Cuatro gradientes

En geometría diferencial , el cuatro-gradiente (o 4-gradiente ) es el análogo de cuatro vectores del gradiente del cálculo vectorial .${\displaystyle {\boldsymbol {\parcial }}}$ ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {\nabla }}}}$

En relatividad especial y en mecánica cuántica , el cuadrigradiente se utiliza para definir las propiedades y relaciones entre los diversos cuadrivectores y tensores físicos .

Este artículo utiliza la firma métrica (+ − − −) .

SR y GR son abreviaturas de relatividad especial y relatividad general respectivamente.

${\estilo de visualización c}$Indica la velocidad de la luz en el vacío.

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$es la métrica espacio-temporal plana de SR.

Hay formas alternativas de escribir expresiones de cuatro vectores en física:

• Se puede utilizar el estilo de cuatro vectores : , que suele ser más compacto y puede utilizar la notación vectorial , (como el producto interno "punto"), utilizando siempre mayúsculas en negrita para representar el cuatro-vector y minúsculas en negrita para representar vectores de 3 espacios, p. ej . La mayoría de las reglas de vectores de 3 espacios tienen análogos en las matemáticas de cuatro vectores.${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$
• Se puede utilizar el estilo de cálculo de Ricci : , que utiliza la notación de índice tensorial y es útil para expresiones más complicadas, especialmente aquellas que involucran tensores con más de un índice, como .${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

El índice tensor latino varía en {1, 2, 3} y representa un vector de 3 espacios, por ejemplo .${\displaystyle A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}}$

El índice tensor griego varía en {0, 1, 2, 3} y representa un 4-vector, por ejemplo .${\displaystyle A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A} }$

En física SR, normalmente se utiliza una combinación concisa, por ejemplo , donde representa el componente temporal y representa el componente espacial de 3 componentes.${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$${\displaystyle a^{0}}$${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

Los tensores en SR suelen ser tensores 4D , con índices superiores e índices inferiores, donde 4D indica 4 dimensiones = la cantidad de valores que puede tomar cada índice.${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

La contracción tensorial utilizada en la métrica de Minkowski puede ir hacia cualquiera de los lados (ver notación de Einstein ): ^{[1] : 56, 151–152, 158–161}$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$$

Los componentes covariantes de 4 gradientes escritos de forma compacta en notación de cálculo de Ricci y de cuatro vectores son: ^{[2] [3] : 16}$${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$$

La coma en la última parte anterior implica la diferenciación parcial con respecto a la posición 4 .${\displaystyle {}_{,\mu }}$${\displaystyle X^{\mu }}$

Los componentes contravariantes son: ^{[2] [3] : 16}$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$$

Los símbolos alternativos son y D (aunque también pueden significar como el operador d'Alembert ).${\displaystyle \partial _{\alpha }}$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$

En RG, se debe utilizar el tensor métrico más general y la derivada covariante del tensor (que no debe confundirse con el gradiente vectorial 3 ).${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

La derivada covariante incorpora los efectos de curvatura del espacio-tiempo más el gradiente 4 a través de los símbolos de Christoffel.${\displaystyle \nabla _{\nu }}$${\displaystyle \partial _{\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

El principio de equivalencia fuerte puede enunciarse como: ^{[4] : 184}

"Cualquier ley física que pueda expresarse en notación tensorial en relatividad especial tiene exactamente la misma forma en un marco localmente inercial de un espacio-tiempo curvo". Las comas de 4 gradientes (,) en relatividad especial simplemente se cambian por puntos y comas de derivadas covariantes (;) en relatividad general, y la conexión entre ambos se realiza mediante símbolos de Christoffel . Esto se conoce en física de la relatividad como la "regla de la coma y el punto y coma".

