Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)

En dinámica de fluidos , las ecuaciones de Euler son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que rigen el flujo adiabático y no viscoso . Reciben su nombre de Leonhard Euler . En particular, corresponden a las ecuaciones de Navier-Stokes con viscosidad cero y conductividad térmica cero . ^[1]

Las ecuaciones de Euler se pueden aplicar a flujos incompresibles y compresibles . Las ecuaciones de Euler incompresibles consisten en ecuaciones de Cauchy para la conservación de la masa y el equilibrio del momento, junto con la condición de incompresibilidad de que la velocidad del flujo es un campo solenoidal . Las ecuaciones de Euler compresibles consisten en ecuaciones para la conservación de la masa, el equilibrio del momento y el equilibrio de la energía, junto con una ecuación constitutiva adecuada para la densidad de energía específica del fluido. Históricamente, Euler solo derivó las ecuaciones de conservación de la masa y el equilibrio del momento. Sin embargo, la literatura sobre dinámica de fluidos a menudo se refiere al conjunto completo de ecuaciones de Euler compresibles, incluida la ecuación de la energía, como "las ecuaciones de Euler compresibles". ^[2]

Las características matemáticas de las ecuaciones de Euler incompresibles y compresibles son bastante diferentes. Para una densidad de fluido constante, las ecuaciones incompresibles pueden escribirse como una ecuación de advección cuasilineal para la velocidad del fluido junto con una ecuación de Poisson elíptica para la presión. Por otro lado, las ecuaciones de Euler compresibles forman un sistema hiperbólico cuasilineal de ecuaciones de conservación .

Las ecuaciones de Euler pueden formularse en una "forma convectiva" (también llamada " forma lagrangiana ") o en una "forma de conservación" (también llamada " forma euleriana "). La forma convectiva enfatiza los cambios de estado en un marco de referencia que se mueve con el fluido. La forma de conservación enfatiza la interpretación matemática de las ecuaciones como ecuaciones de conservación para un volumen de control fijo en el espacio (lo cual es útil desde un punto de vista numérico).

Las ecuaciones de Euler aparecieron por primera vez en forma publicada en el artículo de Euler "Principes généraux du mouvement des fluides", publicado en Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin en 1757 ^[3] (aunque Euler ya había presentado su trabajo en la Academia de Berlín en 1752). ^[4] Los trabajos anteriores incluían contribuciones de la familia Bernoulli , así como de Jean le Rond d'Alembert . ^[5]

Las ecuaciones de Euler estuvieron entre las primeras ecuaciones diferenciales parciales que se escribieron, después de la ecuación de onda . En el trabajo original de Euler, el sistema de ecuaciones consistía en las ecuaciones de momento y continuidad, y por lo tanto estaba subdeterminado excepto en el caso de un flujo incompresible. Pierre-Simon Laplace propuso una ecuación adicional, llamada condición adiabática , en 1816.

Durante la segunda mitad del siglo XIX, se descubrió que la ecuación relacionada con el balance de energía debe mantenerse en todo momento para flujos compresibles, y la condición adiabática es una consecuencia de las leyes fundamentales en el caso de soluciones suaves. Con el descubrimiento de la teoría especial de la relatividad , los conceptos de densidad de energía, densidad de momento y tensión se unificaron en el concepto de tensor de tensión-energía , y la energía y el momento se unificaron asimismo en un solo concepto, el vector de energía-momento . ^[4]

En forma convectiva (es decir, la forma con el operador convectivo hecho explícito en la ecuación del momento ), las ecuaciones de Euler incompresibles en caso de densidad constante en el tiempo y uniforme en el espacio son: ^[6]

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {u}}$es el vector de velocidad de flujo , con componentes en un espacio N -dimensional ,${\ Displaystyle u_ {1}, u_ {2}, \ puntos, u_ {N}}$
• ${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\Phi }}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\Phi }}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla {\boldsymbol {\Phi }}}$, para una función (o campo) genérico denota su derivada material en el tiempo con respecto al campo advectivo y${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$${\displaystyle \mathbf {v}}$
• ${\displaystyle \nabla w}$es el gradiente del trabajo termodinámico específico (con el sentido de por unidad de masa ) , el término de fuente interna , y
• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$es la divergencia de la velocidad del flujo .
• ${\displaystyle \mathbf {g}}$representa aceleraciones corporales (por unidad de masa) que actúan sobre el continuo, por ejemplo , la gravedad , las aceleraciones inerciales, la aceleración del campo eléctrico , etc.

