Diagrama de Coxeter-Dynkin

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En geometría , un diagrama de Coxeter - Dynkin (o diagrama de Coxeter , gráfico de Coxeter ) es un gráfico con aristas etiquetadas numéricamente (llamadas ramas ) que representan un grupo de Coxeter o, a veces, un politopo uniforme o un teselado uniforme construido a partir del grupo.

Una clase de objetos estrechamente relacionados son los diagramas de Dynkin , que difieren de los diagramas de Coxeter en dos aspectos: en primer lugar, las ramas etiquetadas como " 4 " o mayores son dirigidas , mientras que los diagramas de Coxeter no son dirigidas ; en segundo lugar, los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restricción ( cristalográfica ) adicional, a saber, que las únicas etiquetas de rama permitidas son 2, 3, 4 y 6. Los diagramas de Dynkin corresponden y se utilizan para clasificar sistemas de raíces y, por lo tanto, álgebras de Lie semisimples . ^[1]

Un grupo de Coxeter es un grupo que admite una presentación: donde los m _i,j son los elementos de alguna matriz simétrica M que tiene 1 s en su diagonal . ^[a] Esta matriz M , la matriz de Coxeter , determina completamente el grupo de Coxeter.$${\displaystyle \langle r_{0},r_{1},\dots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}}=1\rangle }$$

Como la matriz de Coxeter es simétrica, se la puede considerar como la matriz de adyacencia de un grafo con aristas etiquetadas que tiene vértices correspondientes a los generadores r _i y aristas etiquetadas con m _i,j entre los vértices correspondientes a r _i y r _j . Para simplificar estos diagramas, se pueden realizar dos cambios:

• Los bordes que están etiquetados con 2 se pueden omitir, y se supone que los bordes faltantes son 2 s. Una etiqueta 2 indica que los dos generadores correspondientes conmutan; 2 es el número más pequeño que se puede usar para etiquetar un borde.
• Los bordes etiquetados como 3 se pueden dejar sin etiquetar, con la implicación de que un borde sin etiqueta actúa como un 3 .

El gráfico resultante es un diagrama de Coxeter-Dynkin que describe el grupo de Coxeter considerado.

Cada diagrama de Coxeter tiene una matriz de Schläfli correspondiente (llamada así por Ludwig Schläfli ), A , con elementos de matriz a _i,j = a _j,i = −2 cos( π / p _i,j ) donde p _i,j es el orden de ramificación entre los espejos i y j ; es decir, π / p _i,j es el ángulo diedro entre los espejos i y j . Como matriz de cosenos , A también se llama matriz de Gram . Todas las matrices de Schläfli del grupo de Coxeter son simétricas porque sus vectores raíz están normalizados. A está estrechamente relacionada con la matriz de Cartan , utilizada en el grafo similar pero dirigido: el diagrama de Dynkin , en los casos limitados de p = 2, 3, 4 y 6, que generalmente no son simétricos.

El determinante de la matriz de Schläfli se llama Schläfliano ; ^{[ cita requerida ]} el Schläfliano y su signo determinan si el grupo es finito (positivo), afín (cero) o indefinido (negativo). ^[2] Esta regla se llama Criterio de Schläfli . ^{[3] [ verificación fallida ]}

Los valores propios de la matriz de Schläfli determinan si un grupo de Coxeter es de tipo finito (todos positivos), de tipo afín (todos no negativos, al menos uno es cero) o de tipo indefinido (de lo contrario). El tipo indefinido a veces se subdivide, por ejemplo, en grupos hiperbólicos y otros grupos de Coxeter. Sin embargo, existen múltiples definiciones no equivalentes para los grupos hiperbólicos de Coxeter. Usamos las siguientes definiciones:

• Un grupo de Coxeter con diagrama conexo es hiperbólico si no es de tipo finito ni afín, pero todo subdiagrama conexo propio es de tipo finito o afín.
• Un grupo de Coxeter hiperbólico es compacto si todos sus subgrupos son finitos (es decir, tienen determinantes positivos), y paracompacto si todos sus subgrupos son finitos o afines (es decir, tienen determinantes no negativos).

Los grupos finitos y afines también se denominan elípticos y parabólicos respectivamente. Los grupos hiperbólicos también se denominan Lannér, en honor a F. Lannér, quien enumeró los grupos hiperbólicos compactos en 1950, ^[4] y Koszul (o cuasi-Lannér) para los grupos paracompactos.

