Anillos borromeos
Tres anillos unidos pero separados por pares

Anillos borromeos
L6a4
Cruce no.6
Volumen hiperbólico7.327724753
Palo n.º9
Notación de Conway.1
Notación A–B63
2
Cardo EsperanzaL6a4
Otro
alternante , hiperbólico

En matemáticas , los anillos de Borromeo [a] son ​​tres curvas cerradas simples en el espacio tridimensional que están topológicamente vinculadas y no se pueden separar entre sí, pero que se separan en dos bucles no anudados y no vinculados cuando se corta o se elimina cualquiera de los tres. Lo más común es que estos anillos se dibujen como tres círculos en el plano, en el patrón de un diagrama de Venn , cruzándose alternativamente uno sobre el otro y debajo de él en los puntos donde se cruzan. Se dice que otros triples de curvas forman los anillos de Borromeo siempre que sean topológicamente equivalentes a las curvas representadas en este dibujo.

Los anillos borromeos reciben su nombre de la Casa italiana de Borromeo , que utilizó la forma circular de estos anillos como elemento de su escudo de armas , pero los diseños basados ​​en los anillos borromeos se han utilizado en muchas culturas, incluidos los nórdicos y en Japón. Se han utilizado en el simbolismo cristiano como signo de la Trinidad y en el comercio moderno como el logotipo de la cerveza Ballantine , lo que les da el nombre alternativo de anillos Ballantine . Se han creado instancias físicas de los anillos borromeos a partir de ADN enlazado u otras moléculas, y tienen análogos en el estado de Efimov y los núcleos borromeos , ambos con tres componentes unidos entre sí, aunque no hay dos de ellos unidos.

Geométricamente, los anillos borromeos pueden realizarse mediante elipses enlazadas o (usando los vértices de un icosaedro regular ) mediante rectángulos áureos enlazados . Es imposible realizarlos usando círculos en el espacio tridimensional, pero se ha conjeturado que pueden realizarse mediante copias de cualquier curva simple cerrada no circular en el espacio. En la teoría de nudos , se puede demostrar que los anillos borromeos están enlazados contando sus n -coloraciones de Fox . Como enlaces, son brunnianos , alternantes , algebraicos e hiperbólicos . En topología aritmética , ciertos triples de números primos tienen propiedades de enlace análogas a los anillos borromeos.

Definición y notación

Es común en las publicaciones de matemáticas que definen los anillos de Borromeo hacerlo como un diagrama de enlaces , un dibujo de curvas en el plano con cruces marcados para indicar qué curva o parte de una curva pasa por encima o por debajo en cada cruce. Tal dibujo se puede transformar en un sistema de curvas en el espacio tridimensional incrustando el plano en el espacio y deformando las curvas dibujadas en él por encima o por debajo del plano incrustado en cada cruce, como se indica en el diagrama. El diagrama comúnmente utilizado para los anillos de Borromeo consiste en tres círculos iguales centrados en los puntos de un triángulo equilátero , lo suficientemente cerca como para que sus interiores tengan una intersección común (como en un diagrama de Venn o los tres círculos utilizados para definir el triángulo de Reuleaux ). Sus cruces se alternan entre arriba y abajo cuando se consideran en orden consecutivo alrededor de cada círculo; [2] [3] [4] otra forma equivalente de describir la relación de arriba-abajo entre los tres círculos es que cada círculo pasa por encima de un segundo círculo en ambos de sus cruces, y por debajo del tercer círculo en ambos de sus cruces. [5] Se dice que dos enlaces son equivalentes si hay una deformación continua del espacio (una isotopía ambiental ) que lleva uno al otro, y los anillos borromeos pueden referirse a cualquier enlace que sea equivalente en este sentido al diagrama estándar para este enlace. [4]