La primera ecuación es la ecuación de Euler del momento con densidad uniforme (para esta ecuación también podría no ser constante en el tiempo). Al desarrollar la derivada material , las ecuaciones se convierten en:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} &=-\nabla w+\mathbf {g } ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0.\end{aligned}}}$$

De hecho, para un flujo con densidad uniforme se cumple la siguiente identidad: donde es la presión mecánica . La segunda ecuación es la restricción incompresible , que establece que la velocidad del flujo es un campo solenoidal (el orden de las ecuaciones no es causal, pero subraya el hecho de que la restricción incompresible no es una forma degenerada de la ecuación de continuidad , sino más bien de la ecuación de energía, como se aclarará a continuación). Cabe destacar que la ecuación de continuidad también sería necesaria en este caso incompresible como una tercera ecuación adicional en caso de que la densidad varíe en el tiempo o varíe en el espacio. Por ejemplo, con una densidad no uniforme en el espacio pero constante en el tiempo, la ecuación de continuidad que se añadiría al conjunto anterior correspondería a:${\displaystyle \rho_{0}}$$${\displaystyle \nabla w\equiv \nabla \left({\frac {p}{\rho _{0}}}\right)={\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p,}$$${\estilo de visualización p}$$${\displaystyle {\frac {\parcial \rho }{\parcial t}}=0.}$$

Así, el caso de densidad constante y uniforme es el único que no requiere la ecuación de continuidad como ecuación adicional, independientemente de la presencia o ausencia de la restricción de incompresibilidad. De hecho, el caso de ecuaciones de Euler incompresibles con densidad constante y uniforme que se analiza aquí es un modelo de juguete que presenta solo dos ecuaciones simplificadas, por lo que es ideal para fines didácticos, aunque tenga una relevancia física limitada.

Las ecuaciones anteriores representan respectivamente la conservación de la masa (1 ecuación escalar) y del momento (1 ecuación vectorial que contiene componentes escalares, donde es la dimensión física del espacio de interés). La velocidad y la presión del flujo son las denominadas variables físicas . ^[1]${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización N}$

En un sistema de coordenadas dado por los vectores de velocidad y fuerza externa y tienen componentes y , respectivamente. Entonces las ecuaciones pueden expresarse en notación de subíndice como:${\displaystyle \left(x_{1},\puntos ,x_{N}\right)}$${\displaystyle \mathbf {u}}$${\displaystyle \mathbf {g}}$${\displaystyle (u_{1},\puntos ,u_{N})}$${\displaystyle \left(g_{1},\puntos ,g_{N}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u_{i} \over \partial t}+\sum _{j=1}^{N}{\partial \left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right) \over \partial x_{j}}&=g_{i},\\\sum _{i=1}^{N}{\partial u_{i} \over \partial x_{i}}&=0.\end{aligned}}}$$

donde los subíndices y etiquetan los componentes del espacio N -dimensional, y es el delta de Kroenecker . El uso de la notación de Einstein (donde la suma está implícita por índices repetidos en lugar de la notación sigma ) también es frecuente.${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

Aunque Euler presentó por primera vez estas ecuaciones en 1755, muchas preguntas o conceptos fundamentales sobre ellas siguen sin respuesta.

En tres dimensiones espaciales, en ciertos escenarios simplificados, las ecuaciones de Euler producen singularidades. ^[7]

Las soluciones suaves de las ecuaciones libres (en el sentido de sin término fuente: g=0) satisfacen la conservación de la energía cinética específica:$${\displaystyle {\partial \over \partial t}\left({\frac {1}{2}}u^{2}\right)+\nabla \cdot \left(u^{2}\mathbf {u} +w\mathbf {u} \right)=0.}$$

En el caso unidimensional sin el término fuente (tanto gradiente de presión como fuerza externa), la ecuación del momento se convierte en la ecuación de Burgers no viscosa :$${\displaystyle {\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}=0.}$$

Esta ecuación modelo proporciona muchas ideas sobre las ecuaciones de Euler.

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Para que las ecuaciones sean adimensionales, es necesario definir una longitud característica y una velocidad característica . Estas deben elegirse de modo que las variables adimensionales sean todas de orden uno. De este modo, se obtienen las siguientes variables adimensionales: y del vector unitario de campo :${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle u_{0}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}},&r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\\[5pt]t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,&p^{*}&\equiv {\frac {w}{u_{0}^{2}}},\\[5pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla .\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {g} }}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g}}.}$$

La sustitución de estas relaciones inversas en las ecuaciones de Euler, que definen el número de Froude , da como resultado (omitiendo el * en apix):

Las ecuaciones de Euler en el límite de Froude (sin campo externo) se denominan ecuaciones libres y son conservativas. El límite de números de Froude altos (campo externo bajo) es, por lo tanto, notable y se puede estudiar con la teoría de perturbaciones .

