Ternario equilibrado

El sistema ternario balanceado es un sistema de numeración ternario (es decir, de base 3 con tres dígitos ) que utiliza una representación balanceada de dígitos con signo de los números enteros en los que los dígitos tienen los valores −1 , 0 y 1. Esto contrasta con el sistema ternario estándar (no balanceado), en el que los dígitos tienen los valores 0, 1 y 2. El sistema ternario balanceado puede representar todos los números enteros sin utilizar un signo menos separado ; el valor del dígito inicial distinto de cero de un número tiene el signo del número mismo. El sistema ternario balanceado es un ejemplo de un sistema de numeración posicional no estándar . Se utilizó en algunas de las primeras computadoras ^[1] y también se ha utilizado para resolver acertijos de equilibrio . ^[2]

Distintas fuentes utilizan distintos glifos para representar los tres dígitos en el sistema ternario equilibrado. En este artículo, T (que se asemeja a una ligadura del signo menos y 1) representa −1 , mientras que 0 y 1 se representan a sí mismos. Otras convenciones incluyen el uso de '−' y '+' para representar −1 y 1 respectivamente, o el uso de la letra griega theta (Θ), que se asemeja a un signo menos en un círculo, para representar −1. En publicaciones sobre la computadora Setun , −1 se representa como 1 invertido: "1". ^[1]

El ternario equilibrado aparece de forma temprana en el libro Arithmetica Integra (1544) de Michael Stifel . ^[3] También aparece en las obras de Johannes Kepler y Léon Lalanne . John Colson , John Leslie , Augustin-Louis Cauchy y posiblemente incluso los antiguos Vedas indios han analizado esquemas de dígitos con signo relacionados en otras bases . ^[2]

Sea el conjunto de símbolos (también llamados glifos o caracteres ), donde el símbolo se utiliza a veces en lugar de Defina una función con valor entero mediante${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}:=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace }$${\displaystyle {\bar {1}}}$${\displaystyle \operatorname {T} .}$${\displaystyle f=f_{{\mathcal {D}}_{3}}:{\mathcal {D}}_{3}\to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle f_{}(\operatorname {T} )=-1,}$

${\displaystyle f_{}(0)=0\quad }$y

${\displaystyle f_{}(1)=1,}$^[4]

donde los lados derechos son números enteros con sus valores habituales. Esta función es la que establece de manera rigurosa y formal cómo se asignan los valores enteros a los símbolos/glifos en Un beneficio de este formalismo es que la definición de "los números enteros" (como sea que se definan) no se confunde con ningún sistema particular para escribirlos/representarlos; de esta manera, estos dos conceptos distintos (aunque estrechamente relacionados) se mantienen separados.${\displaystyle f_{},}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}.}$

El conjunto junto con la función forman una representación equilibrada de dígitos con signo denominada sistema ternario equilibrado . Puede utilizarse para representar números enteros y reales.${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$${\displaystyle f_{}}$

Sea el Kleene plus de , que es el conjunto de todas las cadenas concatenadas de longitud finita de uno o más símbolos (llamados sus dígitos ) donde es un entero no negativo y todos los dígitos se toman de El inicio de es el símbolo (a la derecha), su final es (a la izquierda) y su longitud es . La evaluación ternaria es la función definida asignando a cada cadena el entero${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle d_{n},\ldots ,d_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace .}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle v=v_{3}~:~{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$

${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)~=~\sum _{i=0}^{n}f_{}\left(d_{i}\right)3^{i}.}$

La cadena representa (con respecto a ) el entero El valor puede denotarse alternativamente por El mapa es sobreyectivo pero no inyectivo ya que, por ejemplo, Sin embargo, cada entero tiene exactamente una representación bajo que no termina (a la izquierda) con el símbolo ie${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).}$${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)}$${\displaystyle {d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.}$${\displaystyle v:{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .}$${\displaystyle v}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle d_{n}=0.}$

