Tricolorabilidad
En el campo matemático de la teoría de nudos , la tricolorabilidad de un nudo es la capacidad de un nudo de ser coloreado con tres colores sujetos a ciertas reglas. La tricolorabilidad es un invariante isotópico y, por lo tanto, se puede utilizar para distinguir entre dos nudos diferentes (no isotópicos ). En particular, dado que el nudo no es tricolorable, cualquier nudo tricolor es necesariamente no trivial.
Reglas de tricoloridad
En estas reglas, una hebra en un diagrama de nudos será un trozo de la cuerda que va de un cruce inferior al siguiente. [1] Un nudo es tricolor si cada hebra del diagrama de nudos se puede colorear con uno de tres colores, sujeto a las siguientes reglas: [2]
- 1. Se deben utilizar al menos dos colores, y
- 2. En cada cruce, las tres hebras incidentes son todas del mismo color o todas de colores diferentes.
Algunas referencias indican, en cambio, que deben utilizarse los tres colores. [3] En el caso de un nudo, esto es equivalente a la definición anterior; sin embargo, en el caso de un enlace no lo es.
"El nudo de trébol y el nudo de dos eslabones triviales son tricolores, pero el nudo desenredado, el nudo de eslabones Whitehead y el nudo en forma de ocho no lo son. Si la proyección de un nudo es tricolor, entonces Reidemeister avanza en la preservación de la tricoloridad del nudo, de modo que o todas las proyecciones de un nudo son tricolores o ninguna lo es". [2]
Ejemplos
A continuación se muestra un ejemplo de cómo colorear un nudo según las reglas de tricoloridad. Por convención, los teóricos de los nudos utilizan los colores rojo, verde y azul.
Ejemplo de nudo tricolor
El nudo de la abuela es tricolor. En esta coloración, las tres hebras en cada cruce tienen tres colores diferentes. Teñir uno de los nudos de trébol, pero no ambos , de rojo también daría una coloración admisible. El nudo del verdadero amante también es tricolor. [4]
Los nudos tricolores con menos de nueve cruces incluyen 6 1 , 7 4 , 7 7 , 8 5 , 8 10 , 8 11 , 8 15 , 8 18 , 8 19 , 8 20 y 8 21 .
Ejemplo de nudo no tricolor
El nudo en forma de ocho no es tricolor. En el diagrama que se muestra, tiene cuatro hebras y cada par de hebras se encuentra en algún cruce. Si tres de las hebras tuvieran el mismo color, entonces todas las hebras se verían obligadas a ser del mismo color. De lo contrario, cada una de estas cuatro hebras debe tener un color distinto. Dado que la tricoloridad es invariable en los nudos, ninguno de sus otros diagramas puede ser tricolor.
Invariante de isotopía
La tricolorabilidad es una propiedad invariante de isotopía de un nudo o enlace que permanece constante independientemente de cualquier isotopía ambiental . Esto se puede demostrar para nudos domesticados examinando los movimientos de Reidemeister . Dado que cada movimiento de Reidemeister se puede realizar sin afectar la tricolorabilidad, la tricolorabilidad es una propiedad invariante de isotopía de nudos domesticados. [5]
| Reidemeister Move I es tricolor. | Reidemeister Move II es tricolor. | Reidemeister Move III es tricolor. |
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 |  |  |
Propiedades
Como la tricolorabilidad es una clasificación binaria (un enlace es tricolorable o no*), es un invariante relativamente débil. La composición de un nudo tricolorable con otro nudo siempre es tricolorable. Una forma de fortalecer el invariante es contar el número de posibles 3-coloraciones. En este caso, la regla de que se utilizan al menos dos colores se relaja y ahora cada enlace tiene al menos tres 3-coloraciones (solo colorea cada arco del mismo color). En este caso, un enlace es 3-colorable si tiene más de tres 3-coloraciones.
Cualquier enlace separable con un componente separable tricolor también es tricolor.
En nudos toroidales
Si el nudo/enlace toral denotado por (m,n) es tricolor, entonces también lo son (j*m,i*n) y (i*n,j*m) para cualesquiera números naturales i y j.
Véase también
Fuentes
- ^ Xaoyu Qiao, EL, Knot Theory Week 2: Tricolorability (20 de enero de 2015), Sección 3.
- ^ ab Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , segunda edición, pág. 3045. ISBN 9781420035223. citado en Weisstein, Eric W. "Tricolorable". MathWorld .Consultado: 5 de mayo de 2013.
- ^ Gilbert, ND y Porter, T. (1994) Nudos y superficies , pág. 8
- ^ Bestvina, Mladen (febrero de 2003). "Nudos: un material para círculos matemáticos", Math.Utah.edu .
- ^ Adams, Colin (2004). El libro de los nudos: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 22–27. ISBN 978-0-8218-3678-1.OCLC 55633800 .
Lectura adicional
- Weisstein, Eric W. "Nudo de tres colores". MathWorld .Consultado: 5 de mayo de 2013.