La forma conservada enfatiza las propiedades matemáticas de las ecuaciones de Euler, y especialmente la forma contraída es a menudo la más conveniente para las simulaciones computacionales de dinámica de fluidos . Desde el punto de vista computacional, existen algunas ventajas en el uso de las variables conservadas. Esto da lugar a una gran clase de métodos numéricos llamados métodos conservadores. ^[1]

Las ecuaciones de Euler libres son conservativas , en el sentido de que son equivalentes a una ecuación de conservación: o simplemente en notación de Einstein: donde la cantidad de conservación en este caso es un vector, y es una matriz de flujo . Esto se puede demostrar de forma sencilla.$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} ={\mathbf {0} },}$$$${\displaystyle {\frac {\partial y_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial f_{ij}}{\partial r_{i}}}=0_{i},}$$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

Por último, las ecuaciones de Euler pueden reformularse en la ecuación particular:

Para ciertos problemas, especialmente cuando se utilizan para analizar el flujo compresible en un conducto o en caso de que el flujo sea cilíndrica o esféricamente simétrico, las ecuaciones de Euler unidimensionales son una primera aproximación útil. Generalmente, las ecuaciones de Euler se resuelven mediante el método de características de Riemann . Esto implica encontrar curvas en el plano de variables independientes (es decir, y ) a lo largo de las cuales las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) degeneran en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Las soluciones numéricas de las ecuaciones de Euler dependen en gran medida del método de características.${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

En forma convectiva las ecuaciones de Euler incompresibles en caso de densidad variable en el espacio son: ^[6]

donde las variables adicionales son:

• ${\displaystyle \rho }$es la densidad de masa del fluido ,
• ${\displaystyle p}$es la presión , .${\displaystyle p=\rho w}$

La primera ecuación, que es la nueva, es la ecuación de continuidad incompresible . En realidad la ecuación general de continuidad sería:$${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$$

pero aquí el último término es idénticamente cero para la restricción de incompresibilidad.

Las ecuaciones de Euler incompresibles en el límite de Froude son equivalentes a una única ecuación de conservación con cantidad conservada y flujo asociado respectivamente:$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$$

Aquí tiene longitud y tiene tamaño . ^[a] En general (no sólo en el límite de Froude) las ecuaciones de Euler se pueden expresar como:${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle N+2}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle (N+2)N}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\rho \mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}.}$$

Las variables para las ecuaciones en forma de conservación aún no están optimizadas. De hecho, podríamos definir: donde es la densidad de momento , una variable de conservación.$${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$

donde es la densidad de fuerza , una variable de conservación.${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$

En forma convectiva diferencial, las ecuaciones de Euler compresibles (y más generales) se pueden escribir brevemente con la notación de derivada material :

donde las variables adicionales aquí son:

• ${\displaystyle e}$es la energía interna específica (energía interna por unidad de masa).

Las ecuaciones anteriores representan, por tanto, la conservación de la masa , el momento y la energía : la ecuación de la energía expresada en la variable energía interna permite entender la relación con el caso incompresible, pero no está en la forma más simple. La densidad de masa, la velocidad del flujo y la presión son las llamadas variables convectivas (o variables físicas, o variables lagrangianas), mientras que la densidad de masa, la densidad del momento y la densidad de energía total son las llamadas variables conservadas (también llamadas variables eulerianas o matemáticas). ^[1]

Si se desarrolla la derivada material las ecuaciones anteriores son:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\\[1.2ex]{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}&=\mathbf {g} ,\\[1.2ex]{\partial e \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla e+{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0.\end{aligned}}}$$

Volviendo al caso incompresible, ahora resulta evidente que la restricción incompresible típica de los casos anteriores es en realidad una forma particular válida para flujos incompresibles de la ecuación de energía y no de la ecuación de masa. En particular, la restricción incompresible corresponde a la siguiente ecuación de energía muy simple:$${\displaystyle {\frac {De}{Dt}}=0.}$$

Así, para un fluido incompresible no viscoso, la energía interna específica es constante a lo largo de las líneas de flujo , también en un flujo dependiente del tiempo. La presión en un flujo incompresible actúa como un multiplicador de Lagrange , siendo el multiplicador de la restricción incompresible en la ecuación de energía, y en consecuencia en flujos incompresibles no tiene significado termodinámico. De hecho, la termodinámica es típica de los flujos compresibles y degenera en flujos incompresibles. ^[8]

Basándonos en la ecuación de conservación de masa, se puede poner esta ecuación en forma de conservación: lo que significa que para un flujo no viscoso, incompresible y no conductor, se cumple una ecuación de continuidad para la energía interna.$${\displaystyle {\partial \rho e \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho e\mathbf {u} )=0,}$$

Ya que por definición la entalpía específica es:$${\displaystyle h=e+{\frac {p}{\rho }}.}$$

La derivada material de la energía interna específica se puede expresar como:$${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left({Dp \over Dt}-{\frac {p}{\rho }}{D\rho \over Dt}\right).}$$

Luego, sustituyendo la ecuación del momento en esta expresión, se obtiene:$${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left(p\nabla \cdot \mathbf {u} +{Dp \over Dt}\right).}$$

Y sustituyendo este último en la ecuación de energía, se obtiene que la expresión de entalpía para la ecuación de energía de Euler: En un marco de referencia que se mueve con un flujo no viscoso y no conductor, la variación de la entalpía corresponde directamente a una variación de la presión.$${\displaystyle {Dh \over Dt}={\frac {1}{\rho }}{Dp \over Dt}.}$$

En termodinámica, las variables independientes son el volumen específico y la entropía específica , mientras que la energía específica es una función del estado de estas dos variables.