Si y entonces satisface:${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v\left(d_{n}d_{n-1}\ldots d_{0}\right)~=~f_{}\left(d_{n}\right)3^{n}+v\left(d_{n-1}\ldots d_{0}\right)}$

lo que demuestra que satisface una especie de relación de recurrencia . Esta relación de recurrencia tiene como condición inicial donde es la cadena vacía.${\displaystyle v}$${\displaystyle v\left(\varepsilon \right)=0}$${\displaystyle \varepsilon }$

Esto implica que para cada cadena${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},}$

${\displaystyle v\left(0d_{n}\ldots d_{0}\right)=v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)}$

Lo que en palabras dice que los símbolos iniciales (a la izquierda en una cadena con 2 o más símbolos) no afectan el valor resultante.${\displaystyle 0}$

Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden calcular algunos valores de , donde (como antes) todos los números enteros se escriben en decimal (base 10) y todos los elementos de son simplemente símbolos.${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}v\left(\operatorname {T} \operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=-4\\v\left(\operatorname {T} 1\right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=-2\\v\left(1\operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=2\\v\left(11\right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=4\\v\left(1\operatorname {T} 0\right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(0\right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(-1)&&3&&\,+\,&&(0)&&1&&=6\\v\left(10\operatorname {T} \right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(0\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(0)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=8\\\end{alignedat}}}$

y utilizando la relación de recurrencia anterior

${\displaystyle v\left(101\operatorname {T} \right)=f_{}\left(1\right)3^{3}+v\left(01\operatorname {T} \right)=(1)27+v\left(1\operatorname {T} \right)=27+2=29.}$

En el sistema ternario balanceado, el valor de un dígito n lugares a la izquierda del punto de la base es el producto del dígito por 3 ⁿ . Esto es útil cuando se convierte entre decimal y ternario balanceado. En lo que sigue, las cadenas que denotan ternario balanceado llevan el sufijo bal3 . Por ejemplo,

10 _bal3 = 1 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = 3 _dec

10𝖳 _bal3 = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 8 _dec

−9 _dec = −1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = 𝖳00 _bal3

8 _dec = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 10𝖳 _bal3

De manera similar, el primer lugar a la derecha del punto de la base contiene 3 ⁻¹ = ⁠1/3⁠ , el segundo lugar ocupa 3 ⁻² = ⁠1/9⁠ , y así sucesivamente. Por ejemplo,

− ⁠2/3⁠ _dec = −1 + ⁠1/3⁠ = −1 × 3 ⁰ + 1 × 3 ⁻¹ = 𝖳.1 _bal3 .

Un número entero es divisible por tres si y sólo si el dígito en el lugar de las unidades es cero.

Podemos comprobar la paridad de un entero ternario equilibrado comprobando la paridad de la suma de todos los trits. Esta suma tiene la misma paridad que el propio entero.

El ternario equilibrado también se puede extender a números fraccionarios de manera similar a cómo se escriben los números decimales a la derecha del punto de la base . ^[5]

Decimal	-0,9	-0,8	-0,7	-0,6	-0,5	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0
Ternario equilibrado	010​	1.1​	10.000​	11 de octubre	0. 𝖳 o 𝖳. 1	0. 11	0. 010	0. 11	0. 0𝖳01	0
Decimal	0.9	0,8	0,7	0.6	0,5	0,4	0.3	0,2	0,1	0
Ternario equilibrado	1. 0𝖳01	1. 11 de octubre	1. 010	1. 11	0. 1 o 1. 𝖳	0. 11	0.100​	0. 1 𝖳𝖳1	0,010​	0

En el sistema decimal o binario, los valores enteros y las fracciones exactas tienen múltiples representaciones. Por ejemplo, ⁠1/10⁠ = 0,1 = 0,1 0 = 0,0 9 . Y, ⁠1/2⁠ = 0,1 ₂ = 0,1 0 ₂ = 0,0 1 ₂ . Algunas fracciones ternarias balanceadas también tienen múltiples representaciones. Por ejemplo, ⁠1/6⁠ = 0,1 𝖳 _bal3 = 0,0 1 _bal3 . Ciertamente, en el sistema decimal y binario, podemos omitir los infinitos 0 finales más a la derecha después del punto de la base y obtener una representación de un número entero o una fracción terminal. Pero, en el ternario balanceado, no podemos omitir los infinitos −1 finales más a la derecha después del punto de la base para obtener una representación de un número entero o una fracción terminal.