En The Knot Atlas , los anillos borromeos se denotan con el código "L6a4"; la notación significa que este es un enlace con seis cruces y un diagrama alternado, el cuarto de cinco enlaces alternados de 6 cruces identificados por Morwen Thistlethwaite en una lista de todos los enlaces principales con hasta 13 cruces. [6] En las tablas de nudos y enlaces en el libro de Dale Rolfsen de 1976 Knots and Links , que amplía las listas anteriores de la década de 1920 de Alexander y Briggs, los anillos borromeos recibieron la notación de Alexander-Briggs "63
2", lo que significa que este es el segundo de tres enlaces de 3 componentes con 6 cruces que se enumerarán. [6] [7] La ​​notación de Conway para los anillos borromeos, ".1", es una descripción abreviada del diagrama de enlace estándar para este enlace. [8]

Historia y simbolismo

El nombre "anillos borromeos" proviene del uso de estos anillos, en forma de tres círculos enlazados, en el escudo de armas de la familia aristocrática Borromeo en el norte de Italia . [9] [10] El enlace en sí es mucho más antiguo y ha aparecido en forma de valknut , tres triángulos equiláteros enlazados con lados paralelos, en piedras de imágenes nórdicas que datan del siglo VII. [11] El Santuario Ōmiwa en Japón también está decorado con un motivo de los anillos borromeos, en su forma circular convencional. [2] Un pilar de piedra en el Templo Marundeeswarar del siglo VI en la India muestra tres triángulos equiláteros rotados entre sí para formar un eneagrama regular ; al igual que los anillos borromeos, estos tres triángulos están enlazados y no enlazados por pares, [12] pero este patrón de cruce describe un enlace diferente al de los anillos borromeos. [13]

Una superficie de Seifert de los anillos borromeos

Los anillos borromeos se han utilizado en diferentes contextos para indicar fuerza en la unidad. [14] En particular, algunos han utilizado el diseño para simbolizar la Trinidad . [3] Un manuscrito francés del siglo XIII que representa los anillos borromeos etiquetados como unidad en trinidad se perdió en un incendio en la década de 1940, pero fue reproducido en un libro de 1843 por Adolphe Napoléon Didron . Didron y otros han especulado que la descripción de la Trinidad como tres círculos iguales en el canto 33 del Paraíso de Dante se inspiró en imágenes similares, aunque Dante no detalla la disposición geométrica de estos círculos. [15] [16] El psicoanalista Jacques Lacan encontró inspiración en los anillos borromeos como modelo para su topología de la subjetividad humana, con cada anillo representando un componente lacaniano fundamental de la realidad (lo "real", lo "imaginario" y lo "simbólico"). [17]

Los anillos se utilizaron como logotipo de la cerveza Ballantine , y todavía se utilizan en la marca de cerveza Ballantine, ahora distribuida por el actual propietario de la marca, la Pabst Brewing Company . [18] [19] Por esta razón, a veces se les ha llamado "anillos Ballantine". [3] [18]

El primer trabajo de teoría de nudos que incluyó los anillos de Borromeo fue un catálogo de nudos y enlaces compilado en 1876 por Peter Tait . [3] En matemáticas recreativas , los anillos de Borromeo fueron popularizados por Martin Gardner , quien presentó superficies de Seifert para los anillos de Borromeo en su columna " Juegos matemáticos " de septiembre de 1961 en Scientific American . [19] En 2006, la Unión Matemática Internacional decidió en el 25.º Congreso Internacional de Matemáticos en Madrid, España, utilizar un nuevo logotipo basado en los anillos de Borromeo. [2]

Anillos parciales y múltiples

En la Europa medieval y renacentista, una serie de signos visuales consisten en tres elementos entrelazados de la misma manera que se muestran entrelazados los anillos borromeos (en su representación bidimensional convencional), pero con elementos individuales que no son bucles cerrados. Ejemplos de tales símbolos son los cuernos de piedra de Snoldelev [20] y las medialunas de Diana de Poitiers . [3]

Algunos vínculos basados ​​en la teoría de nudos contienen múltiples configuraciones de anillos borromeos; un vínculo de cinco bucles de este tipo se utiliza como símbolo en el discordianismo , basado en una representación en los Principia Discordia . [21]

Propiedades matemáticas

Vinculación

Diagrama de enlace algebraico para los anillos borromeos. La línea central negra punteada vertical es una esfera de Conway que divide el diagrama en dos enredos .

