Lógica de tres valores

Sistema que incluye un valor indeterminado

En lógica , una lógica trivalente (también lógica trinaria , trivalente , ternaria o trileana , ^[1] a veces abreviada como 3VL ) es cualquiera de varios sistemas lógicos polivalentes en los que hay tres valores de verdad que indican verdadero , falso y algún tercer valor. Esto contrasta con las lógicas bivalentes más conocidas (como la lógica oracional clásica o la lógica booleana ) que solo prevén verdadero y falso .

Se le atribuye a Emil Leon Post la introducción de grados de verdad lógica adicionales en su teoría de proposiciones elementales de 1921. ^[2] La forma conceptual y las ideas básicas de la lógica trivalente fueron publicadas inicialmente por Jan Łukasiewicz y Clarence Irving Lewis . Posteriormente, Grigore Constantin Moisil las reformuló en una forma algebraica axiomática y las amplió a las lógicas trivalentes en 1945.

Pre-descubrimiento

En 1910, Charles Sanders Peirce definió un sistema lógico de múltiples valores . Nunca lo publicó. De hecho, ni siquiera numeró las tres páginas de notas donde definió sus operadores de tres valores. ^[3] Peirce rechazó rotundamente la idea de que todas las proposiciones deben ser verdaderas o falsas; las proposiciones límite, escribe, están "en el límite entre P y no P". ^[4] Sin embargo, tan seguro como estaba de que "la lógica triádica es universalmente verdadera", ^[5] también anotó que "todo esto está muy cerca del sinsentido". ^[6] Solo en 1966, cuando Max Fisch y Atwell Turquette comenzaron a publicar lo que redescubrieron en sus manuscritos inéditos, las ideas triádicas de Peirce se hicieron ampliamente conocidas. ^[7]

Motivación

En términos generales, la principal motivación para la investigación de la lógica de tres valores es representar el valor de verdad de una afirmación que no se puede representar como verdadera o falsa. ^[8] Łukasiewicz desarrolló inicialmente la lógica de tres valores para el problema de los contingentes futuros para representar el valor de verdad de las afirmaciones sobre el futuro indeterminado. ^[9]^[10]^[11] Bruno de Finetti utilizó un tercer valor para representar cuando "un individuo dado no sabe la respuesta [correcta], al menos en un momento dado". ^[12]^[8] Hilary Putnam lo utilizó para representar valores que no se pueden decidir físicamente: ^[13]

Por ejemplo, si hemos verificado (mediante el uso de un velocímetro) que la velocidad de un automóvil es tal o cual, podría ser imposible en un mundo así verificar o refutar ciertas afirmaciones sobre su posición en ese momento. Si sabemos por referencia a una ley física junto con ciertos datos observacionales que una afirmación sobre la posición de un automóvil nunca puede ser refutada o verificada, entonces puede haber algún sentido en no considerar la afirmación como verdadera o falsa, sino considerarla como "intermedia". Es sólo porque, en la experiencia macrocósmica, todo lo que consideramos una afirmación empíricamente significativa parece ser al menos potencialmente verificable o refutable que preferimos la convención según la cual decimos que cada afirmación de ese tipo es verdadera o falsa, pero en muchos casos no sabemos cuál.

De manera similar, Stephen Cole Kleene utilizó un tercer valor para representar predicados que son "indecidibles por [ningún] algoritmo, ya sea verdadero o falso" ^[14]^[8]

Representación de valores

Al igual que con la lógica bivalente, los valores de verdad en la lógica ternaria pueden representarse numéricamente mediante diversas representaciones del sistema de numeración ternario . Algunos de los ejemplos más comunes son:

En el sistema ternario balanceado , cada dígito tiene uno de tres valores: −1, 0 o +1; estos valores también pueden simplificarse a −, 0, +, respectivamente; ^[15]
En la representación binaria redundante , cada dígito puede tener un valor de −1, 0, 0/1 (el valor 0/1 tiene dos representaciones diferentes);
en el sistema de numeración ternario , cada dígito es un trit (dígito trinario) que tiene un valor de: 0, 1 o 2;
en el sistema numérico binario sesgado , solo el dígito menos significativo distinto de cero puede tener un valor de 2, y los dígitos restantes tienen un valor de 0 o 1;
1 para verdadero , 2 para falso y 0 para desconocido , incognoscible / indecidible , irrelevante o ambos ; ^[16]
0 para falso , 1 para verdadero y un tercer símbolo "tal vez" no entero como ?, #, ½, ^[17] o xy.

