Ecuaciones de Dirac de dos cuerpos

Teoría cuántica de campos
Diagrama de Feynman
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Ecuaciones Ecuación de Dirac Ecuación de Klein-Gordon Ecuaciones de Proca Ecuación de Wheeler-DeWitt Ecuaciones de Bargmann-Wigner Ecuación de Schwinger-Dyson Ecuación del grupo de renormalización
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v t e

En la teoría cuántica de campos , y en los subcampos significativos de la electrodinámica cuántica (EDQ) y la cromodinámica cuántica (CDQ), las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos (EDTB) de la dinámica de restricciones proporcionan una reformulación tridimensional pero manifiestamente covariante de la ecuación de Bethe-Salpeter ^[1] para dos partículas de espín 1/2 . Tal reformulación es necesaria ya que sin ella, como lo muestra Nakanishi, ^[2] la ecuación de Bethe-Salpeter posee soluciones de norma negativa que surgen de la presencia de un grado de libertad esencialmente relativista, el tiempo relativo. Estos estados "fantasma" han arruinado la interpretación ingenua de la ecuación de Bethe-Salpeter como una ecuación de onda mecánica cuántica. Las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos de la dinámica de restricciones rectifican esta falla. Las formas de estas ecuaciones no solo se pueden derivar de la teoría cuántica de campos ^{[3] [4],} sino que también se pueden derivar puramente en el contexto de la dinámica de restricciones de Dirac ^{[5] [6]} y la mecánica relativista y la mecánica cuántica. ^{[7] [8] [9] [10]} Sus estructuras, a diferencia de la ecuación de Dirac de dos cuerpos más familiar de Breit , ^{[11] [12] [13]} que es una sola ecuación, son las de dos ecuaciones de onda relativistas cuánticas simultáneas . Una sola ecuación de Dirac de dos cuerpos similar a la ecuación de Breit se puede derivar de la TBDE. ^[14] A diferencia de la ecuación de Breit, es manifiestamente covariante y libre de los tipos de singularidades que impiden un tratamiento estrictamente no perturbativo de la ecuación de Breit. ^[15] En aplicaciones de la TBDE a QED, las dos partículas interactúan por medio de potenciales de cuatro vectores derivados de las interacciones electromagnéticas de teoría de campo entre las dos partículas. En aplicaciones a QCD, las dos partículas interactúan por medio de potenciales de cuatro vectores e interacciones escalares invariantes de Lorentz, derivadas en parte de las interacciones cromomagnéticas de teoría de campo entre los quarks y en parte por consideraciones fenomenológicas. Al igual que en la ecuación de Breit, se utiliza un espinor Ψ de dieciséis componentes .

Para QED, cada ecuación tiene la misma estructura que la ecuación de Dirac ordinaria de un cuerpo en presencia de un campo electromagnético externo , dada por el 4-potencial . Para QCD, cada ecuación tiene la misma estructura que la ecuación de Dirac ordinaria de un cuerpo en presencia de un campo externo similar al campo electromagnético y un campo externo adicional dado por en términos de un escalar invariante de Lorentz . En unidades naturales : ^[16] esas ecuaciones de dos cuerpos tienen la forma.${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle S}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}+{\tilde {S}}_{1}\right]\Psi &=0,\\[1ex]\left[(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}+{\tilde {S}}_{2}\right]\Psi &=0.\end{aligned}}}$$donde, en el espacio de coordenadas, p ^μ es el 4-momento , relacionado con el 4-gradiente por (la métrica utilizada aquí es ) y γ ^μ son las matrices gamma . Las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos (TBDE) tienen la propiedad de que si una de las masas se vuelve muy grande, digamos entonces la ecuación de Dirac de 16 componentes se reduce a la ecuación de Dirac de un cuerpo de 4 componentes para la partícula uno en un potencial externo.${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(-1,1,1,1)}$$${\displaystyle p^{\mu }=-i{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}}$$${\displaystyle m_{2}\rightarrow \infty }$

En unidades del SI : donde c es la velocidad de la luz y$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}c+{\tilde {S}}_{1}\right]\Psi &=0,\\[1ex]\left[(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}c+{\tilde {S}}_{2}\right]\Psi &=0.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle p^{\mu }=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}}$$

A continuación se utilizarán unidades naturales. Se utiliza un símbolo de tilde sobre los dos conjuntos de potenciales para indicar que pueden tener dependencias de matriz gamma adicionales que no están presentes en la ecuación de Dirac de un cuerpo. Cualquier constante de acoplamiento, como la carga del electrón, está incorporada en los potenciales vectoriales.

