionalización. Si se necesitan operadores diferenciales para describir el sistema original, sus contrapartes escaladas se convierten en operadores diferenciales adimensionales.

Considere la relación$${\displaystyle t=\tau t_{\text{c}}\Rightarrow dt=t_{\text{c}}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}.}$$

Los operadores diferenciales adimensionales con respecto a la variable independiente se convierten en$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{{t_{\text{c}}}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.}$$

Si un sistema tiene una función de forzamiento entonces${\displaystyle f(t)}$$${\displaystyle f(t)=f(\tau t_{\text{c}})=f(t(\tau ))=F(\tau ).}$$

Por lo tanto, la nueva función de forzamiento se hace dependiente de la cantidad adimensional .${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización \tau}$

Consideremos la ecuación diferencial para un sistema de primer orden:$${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

La derivación de las unidades características de la ecuación 1 y la ecuación 2 para este sistema dio$${\displaystyle t_{\text{c}}={\frac {a}{b}},\ x_{\text{c}}={\frac {A}{b}}.}$$

Un sistema de segundo orden tiene la forma$${\displaystyle a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+cx=Af(t).}$$

Reemplace las variables x y t por sus cantidades escaladas. La ecuación se convierte en

$${\displaystyle a{\frac {x_{\text{c}}}{{t_{\text{c}}}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})=AF(\tau ).}$$

Esta nueva ecuación no es adimensional, aunque todas las variables con unidades están aisladas en los coeficientes. Dividiendo por el coeficiente del término de mayor orden, la ecuación se convierte en

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{\text{c}}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+{t_{\text{c}}}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {A{t_{\text{c}}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau ).}$$

Ahora es necesario determinar las cantidades de x _c ​​y t _c para que los coeficientes queden normalizados. Como hay dos parámetros libres, como máximo sólo dos coeficientes pueden igualarse a la unidad.

Considere la variable t _c :

1. Si el término de primer orden está normalizado.${\displaystyle t_{\text{c}}={\frac {a}{b}}}$
2. Si el término de orden cero está normalizado.${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {a}{c}}}}$

Ambas sustituciones son válidas. Sin embargo, por razones pedagógicas, se utiliza la última sustitución para sistemas de segundo orden. La elección de esta sustitución permite determinar x _{c normalizando el coeficiente de la función de forzamiento:}$${\displaystyle 1={\frac {At_{\text{c}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}={\frac {A}{cx_{\text{c}}}}\Rightarrow x_{\text{c}}={\frac {A}{c}}.}$$

La ecuación diferencial se convierte en$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d \tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

El coeficiente del término de primer orden no tiene unidades. Definir$${\displaystyle 2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def}}{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.}$$

El factor 2 está presente para que las soluciones se puedan parametrizar en términos de ζ . En el contexto de los sistemas mecánicos o eléctricos, ζ se conoce como el coeficiente de amortiguamiento y es un parámetro importante requerido en el análisis de los sistemas de control . 2 ζ también se conoce como el ancho de línea del sistema. El resultado de la definición es la ecuación del oscilador universal .$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

La ecuación diferencial lineal general de orden n con coeficientes constantes tiene la forma :$${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}x(t)+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}x(t)+\ldots +a_{1}{\frac {d}{dt}}x(t)+a_{0}x(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\big (}{\frac {d}{dt}}{\big )}^{k}x(t)=Af(t).}$$

La función f ( t ) se conoce como función de forzamiento .

Si la ecuación diferencial solo contiene coeficientes reales (no complejos), entonces las propiedades de dicho sistema se comportan como una mezcla de sistemas de primer y segundo orden únicamente. Esto se debe a que las raíces de su polinomio característico son pares reales o complejos conjugados . Por lo tanto, comprender cómo se aplica la no dimensionalización a los sistemas de primer y segundo orden permite determinar las propiedades de los sistemas de orden superior mediante la superposición .

El número de parámetros libres en una forma no dimensionalizada de un sistema aumenta con su orden. Por esta razón, la no dimensionalización rara vez se utiliza para ecuaciones diferenciales de orden superior. La necesidad de este procedimiento también se ha reducido con la llegada del cálculo simbólico .

Se puede aproximar una variedad de sistemas como sistemas de primer o segundo orden. Entre ellos se incluyen los sistemas mecánicos, eléctricos, fluídicos, calóricos y torsionales. Esto se debe a que las magnitudes físicas fundamentales involucradas en cada uno de estos ejemplos están relacionadas a través de derivadas de primer y segundo orden.