Dentro de una computadora ternaria , los valores ternarios están representados por señales ternarias .

Este artículo ilustra principalmente un sistema de lógica proposicional ternaria utilizando los valores de verdad {falso, desconocido, verdadero} y extiende los conectivos booleanos convencionales a un contexto trivalente.

Lógica

La lógica booleana permite 2 ² = 4 operadores unarios ; la adición de un tercer valor en la lógica ternaria conduce a un total de 3 ³ = 27 operadores distintos en un solo valor de entrada. (Esto se puede aclarar considerando todas las posibles tablas de verdad para un operador unario arbitrario. Dados 2 posibles valores TF de la única entrada booleana, hay cuatro patrones diferentes de salida TT, TF, FT, FF resultantes de los siguientes operadores unarios que actúan sobre cada valor: siempre T, Identidad, NOT, siempre F. Dados tres posibles valores de una variable ternaria, cada uno por tres posibles resultados de una operación unaria, hay 27 patrones de salida diferentes: TTT, TTU, TTF, TUT, TUU, TUF, TFT, TFU, TFF, UTT, UTU, UTF, UUT, UUU, UUF, UFT, UFU, UFF, FTT, FTU, FTF, FUT, FUU, FUF, FFT, FFU y FFF.) De manera similar, donde la lógica booleana tiene 2 ^2×2 = 16 operadores binarios distintos (operadores con 2 entradas) posibles, la lógica ternaria tiene 3 ^3×3 = 19.683 operadores de este tipo. Cuando se pueden nombrar los operadores booleanos no triviales ( AND , NAND , OR , NOR , XOR , XNOR ( equivalencia ) y 4 variantes de implicación o desigualdad), con seis operadores triviales considerando solo entradas 0 o 1, no es razonable intentar nombrar todos menos una pequeña fracción de los posibles operadores ternarios. ^[18] Al igual que en la lógica bivalente, donde no todos los operadores reciben nombres y se utilizan subconjuntos de operadores funcionalmente completos , puede haber conjuntos funcionalmente completos de operadores con valores ternarios.

Lógica de Kleene y Priest

A continuación se muestra un conjunto de tablas de verdad que muestran las operaciones lógicas para la "lógica fuerte de indeterminación" de Stephen Cole Kleene y la "lógica de la paradoja" de Graham Priest .

(F, falso; U, desconocido; V, verdadero)

NO(A)
A	¬Un
F	yo
tú	tú
yo	F

Y(A, B)
A ∧ B		B
A ∧ B		F	tú	yo
A	F	F	F	F
	tú	F	tú	tú
	yo	F	tú	yo

O(A, B)
A ∨ B		B
A ∨ B		F	tú	yo
A	F	F	tú	yo
	tú	tú	tú	yo
	yo	yo	yo	yo

O(XOR(A, B))
A ⊕ B		B
A ⊕ B		F	tú	yo
A	F	F	tú	yo
	tú	tú	tú	tú
	yo	yo	tú	F

(−1, falso; 0, desconocido; +1, verdadero)

Negativo(A)
A	¬Un
-1	+1
0	0
+1	-1

MÍN (A, B)
A ∧ B		B
A ∧ B		-1	0	+1
A	-1	-1	-1	-1
	0	-1	0	0
	+1	-1	0	+1

MÁXIMO(A, B)
A ∨ B		B
A ∨ B		-1	0	+1
A	-1	-1	0	+1
	0	0	0	+1
	+1	+1	+1	+1

MÍN (MÁX (A, B), NEG (MÍN (A, B)))
A ⊕ B		B
A ⊕ B		-1	+1
A	-1	-1	+1
	0	0	0
	+1	+1	-1

Si los valores de verdad 1, 0 y -1 se interpretan como números enteros, estas operaciones se pueden expresar con las operaciones aritméticas ordinarias (donde x + y usa suma, xy usa multiplicación y x ² usa exponenciación) o mediante las funciones mínimo/máximo:

{\begin{aligned}x\wedge y&={\frac {1}{2}}(x+y-x^{2}-y^{2}+xy+x^{2}y^{2})=\min(x,y)\\x\vee y&={\frac {1}{2}}(x+y+x^{2}+y^{2}-xy-x^{2}y^{2})=\max(x,y)\\\neg x&=-x\end{aligned}}