Así, por ejemplo, si en SR, entonces en GR.${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$

En un tensor (1,0) o 4-vector esto sería: ^{[4] : 136–139}$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\[0.1ex]V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}}$$

En un tensor (2,0) esto sería:$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}}$$

El gradiente 4 se utiliza de diferentes maneras en la relatividad especial (SR):

A lo largo de este artículo, las fórmulas son todas correctas para las coordenadas de Minkowski del espacio-tiempo plano de la relatividad general (SR), pero deben modificarse para las coordenadas espaciales curvas más generales de la relatividad general (RG).

La divergencia es un operador vectorial que produce un campo escalar con signo que proporciona la cantidad de la fuente de un campo vectorial en cada punto. Nótese que en esta firma métrica [+,−,−,−] el 4-Gradiente tiene un componente espacial negativo. Se cancela al tomar el producto escalar 4D ya que la Métrica de Minkowski es Diagonal[+1,−1,−1,−1].

La 4-divergencia de la 4-posición da la dimensión del espacio-tiempo :${\displaystyle X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4}$$

La 4-divergencia de la 4-densidad de corriente da una ley de conservación : la conservación de la carga : ^{[1] : 103–107}$${\displaystyle J^{\mu }=\left(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }}\right)=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }}\right)}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$$

Esto significa que la tasa temporal de cambio de la densidad de carga debe ser igual a la divergencia espacial negativa de la densidad de corriente .${\displaystyle \partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}}$

En otras palabras, la carga dentro de una caja no puede cambiar de manera arbitraria, sino que debe entrar y salir de la caja a través de una corriente. Esta es una ecuación de continuidad .

La 4-divergencia del flujo de 4 números (4-polvo) se utiliza en la conservación de partículas: ^{[4] : 90–110}${\displaystyle N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0}$$

Esta es una ley de conservación para la densidad del número de partículas, típicamente algo así como la densidad del número bariónico.

La 4-divergencia del 4-potencial electromagnético se utiliza en la condición de calibre de Lorenz : ^{[1] : 105–107}${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0}$$

Esto es el equivalente a una ley de conservación para el potencial EM 4.

La 4-divergencia del tensor transversal 4D sin trazas (2,0) que representa la radiación gravitacional en el límite del campo débil (es decir, que se propaga libremente lejos de la fuente).${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

La condición transversal es el equivalente a una ecuación de conservación para ondas gravitacionales que se propagan libremente.$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

La 4-divergencia del tensor de tensión-energía como la corriente de Noether conservada asociada con las traslaciones del espacio-tiempo , da cuatro leyes de conservación en SR: ^{[4] : 101–106}${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

La conservación de la energía (dirección temporal) y la conservación del momento lineal (3 direcciones espaciales separadas).$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)}$$

A menudo se escribe como: donde se entiende que el cero único es en realidad un cero de 4 vectores .$${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0}$$${\displaystyle 0^{\mu }=(0,0,0,0)}$

Cuando la conservación del tensor de tensión-energía ( )${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }}$ para un fluido perfecto se combina con la conservación de la densidad numérica de partículas ( ), ambas utilizando el 4-gradiente, se pueden derivar las ecuaciones de Euler relativistas , que en mecánica de fluidos y astrofísica son una generalización de las ecuaciones de Euler que dan cuenta de los efectos de la relatividad especial . Estas ecuaciones se reducen a las ecuaciones de Euler clásicas si la velocidad espacial 3 del fluido es mucho menor que la velocidad de la luz, la presión es mucho menor que la densidad de energía , y esta última está dominada por la densidad de masa en reposo.${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =0}$

En el espacio-tiempo plano y usando coordenadas cartesianas, si uno combina esto con la simetría del tensor tensión-energía, se puede demostrar que el momento angular ( momento angular relativista ) también se conserva: donde este cero es en realidad un cero del tensor (2,0).$${\displaystyle \partial _{\nu }\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)=\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)_{,\nu }=0^{\alpha \mu }}$$

La matriz jacobiana es la matriz de todas las derivadas parciales de primer orden de una función con valores vectoriales .