Supongamos que tenemos una masa unida a un resorte y un amortiguador, que a su vez están unidos a una pared, y una fuerza que actúa sobre la masa a lo largo de la misma línea. Definir

• ${\displaystyle x}$= desplazamiento desde el equilibrio [m]
• ${\displaystyle t}$= tiempo [s]
• ${\displaystyle f}$= fuerza externa o "perturbación" aplicada al sistema [kg⋅m⋅s ⁻² ]
• ${\displaystyle m}$= masa del bloque [kg]
• ${\displaystyle B}$= constante de amortiguación del amortiguador [kg⋅s ⁻¹ ]
• ${\displaystyle k}$= constante de fuerza del resorte [kg⋅s ⁻² ]

Supongamos que la fuerza aplicada es una sinusoide F = F ₀ cos( ωt ) , la ecuación diferencial que describe el movimiento del bloque es$${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$$

Al no dimensionalizar esta ecuación de la misma manera que se describe en § Sistema de segundo orden se obtienen varias características del sistema:

• La unidad intrínseca x _c corresponde a la distancia que se mueve el bloque por unidad de fuerza.

$${\displaystyle x_{\text{c}}={\frac {F_{0}}{k}}.}$$

• La variable característica t _c es igual al período de las oscilaciones

$${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}$$

• La variable adimensional 2 ζ corresponde al ancho de línea del sistema.

$${\displaystyle 2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}}$$

• ζ en sí es el coeficiente de amortiguamiento

Para una serie RC conectada a una fuente de voltaje con sustituciones$${\displaystyle R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V(t)\Rightarrow {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau )}$$$${\displaystyle Q=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}},\ x_{\text{c}}=CV_{0},\ t_{\text{c}}=RC,\ F=V.}$$

La primera unidad característica corresponde a la carga total del circuito. La segunda unidad característica corresponde a la constante de tiempo del sistema.

Para una configuración en serie de componentes R , C , L donde Q es la carga en el sistema con las sustituciones$${\displaystyle L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )}$$$${\displaystyle Q=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}},\ \ x_{\text{c}}=CV_{0},\ t_{\text{c}}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta =R{\sqrt {\frac {C}{L}}},\ \Omega =t_{\text{c}}\omega .}$$

La primera variable corresponde a la carga máxima almacenada en el circuito. La frecuencia de resonancia está dada por el inverso del tiempo característico. La última expresión es el ancho de línea del sistema. El Ω puede considerarse como una frecuencia de función de forzamiento normalizada.

La ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico unidimensional independiente del tiempo es$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

El cuadrado del módulo de la función de onda | ψ ( x )| ² representa la densidad de probabilidad que, cuando se integra sobre x , da una probabilidad adimensional. Por lo tanto, | ψ ( x )| ² tiene unidades de longitud inversa. Para adimensionalizar esto, debe reescribirse como una función de una variable adimensional. Para hacer esto, sustituimos donde x _c ​​es alguna longitud característica de este sistema. Esto nos da una función de onda adimensional definida mediante$${\displaystyle {\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},}$$${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$$${\displaystyle \psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x(x_{\text{c}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

La ecuación diferencial entonces se convierte en$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

Para que el término anterior sea adimensional, establezca${\displaystyle {\tilde {x}}^{2}}$$${\displaystyle {\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.}$$

La ecuación completamente adimensionalizada es donde hemos definido El factor delante de es de hecho (casualmente) la energía del estado fundamental del oscilador armónico. Por lo general, el término de energía no se hace adimensional ya que estamos interesados ​​en determinar las energías de los estados cuánticos . Reordenando la primera ecuación, la ecuación familiar para el oscilador armónico se convierte en$${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),}$$$${\displaystyle E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.}$$${\displaystyle {\tilde {E}}}$$${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

En estadística , el proceso análogo suele ser dividir una diferencia (una distancia) por un factor de escala (una medida de dispersión estadística ), lo que da como resultado un número adimensional, que se denomina normalización . En la mayoría de los casos, esto consiste en dividir los errores o los residuos por la desviación estándar o la desviación estándar de la muestra, respectivamente, lo que da como resultado puntuaciones estándar y residuos estudentizados .

• Análisis de modelos de ecuaciones diferenciales en biología: un estudio de caso para poblaciones de meristemos de trébol (Aplicación de la adimensionalización a un problema en biología).
• Notas del curso de Modelado matemático y matemáticas industriales Jonathan Evans, Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad de Bath . (ver Capítulo 3).
• Escalamiento de ecuaciones diferenciales Hans Petter Langtangen, Geir K. Pedersen, Centro de Computación Biomédica, Laboratorio de Investigación Simula y Departamento de Informática, Universidad de Oslo .