La dinámica de restricciones aplicada a la TBDE requiere una forma particular de consistencia matemática: los dos operadores de Dirac deben conmutar entre sí. Esto es plausible si se consideran las dos ecuaciones como dos restricciones compatibles en la función de onda. (Véase la discusión a continuación sobre la dinámica de restricciones). Si los dos operadores no conmutaran (como, por ejemplo, con los operadores de coordenadas y momento ), entonces las restricciones no serían compatibles (no se podría, por ejemplo, tener una función de onda que satisficiera tanto y ). Esta consistencia o compatibilidad matemática conduce a tres propiedades importantes de la TBDE. La primera es una condición que elimina la dependencia del tiempo relativo en el marco del centro del momento (cm) definido por . (La variable es la energía total en el marco cm). Dicho de otra manera, el tiempo relativo se elimina de forma covariante. En particular, para que los dos operadores conmuten, los potenciales escalares y de cuatro vectores pueden depender de la coordenada relativa solo a través de su componente ortogonal a en el que${\displaystyle x,p}$${\displaystyle x\Psi =0}$${\displaystyle p\Psi =0}$${\displaystyle P=p_{1}+p_{2}=(w,{\vec {0}})}$${\displaystyle w}$${\displaystyle x=x_{1}-x_{2}}$${\displaystyle x_{\perp }}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle x_{\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }-P^{\mu }P^{\nu }/P^{2})x_{\nu },\,}$$$${\displaystyle P_{\mu }x_{\perp }^{\mu }=0.\,}$$

Esto implica que en el marco cm , que tiene un componente de tiempo cero.${\displaystyle x_{\perp }=(0,{\vec {x}}={\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})}$

En segundo lugar, la condición de consistencia matemática también elimina la energía relativa en el marco cm . Lo hace imponiendo a cada operador de Dirac una estructura tal que en una combinación particular conduzcan a esta forma independiente de la interacción, eliminando de manera covariante la energía relativa.$${\displaystyle P\cdot p\Psi =(-P^{0}p^{0}+{\vec {P}}\cdot p)\Psi =0.\,}$$

En esta expresión el momento relativo tiene la forma para masas iguales. En el marco cm ( ), se elimina así el componente temporal del momento relativo, es decir, la energía relativa. en el sentido de que .${\displaystyle p}$${\displaystyle (p_{1}-p_{2})/2}$${\displaystyle P^{0}=w,{\vec {P}}={\vec {0}}}$${\displaystyle p^{0}}$${\displaystyle p^{0}\Psi =0}$

Una tercera consecuencia de la consistencia matemática es que cada uno de los potenciales escalares y los cuatro potenciales vectoriales tiene un término con una dependencia fija de y además de las formas independientes de la matriz gamma de y que aparecen en la ecuación de Dirac de un cuerpo ordinaria para potenciales escalares y vectoriales. Estos términos adicionales corresponden a una dependencia adicional del espín de retroceso que no está presente en la ecuación de Dirac de un cuerpo y desaparecen cuando una de las partículas se vuelve muy pesada (el llamado límite estático).${\displaystyle {\tilde {S}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{i}^{\mu }}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle A_{i}^{\mu }}$

La dinámica de restricciones surgió del trabajo de Dirac ^[6] y Bergmann. ^[17] Esta sección muestra cómo se lleva a cabo la eliminación del tiempo y la energía relativos en el sistema cm para el sistema simple de dos partículas relativistas sin espín. La dinámica de restricciones se aplicó por primera vez al sistema relativista clásico de dos partículas por Todorov, ^{[18] [19]} Kalb y Van Alstine, ^{[20] [21]} Komar, ^{[22] [23]} y Droz–Vincent. ^[24] Con la dinámica de restricciones, estos autores encontraron un enfoque consistente y covariante para la mecánica hamiltoniana canónica relativista que también evade el teorema de "No interacción" de Currie–Jordan–Sudarshan. ^{[25] [26]} Ese teorema establece que sin campos, no se puede tener una dinámica hamiltoniana relativista . Por lo tanto, el mismo enfoque tridimensional covariante que permite que la versión cuantificada de la dinámica de restricciones elimine los fantasmas cuánticos elude simultáneamente en el nivel clásico el teorema CJS. Considere una restricción en los cuatro vectores de coordenadas y momento, por lo demás independientes, escritos en la forma . El símbolo se llama igualdad débil e implica que la restricción se debe imponer solo después de que se realicen los corchetes de Poisson necesarios . En presencia de tales restricciones, el hamiltoniano total se obtiene del lagrangiano sumando al hamiltoniano de Legendre la suma de las restricciones por un conjunto apropiado de multiplicadores de Lagrange .${\displaystyle \phi _{i}(p,x)\approx 0}$${\displaystyle \approx 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle (p{\dot {x}}-{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (\lambda _{i})}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}=p{\dot {x}}-{\mathcal {L}}+\lambda _{i}\phi _{i},}$$

Este hamiltoniano total se denomina tradicionalmente hamiltoniano de Dirac. Las restricciones surgen naturalmente de acciones invariantes de parámetros de la forma$${\displaystyle I=\int d\tau {\mathcal {L}}(\tau )=\int d\tau '{\frac {d\tau }{d\tau '}}{\mathcal {L}}(\tau )=\int d\tau '{\mathcal {L}}(\tau ').}$$