El gradiente 4 que actúa sobre la posición 4 da la métrica espacial SR Minkowski : ^{[3] : 16}${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\nu }}$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\left[\left(ct,{\vec {x}}\right)\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],\\[3pt]&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]=\eta ^{\mu \nu }.\end{aligned}}}$$

Para la métrica de Minkowski, los componentes ( no se suman), con componentes no diagonales todos cero.${\displaystyle \left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]}$${\displaystyle \mu }$

Para la métrica cartesiana de Minkowski, esto da .${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

En general, , donde es el delta de Kronecker 4D .${\displaystyle \eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]}$${\displaystyle \delta _{\mu }^{\nu }}$

La transformación de Lorentz se escribe en forma tensorial como ^{[4] : 69} y dado que son solo constantes, entonces$${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{~\mu '}X^{\nu }}$$${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$${\displaystyle {\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

Así, por definición del gradiente 4$${\displaystyle \partial _{\nu }\left[X^{\mu '}\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial X^{\nu }}}\right)\left[X^{\mu '}\right]={\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

Esta identidad es fundamental. Los componentes del 4-gradiente se transforman según la inversa de los componentes de los 4-vectores. Por lo tanto, el 4-gradiente es la forma única "arquetípica".

El producto escalar de la 4-velocidad por el 4-gradiente da la derivada total con respecto al tiempo propio : ^{[1] : 58–59}${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}&=U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}\\{\frac {d}{d\tau }}&={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}\end{aligned}}}$$

El hecho de que sea un invariante escalar de Lorentz muestra que la derivada total con respecto al tiempo propio es asimismo un invariante escalar de Lorentz.${\displaystyle \mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

Así, por ejemplo, la 4-velocidad es la derivada de la 4-posición con respecto al tiempo propio: o${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }$$$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\mathbf {U} }$$

Otro ejemplo, la 4-aceleración es la derivada en el tiempo propio de la 4-velocidad :${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle U^{\mu }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} &=(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }\left[U^{\nu }\right]\\&=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}\left[\gamma {\vec {u}}\right]\right)=\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)=\mathbf {A} \end{aligned}}}$$

o$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$$

El tensor electromagnético de Faraday es un objeto matemático que describe el campo electromagnético en el espacio-tiempo de un sistema físico. ^{[1] : 101–128  [5] : 314  [3] : 17–18  [6] : 29–30  [7] : 4}${\displaystyle F^{\mu \nu }}$

Aplicando el gradiente 4 para hacer un tensor antisimétrico, se obtiene: donde:$${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$$

• Potencial electromagnético 4-potencial , que no debe confundirse con la aceleración 4-potencial.${\displaystyle A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)}$
• El potencial escalar eléctrico es${\displaystyle \phi }$
• El potencial vectorial magnético del espacio tridimensional es${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

Aplicando nuevamente el gradiente 4 y definiendo la densidad de corriente 4 como se puede derivar la forma tensorial de las ecuaciones de Maxwell : donde la segunda línea es una versión de la identidad de Bianchi ( identidad de Jacobi ).${\displaystyle J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)}$$${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}$$$${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }}$$

Un vector de onda es un vector que ayuda a describir una onda . Como cualquier vector, tiene una magnitud y una dirección , ambas importantes: su magnitud es el número de onda o el número de onda angular de la onda (inversamente proporcional a la longitud de onda ), y su dirección es normalmente la dirección de propagación de la onda.