Para un fluido termodinámico, las ecuaciones de Euler compresibles se escriben mejor de la siguiente manera:

dónde:

• ${\displaystyle v}$es el volumen específico
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$es el vector de velocidad de flujo
• ${\displaystyle s}$es la entropía específica

En el caso general y no solo en el caso incompresible, la ecuación de energía significa que para un fluido termodinámico no viscoso la entropía específica es constante a lo largo de las líneas de flujo , también en un flujo dependiente del tiempo. Basándose en la ecuación de conservación de la masa, se puede poner esta ecuación en la forma de conservación: ^[9] lo que significa que para un flujo no viscoso no conductor se cumple una ecuación de continuidad para la entropía.$${\displaystyle {\partial \rho s \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0,}$$

Por otra parte, las dos derivadas parciales de segundo orden de la energía interna específica en la ecuación del momento requieren la especificación de la ecuación de estado fundamental del material considerado, es decir de la energía interna específica en función de las dos variables volumen específico y entropía específica:$${\displaystyle e=e(v,s).}$$

La ecuación de estado fundamental contiene toda la información termodinámica del sistema (Callen, 1985), ^[10] exactamente como el par de una ecuación de estado térmica junto con una ecuación de estado calórica .

Las ecuaciones de Euler en el límite de Froude son equivalentes a una única ecuación de conservación con cantidad conservada y flujo asociado respectivamente:$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^{t}+p\right){\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}},}$$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$es la densidad de momento , una variable de conservación.
• ${\textstyle E^{t}=\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$es la densidad total de energía (energía total por unidad de volumen).

Aquí tiene longitud N + 2 y tamaño N(N + 2). ^[b] En general (no solo en el límite de Froude) las ecuaciones de Euler se pueden expresar como:${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

donde es la densidad de fuerza , una variable de conservación.${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$

Observamos que también la ecuación de Euler, incluso cuando es conservativa (sin campo externo, límite de Froude), no tiene invariantes de Riemann en general. ^[11] Se requieren algunas suposiciones adicionales .

Sin embargo, ya mencionamos que para un fluido termodinámico la ecuación para la densidad de energía total es equivalente a la ecuación de conservación:$${\displaystyle {\partial \over \partial t}(\rho s)+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0.}$$

Entonces las ecuaciones de conservación en el caso de un fluido termodinámico se expresan de manera más simple como:

donde es la densidad de entropía, una variable de conservación termodinámica.${\displaystyle S=\rho s}$

Otra forma posible para la ecuación de energía, particularmente útil para isobáricas , es: donde es la densidad de entalpía total .$${\displaystyle {\frac {\partial H^{t}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(H^{t}\mathbf {u} \right)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} -{\frac {\partial p}{\partial t}},}$$${\textstyle H^{t}=E^{t}+p=\rho e+p+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$

La expansión de los flujos puede ser una parte importante de la construcción de solucionadores numéricos , por ejemplo, explotando soluciones ( aproximadas ) al problema de Riemann . En regiones donde el vector de estado y varía suavemente, las ecuaciones en forma conservativa se pueden poner en forma cuasilineal: donde se denominan jacobianos de flujo definidos como las matrices :$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{i}{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial r_{i}}}={\mathbf {0} }.}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}(\mathbf {y} )={\frac {\partial \mathbf {f} _{i}(\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {y} }}.}$$

Obviamente, este jacobiano no existe en regiones de discontinuidad (por ejemplo, discontinuidades de contacto, ondas de choque en flujos no viscosos no conductores). Si los jacobianos de flujo no son funciones del vector de estado , las ecuaciones revelan que son lineales .${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$

Las ecuaciones de Euler compresibles se pueden desacoplar en un conjunto de ecuaciones de onda N+2 que describen el sonido en el continuo euleriano si se expresan en variables características en lugar de variables conservadas.

De hecho, el tensor A es siempre diagonalizable . Si los valores propios (el caso de las ecuaciones de Euler) son todos reales, el sistema se define como hiperbólico , y físicamente los valores propios representan las velocidades de propagación de la información. ^[12] Si se distinguen todos, el sistema se define como estrictamente hiperbólico (se demostrará que es el caso de las ecuaciones de Euler unidimensionales). Además, la diagonalización de la ecuación de Euler compresible es más fácil cuando la ecuación de energía se expresa en la variable entropía (es decir, con ecuaciones para fluidos termodinámicos) que en otras variables de energía. Esto quedará claro al considerar el caso 1D.