Donald Knuth ^[6] ha señalado que el truncamiento y el redondeo son la misma operación en el ternario balanceado: producen exactamente el mismo resultado (una propiedad compartida con otros sistemas numéricos balanceados). El número ⁠1/2⁠ no es excepcional; tiene dos representaciones igualmente válidas y dos truncamientos igualmente válidos: 0. 1 (redondear a 0 y truncar a 0) y 1. 𝖳 (redondear a 1 y truncar a 1). Con un radio impar , el redondeo doble también es equivalente a redondear directamente a la precisión final, a diferencia de con un radio par.

Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se realizan como en el sistema ternario regular. La multiplicación por dos se puede realizar sumando un número a sí mismo o restándose a sí mismo después de un desplazamiento a la izquierda.

Un desplazamiento aritmético hacia la izquierda de un número ternario equilibrado es el equivalente a la multiplicación por una potencia (positiva, integral) de 3; y un desplazamiento aritmético hacia la derecha de un número ternario equilibrado es el equivalente a la división por una potencia (positiva, integral) de 3.

La conversión de un número ternario periódico balanceado en una fracción es análoga a la conversión de un decimal periódico . Por ejemplo (debido a 111111 _bal3 = ( ⁠3 ⁶ − 1/3 − 1⁠ ) _​​dec ):

${\displaystyle 0.1{\overline {\mathrm {110TT0} }}={\tfrac {\mathrm {1110TT0-1} }{\mathrm {111111\times 1T\times 10} }}={\tfrac {\mathrm {1110TTT} }{\mathrm {111111\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {111\times 1000T} }{\mathrm {111\times 1001\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {1111\times 1T} }{\mathrm {1001\times 1T0} }}={\tfrac {1111}{10010}}={\tfrac {\mathrm {1T1T} }{\mathrm {1TTT0} }}={\tfrac {101}{\mathrm {1T10} }}}$

Al igual que en cualquier otra base entera, los irracionales algebraicos y los números trascendentales no terminan ni se repiten. Por ejemplo:

Decimal	Ternario equilibrado
${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.4142135623731\ldots }$	${\displaystyle {\sqrt {\mathrm {1T} }}=\mathrm {1.11T1TT00T00T01T0T00T00T01TT\ldots } }$
${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.7320508075689\ldots }$	${\displaystyle {\sqrt {\mathrm {10} }}=\mathrm {1T.T1TT10T0000TT1100T0TTT011T0\ldots } }$
${\displaystyle {\sqrt {5}}=2.2360679774998\ldots }$	${\displaystyle {\sqrt {\mathrm {1TT} }}=\mathrm {1T.1T0101010TTT1TT11010TTT01T1\ldots } }$
${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887499\ldots }$	${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {\mathrm {1TT} }}}{\mathrm {1T} }}=\mathrm {1T.T0TT01TT0T10TT11T0011T10011\ldots } }$
${\displaystyle \tau =6.28318530717959\ldots }$	${\displaystyle \tau =\mathrm {1T0.10TT0T1100T110TT0T1TT000001} \ldots }$
${\displaystyle \pi =3.14159265358979\ldots }$	${\displaystyle \pi =\mathrm {10.011T111T000T011T1101T111111} \ldots }$
${\displaystyle e=2.71828182845905\ldots }$	${\displaystyle e=\mathrm {10.T0111TT0T0T111T0111T000T11T} \ldots }$

La expansión ternaria equilibrada de se da en OEIS como A331313, la de en A331990.${\displaystyle \pi }$${\displaystyle e}$

La notación ternaria no balanceada se puede convertir a notación ternaria balanceada de dos maneras:

• Sume 1 trit por trit del primer trit distinto de cero con acarreo y luego reste 1 trit por trit del mismo trit sin préstamo. Por ejemplo,

  021 ₃ + 11 ₃ = 102 ₃ , 102 ₃ − 11 ₃ = 1T1 _bal3 = 7 _dec .