El vector de onda 4 es el 4-gradiente de la fase negativa (o el 4-gradiente negativo de la fase) de una onda en el espacio de Minkowski: ^{[6] : 387}${\displaystyle K^{\mu }}$${\displaystyle \Phi }$$${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)={\boldsymbol {\partial }}[-\Phi ]=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$$

Esto es matemáticamente equivalente a la definición de la fase de una onda (o más específicamente, de una onda plana ):$${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi }$$

donde 4-posición , es la frecuencia angular temporal, es el vector de onda espacial de 3 espacios y es la fase invariante escalar de Lorentz.${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right],-\nabla \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla \left[-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K} }$$con el supuesto de que la onda plana y no son funciones explícitas de o .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}}$

La forma explícita de una onda plana SR se puede escribir como: ^{[7] : 9}${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )}$

$${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}}$$donde es una amplitud (posiblemente compleja ).${\displaystyle A_{n}}$

Una onda general sería la superposición de múltiples ondas planas:${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )}$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}\right]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}\right]}$$

Nuevamente utilizando el gradiente de 4, o que es la versión de 4 gradientes de ondas planas de valor complejo$${\displaystyle \partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$$

En relatividad especial, electromagnetismo y teoría ondulatoria, el operador d'Alembert, también llamado operador d'Alembertiano u operador ondulatorio, es el operador de Laplace del espacio de Minkowski. El operador recibe su nombre del matemático y físico francés Jean le Rond d'Alembert.

El cuadrado de es el 4- Laplaciano , que se llama operador d'Alembert : ^{[5] : 300  [3] : 17‒18  [6] : 41  [7] : 4}${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}.}$$

Como es el producto escalar de dos 4-vectores, el d'Alembertiano es un escalar invariante de Lorentz .

Ocasionalmente, en analogía con la notación tridimensional, se utilizan los símbolos y para el gradiente de cuatro dimensiones y el d'Alembertiano respectivamente. Sin embargo, lo más común es que el símbolo se reserve para el d'Alembertiano.${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \Box ^{2}}$${\displaystyle \Box }$

A continuación se presentan algunos ejemplos del gradiente 4 tal como se utilizó en el d'Alembertiano:

En la ecuación de onda cuántica relativista de Klein-Gordon para partículas de espín 0 (por ejemplo, el bosón de Higgs ):$${\displaystyle \left[({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =\left[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

En la ecuación de onda del campo electromagnético (utilizando el calibre de Lorenz ):${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0}$

• En el vacío:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mathbf {0} =0^{\alpha }}$$
• Con una fuente de 4 corrientes , sin incluir los efectos del espín:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mu _{0}\mathbf {J} =\mu _{0}J^{\alpha }}$$
• Con fuente de electrodinámica cuántica , incluidos los efectos del espín:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\alpha }\psi }$$

dónde:

• El potencial electromagnético 4 es un potencial vectorial electromagnético.${\displaystyle \mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)}$
• 4-La densidad de corriente es una densidad de corriente electromagnética.${\displaystyle \mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)}$
• Las matrices gamma de Dirac proporcionan los efectos del espín.${\displaystyle \gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

En la ecuación de onda de una onda gravitacional (usando un calibre de Lorenz similar ) ^{[6] : 274–322} donde es el 2-tensor transversal sin traza que representa la radiación gravitacional en el límite del campo débil (es decir, propagándose libremente lejos de la fuente).${\displaystyle \left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0}$$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

Otras condiciones son:${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

• Puramente espacial:$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0}$$
• Sin rastro:$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0}$$
• Transverso:$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

En la versión de 4 dimensiones de la función de Green : donde la función Delta 4D es:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})G\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]=\delta ^{(4)}\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]}$$$${\displaystyle \delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}}$$

En cálculo vectorial , el teorema de divergencia , también conocido como teorema de Gauss o teorema de Ostrogradsky, es un resultado que relaciona el flujo (es decir, el flujo ) de un campo vectorial a través de una superficie con el comportamiento del campo vectorial dentro de la superficie. Más precisamente, el teorema de divergencia establece que el flujo hacia afuera de un campo vectorial a través de una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de la divergencia sobre la región dentro de la superficie. Intuitivamente, establece que la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los sumideros da el flujo neto que sale de una región . En cálculo vectorial, y más generalmente en geometría diferencial, el teorema de Stokes (también llamado teorema de Stokes generalizado) es un enunciado sobre la integración de formas diferenciales en variedades, que simplifica y generaliza varios teoremas del cálculo vectorial.

