Longitud de la cuerda

En la teoría de nudos físicos , cada realización de un eslabón o nudo tiene asociada una longitud de cuerda . Intuitivamente, esta es la longitud mínima de una cuerda idealmente flexible que se necesita para atar un eslabón o nudo determinado. Los nudos y eslabones que minimizan la longitud de la cuerda se denominan nudos ideales y eslabones ideales , respectivamente.

La longitud de la cuerda de una curva anudada se define como la relación , donde es la longitud de y es el grosor del nudo de .${\estilo de visualización C}$${\displaystyle L(C)=\operatorname {Len} (C)/\tau (C)}$${\displaystyle \operatorname {Len} (C)}$${\estilo de visualización C}$${\displaystyle \tau (C)}$${\estilo de visualización C}$

La longitud de la cuerda se puede convertir en una invariante del nudo definiendo la longitud de la cuerda de un nudo como la longitud de cuerda mínima en todas las curvas que realizan .${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$

Una de las primeras preguntas sobre la teoría de nudos se planteó en los siguientes términos:

En términos de longitud de cuerda, esto pregunta si hay un nudo con longitud de cuerda . La respuesta es no: un argumento que utiliza cuadrisecantes muestra que la longitud de cuerda de cualquier nudo no trivial tiene que ser al menos . ^[1] Sin embargo, la búsqueda de la respuesta ha estimulado la investigación tanto en el terreno teórico como en el computacional. Se ha demostrado que para cada tipo de enlace hay un minimizador de longitud de cuerda, aunque solo puede ser de clase de diferenciabilidad . ^{[2] [3]} Para el nudo no trivial más simple, el nudo trébol, las simulaciones por computadora han demostrado que su longitud de cuerda mínima es como máximo 16.372. ^[1]${\estilo de visualización 12}$${\estilo de visualización 15.66}$ ${\estilo de visualización C^{1}}$

Se ha dedicado una extensa búsqueda a mostrar relaciones entre la longitud de la cuerda y otras invariantes de nudos, como el número de cruces de un nudo. Para cada nudo , la longitud de la cuerda de es al menos proporcional a , donde denota el número de cruces. ^[4] Existen nudos y enlaces, a saber, los nudos de toro y los enlaces de Hopf , para los que este límite inferior es estricto. Es decir, para estos nudos (en notación O mayúscula ), ^[3]${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle \nombre del operador {Cr} (K)^{3/4}}$${\displaystyle \nombre del operador {Cr} (K)}$${\estilo de visualización (k,k-1)}$ ${\estilo de visualización k}$$${\displaystyle L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)^{3/4}).}$$

Por otra parte, también existen nudos cuya longitud de cuerda es mayor, proporcional al número de cruces en sí mismo en lugar de a una potencia menor de este. ^[5] Esto es casi estricto, ya que para cada nudo, La prueba de este límite superior casi lineal utiliza un argumento de divide y vencerás para mostrar que las proyecciones mínimas de nudos se pueden incrustar como gráficos planares en la red cúbica. ^[6] Sin embargo, nadie ha observado aún una familia de nudos con una dependencia superlineal de la longitud en el número de cruces y se conjetura que el límite superior estricto debería ser lineal. ^[7]$${\displaystyle L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)\log ^{5}(\operatorname {Cr} (K))).}$$