En estas tablas de verdad, el estado desconocido puede considerarse ni verdadero ni falso en la lógica de Kleene, o bien verdadero y falso en la lógica de Priest. La diferencia radica en la definición de tautologías. Mientras que el único valor de verdad designado en la lógica de Kleene es T, los valores de verdad designados en la lógica de Priest son tanto T como U. En la lógica de Kleene, no se sabe si un estado desconocido particular representa en secreto verdadero o falso en cualquier momento. Sin embargo, ciertas operaciones lógicas pueden producir un resultado inequívoco, incluso si implican un operando desconocido . Por ejemplo, como verdadero O verdadero es igual a verdadero , y verdadero O falso también es igual a verdadero , entonces verdadero O desconocido también es igual a verdadero . En este ejemplo, como cualquiera de los dos estados bivalentes podría estar subyacente al estado desconocido , y cualquiera de los dos estados también produce el mismo resultado, en los tres casos se obtiene verdadero .

Si se asignan valores numéricos, por ejemplo valores ternarios equilibrados , a falso , desconocido y verdadero de modo que falso es menor que desconocido y desconocido es menor que verdadero , entonces A Y B Y C... = MÍN(A, B, C...) y A O B O C... = MÁX(A, B, C...).

La implicación material para la lógica de Kleene se puede definir como:

$A\rightarrow B\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\mbox{OR}}(\ {\mbox{NOT}}(A),\ B)$ , y su tabla de verdad es

IMP _K (A, B), O (¬A, B)
A → B		B
A → B		F	tú	yo
A	F	yo	yo	yo
	tú	tú	tú	yo
	yo	F	tú	yo

IMP _K (A, B), MÁX (−A, B)
A → B		B
A → B		-1	0	+1
A	-1	+1	+1	+1
	0	0	0	+1
	+1	-1	0	+1

que difiere de la lógica de Łukasiewicz (descrita a continuación).

La lógica de Kleene no tiene tautologías (fórmulas válidas) porque siempre que a todos los componentes atómicos de una fórmula bien formada se les asigna el valor Desconocido, la fórmula misma también debe tener el valor Desconocido. (Y el único valor de verdad designado para la lógica de Kleene es Verdadero). Sin embargo, la falta de fórmulas válidas no significa que carezca de argumentos válidos y/o reglas de inferencia. Un argumento es semánticamente válido en la lógica de Kleene si, siempre que (para cualquier interpretación/modelo) todas sus premisas sean Verdaderas, la conclusión también debe ser Verdadera. (La lógica de la paradoja (LP) tiene las mismas tablas de verdad que la lógica de Kleene, pero tiene dos valores de verdad designados en lugar de uno; estos son: Verdadero y Ambos (el análogo de Desconocido), de modo que la LP tiene tautologías pero tiene menos reglas de inferencia válidas). ^[19]

Lógica de Łukasiewicz

La lógica de Łukasiewicz Ł3 tiene las mismas tablas para AND, OR y NOT que la lógica de Kleene dada anteriormente, pero difiere en su definición de implicación en que "lo desconocido implica lo desconocido" es verdadero . Esta sección sigue la presentación del capítulo de Malinowski del Handbook of the History of Logic , vol. 8. ^[20]

La implicación material para la tabla de verdad de la lógica de Łukasiewicz es

IMP _L (A, B)
A → B		B
A → B		F	tú	yo
A	F	yo	yo	yo
	tú	tú	yo	yo
	yo	F	tú	yo

IMP _Ł (A, B), MIN(1, 1−A+B)
A → B		B
A → B		-1	0	+1
A	-1	+1	+1	+1
	0	0	+1	+1
	+1	-1	0	+1

De hecho, utilizando la implicación y negación de Łukasiewicz, los otros conectivos usuales pueden derivarse como:

$A \lor B = (A \to B) \to B$
$A \land B = \neg(\neg A \lor \neg B)$
$A \Leftrightarrow B = (A \to B) \land (B \to A)$

También es posible derivar algunos otros operadores unarios útiles (derivados por primera vez por Tarski en 1921): ^{[ cita requerida ]}

$MA = \neg A \to A$
$L A = \neg M \neg A$
$Yo = MA \land \neg LA $

Tienen las siguientes tablas de verdad:

$A$	$MAMÁ $
F	F
tú	yo
yo	yo

$A$	$LA $
F	F
tú	F
yo	yo

$A$	$Yo un$
F	F
tú	yo
yo	F

M se lee como "no es falso que..." o en el intento (fallido) de Tarski-Łukasiewicz de axiomatizar la lógica modal usando una lógica de tres valores, "es posible que...". L se lee "es cierto que..." o "es necesario que...". Finalmente, I se lee "se desconoce que..." o "es contingente que...".