En el caso de cuatro interacciones escalares de Lorentz y de vectores para una sola partícula, el lagrangiano es$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\tau )=-(m+S(x)){\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}+{\dot {x}}\cdot A(x)\,}$$

El momento canónico es y al elevarlo al cuadrado se llega a la condición de capa de masa generalizada o restricción de capa de masa generalizada$${\displaystyle p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {(m+S(x)){\dot {x}}}{\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}}+A(x)}$$$${\displaystyle (p-A)^{2}+(m+S)^{2}=0.\,}$$

Dado que, en este caso, el hamiltoniano de Legendre se desvanece, el hamiltoniano de Dirac es simplemente la restricción de masa generalizada (sin interacciones sería simplemente la restricción de capa de masa ordinaria).$${\displaystyle p\cdot {\dot {x}}-{\mathcal {L}}=0,\,}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\lambda \left[\left(p-A\right)^{2}+(m+S)^{2}\right]\equiv \lambda (p^{2}+m^{2}+\Phi (x,p)).}$$

Se postula entonces que para dos cuerpos el hamiltoniano de Dirac es la suma de dos de tales restricciones de capa de masa, es decir , y que cada restricción sea constante en el tiempo apropiado asociado con$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}=p_{i}^{2}+m_{i}^{2}+\Phi _{i}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})\approx 0,\,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\lambda _{1}[p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]+\lambda _{2}[p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]\\[1ex]&=\lambda _{1}{\mathcal {H}}_{1}+\lambda _{2}{\mathcal {H}}_{2},\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle {\dot {\mathcal {H}}}_{i}=\{{\mathcal {H}}_{i},{\mathcal {H}}\}\approx 0\,}$$

Aquí la igualdad débil significa que el corchete de Poisson podría resultar en términos proporcionales a una de las restricciones, siendo los corchetes de Poisson clásicos para el sistema relativista de dos cuerpos definidos por$${\displaystyle \left\{O_{1},O_{2}\right\}={\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{1\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{1\mu }}}+{\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{2\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{2\mu }}}.}$$

Para ver las consecuencias de que cada restricción sea una constante del movimiento, tomemos, por ejemplo$${\displaystyle {\dot {\mathcal {H}}}_{1}=\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}\}=\lambda _{1}\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}\}+\{{\mathcal {H}}_{1},\lambda _{1}\}{\mathcal {H}}_{2}+\lambda _{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}+\{\lambda _{2},{\mathcal {H}}_{1}\}{\mathcal {H}}_{2}.}$$

Desde y y uno tiene${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}\}=0}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\approx 0}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\approx 0}$$${\displaystyle {\dot {\mathcal {H}}}_{1}\approx \lambda _{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}\approx 0.}$$

La solución más simple para esto es la que conduce a (nótese que la igualdad en este caso no es débil en el sentido de que no es necesario imponer ninguna restricción después de que se resuelve el corchete de Poisson) (ver Todorov, ^[19] y Wong y Crater ^[27] ) con la misma definida anteriormente.$${\displaystyle \Phi _{1}=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })}$$$${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}=0\,}$$${\displaystyle x_{\perp }}$

Además de reemplazar las variables dinámicas clásicas por sus contrapartes cuánticas, la cuantificación de la mecánica de restricciones se lleva a cabo reemplazando la restricción en las variables dinámicas con una restricción en la función de onda.$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0,}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}\Psi =0.}$$

El primer conjunto de ecuaciones para i  = 1, 2 cumple para las partículas sin espín el mismo papel que las dos ecuaciones de Dirac cumplen para las partículas con espín-1/2. Los corchetes de Poisson clásicos se sustituyen por conmutadores.$${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}\rightarrow {\frac {1}{i}}[O_{1},O_{2}].\,}$$

Así , en este caso, vemos que el formalismo de restricción conduce a la desaparición del conmutador de los operadores de onda para las dos partículas. Esto es análogo a la afirmación formulada anteriormente de que los dos operadores de Dirac conmutan entre sí.$${\displaystyle [{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}]=0,\,}$$

La desaparición del conmutador anterior garantiza que la dinámica sea independiente del tiempo relativo en el marco de referencia cm. Para eliminar de forma covariante la energía relativa, introduzca el momento relativo definido por${\displaystyle p}$

${\displaystyle p_{1}={\frac {p_{1}\cdot P}{P^{2}}}P+p\,,}$

( 1 )

${\displaystyle p_{2}={\frac {p_{2}\cdot P}{P^{2}}}P-p\,,}$

( 2 )