• Si hay un 2 en un ternario, conviértalo en 1T. Por ejemplo,

  0212 ₃ = 0010 _bal3 + 1T00 _bal3 + 001T _bal3 = 10TT _bal3 = 23 _dec

Si los tres valores de la lógica ternaria son falso , desconocido y verdadero , y estos se asignan a un ternario equilibrado como T, 0 y 1 y a valores ternarios convencionales sin signo como 0, 1 y 2, entonces el ternario equilibrado puede verse como un sistema numérico sesgado análogo al sistema binario desfasado . Si el número ternario tiene n trits, entonces el sesgo b es

${\displaystyle b=\left\lfloor {\frac {3^{n}}{2}}\right\rfloor }$

que se representa como todos unos en forma convencional o sesgada. ^[7]

Como resultado, si se utilizan estas dos representaciones para números ternarios balanceados y sin signo, un valor ternario positivo n -trit sin signo se puede convertir a la forma balanceada sumando el sesgo b y un número balanceado positivo se puede convertir a la forma sin signo restando el sesgo b . Además, si x e y son números balanceados, su suma balanceada es x + y − b cuando se calcula utilizando aritmética ternaria convencional sin signo. De manera similar, si x e y son números ternarios convencionales sin signo, su suma es x + y + b cuando se calcula utilizando aritmética ternaria balanceada.

Podemos convertir a ternario balanceado con la siguiente fórmula:

${\displaystyle \left(a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots \right)_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.}$

dónde,

a _n a _{n −1} ... a ₁ a ₀ . c ₁ c ₂ c ₃ ... es la representación original en el sistema numeral original.

b es el radio original. b es 10 si se convierte desde decimal.

a _k y c _k son los dígitos k lugares a la izquierda y derecha del punto de la base respectivamente.

Por ejemplo,

−25,4 dec = −(1T×101 1 + 1TT×101 0 + 11×101 −1 ) = −(1T×101 + 1TT + 11÷101) = −10T1.11TT = T01T.TT11

1010,1 2 = 1T 10 + 1T 1 + 1T −1 = 10T + 1T + 0,1 = 101,1

A continuación se muestran las tablas de suma, resta, multiplicación y división de un solo tritio. Para la resta y la división, que no son conmutativas , el primer operando se da a la izquierda de la tabla, mientras que el segundo se da en la parte superior. Por ejemplo, la respuesta a 1 − T = 1T se encuentra en la esquina inferior izquierda de la tabla de resta.

Suma + yo 0 1 yo T1 yo 0 0 yo 0 1 1 0 1 1 tonelada

Sustracción − yo 0 1 yo 0 yo T1 0 1 0 yo 1 1 tonelada 1 0

Multiplicación × yo 0 1 yo 1 0 yo 0 0 0 0 1 yo 0 1

División ÷ yo 1 yo 1 yo 0 0 0 1 yo 1

La suma y resta de números decimales múltiples es análoga a la de los números binarios y decimales. Sume y reste números decimales por números decimales y sume el acarreo correspondiente. Por ejemplo:

 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 + 11T1.T − 11T1.T − 11T1.T → + TT1T.1 ______________ ______________ _______________ 1T0T10.0TT1 1T1001.TTT1 1T1001.TTT1 + 1T + T T1 + TT ______________ ________________ ________________ 1T1110.0TT1 1110TT.TTT1 1110TT.TTT1 + T + T 1 + T 1 ______________ ________________ ________________ 1T0110.0TT1 1100T.TTT1 1100T.TTT1

La multiplicación de varios números es análoga a la del binario y el decimal.

 1TT1.TT × T11T.1 _____________ 1TT.1TT multiplica 1 T11T.11 multiplicar T 1TT1T.T multiplica 1 1TT1TT multiplica 1 T11T11 multiplica T _____________ 0T0000T.10T

La división ternaria equilibrada es análoga a la división binaria y decimal.