En la teoría Ł3 de Łukasiewicz, el valor designado es Verdadero, lo que significa que solo una proposición que tenga este valor en todas partes se considera una tautología . Por ejemplo, $A \to A$ y $A \leftrightarrow A$ son tautologías en Ł3 y también en lógica clásica. No todas las tautologías de la lógica clásica se elevan a Ł3 "tal cual". Por ejemplo, la ley del tercero excluido , $A \lor \neg A$ , y la ley de no contradicción , $\neg(A \land \neg A)$ no son tautologías en Ł3. Sin embargo, utilizando el operador $que$ definí anteriormente, es posible enunciar tautologías que son sus análogas:

$A \lor I A \lor \neg A$ ( ley de la cuarta excluida )
$\neg(A \land \neg I A \land \neg A)$ (principio de contradicción extendido).

Lógica RM3

La tabla de verdad para la implicación material de R-mingle 3 (RM3) es

IMP _RM3 (A, B)
A → B		B
A → B		F	tú	yo
A	F	yo	yo	yo
	tú	F	tú	yo
	yo	F	F	yo

Una característica definitoria de RM3 es la falta del axioma de debilitamiento:

$(A \to (B \to A))$

que, por adyacencia, es equivalente a la proyección del producto:

$(A \otimes B) \to A$

RM3 es una categoría cerrada monoidal simétrica no cartesiana; el producto, que es adjunto por la izquierda de la implicación, carece de proyecciones válidas y tiene $a U$ como identidad monoide. Esta lógica es equivalente a una lógica paraconsistente "ideal" que también obedece a la contrapositiva.

Lógica HT

La lógica de aquí y allá ( HT , también conocida como lógica de Smetanov SmT o como lógica de Gödel G3), introducida por Heyting en 1930 ^[21] como modelo para estudiar la lógica intuicionista , es una lógica intermedia de tres valores donde el tercer valor de verdad NF (no falso) tiene la semántica de una proposición que puede probarse intuicionistamente que no es falsa, pero no tiene una prueba intuicionista de corrección.

(F, falso; NF, no falso; V, verdadero)

NO _HT (A)
A	¬Un
F	yo
NF	F
yo	F

IMP _ALTA (A, B)
A → B		B
A → B		F	NF	yo
A	F	yo	yo	yo
	NF	F	yo	yo
	yo	F	NF	yo

Puede definirse añadiendo uno de los dos axiomas equivalentes (¬ q → p ) → ((( p → q ) → p ) → p ) o equivalentemente p ∨(¬ q )∨( p → q ) a los axiomas de la lógica intuicionista , o mediante tablas de verdad explícitas para sus operaciones. En particular, la conjunción y la disyunción son las mismas que para la lógica de Kleene y Łukasiewicz, mientras que la negación es diferente.

La lógica HT es la única lógica intermedia en el entramado de lógicas intermedias. En este sentido, puede considerarse la segunda lógica intermedia más fuerte después de la lógica clásica.

Lógica de Bochvar

Esta lógica también se conoce como una forma débil de la lógica de tres valores de Kleene.

Lógica de post ternaria

no(a) = (a + 1) mod 3, o

not(a) = (a + 1) mod (n), donde (n) es el valor de una función lógica

Álgebras modulares

Más recientemente se han introducido algunas aritméticas modulares 3VL , motivadas más por problemas de circuitos que por cuestiones filosóficas: ^[22]

Álgebra de Cohn
Álgebra de Pradhan
Dubrova ^[23] y álgebra de Muzio

Aplicaciones

SQL

El lenguaje de consulta de bases de datos SQL implementa lógica ternaria como un medio para manejar comparaciones con contenido de campos NULL . SQL utiliza un fragmento común de la lógica Kleene K3, restringida a las tablas AND, OR y NOT.