La definición anterior del momento relativo fuerza la ortogonalidad del momento total y del momento relativo, que se deduce de tomar el producto escalar de cualquiera de las ecuaciones con . A partir de las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ), este momento relativo se puede escribir en términos de y como$${\displaystyle P\cdot p=0,}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$$${\displaystyle p={\frac {\varepsilon _{2}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{1}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{2}}$$

donde son las proyecciones de los momentos y a lo largo de la dirección del momento total . Restando las dos restricciones y , se obtiene$${\displaystyle \varepsilon _{1}=-{\frac {p_{1}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}}$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}=-{\frac {p_{2}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{2}^{2}-p_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}}$$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\Psi =0}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\Psi =0}$

${\displaystyle (p_{1}^{2}-p_{2}^{2})\Psi =-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})\Psi }$

( 3 )

Así pues, en estos estados${\displaystyle \Psi }$$${\displaystyle \varepsilon _{1}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi }$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi .}$$

La ecuación describe tanto el movimiento en cm como el movimiento relativo interno. Para caracterizar el primer movimiento, observe que, dado que el potencial depende únicamente de la diferencia de las dos coordenadas${\displaystyle {\mathcal {H}}\Psi =0}$${\displaystyle \Phi }$$${\displaystyle [P,{\mathcal {H}}]\Psi =0.}$$

(Esto no requiere que ya que el .) Por lo tanto, el momento total es una constante de movimiento y es un estado propio caracterizado por un momento total . En el sistema cm con el centro de momento (cm) invariante energía. Por lo tanto${\displaystyle [P,\lambda _{i}]=0}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle P'}$${\displaystyle P'=(w,{\vec {0}}),}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle (P^{2}+w^{2})\Psi =0\,,}$

( 4 )

y también es un estado propio de operadores de energía cm para cada una de las dos partículas,${\displaystyle \Psi }$$${\displaystyle \varepsilon _{1}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}}\Psi }$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}}\Psi .}$$

El momento relativo entonces satisface de modo que$${\displaystyle p\Psi ={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}}\Psi ,}$$$${\displaystyle p_{1}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{1}}{w}}P+p\right)\Psi ,}$$$${\displaystyle p_{2}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{2}}{w}}P-p\right)\Psi ,}$$

El conjunto de ecuaciones anterior se deriva de las restricciones y la definición de los momentos relativos dados en las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ). Si en cambio se opta por definir (para una elección más general, véase Horwitz), ^[28] independientemente de la función de onda, entonces${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$$${\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}},}$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}},}$$$${\displaystyle p={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}},}$$

${\displaystyle p_{1}={\frac {\varepsilon _{1}}{w}}P+p,}$

( 5 )

${\displaystyle p_{2}={\frac {\varepsilon _{2}}{w}}P-p,}$

( 6 )

y es sencillo demostrar que la restricción Eq.( 3 ) conduce directamente a:

${\displaystyle P\cdot p\Psi =0,}$

( 7 )

en lugar de . Esto se ajusta a la afirmación anterior sobre la desaparición de la energía relativa en el marco cm realizada en conjunción con la TBDE. En la segunda opción, el valor cm de la energía relativa no se define como cero, sino que proviene de las restricciones originales generalizadas de la capa de masa. Las ecuaciones anteriores para el cuatrimomento relativo y constituyente son los análogos relativistas de las ecuaciones no relativistas.${\displaystyle P\cdot p=0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {p}}&={\frac {m_{2}{\vec {p}}_{1}-m_{1}{\vec {p}}_{2}}{M}},\\[1ex]{\vec {p}}_{1}&={\frac {m_{1}}{M}}{\vec {P}}+{\vec {p}},\\[1ex]{\vec {p}}_{2}&={\frac {m_{2}}{M}}{\vec {P}}-{\vec {p}}.\end{aligned}}}$$

Usando las ecuaciones ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ), se puede escribir en términos de y${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\Psi =\{\lambda _{1}[-\varepsilon _{1}^{2}+m_{1}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]+\lambda _{2}[-\varepsilon _{2}^{2}+m_{2}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]\}\Psi }$$

${\displaystyle =(\lambda _{1}+\lambda _{2})[-b^{2}(-P^{2};m_{1}^{2},m_{2}^{2})+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]\Psi =0\,,}$

( 8 )

dónde

$${\displaystyle b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})=\varepsilon _{1}^{2}-m_{1}^{2}=\varepsilon _{2}^{2}-m_{2}^{2}\ =-{\frac {1}{4P^{2}}}(P^{4}+2P^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2})\,.}$$

La ecuación ( 8 ) contiene tanto el momento total [a través de ] como el momento relativo . Utilizando la ecuación ( 4 ), se obtiene la ecuación de valor propio${\displaystyle P}$${\displaystyle b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2})\left\{p^{2}+\Phi (x_{\perp })-b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\right\}\Psi =0\,,}$

( 9 )

De modo que se convierte en la función triangular estándar que muestra la cinemática relativista exacta de dos cuerpos:${\displaystyle b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})}$

$${\displaystyle b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})={\frac {1}{4w^{2}}}\left\{w^{4}-2w^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}\right\}\,.}$$