En la teoría de nudos , los anillos borromeos son un ejemplo simple de un enlace bruniano , un enlace que no se puede separar sino que se deshace en bucles separados sin anudar tan pronto como se elimina cualquiera de sus componentes. Hay infinitos enlaces brunnianos y infinitos enlaces brunnianos de tres curvas, de los cuales los anillos borromeos son los más simples. [13] [22]

Hay varias maneras de ver que los anillos borromeos están enlazados. Una es usar n -coloraciones de Fox , coloraciones de los arcos de un diagrama de enlace con los enteros módulo n de modo que en cada cruce, los dos colores en el cruce inferior tengan el mismo promedio (módulo n ) que el color del arco de cruce superior, y de modo que se usen al menos dos colores. El número de coloraciones que cumplen estas condiciones es un invariante de nudo , independiente del diagrama elegido para el enlace. Un enlace trivial con tres componentes tiene coloraciones , obtenidas de su diagrama estándar eligiendo un color independientemente para cada componente y descartando las coloraciones que solo usan un color. Para el diagrama estándar de los anillos borromeos, por otro lado, los mismos pares de arcos se encuentran en dos cruces inferiores, lo que obliga a los arcos que los cruzan a tener el mismo color entre sí, de lo que se sigue que las únicas coloraciones que cumplen las condiciones de cruce violan la condición de usar más de un color. Debido a que el enlace trivial tiene muchas coloraciones válidas y los anillos borromeos no tienen ninguna, no pueden ser equivalentes. [4] [23] norte 3 − norte estilo de visualización n^{3}-n norte {\displaystyle n}

Los anillos borromeos son un enlace alterno , ya que su diagrama de enlace convencional tiene cruces que alternan entre pasar por encima y por debajo de cada curva, en orden a lo largo de la curva. También son un enlace algebraico , un enlace que puede descomponerse mediante esferas de Conway en 2-enredos . Son el enlace algebraico alterno más simple que no tiene un diagrama que sea simultáneamente alterno y algebraico. [24] De las conjeturas de Tait se deduce que el número de cruces de los anillos borromeos (el menor número de cruces en cualquiera de sus diagramas de enlace) es 6, el número de cruces en su diagrama alterno. [4]

Forma de anillo

Los anillos borromeos se dibujan típicamente con sus anillos proyectados a círculos en el plano del dibujo, pero los anillos borromeos circulares tridimensionales son un objeto imposible : no es posible formar los anillos borromeos a partir de círculos en el espacio tridimensional. [4] De manera más general, Michael H. Freedman y Richard Skora (1987) demostraron utilizando geometría hiperbólica de cuatro dimensiones que ningún enlace brunniano puede ser exactamente circular. [25] Para tres anillos en su disposición borromea convencional, esto se puede ver al considerar el diagrama de enlace . Si uno supone que dos de los círculos se tocan en sus dos puntos de cruce, entonces se encuentran en un plano o una esfera. En cualquier caso, el tercer círculo debe pasar por este plano o esfera cuatro veces, sin encontrarse en él, lo cual es imposible. [26] Otro argumento sobre la imposibilidad de las realizaciones circulares, de Helge Tverberg , utiliza la geometría inversa para transformar tres círculos cualesquiera de modo que uno de ellos se convierta en una línea, lo que hace más fácil argumentar que los otros dos círculos no se vinculan con él para formar los anillos borromeos. [27]