Véase también

Lógica binaria (desambiguación)
Álgebra de Boole (estructura)
Función booleana
Circuito digital
Lógica de cuatro valores
Homogeneidad (lingüística)
Lógica paraconsistente § Una lógica paraconsistente ideal de tres valores
Setun : una computadora experimental rusa que se basaba en la lógica ternaria
Vinculación de Strawson
Sistema de numeración ternario (y ternario equilibrado )
Lógica de tres estados ( buffer triestado )
El mundo de Null-A

Referencias

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Lectura adicional

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[de_Finetti-12] Finetti, Bruno (1 de enero de 1995). "La lógica de la probabilidad (traducida)". Estudios filosóficos . 77 (1): 181–190. doi :10.1007/BF00996317. Pero hay una segunda manera posible de concebir las lógicas polivalentes: que si bien una proposición, en sí misma, puede tener sólo dos valores, verdadero o falso, es decir, dos respuestas, sí o no, puede suceder que un individuo dado no conozca la respuesta [correcta], al menos en un momento dado; por lo tanto, para el individuo existe una tercera actitud posible hacia una proposición. Esta tercera actitud no corresponde a un tercer valor distinto de sí o de no, sino simplemente a una duda entre sí o no.

[Putnam-13] Putnam, Hilary (1 de octubre de 1957). "Three-valued logic". Philosophical Studies . 8 (5): 73–80. doi :10.1007/BF02304905. Sin embargo, no es cierto que 'medio' signifique "ni verificado ni refutado en el momento presente". Como hemos visto, 'verificado' y 'refutado' son predicados epistémicos -es decir, son relativos a la evidencia en un momento particular- mientras que 'medio', como 'verdadero' y 'falso', no es relativo a la evidencia.

[Kleene-14] Kleene, Stephen Cole (1952). Introducción a las metamatemáticas . North-Holland Publishing Co., Amsterdam, y P. Noordhoff, Groningen. p. 336. La lógica fuerte de 3 valores se puede aplicar a predicados completamente definidos Q(x) y R(x), a partir de los cuales se forman predicados compuestos usando ̅, V, &, ->, ≡ en los significados habituales de 2 valores, por lo tanto, (iii) Supongamos que hay algoritmos fijos que deciden la verdad o falsedad de Q(x) y de R(x), cada uno en un subconjunto de los números naturales (como ocurre, por ejemplo, después de completar las definiciones de dos predicados recursivos parciales de manera clásica). (iv) Supóngase que t, f, u significan 'decidible por los algoritmos (es decir, mediante el uso de solo la información sobre Q(x) y R(x) que puede obtenerse por los algoritmos) como verdadera', 'decidible por los algoritmos como falsa', 'indecidible por los algoritmos si es verdadera o falsa'. (iv) Supóngase que hay un estado fijo de conocimiento sobre Q(x) y R(x) (como ocurre, por ejemplo, después de seguir algoritmos para cada una de ellas hasta una etapa dada). Supóngase que t, f, u significan 'se sabe que es verdadera', 'se sabe que es falsa', 'se desconoce si es verdadera o falsa'.

[15] Knuth, Donald E. (1981). El arte de la programación informática, vol. 2. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company. pág. 190.

[16] Hayes, Brian (noviembre-diciembre de 2001). «Third base» (PDF) . American Scientist . 89 (6). Sigma Xi , Scientific Research Society: 490–494. doi :10.1511/2001.40.3268. Archivado (PDF) desde el original el 30 de octubre de 2019. Consultado el 12 de abril de 2020 .

[17] Nelson, David (2008). The Penguin Dictionary of Mathematics. Cuarta edición. Londres, Inglaterra: Penguin Books. Entrada para "lógica trivalente". ISBN 9780141920870.

[18] Douglas W. Jones, Lógica ternaria estándar, 11 de febrero de 2013.

[19] "Más allá de la lógica proposicional"

[20] Grzegorz Malinowski, "La lógica polivalente y su filosofía" en Dov M. Gabbay, John Woods (eds.) Manual de historia de la lógica Volumen 8. El giro polivalente y no monotónico en la lógica , Elsevier, 2009

[21] Heyting (1930). "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik". Sentarse. Berlín . 42–56.

[22] Miller, D. Michael; Thornton, Mitchell A. (2008). Lógica de valores múltiples: conceptos y representaciones . Lecciones de síntesis sobre circuitos y sistemas digitales. Vol. 12. Morgan & Claypool Publishers. Págs. 41–42. ISBN 978-1-59829-190-2.

[23] Dubrova, Elena (2002). Síntesis y optimización de lógica de valores múltiples, en Hassoun S. y Sasao T., editores, Síntesis y verificación lógica , Kluwer Academic Publishers, págs. 89-114