Sin embargo, 0,5 _dec = 0,1111... _bal3 o 1.TTTT... _bal3 . Si el dividendo está sobre el divisor más o menos, el trit del cociente debe ser 1 o T. Si el dividendo está entre el más y el menos de la mitad del divisor, el trit del cociente es 0. La magnitud del dividendo debe compararse con la de la mitad del divisor antes de establecer el trit del cociente. Por ejemplo,

 Cociente 1TT1.TT0,5 × divisor T01,0 _____________  divisor T11T.1 ) T0000T.10T dividend  T11T1 T000 < T010, conjunto 1 _______ 1T1T0 1TT1T 1T1T0 > 10T0, establecer T _______ 111T 1TT1T 111T > 10T0, establecer T _______ T00.1 T11T.1 T001 < T010, conjunto 1 ________ 1T1.00 1TT.1T 1T100 > 10T0, establecer T ________ 1T.T1T 1T.T1T 1TT1T > 10T0, establecer T ________ 0

Otro ejemplo,

 1TTT 0,5 × divisor 1T _______ Divisor 11 )1T01T 1T = 1T, pero 1T.01 > 1T, establece 1 11 _____ T10 T10 < T1, establecer T T.T. ______ T11 T11 < T1, establecer T T.T. ______ TT TT < T1, establece T T.T. ____ 0

Otro ejemplo,

 101.TTTTTTTTTT... o 100.111111111... 0,5 × divisor 1T _________________ divisor 11 )111T 11 > 1T, conjunto 1 11 _____ 1 T1 < 1 < 1T, conjunto 0 ___ 1T 1T = 1T, fin de trits, establecer 1.TTTTTTTTT... o 0.111111111...

El proceso de extracción de la raíz cuadrada en un sistema ternario balanceado es análogo al del sistema decimal o binario.

${\displaystyle (10\cdot x+y)^{\mathrm {1T} }-100\cdot x^{\mathrm {1T} }=\mathrm {1T0} \cdot x\cdot y+y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T10} \cdot x+1,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\\mathrm {1T0} \cdot x+1,&y=1\end{cases}}}$

Al igual que en la división, primero debemos comprobar el valor de la mitad del divisor. Por ejemplo,

 1.11T1TT00... _________________________ √ 1T 1<1T<11, conjunto 1 − 1 _____ 1×10=10 1.0T 1.0T>0.10, conjunto 1 1T0 −1.T0 ________ 11×10=110 1T0T 1T0T>110, conjunto 1 10T0 −10T0 ________ 111×10=1110 T1T0T T1T0T<TTT0, establece T 100T0 −T0010 _________ 111T×10=111T0 1TTT0T 1TTT0T>111T0, conjunto 1 10T110 −10T110 __________ 111T1×10=111T10 TT1TT0T TT1TT0T<TTT1T0, establece T 100TTT0 −T001110 ___________ 111T1T×10=111T1T0 T001TT0T T001TT0T<TTT1T10, establece T 10T11110 −T01TTTT0 ____________ 111T1TT×10=111T1TT0 T001T0T TTT1T110<T001T0T<111T1TT0, establece 0 − T Retorno 1 ___________ 111T1TT0×10=111T1TT00 T001T000T TTT1T1100<T001T000T<111T1TT00, establecer 0 − T Retorno 1 _____________ 111T1TT00*10=111T1TT000 T001T00000T ...

La extracción de la raíz cúbica en un sistema ternario balanceado es análoga a la extracción en decimal o binario:

${\displaystyle (10\cdot x+y)^{10}-1000\cdot x^{10}=y^{10}+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }\cdot y+100\cdot x\cdot y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T} +\mathrm {T000} \cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\1+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=1\end{cases}}}$

Al igual que con la división, también debemos comprobar primero el valor de la mitad del divisor. Por ejemplo:

 1.1 T1 0 ... _____________________ ³√ 1T − 1 1<1T<10T,conjunto 1 _______ 1.000 1×100=100 −0,100 tomar prestado 100×, hacer división _______ 1TT 1.T00 1T00>1TT, conjunto 1 1×1×1000+1=1001 −1,001 __________ T0T000 11×100 − 1100 tomar prestado 100×, hacer división _________ 10T000 TT1T00 TT1T00<T01000, establecer T 11×11×1000+1=1TT1001 −T11T00T ____________ 1TTT01000 11T×100 − 11T00 tomar prestado 100×, hacer división ___________ 1T1T01TT 1TTTT0100 1TTTT0100>1T1T01TT, conjunto 1 11T×11T×1000+1=11111001 − 11111001 ______________ 1T10T000 11T1×100 − 11T100 tomar prestado 100×, hacer división __________ 10T0T01TT 1T0T0T00 T01010T11<1T0T0T00<10T0T01TT, establecer 0 11T1×11T1×1000+1=1TT1T11001 − TT1T00 devuelve 100× _____________ 1T10T000000 ...