Si es el vector propio derecho de la matriz correspondiente al valor propio , construyendo la matriz de proyección :${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$$${\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},...,\mathbf {p} _{n}\right].}$$

Finalmente podemos encontrar las variables características como:$${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} .}$$

Como A es constante, al multiplicar la ecuación 1-D original en forma jacobiana de flujo por P ⁻¹ se obtienen las ecuaciones características: ^[13]$${\displaystyle {\frac {\partial w_{i}}{\partial t}}+\lambda _{j}{\frac {\partial w_{i}}{\partial r_{j}}}=0_{i}.}$$

Las ecuaciones originales se han desacoplado en N+2 ecuaciones características, cada una de las cuales describe una onda simple, en la que los valores propios son las velocidades de onda. Las variables w _i se denominan variables características y son un subconjunto de las variables conservadoras. La solución del problema del valor inicial en términos de variables características es finalmente muy sencilla. En una dimensión espacial es:$${\displaystyle w_{i}(x,t)=w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right).}$$

Luego, la solución en términos de las variables conservadoras originales se obtiene transformando nuevamente: este cálculo se puede explicitar como la combinación lineal de los vectores propios:$${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {w} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (x,t)=\sum _{i=1}^{m}w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right)\mathbf {p} _{i}.}$$

Ahora resulta evidente que las variables características actúan como pesos en la combinación lineal de los vectores propios jacobianos. La solución puede verse como una superposición de ondas, cada una de las cuales se transporta independientemente sin cambio de forma. Cada onda i -ésima tiene forma w _i p _i y velocidad de propagación λ _i . A continuación mostramos un ejemplo muy simple de este procedimiento de solución.

Si se consideran las ecuaciones de Euler para un fluido termodinámico con los dos supuestos adicionales de una dimensión espacial y libre (sin campo externo: g  = 0):$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial v \over \partial t}+u{\partial v \over \partial x}-v{\partial u \over \partial x}&=0,\\[1.2ex]{\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}-e_{vv}v{\partial v \over \partial x}-e_{vs}v{\partial s \over \partial x}&=0,\\[1.2ex]{\partial s \over \partial t}+u{\partial s \over \partial x}&=0.\end{aligned}}}$$

Si se define el vector de variables: recordando que es el volumen específico, la velocidad del flujo, la entropía específica, la matriz jacobiana correspondiente es:$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}v\\u\\s\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\-e_{vv}v&u&-e_{vs}v\\0&0&u\end{pmatrix}}.}$$

Primero hay que encontrar los valores propios de esta matriz resolviendo la ecuación característica :$${\displaystyle \det(\mathbf {A} (\mathbf {y} )-\lambda (\mathbf {y} )\mathbf {I} )=0,}$$

Esto es explícitamente:$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v&0\\-e_{vv}v&u-\lambda &-e_{vs}v\\0&0&u-\lambda \end{bmatrix}}=0.}$$

Este determinante es muy simple: el cálculo más rápido comienza en la última fila, ya que tiene el mayor número de elementos cero.$${\displaystyle (u-\lambda )\det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v\\-e_{vv}v&u-\lambda \end{bmatrix}}=0.}$$

Ahora calculando el determinante 2×2: definiendo el parámetro: o equivalentemente en variables mecánicas, como:$${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-e_{vv}v^{2}\right)=0,}$$$${\displaystyle a(v,s)\equiv v{\sqrt {e_{vv}}},}$$$${\displaystyle a(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\partial p \over \partial \rho }}.}$$

Este parámetro es siempre real según la segunda ley de la termodinámica . De hecho, la segunda ley de la termodinámica puede expresarse mediante varios postulados. El más elemental de ellos en términos matemáticos es el enunciado de la convexidad de la ecuación de estado fundamental, es decir, la matriz hessiana de la energía específica expresada en función del volumen específico y de la entropía específica: se define positiva. Este enunciado corresponde a las dos condiciones:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}e_{vv}&e_{vs}\\e_{vs}&e_{ss}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}e_{vv}&>0\\[1.2ex]e_{vv}e_{ss}-e_{vs}^{2}&>0\end{aligned}}\right.}$$

La primera condición es la que garantiza que el parámetro a se defina como real.

La ecuación característica finalmente resulta:$${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-a^{2}\right)=0}$$

Esto tiene tres soluciones reales:$${\displaystyle \lambda _{1}(v,u,s)=u-a(v,s),\qquad \lambda _{2}(u)=u,\qquad \lambda _{3}(v,u,s)=u+a(v,s).}$$

Entonces la matriz tiene tres valores propios reales, todos distinguidos: las ecuaciones de Euler 1D son un sistema estrictamente hiperbólico.