Sin embargo, los anillos borromeos pueden realizarse utilizando elipses. [2] Estas pueden considerarse de excentricidad arbitrariamente pequeña : no importa cuán cercana a ser circular pueda ser su forma, siempre que no sean perfectamente circulares, pueden formar enlaces borromeos si se posicionan adecuadamente. Una realización de los anillos borromeos por tres rectángulos áureos mutuamente perpendiculares se puede encontrar dentro de un icosaedro regular conectando tres pares opuestos de sus bordes. [2] Cada tres polígonos no anudados en el espacio euclidiano pueden combinarse, después de una transformación de escala adecuada, para formar los anillos borromeos. Si los tres polígonos son planos, entonces no es necesario escalar. [28] En particular, debido a que los anillos borromeos pueden realizarse por tres triángulos, el número mínimo de lados posible para cada uno de sus bucles, el número de varillas de los anillos borromeos es nueve. [29]

Problema sin resolver en matemáticas :
¿Hay tres curvas sin nudos, no todas círculos, que no pueden formar los anillos borromeos?
(más problemas sin resolver en matemáticas)

En términos más generales, Matthew Cook ha conjeturado que tres curvas cerradas simples cualesquiera que no sean círculos, pueden combinarse sin escalar para formar los anillos borromeos. Después de que Jason Cantarella sugiriera un posible contraejemplo, Hugh Nelson Howards debilitó la conjetura para aplicarla a tres curvas planas cualesquiera que no sean círculos. Por otro lado, aunque hay infinitos enlaces brunnianos con tres enlaces, los anillos borromeos son los únicos que pueden formarse a partir de tres curvas convexas. [28]

Longitud de la cuerda

Logotipo de la Unión Matemática Internacional

En la teoría de nudos, la longitud de cuerda de un nudo o eslabón es la longitud más corta de cuerda flexible (de radio uno) que puede realizarlo. Matemáticamente, tal realización puede describirse mediante una curva suave cuyo entorno tubular de radio uno evita las autointersecciones. La longitud mínima de cuerda de los anillos borromeos no ha sido demostrada, pero el valor más pequeño que se ha alcanzado se realiza mediante tres copias de una curva plana de 2 lóbulos. [2] [30] Aunque se parece a un candidato anterior para la longitud mínima de cuerda, construido a partir de cuatro arcos circulares de radio dos, [31] es ligeramente modificado de esa forma, y ​​está compuesto de 42 piezas suaves definidas por integrales elípticas , lo que lo hace más corto en una fracción de un porcentaje que la realización circular por partes. Es esta realización, conjeturada para minimizar la longitud de la cuerda, la que se utilizó para el logotipo de la Unión Matemática Internacional . Su longitud es , mientras que el mejor límite inferior demostrado en la longitud es . [2] [30] ≈ 58.006 {\displaystyle \approx 58.006} 12 π ≈ 37.699 {\displaystyle 12\pi \approx 37.699}

Para un análogo discreto de ropelength, la representación más corta que utiliza solo aristas de la red entera , la longitud mínima para los anillos borromeos es exactamente . Esta es la longitud de una representación que utiliza tres rectángulos enteros, inscritos en el icosaedro de Jessen de la misma manera que la representación mediante rectángulos áureos está inscrita en el icosaedro regular. [32] 36 {\displaystyle 36} 2 × 4 {\displaystyle 2\times 4}

Geometría hiperbólica

El complemento de los anillos borromeos, una variedad hiperbólica formada a partir de dos octaedros ideales, se ve repetidamente en esta vista. Los anillos están infinitamente alejados, en los vértices del octaedro.

Los anillos borromeos son un enlace hiperbólico : el espacio que rodea a los anillos borromeos (su complemento de enlace ) admite una métrica hiperbólica completa de volumen finito. Aunque ahora se considera que los enlaces hiperbólicos abundan, los anillos borromeos fueron uno de los primeros ejemplos que se demostró que eran hiperbólicos, en la década de 1970, [33] [34] y este complemento de enlace fue un ejemplo central en el video Not Knot , producido en 1991 por el Centro de Geometría . [35]