Con la restricción anterior, las ecuaciones ( 7 ) se aplican entonces donde . Esto permite escribir la ecuación ( 9 ) en forma de una ecuación de valor propio${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle p^{2}\Psi =p_{\perp }^{2}\Psi }$${\displaystyle p_{\perp }=p-p\cdot PP/P^{2}}$$${\displaystyle \{p_{\perp }^{2}+\Phi (x_{\perp })\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,}$$

que tiene una estructura muy similar a la de la ecuación de Schrödinger tridimensional no relativista ordinaria. Es una ecuación manifiestamente covariante, pero al mismo tiempo su estructura tridimensional es evidente. Los cuatro vectores y tienen solo tres componentes independientes ya que La similitud con la estructura tridimensional de la ecuación de Schrödinger no relativista se puede hacer más explícita escribiendo la ecuación en el marco cm en el que${\displaystyle p_{\perp }^{\mu }}$${\displaystyle x_{\perp }^{\mu }}$$${\displaystyle P\cdot p_{\perp }=P\cdot x_{\perp }=0\,.}$$$${\displaystyle P=(w,{\vec {0}}),}$$$${\displaystyle p_{\perp }=(0,{\vec {p}}),}$$$${\displaystyle x_{\perp }=(0,{\vec {x}}).}$$

Comparación de la forma resultante

${\displaystyle \{{\vec {p}}^{2}+\Phi ({\vec {x}})\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,}$

( 10 )

con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

${\displaystyle \left({\vec {p}}^{2}+2\mu V({\vec {x}})\right)\Psi =2\mu E\Psi \,,}$

( 11 )

hace explícita esta similitud.

Una estructura plausible para el cuasipotencial se puede encontrar observando que la ecuación de Klein-Gordon de un cuerpo toma la forma cuando uno introduce una interacción escalar y una interacción vectorial temporal a través de y . En el caso de dos cuerpos, argumentos separados de la teoría clásica ^{[29] [30]} y de la teoría cuántica de campos ^[4] muestran que cuando uno incluye interacciones escalares y vectoriales mundiales, entonces depende de dos funciones invariantes subyacentes y a través de la forma de potencial de tipo Klein-Gordon de dos cuerpos con la misma estructura general, es decir Esas teorías de campos producen además las formas dependientes de la energía cm y las que Tododov introdujo como la masa reducida relativista y la energía efectiva de la partícula para un sistema de dos cuerpos. De manera similar a lo que sucede en el problema no relativista de dos cuerpos, en el caso relativista tenemos el movimiento de esta partícula efectiva que tiene lugar como si estuviera en un campo externo (aquí generado por y ). Las dos variables cinemáticas y están relacionadas entre sí por la condición de Einstein. Si se introducen los cuatro vectores, incluida una interacción vectorial y una interacción escalar , entonces se reproduce la siguiente forma clásica de restricción mínima${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (p^{2}+m^{2})\psi =({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2})\psi =0}$${\displaystyle ({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2}+2mS+S^{2}+2\varepsilon A-A^{2})\psi =0~}$${\displaystyle m\rightarrow m+S~}$${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon -A}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle S(r)}$${\displaystyle A(r)}$$${\displaystyle \Phi =2m_{w}S+S^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2}.}$$$${\displaystyle m_{w}=m_{1}m_{2}/w,}$$$${\displaystyle \varepsilon _{w}=(w^{2}-m_{1}^{2}-m_{2}^{2})/2w,}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m_{w}}$${\displaystyle \varepsilon _{w}}$$${\displaystyle \varepsilon _{w}^{2}-m_{w}^{2}=b^{2}(w),}$$${\displaystyle A^{\mu }}$$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\varepsilon _{w}{\hat {P}}+p,}$$$${\displaystyle A^{\mu }={\hat {P}}^{\mu }A(r)}$$$${\displaystyle r={\sqrt {x_{\perp }^{2}}}\,,}$$${\displaystyle S(r)}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left({\mathfrak {p-}}A\right)^{2}+(m_{w}+S)^{2}\approx 0\,,}$$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=p_{\perp }^{2}+\Phi -b^{2}\approx 0\,.}$

( 12 )

Tenga en cuenta que la interacción en esta restricción de "partícula reducida" depende de dos escalares invariantes, y , uno que guía la interacción vectorial temporal y otro la interacción escalar.${\displaystyle A(r)}$${\displaystyle S(r)}$