$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left(\partial _{\mu }V^{\mu }\right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(V^{\mu }N_{\mu }\right)}$$o donde$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} \right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} \right)}$$

• ${\displaystyle \mathbf {V} =V^{\mu }}$es un campo de 4 vectores definido en${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }}$es la 4-divergencia de${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }}$es el componente de la dirección longitudinal${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle \Omega }$es una región 4D simplemente conectada del espacio-tiempo de Minkowski
• ${\displaystyle \partial \Omega =S}$es su límite 3D con su propio elemento de volumen 3D${\displaystyle dS}$
• ${\displaystyle \mathbf {N} =N^{\mu }}$es la normal que apunta hacia afuera
• ${\displaystyle d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)}$es el elemento de volumen diferencial 4D

La ecuación de Hamilton-Jacobi (HJE) es una formulación de la mecánica clásica, equivalente a otras formulaciones como las leyes de movimiento de Newton , la mecánica de Lagrange y la mecánica de Hamilton . La ecuación de Hamilton-Jacobi es particularmente útil para identificar cantidades conservadas para sistemas mecánicos, lo que puede ser posible incluso cuando el problema mecánico en sí no se puede resolver por completo. La HJE es también la única formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula puede representarse como una onda. En este sentido, la HJE cumplió un objetivo largamente acariciado por la física teórica (que data al menos de Johann Bernoulli en el siglo XVIII) de encontrar una analogía entre la propagación de la luz y el movimiento de una partícula.

El momento relativista generalizado de una partícula se puede escribir como ^{[1] : 93–96} donde y${\displaystyle \mathbf {P_{T}} }$$${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A} }$$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

En esencia, se trata del momento 4-total del sistema; una partícula de prueba en un campo que utiliza la regla de acoplamiento mínimo . Existe el momento inherente de la partícula , más el momento debido a la interacción con el potencial EM 4-vectorial a través de la carga de la partícula .${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle q}$

La ecuación relativista de Hamilton-Jacobi se obtiene fijando el momento total igual al gradiente negativo 4 de la acción .${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =-{\boldsymbol {\partial }}[S]=\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)[S]}$$

El componente temporal da:${\displaystyle E_{T}=H=-\partial _{t}[S]}$

Los componentes espaciales dan:${\displaystyle {\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\boldsymbol {\nabla }}}[S]}$

¿Dónde está el hamiltoniano?${\displaystyle H}$

En realidad, esto está relacionado con el hecho de que el vector de onda 4 es igual al gradiente 4 negativo de la fase de arriba.${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$

Para obtener el HJE, primero se utiliza la regla invariante escalar de Lorentz en el 4-momento:$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$$

Pero de la regla de acoplamiento mínimo :$${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} }$$

Entonces:$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)\cdot \left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\\\Rightarrow \left(-{\boldsymbol {\partial }}[S]-q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Desglosando los componentes temporales y espaciales:$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-{\frac {\partial _{t}[S]}{c}}-{\frac {q\phi }{c}}\right)^{2}-({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\end{aligned}}}$$

donde la final es la ecuación relativista de Hamilton-Jacobi .

El gradiente 4 está conectado con la mecánica cuántica .

La relación entre el 4-momento y el 4-gradiente da las relaciones de mecánica cuántica de Schrödinger . ^{[7] : 3–5}${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar {\boldsymbol {\partial }}=i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

El componente temporal da:${\displaystyle E=i\hbar \partial _{t}}$

Los componentes espaciales dan:${\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$

En realidad, esto puede estar compuesto de dos pasos separados.

Primero: ^{[1] : 82–84}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$$que es la versión completa de 4 vectores de:

La relación de Planck-Einstein (componente temporal) ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

Relación de onda de materia de De Broglie (componentes espaciales)${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

Segundo: ^{[5] : 300}

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=i{\boldsymbol {\partial }}=i\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$que es simplemente la versión de 4 gradientes de la ecuación de onda para ondas planas de valor complejo

El componente temporal da:${\displaystyle \omega =i\partial _{t}}$

Los componentes espaciales dan:${\displaystyle {\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}}$

En mecánica cuántica (física), la relación de conmutación canónica es la relación fundamental entre cantidades conjugadas canónicas (cantidades que están relacionadas por definición de modo que una es la transformada de Fourier de otra).