En este punto se deben determinar los tres vectores propios: cada uno se obtiene sustituyendo un valor propio en la ecuación de valores propios y luego resolviéndola. Sustituyendo el primer valor propio λ ₁ se obtiene:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v&0\\-e_{vv}v&a&-e_{vs}v\\0&0&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\\s_{1}\end{pmatrix}}=0.}$$

Basándonos en la tercera ecuación que simplemente tiene solución s ₁ = 0, el sistema se reduce a:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v\\-a^{2}/v&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\end{pmatrix}}=0}$$

Las dos ecuaciones son redundantes como es habitual, por lo que el vector propio se define con una constante multiplicativa. Elegimos como vector propio derecho:$${\displaystyle \mathbf {p} _{1}={\begin{pmatrix}v\\a\\0\end{pmatrix}}.}$$

Los otros dos vectores propios se pueden encontrar con un procedimiento análogo como:$${\displaystyle \mathbf {p} _{2}={\begin{pmatrix}e_{vs}\\0\\-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {p} _{3}={\begin{pmatrix}v\\-a\\0\end{pmatrix}}.}$$

Luego la matriz de proyección se puede construir:$${\displaystyle \mathbf {P} (v,u,s)=(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},\mathbf {p} _{3})={\begin{pmatrix}v&e_{vs}&v\\a&0&-a\\0&-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}&0\end{pmatrix}}.}$$

Finalmente se hace evidente que el parámetro real a definido anteriormente es la velocidad de propagación de la información característica del sistema hiperbólico formado por ecuaciones de Euler, es decir, es la velocidad de onda . Queda por demostrar que la velocidad del sonido corresponde al caso particular de una transformación isentrópica :$${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}}.}$$

La velocidad del sonido se define como la velocidad de onda de una transformación isentrópica: por la definición de compresibilidad isoentrópica: la velocidad del sonido resulta siempre la raíz cuadrada de la relación entre la compresibilidad isentrópica y la densidad:$${\displaystyle a_{s}(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}},}$$$${\displaystyle K_{s}(\rho ,p)\equiv \rho \left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s},}$$$${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}}.}$$

La velocidad del sonido en un gas ideal depende únicamente de su temperatura:$${\displaystyle a_{s}(T)={\sqrt {\gamma {\frac {T}{m}}}}.}$$

Dado que la entalpía específica en un gas ideal es proporcional a su temperatura:

$${\displaystyle h=c_{p}T={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {T}{m}},}$$

La velocidad del sonido en un gas ideal también puede hacerse dependiente únicamente de su entalpía específica:

$${\displaystyle a_{s}(h)={\sqrt {(\gamma -1)h}}.}$$

El teorema de Bernoulli es una consecuencia directa de las ecuaciones de Euler.

La identidad del cálculo vectorial del producto vectorial de un rizo se cumple:

$${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\mathbf {v\cdot \nabla } \mathbf {F} \ ,}$$

donde se utiliza la notación de subíndice de Feynman , lo que significa que el gradiente subíndice opera solo en el factor .${\displaystyle \nabla _{F}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

Lamb, en su famoso libro clásico Hidrodinámica (1895), todavía impreso, utilizó esta identidad para cambiar el término convectivo de la velocidad del flujo en forma rotacional: ^[14]

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} ={\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} ,}$$

La ecuación del momento de Euler en forma de Lamb se convierte en:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)-\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+{\frac {\nabla p}{\rho }}.}$$

Ahora, basándonos en la otra identidad:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {\nabla p}{\rho }}-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho ,}$$

La ecuación del momento de Euler asume una forma que es óptima para demostrar el teorema de Bernoulli para flujos estables:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}\right)-\mathbf {g} =-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}.}$$

De hecho, en el caso de un campo conservativo externo , al definir su potencial φ:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}.}$$

En el caso de un flujo constante, la derivada temporal de la velocidad del flujo desaparece, por lo que la ecuación del momento se convierte en:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} ).}$$

Y al proyectar la ecuación del momento sobre la dirección del flujo, es decir a lo largo de una línea de corriente , el producto vectorial desaparece porque su resultado es siempre perpendicular a la velocidad:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho .}$$

En el caso incompresible estacionario la ecuación de masa es simplemente:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0,}$$Es decir, la conservación de la masa para un flujo incompresible estable establece que la densidad a lo largo de una línea de corriente es constante . Entonces, la ecuación de momento de Euler en el caso incompresible estable se convierte en:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0.}$$

Ahora resulta evidente la conveniencia de definir la altura total para un flujo de líquido no viscoso:

$${\displaystyle b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }},}$$

que puede escribirse simplemente como:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0.}$$

Es decir, el equilibrio de momento para un flujo constante no viscoso e incompresible en un campo conservativo externo establece que la altura total a lo largo de una línea de corriente es constante .

En el caso más general estable (compresible), la ecuación de masa en forma de conservación es:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =\rho \nabla \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0.}$$Por lo tanto, la expresión anterior es más bien

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

El lado derecho aparece en la ecuación de energía en forma convectiva, que en estado estacionario se lee:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla e=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

La ecuación energética por tanto queda así:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left(e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2}+\phi \right)=0,}$$

De modo que la energía interna específica ahora se concentra en la cabeza.

Como el potencial de campo externo suele ser pequeño en comparación con los otros términos, es conveniente agrupar estos últimos en la entalpía total :

$${\displaystyle h^{t}\equiv e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2},}$$

y el invariante de Bernoulli para un flujo de gas no viscoso es:

$${\displaystyle b_{g}\equiv h^{t}+\phi =b_{l}+e,}$$

que puede escribirse como:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{g}=0.}$$

Es decir, el balance de energía para un flujo no viscoso constante en un campo conservativo externo establece que la suma de la entalpía total y el potencial externo es constante a lo largo de una línea de corriente .

