Teorema de circulación de Kelvin

En mecánica de fluidos , el teorema de circulación de Kelvin establece: ^{[1] [2]}

En un fluido barotrópico , ideal , con fuerzas corporales conservativas , la circulación alrededor de una curva cerrada (que encierra los mismos elementos del fluido) que se mueve con el fluido permanece constante con el tiempo.

El teorema debe su nombre a William Thomson, primer barón Kelvin, quien lo publicó en 1869.

Expresado matemáticamente:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}$

donde es la circulación alrededor de un contorno material en movimiento en función del tiempo . El operador diferencial es una derivada sustancial (material) que se mueve con las partículas del fluido. ^[3] Expresado de manera más simple, este teorema dice que si uno observa un contorno cerrado en un instante y sigue el contorno a lo largo del tiempo (siguiendo el movimiento de todos sus elementos fluidos), la circulación sobre las dos ubicaciones de este contorno permanece constante.${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización C(t)}$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle \mathrm {D}}$

Este teorema no se cumple en casos con tensiones viscosas , fuerzas corporales no conservativas (por ejemplo, la fuerza de Coriolis ) o relaciones presión-densidad no barotrópicas.

La circulación alrededor de un contorno de material cerrado se define por:${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización C(t)}$

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

donde u es el vector de velocidad y ds es un elemento a lo largo del contorno cerrado.

La ecuación que rige un fluido no viscoso con una fuerza corporal conservativa es

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$

donde D/D t es la derivada convectiva , ρ es la densidad del fluido, p es la presión y Φ es el potencial para la fuerza del cuerpo. Estas son las ecuaciones de Euler con una fuerza del cuerpo.

La condición de barotropicidad implica que la densidad es función únicamente de la presión, es decir .${\displaystyle \rho =\rho (p)}$

Tomando la derivada convectiva de la circulación se obtiene

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}.}$

Para el primer término, sustituimos la ecuación gobernante y luego aplicamos el teorema de Stokes , así:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}$

La igualdad final surge debido a la barotropicidad. También hemos hecho uso del hecho de que el rotacional de cualquier gradiente es necesariamente 0, o para cualquier función .${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0}$${\displaystyle f}$

Para el segundo término, observamos que la evolución del elemento de línea material está dada por

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}.}$

Por eso

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0.}$

La última igualdad se obtiene aplicando el teorema de gradiente .

Como ambos términos son cero, obtenemos el resultado

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0.}$

Un principio similar que conserva una cantidad se puede obtener también para el marco giratorio, conocido como el teorema de Poincaré-Bjerknes, llamado así por Henri Poincaré y Vilhelm Bjerknes , quienes derivaron el invariante en 1893 ^{[4] [5]} y 1898. ^{[6] [7]} El teorema se puede aplicar a un marco giratorio que gira a una velocidad angular constante dada por el vector , para la circulación modificada.${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

Aquí está la posición del área del fluido. Según el teorema de Stokes , es:${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

${\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

La vorticidad de un campo de velocidad en dinámica de fluidos se define por:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}}$

Entonces:

${\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}({\boldsymbol {\omega }}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

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