• Según: ^{[7] : 4} $${\displaystyle \left[P^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \left[\partial ^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \partial ^{\mu }\left[X^{\nu }\right]=i\hbar \eta ^{\mu \nu }}$$
• Tomando los componentes espaciales,$${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}}$$
• Desde ,${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$$${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=-i\hbar \delta ^{jk}}$$
• Desde ,${\displaystyle [a,b]=-[b,a]}$$${\displaystyle \left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}}$$
• Y, al reetiquetar los índices, se obtienen las reglas de conmutación cuántica habituales:$${\displaystyle \left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}}$$

El gradiente 4 es un componente en varias de las ecuaciones de onda relativistas: ^{[5] : 300–309  [3] : 25, 30–31, 55–69}

En la ecuación de onda cuántica relativista de Klein-Gordon para partículas de espín 0 (por ejemplo, el bosón de Higgs ): ^{[7] : 5}$${\displaystyle \left[\left(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

En la ecuación de onda cuántica relativista de Dirac para partículas de espín 1/2 (por ejemplo, electrones ): ^{[7] : 130}$${\displaystyle \left[i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right]\psi =0}$$

¿Dónde están las matrices gamma de Dirac y es una función de onda relativista ?${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi }$es un escalar de Lorentz para la ecuación de Klein-Gordon y un espinor para la ecuación de Dirac.

Es bueno que las matrices gamma en sí mismas hagan referencia al aspecto fundamental de la SR, la métrica de Minkowski: ^{[7] : 130}$${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$

La conservación de la densidad de corriente de 4 probabilidades se desprende de la ecuación de continuidad: ^{[7] : 6}$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\cdot {\vec {\mathbf {j} }}=0}$$

La densidad de corriente de 4 probabilidades tiene la expresión relativistamente covariante: ^{[7] : 6}$${\displaystyle J_{\text{prob}}^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

La densidad de corriente de 4 cargas es simplemente la carga ( q ) multiplicada por la densidad de corriente de 4 probabilidades: ^{[7] : 8}$${\displaystyle J_{\text{charge}}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

Las ecuaciones de onda relativistas utilizan 4 vectores para ser covariantes. ^{[3] [7]}

Comience con los 4 vectores SR estándar: ^[1]

• 4 posiciones ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$
• 4 velocidades ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$
• 4-momento ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$
• 4-vector de onda ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$
• 4-gradiente${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)}$

Tenga en cuenta las siguientes relaciones simples de las secciones anteriores, donde cada 4-vector está relacionado con otro mediante un escalar de Lorentz :

• 4-velocidad , donde es el tiempo propio${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$${\displaystyle \tau }$
• 4-momento , donde es la masa en reposo${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} }$${\displaystyle m_{0}}$
• 4-vector de onda , que es la versión de 4 vectores de la relación de Planck-Einstein y la relación de onda de materia de De Broglie${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {1}{\hbar }}\mathbf {P} }$
• 4-gradiente , que es la versión de 4 gradientes de ondas planas de valor complejo${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$

Ahora, simplemente aplique la regla del producto escalar de Lorentz estándar a cada uno:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} &=c^{2}\\\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} &=(m_{0}c)^{2}\\\mathbf {K} \cdot \mathbf {K} &=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\\{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

La última ecuación (con el producto escalar de 4 gradientes) es una relación cuántica fundamental.

Cuando se aplica a un campo escalar de Lorentz , se obtiene la ecuación de Klein-Gordon, la más básica de las ecuaciones de onda relativistas cuánticas : ^{[7] : 5–8}${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle \left[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$