En el caso habitual de un campo potencial pequeño, simplemente:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}\sim 0.}$$

Sustituyendo el gradiente de presión por el gradiente de entropía y entalpía, según la primera ley de la termodinámica en la forma de entalpía:

$${\displaystyle v\nabla p=-T\nabla s+\nabla h,}$$

En la forma convectiva de la ecuación de momento de Euler, se llega a:

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=T\nabla \,s-\nabla \,h.}$$

Friedmann dedujo esta ecuación para el caso particular de un gas perfecto y la publicó en 1922. ^[15] Sin embargo, esta ecuación es general para un fluido no viscoso no conductor y no hay ninguna ecuación de estado implícita en ella.

Por otra parte, sustituyendo la forma entalpía de la primera ley de la termodinámica en la forma rotacional de la ecuación del momento de Euler, se obtiene:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ,}$$

y definiendo la entalpía total específica:

$${\displaystyle h^{t}=h+{\frac {1}{2}}u^{2},}$$

Se llega a la forma Crocco-Vazsonyi ^[16] (Crocco, 1937) de la ecuación del momento de Euler:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} -T\nabla s+\nabla h^{t}=\mathbf {g} .}$$

En el caso estable, las dos variables, entropía y entalpía total, son particularmente útiles ya que las ecuaciones de Euler pueden reformularse en la forma de Crocco:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} +T\nabla s-\nabla h^{t}&=\mathbf {g} ,\\\mathbf {u} \cdot \nabla s&=0,\\\mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}&=0.\end{aligned}}}$$

Finalmente si el flujo también es isotérmico:

$${\displaystyle T\nabla s=\nabla (Ts),}$$

Definiendo la energía libre total específica de Gibbs :

$${\displaystyle g^{t}\equiv h^{t}+Ts,}$$

La forma del Crocco se puede reducir a:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} -\nabla g^{t}&=\mathbf {g} ,\\\mathbf {u} \cdot \nabla g^{t}&=0.\end{aligned}}}$$

De estas relaciones se deduce que la energía libre total específica es uniforme en un flujo constante, irrotacional, isotérmico, isoentrópico y no viscoso.

Las ecuaciones de Euler son ecuaciones hiperbólicas cuasilineales y sus soluciones generales son ondas . Bajo ciertas suposiciones, pueden simplificarse y dar lugar a la ecuación de Burgers . Al igual que las conocidas olas oceánicas , las ondas descritas por las ecuaciones de Euler se "rompen" y se forman las llamadas ondas de choque ; este es un efecto no lineal y representa la solución que se vuelve multivaluada . Físicamente, esto representa una ruptura de las suposiciones que llevaron a la formulación de las ecuaciones diferenciales, y para extraer más información de las ecuaciones debemos volver a la forma integral más fundamental. Luego, las soluciones débiles se formulan trabajando en "saltos" (discontinuidades) en las cantidades de flujo (densidad, velocidad, presión, entropía) utilizando las ecuaciones de Rankine-Hugoniot . Las cantidades físicas rara vez son discontinuas; en flujos reales, estas discontinuidades se suavizan por la viscosidad y por la transferencia de calor . (Véase las ecuaciones de Navier-Stokes )

La propagación de choques se estudia, entre otros muchos campos, en la aerodinámica y la propulsión de cohetes , donde se producen flujos suficientemente rápidos.

Para calcular correctamente las cantidades continuas en zonas discontinuas (por ejemplo ondas de choque o capas límite) a partir de las formas locales ^[c] (todas las formas anteriores son formas locales, ya que las variables que se describen son típicas de un punto en el espacio considerado, es decir, son variables locales ) de las ecuaciones de Euler a través de métodos de diferencias finitas generalmente serían necesarios demasiados puntos espaciales y pasos de tiempo para la memoria de las computadoras ahora y en el futuro cercano. En estos casos es obligatorio evitar las formas locales de las ecuaciones de conservación, pasando algunas formas débiles , como la de volumen finito .