Las variedades hiperbólicas se pueden descomponer de forma canónica en uniones de poliedros hiperbólicos (descomposición de Epstein-Penner) y para el complemento borromeo esta descomposición consiste en dos octaedros regulares ideales . [34] [36] El volumen del complemento borromeo es donde es la función de Lobachevsky y es la constante de Catalan . [36] El complemento de los anillos borromeos es universal, en el sentido de que cada variedad 3- cerrada es una cubierta ramificada sobre este espacio. [37] 16 Λ ( π / 4 ) = 8 G ≈ 7.32772 … {\displaystyle 16\Lambda (\pi /4)=8G\approx 7.32772\dots } Λ {\displaystyle \Lambda } G {\displaystyle G}

Teoría de números

En topología aritmética , existe una analogía entre nudos y números primos en la que se consideran vínculos entre primos. El triple de primos (13, 61, 937) están vinculados módulo 2 (el símbolo de Rédei es −1) pero están desvinculados por pares módulo 2 (los símbolos de Legendre son todos 1). Por lo tanto, estos primos han sido llamados "triple borromea propiamente dicha módulo 2" [38] o "primos borromeos mod 2". [39]

Realizaciones físicas

El nudo del puño de un mono es esencialmente una representación tridimensional de los anillos borromeos, aunque con tres capas, en la mayoría de los casos. [41] El escultor John Robinson ha realizado obras de arte con tres triángulos equiláteros hechos de chapa metálica , unidos para formar anillos borromeos y que se asemejan a una versión tridimensional del valknut. [13] [29] Un diseño común para un trípode de madera plegable consiste en tres piezas talladas a partir de una sola pieza de madera, y cada pieza consta de dos longitudes de madera, las patas y los lados superiores del trípode, conectados por dos segmentos de madera que rodean un orificio central alargado en la pieza. Otra de las tres piezas pasa a través de cada uno de estos orificios, uniendo las tres piezas en el patrón de anillos borromeos. Los trípodes de esta forma se han descrito como provenientes de artesanías indias o africanas. [42] [43]

En química, los anillos borromeos moleculares son las contrapartes moleculares de los anillos borromeos, que son arquitecturas moleculares entrelazadas mecánicamente . En 1997, el biólogo Chengde Mao y sus colaboradores de la Universidad de Nueva York lograron construir un conjunto de anillos a partir del ADN . [44] En 2003, el químico Fraser Stoddart y sus colaboradores de la UCLA utilizaron la química de coordinación para construir un conjunto de anillos en un solo paso a partir de 18 componentes. [40] Las estructuras de anillos borromeos se han utilizado para describir cúmulos de metales nobles protegidos por una capa superficial de ligandos tiolato. [45] Giuseppe Resnati y sus colaboradores han sintetizado una biblioteca de redes borromeas por diseño mediante autoensamblaje impulsado por enlaces halógenos . [46] Para acceder al anillo borromeo molecular que consta de tres ciclos desiguales, Jay S. Siegel y sus colaboradores propusieron una síntesis paso a paso. [47]

En física, un análogo mecánico cuántico de los anillos de Borromeo se denomina estado de halo o estado de Efimov , y consiste en tres partículas ligadas que no están ligadas por pares. La existencia de tales estados fue predicha por el físico Vitaly Efimov en 1970, y confirmada por múltiples experimentos a partir de 2006. [48] [49] Este fenómeno está estrechamente relacionado con un núcleo de Borromeo , un núcleo atómico estable que consiste en tres grupos de partículas que serían inestables en pares. [50] Otro análogo de los anillos de Borromeo en la teoría de la información cuántica implica el entrelazamiento de tres cúbits en el estado de Greenberger-Horne-Zeilinger . [14]

Notas

  1. ^ Pronunciado / b ɒ r oʊ ˈ m iː ə n / [1]

Referencias

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Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Anillos borromeos .
  • Lamb, Evelyn (30 de septiembre de 2016), "Algunos de mis espacios favoritos: anillos borromeos", Roots of Unity, Scientific American
  • Anillos olímpicos borromeos ( Brady Haran , 2012), cintas borromeas ( Tadashi Tokieda , 2016) y nudos de neón y anillos de cerveza borromeos ( Clifford Stoll , 2018), Numberphile
  • Anillos Borromeos, Unión Matemática Internacional
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