¿Existe un conjunto de ecuaciones de Klein-Gordon de dos cuerpos análogas a las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos? Las restricciones relativistas clásicas análogas a las ecuaciones de Dirac cuánticas de dos cuerpos (discutidas en la introducción) y que tienen la misma estructura que la forma de un cuerpo de Klein-Gordon anterior son La definición de estructuras que muestran interacciones escalares y vectoriales similares al tiempo da Al imponer y usar la restricción , se reproducen las ecuaciones ( 12 ) siempre que$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=(p_{1}-A_{1})^{2}+(m_{1}+S_{1})^{2}=p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}\approx 0}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}=(p_{1}-A_{2})^{2}+(m_{2}+S_{2})^{2}=p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}\approx 0,}$$$${\displaystyle p_{1}=\varepsilon _{1}{\hat {P}}+p;~~p_{2}=\varepsilon _{2}{\hat {P}}-p~.}$$$${\displaystyle \pi _{1}=p_{1}-A_{1}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1})+p],}$$$${\displaystyle \pi _{2}=p_{2}-A_{2}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{1})-p],}$$$${\displaystyle M_{1}=m_{1}+S_{1},}$$$${\displaystyle M_{2}=m_{2}+S_{2},}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2},}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}=\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}&=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })\\&=-2p_{1}\cdot A_{1}+A_{1}^{2}+2m_{1}S_{1}+S_{1}^{2}\\&=-2p_{2}\cdot A_{2}+A_{2}^{2}+2m_{2}S_{2}+S_{2}^{2}\\&=2\varepsilon _{w}A-A^{2}+2m_{w}S+S^{2},\end{aligned}}}$$${\displaystyle P\cdot p\approx 0}$

$${\displaystyle \pi _{1}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1}\right)^{2}=-\varepsilon _{1}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},}$$

$${\displaystyle \pi _{2}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{2}\right)^{2}=-\varepsilon _{2}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},}$$$${\displaystyle M_{1}{}^{2}=m_{1}^{2}+2m_{w}S+S^{2},}$$$${\displaystyle M_{2}^{2}=m_{2}^{2}+2m_{w}S+S^{2}.}$$Las ecuaciones de Klein-Gordon correspondientes son y cada una, debido a la restricción, es equivalente a$${\displaystyle \left(\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2}\right)\psi =0,}$$$${\displaystyle \left(\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}\right)\psi =0,}$$${\displaystyle P\cdot p\approx 0,}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}\psi =\left(p_{\perp }^{2}+\Phi -b^{2}\right)\psi =0.}$$

Para el sistema de dos cuerpos hay numerosas formas covariantes de interacción. La forma más simple de verlas es desde el punto de vista de las estructuras de matriz gamma de los vértices de interacción correspondientes de los diagramas de intercambio de partículas individuales. Para intercambios escalares, pseudoescalares, vectoriales, pseudovectoriales y tensoriales, esas estructuras matriciales son respectivamente en las que La forma de las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos que incorpora más fácilmente cada una o cualquier número de estas interacciones en concierto es la llamada forma hiperbólica del TBDE. ^[31] Para interacciones escalares y vectoriales combinadas, esas formas finalmente se reducen a las dadas en el primer conjunto de ecuaciones de este artículo. Esas ecuaciones se denominan formas similares a campos externos porque sus apariencias son individualmente las mismas que las de la ecuación de Dirac de un cuerpo habitual en presencia de campos vectoriales y escalares externos.$${\displaystyle 1_{1}1_{2};\gamma _{51}\gamma _{52};\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{2\mu };\gamma _{51}\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{52}\gamma _{2\mu };\sigma _{1\mu \nu }\sigma _{2}^{\mu \nu },}$$$${\displaystyle \sigma _{i\mu \nu }={\frac {1}{2i}}[\gamma _{i\mu },\gamma _{i\nu }];i=1,2.}$$

La forma hiperbólica más general para TBDE compatible es$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}\psi =(\cosh(\Delta )\mathbf {S} _{1}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{2})\psi =0,}$$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}\psi =(\cosh(\Delta )\mathbf {S} _{2}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{1})\psi =0,}$

( 13 )

donde representa cualquier interacción invariante de forma individual o en combinación. Tiene una estructura matricial además de dependencia de coordenadas. Dependiendo de cuál sea esa estructura matricial, se tienen interacciones escalares, pseudoescalares, vectoriales, pseudovectoriales o tensoriales. Los operadores y son restricciones auxiliares que satisfacen${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbf {S} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{2}}$$${\displaystyle \mathbf {S} _{1}\psi \equiv ({\mathcal {S}}_{10}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{20}\sinh(\Delta )~)\psi =0,}$$

${\displaystyle \mathbf {S} _{2}\psi \equiv ({\mathcal {S}}_{20}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{10}\sinh(\Delta )~)\psi =0,}$

( 14 )

en el que están los operadores de Dirac libres${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i0}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i0}={\frac {i}{\sqrt {2}}}\gamma _{5i}(\gamma _{i}\cdot p_{i}+m_{i})=0,}$

( 15 )