Partiendo del caso más simple, se considera una ecuación de conservación libre y estable en forma de conservación en el dominio espacial:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$$

donde en general F es la matriz de flujo. Al integrar esta ecuación local sobre un volumen fijo V _m , se obtiene:

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV=\mathbf {0} .}$$

Luego, basándonos en el teorema de divergencia , podemos transformar esta integral en una integral de borde del flujo:

$${\displaystyle \oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \,ds=\mathbf {0} .}$$

Esta forma global simplemente establece que no hay flujo neto de una cantidad conservada que pase por una región en el caso de que sea constante y sin fuente. En 1D, el volumen se reduce a un intervalo , siendo su límite su extremo, entonces el teorema de divergencia se reduce al teorema fundamental del cálculo :

$${\displaystyle \int _{x_{m}}^{x_{m+1}}\mathbf {F} (x')\,dx'=\mathbf {0} ,}$$

Esta es la ecuación de diferencias finitas simple , conocida como relación de salto :

$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$$

Esto se puede hacer explícito así:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m+1}-\mathbf {F} _{m}=\mathbf {0} ,}$$

donde la notación empleada es:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m}=\mathbf {F} (x_{m}).}$$

O bien, si se realiza una integral indefinida:

$${\displaystyle \mathbf {F} -\mathbf {F} _{0}=\mathbf {0} .}$$

Por otra parte, una ecuación de conservación transitoria:

$${\displaystyle {\partial y \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$$

trae a una relación de salto:

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}\,\Delta u=\Delta \mathbf {F} .}$$

Para las ecuaciones de Euler unidimensionales las variables de conservación y el flujo son los vectores:

$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{v}}\\j\\E^{t}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}j\\vj^{2}+p\\vj\left(E^{t}+p\right)\end{pmatrix}},}$$

dónde:

• ${\displaystyle v}$es el volumen específico,
• ${\displaystyle j}$es el flujo de masa.

En el caso unidimensional las relaciones de salto correspondientes, llamadas ecuaciones de Rankine-Hugoniot , son:< ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}\Delta \left({\frac {1}{v}}\right)&=\Delta j,\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta j&=\Delta (vj^{2}+p),\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta E^{t}&=\Delta (jv(E^{t}+p)).\end{aligned}}}$$

En el caso unidimensional estable, se convierte simplemente en:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(j\left({\frac {E^{t}}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }}\right)\right)&=0.\end{aligned}}}$$

Gracias a la ecuación de diferencia de masa, la ecuación de diferencia de energía se puede simplificar sin ninguna restricción:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta h^{t}&=0,\end{aligned}}}$$

donde es la entalpía total específica.${\displaystyle h^{t}}$

Estas son las variables convectivas expresadas habitualmente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left({\frac {u^{2}}{v}}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(e+{\frac {1}{2}}u^{2}+pv\right)&=0,\end{aligned}}}$$

dónde:

• ${\displaystyle u}$es la velocidad del flujo
• ${\displaystyle e}$es la energía interna específica.

La ecuación de energía es una forma integral de la ecuación de Bernoulli en el caso compresible. Las ecuaciones de masa y momento anteriores por sustitución conducen a la ecuación de Rayleigh:

$${\displaystyle {\frac {\Delta p}{\Delta v}}=-{\frac {u_{0}^{2}}{v_{0}}}.}$$

Como el segundo término es una constante, la ecuación de Rayleigh siempre describe una línea simple en el plano de presión y volumen que no depende de ninguna ecuación de estado, es decir, la línea de Rayleigh. Mediante sustitución en las ecuaciones de Rankine-Hugoniot, esto también se puede hacer explícito como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho u&=\rho _{0}u_{0},\\[1.2ex]\rho u^{2}+p&=\rho _{0}u_{0}^{2}+p_{0},\\[1.2ex]e+{\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}&=e_{0}+{\frac {1}{2}}u_{0}^{2}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}.\end{aligned}}}$$

También se puede obtener la ecuación cinética y la ecuación de Hugoniot. Los pasajes analíticos no se muestran aquí por razones de brevedad.

Estos son respectivamente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(v,p)&=u_{0}^{2}+(p-p_{0})(v_{0}+v),\\[1.2ex]e(v,p)&=e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p+p_{0})(v_{0}-v).\end{aligned}}}$$

La ecuación de Hugoniot, acoplada a la ecuación fundamental de estado del material:

$${\displaystyle e=e(v,p),}$$

describe en general en el plano de presión-volumen una curva que pasa por las condiciones (v ₀ , p ₀ ), es decir la curva de Hugoniot, cuya forma depende fuertemente del tipo de material considerado.

También se acostumbra definir una función de Hugoniot : ^[18]

$${\displaystyle {\mathfrak {h}}(v,s)\equiv e(v,s)-e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p(v,s)+p_{0})(v-v_{0}),}$$

permitiendo cuantificar desviaciones de la ecuación de Hugoniot, de manera similar a la definición anterior de la carga hidráulica , útil para las desviaciones de la ecuación de Bernoulli.

Por otra parte, integrando una ecuación de conservación genérica:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} ,}$$

en un volumen fijo V _m , y luego basándose en el teorema de divergencia , se convierte en:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} dV+\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}ds=\mathbf {S} .}$$

Integrando esta ecuación también sobre un intervalo de tiempo:

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n+1})\,dV-\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt=\mathbf {0} .}$$

Ahora, definiendo la cantidad conservada del nodo:

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n}\equiv {\frac {1}{V_{m}}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV,}$$

Deducimos la forma de volumen finito:

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n+1}=\mathbf {y} _{m,n}-{\frac {1}{V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt.}$$