Por lo tanto, ³ √ 2 = 1,259921 _dec = 1,1T1 000 111 001 T01 00T 1T1 T10 111 _bal3 .

En los primeros tiempos de la informática, se construyeron algunas computadoras soviéticas experimentales con ternario balanceado en lugar de binario, siendo la más famosa la Setun , construida por Nikolay Brusentsov y Sergei Sobolev . La notación tiene varias ventajas computacionales sobre el binario y ternario tradicionales. En particular, la consistencia más-menos reduce la tasa de acarreo en la multiplicación de varios dígitos, y la equivalencia de redondeo-truncamiento reduce la tasa de acarreo en el redondeo de fracciones. En el ternario balanceado, la tabla de multiplicación de un dígito sigue siendo de un dígito y no tiene acarreo y la tabla de adición tiene solo dos acarreos de nueve entradas, en comparación con el ternario no balanceado con uno y tres respectivamente. Knuth escribió que "Quizás las propiedades simétricas y la aritmética simple de este sistema numérico resulten bastante importantes algún día", ^[6] señalando que,

“La complejidad de los circuitos aritméticos para la aritmética ternaria equilibrada no es mucho mayor que la del sistema binario, y un número dado requiere sólo tantas posiciones de dígitos para su representación”. ^[6]${\displaystyle \log _{3}2\approx 63\%}$

El teorema de que cada número entero tiene una representación única en ternario balanceado fue utilizado por Leonhard Euler para justificar la identidad de las series de potencias formales ^[8]

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\left(x^{-3^{n}}+1+x^{3^{n}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n}.}$

La balanza ternaria equilibrada tiene otras aplicaciones además de la informática. Por ejemplo, una balanza clásica de dos platos , con un peso para cada potencia de 3, puede pesar objetos relativamente pesados ​​con precisión con una pequeña cantidad de pesas, moviendo las pesas entre los dos platos y la mesa. Por ejemplo, con pesas para cada potencia de 3 hasta 81, un objeto de 60 gramos (60 _dec = 1T1T0 _bal3 ) estará perfectamente equilibrado con un peso de 81 gramos en el otro plato, el peso de 27 gramos en su propio plato, el peso de 9 gramos en el otro plato, el peso de 3 gramos en su propio plato y el peso de 1 gramo apartado.

De manera similar, consideremos un sistema monetario con monedas de 1¤, 3¤, 9¤, 27¤, 81¤. Si el comprador y el vendedor tienen cada uno solo una moneda de cada tipo, es posible cualquier transacción de hasta 121¤. Por ejemplo, si el precio es 7¤ (7 _dec = 1T1 _bal3 ), el comprador paga 1¤ + 9¤ y recibe 3¤ de cambio.

También pueden proporcionar una representación más natural del qutrit y los sistemas que lo utilizan.

• Representación de dígitos con signo
• Métodos para calcular raíces cuadradas
• Sistema de numeración
• Qutrit
• Tablilla de Salamina
• Computadora ternaria
  • Setun , un ordenador ternario
• Lógica ternaria
• Ternario balanceado generalizado

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Ternario equilibrado .

• Desarrollo de ordenadores ternarios en la Universidad Estatal de Moscú
• Representación de números fraccionarios en ternarios balanceados
• Sistemas de numeración de tercera base, ternarios y ternarios balanceados
• Sistema de numeración ternario equilibrado (incluye convertidor de números enteros decimales a ternarios equilibrados)
• Secuencia OEIS A182929 (El triángulo binomial reducido a listas ternarias balanceadas)
• Notación ternaria equilibrada (con signo) Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine por Brian J. Shelburne (archivo PDF)
• La máquina calculadora ternaria de Thomas Fowler por Mark Glusker