Esto, a su vez, conduce a las dos condiciones de compatibilidad y siempre que Estas condiciones de compatibilidad no restrinjan la estructura de la matriz gamma de . Esa estructura de matriz está determinada por el tipo de estructura vértice-vértice incorporada en la interacción. Para los dos tipos de interacciones invariantes enfatizadas en este artículo, son$${\displaystyle \lbrack {\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2}]\psi =0,}$$$${\displaystyle \lbrack \mathbf {S} _{1},\mathbf {S} _{2}]\psi =0,}$$${\displaystyle \Delta =\Delta (x_{\perp }).}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$$${\displaystyle \Delta _{\mathcal {L}}(x_{\perp })=-1_{1}1_{2}{\frac {{\mathcal {L}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{scalar}},}$$$${\displaystyle \Delta _{\mathcal {G}}(x_{\perp })=\gamma _{1}\cdot \gamma _{2}{\frac {{\mathcal {G}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{vector}},}$$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}=-\gamma _{51}\gamma _{52}.}$$

Para interacciones escalares y vectoriales independientes generales La interacción vectorial especificada por la estructura matricial anterior para una interacción de tipo electromagnético correspondería al calibre de Feynman.$${\displaystyle \Delta (x_{\perp })=\Delta _{\mathcal {L}}+\Delta _{\mathcal {G}}.}$$

Si uno inserta la ecuación ( 14 ) en ( 13 ) y lleva el operador de Dirac libre ( 15 ) a la derecha de las funciones hiperbólicas matriciales y utiliza conmutadores y anticonmutadores matriciales gamma estándar, se llega a${\displaystyle \cosh ^{2}\Delta -\sinh ^{2}\Delta =1}$${\displaystyle \left(\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }\right),}$$${\displaystyle {\big (}G\gamma _{1}\cdot {\mathcal {P}}_{2}-E_{1}\beta _{1}+M_{1}-G{\frac {i}{2}}\Sigma _{2}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{2}-{\mathcal {G}}\beta _{1})\gamma _{52}{\big )}\psi =0,}$$

${\displaystyle {\big (}-G\gamma _{2}\cdot {\mathcal {P}}_{1}-E_{2}\beta _{2}+M_{2}+G{\frac {i}{2}}\Sigma _{1}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{1}-{\mathcal {G}}\beta _{2})\gamma _{51}{\big )}\psi =0,}$

( 16 )

en el que La estructura (covariante) de estas ecuaciones es análoga a las de una ecuación de Dirac para cada una de las dos partículas, con y desempeñando los papeles que y hacen en la ecuación de Dirac de partícula única Además de la parte cinética habitual y las porciones de potencial escalar y vectorial similares al tiempo, las modificaciones dependientes del espín que involucran y el último conjunto de términos derivados son efectos de retroceso de dos cuerpos ausentes para la ecuación de Dirac de un cuerpo pero esenciales para la compatibilidad (consistencia) de las ecuaciones de dos cuerpos. Las conexiones entre lo que se designan como invariantes de vértice y los potenciales de masa y energía son Comparando la ecuación ( 16 ) con la primera ecuación de este artículo se encuentra que las interacciones vectoriales dependientes del espín son Nótese que la primera porción de los potenciales vectoriales es similar al tiempo (paralela a mientras que la siguiente porción es similar al espacio (perpendicular a . Los potenciales escalares dependientes del espín son$${\displaystyle G=\exp {\mathcal {G}},}$$$${\displaystyle \beta _{i}=-\gamma _{i}\cdot {\hat {P}},}$$$${\displaystyle \gamma _{i\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }+{\hat {P}}^{\mu }{\hat {P}}^{\nu })\gamma _{\nu i},}$$$${\displaystyle \Sigma _{i}=\gamma _{5i}\beta _{i}\gamma _{\perp i},}$$$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}\equiv p_{\perp }-{\frac {i}{2}}\Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i}\,,\quad i=1,2.}$$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle m+S}$${\displaystyle \varepsilon -A}$$${\displaystyle (\mathbf {\gamma } \cdot \mathbf {p-} \beta (\varepsilon -A)+m+S)\psi =0.}$$${\displaystyle \gamma _{1}\cdot p_{\perp }}$${\displaystyle \Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i}}$${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {G}}}$${\displaystyle M_{i},E_{i}}$$${\displaystyle M_{1}=m_{1}\cosh {\mathcal {L}}+m_{2}\sinh {\mathcal {L}},}$$$${\displaystyle M_{2}=m_{2}\cosh {\mathcal {L}}+m_{1}\sinh {\mathcal {L}},}$$$${\displaystyle E_{1}=\varepsilon _{1}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{2}\sinh {\mathcal {G}},}$$$${\displaystyle E_{2}=\varepsilon _{2}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{1}\sinh {\mathcal {G}}.}$$$${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{1}-E_{1}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }+(1-G)p_{\perp }^{\mu }-{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{2}\gamma _{2}^{\mu },}$$$${\displaystyle A_{2}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{2}-E_{2}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }-(1-G)p_{\perp }^{\mu }+{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{1}\gamma _{1}^{\mu },}$$${\displaystyle {\hat {P}}^{\mu })}$${\displaystyle {\hat {P}}^{\mu })}$${\displaystyle {\tilde {S}}_{i}}$$${\displaystyle {\tilde {S}}_{1}=M_{1}-m_{1}-{\frac {i}{2}}G\gamma _{2}\cdot \partial {\mathcal {L}},}$$$${\displaystyle {\tilde {S}}_{2}=M_{2}-m_{2}+{\frac {i}{2}}G\gamma _{1}\cdot \partial {\mathcal {L}}.}$$

La parametrización para y aprovecha las formas de potencial externo efectivo de Todorov (como se vio en la sección anterior sobre las ecuaciones de Klein Gordon de dos cuerpos) y al mismo tiempo muestra la forma límite estática correcta para la reducción de Pauli a la forma similar a Schrödinger. La elección de estas parametrizaciones (como con las ecuaciones de Klein Gordon de dos cuerpos) está estrechamente vinculada a las teorías de campo clásicas o cuánticas para interacciones escalares y vectoriales separadas. Esto equivale a trabajar en el calibre de Feynman con la relación más simple entre las partes espaciales y temporales de la interacción vectorial. Los potenciales de masa y energía son respectivamente tales que${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$$${\displaystyle M_{i}^{2}=m_{i}^{2}+\exp(2{\mathcal {G}})(2m_{w}S+S^{2}),}$$$${\displaystyle E_{i}^{2}=\exp(2{\mathcal {G}}(A))\left(\varepsilon _{i}-A\right)^{2},}$$$${\displaystyle \exp {\mathcal {L}}=\exp({\mathcal {L}}(S,A))={\frac {M_{1}+M_{2}}{m_{1}+m_{2}}},}$$$${\displaystyle G=\exp {\mathcal {G}}=\exp({\mathcal {G}}(A))={\sqrt {\frac {1}{(1-2A/w)}}}.}$$

El TBDE se puede aplicar fácilmente a sistemas de dos cuerpos como positronio , muonio , átomos similares al hidrógeno , quarkonium y el sistema de dos nucleones . ^{[32] [33] [34]} Estas aplicaciones involucran solo dos partículas y no involucran la creación o aniquilación de partículas más allá de las dos. Solo involucran procesos elásticos. Debido a la conexión entre los potenciales utilizados en el TBDE y la teoría cuántica de campos correspondiente, cualquier corrección radiativa a la interacción de orden más bajo se puede incorporar a esos potenciales. Para ver cómo sucede esto, considere en contraste cómo se calculan las amplitudes de dispersión sin la teoría cuántica de campos. Sin una teoría cuántica de campos, uno debe llegar a los potenciales mediante argumentos clásicos o consideraciones fenomenológicas. Una vez que uno tiene el potencial entre dos partículas, entonces uno puede calcular la amplitud de dispersión a partir de la ecuación de Lippmann-Schwinger ^[35] en la que es una función de Green determinada a partir de la ecuación de Schrödinger. Debido a la similitud entre la ecuación de Schrödinger Eq. ( 11 ) y la ecuación de restricción relativista ( 10 ), se puede derivar el mismo tipo de ecuación que la anterior, llamada ecuación cuasimopotencial, con una muy similar a la dada en la ecuación de Lippmann-Schwinger. La diferencia es que con la ecuación cuasimopotencial, se empieza con las amplitudes de dispersión de la teoría cuántica de campos, tal como se determina a partir de los diagramas de Feynman, y se deduce el cuasimopotencial Φ de manera perturbativa. Luego se puede usar ese Φ en ( 10 ), para calcular los niveles de energía de dos sistemas de partículas que están implícitos en la teoría de campos. La dinámica de restricciones proporciona uno de los muchos, de hecho un número infinito de, tipos diferentes de ecuaciones cuasimopotenciales (truncamientos tridimensionales de la ecuación de Bethe-Salpeter) que difieren entre sí por la elección de . ^[36] La solución relativamente simple al problema del tiempo y la energía relativos a partir de la restricción generalizada de la capa de masa para dos partículas no tiene una extensión simple, como la que se presenta aquí con la variable, a dos partículas en un campo externo ^[37] o a 3 o más partículas. Sazdjian ha presentado una receta para esta extensión cuando las partículas están confinadas y no pueden dividirse en grupos de un número menor de partículas sin interacciones entre grupos ^[38].${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle T+V+VGT=0,}$$${\displaystyle G}$$${\displaystyle {\mathcal {T}}+\Phi +\Phi {\mathcal {G}}{\mathcal {T}}=0,}$$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle x_{\perp }}$Lusanna ha desarrollado un enfoque que no implica restricciones generalizadas de masas y que se extiende a N cuerpos con o sin campos. Está formulado en hipersuperficies espaciales y, cuando se restringe a la familia de hiperplanos ortogonales al momento temporal total, da lugar a una formulación intrínseca covariante de un tiempo (sin variables de tiempo relativas) llamada "forma instantánea del marco de reposo" de la dinámica, ^{[39] [40]}