El tipo de un grupo de Coxeter de rango 2 , es decir, generado por dos espejos diferentes, está completamente determinado por el determinante de la matriz de Schläfli, ya que este determinante es simplemente el producto de los valores propios: tipo finito (determinante positivo), afín (determinante cero) o hiperbólico (determinante negativo). Coxeter utiliza una notación de corchetes equivalente que enumera secuencias de órdenes de rama como sustituto de los diagramas gráficos de nodo-rama. Soluciones racionales [ p / q ], , también existen, con mcd ( p , q ) = 1; estos definen dominios fundamentales superpuestos. Por ejemplo, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4 y 6/5.

Tipo	Finito					Afín	Hiperbólico
Geometría					...
Diagrama de Coxeter Notación entre corchetes	[ ]	[2]	[3]	[4]	[ pag ]	[∞]	[∞]	[iπ/ λ ]
Orden	2	4	6	8	2 p	∞
Las líneas reflejadas están coloreadas para corresponderse con los nodos del diagrama de Coxeter. Los dominios fundamentales están coloreados de forma alternada.

Diagramas de grupo de Coxeter de rango 2
Orden p	Grupo	Diagrama de Coxeter		Matriz de Schläfli
				${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$	Determinante ${\displaystyle (4-a_{21}a_{12})}$
Finito (Determinante > 0)
2	Yo 2 (2) = A 1 × A 1		[2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	4
3	Yo 2 (3) = A 2		[3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$	3
3/2			[3/2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
4	Yo 2 (4) = B 2		[4]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	2
4/3			[4/3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$
5	Yo 2 (5) = H 2		[5]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-\phi \\-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/2}$ ≈ 1,38196601125
5/4			[5/4]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&\phi \\\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$
5/2			[5/2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1-\phi \\1-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (5+{\sqrt {5}})/2}$ ≈ 3,61803398875
5/3			[5/3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&\phi -1\\\phi -1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
6	Yo 2 (6) = G 2		[6]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	1
6/5			[6/5]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$
8	Yo 2 (8)		[8]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {2}}}$ ≈ 0,58578643763
10	Yo 2 (10)		[10]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\\-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (3-{\sqrt {5}})/2}$ ≈ 0,38196601125
12	Yo 2 (12)		[12]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$ ≈ 0,26794919243
pag	Yo 2 ( pág )		[ pag ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi /p)\\-2\cos(\pi /p)&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 4\sin ^{2}(\pi /p)}$
Afín (Determinante = 0)
∞	Yo 2 (∞) = =${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}$		[∞]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0
Hiperbólico (Determinante ≤ 0)
∞			[∞]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0
∞			[iπ/ λ ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cosh(2\lambda )\\-2\cosh(2\lambda )&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle -4\sinh ^{2}(2\lambda )\leq 0}$

El diagrama de Coxeter-Dynkin puede considerarse una descripción gráfica del dominio fundamental de los espejos. Un espejo representa un hiperplano dentro de un espacio esférico, euclidiano o hiperbólico de una dimensión determinada. (En espacios 2D, un espejo es una línea; en 3D, un espejo es un plano).

Estas visualizaciones muestran los dominios fundamentales para los grupos euclidianos 2D y 3D, y para los grupos esféricos 2D. Para cada uno, el diagrama de Coxeter se puede deducir identificando los espejos hiperplanos y etiquetando su conectividad, ignorando los ángulos diedros de 90 grados (orden 2; ver nota al pie [a] a continuación).

Grupos de Coxeter en el plano euclidiano con diagramas equivalentes. Aquí, los vértices del dominio se etiquetan como ramas del grafo 1, 2, etc., y se colorean según su orden de reflexión (conectividad). Las reflexiones se etiquetan como nodos del grafo R1, R2, etc. Las reflexiones a 90 grados están inactivas en el sentido de que, juntas, no generan nuevas reflexiones; [b] por lo tanto, no están conectadas entre sí por una rama en el diagrama. Los espejos paralelos están conectados entre sí por una rama etiquetada con ∞ . El cuadrado del grupo prismático × se muestra como una duplicación del triángulo alrededor de su lado R2 *, pero también se puede crear como un dominio rectangular a partir de la duplicación del triángulo alrededor de su lado R2 *. El triángulo es una duplicación del triángulo alrededor de su lado R3 *. *(este lado desaparece al duplicarse alrededor de sí mismo)${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$
Muchos grupos de Coxeter en el plano hiperbólico pueden extenderse a partir de los casos euclidianos como una serie de soluciones hiperbólicas.
Grupos de Coxeter en el espacio tridimensional con diagramas. Los espejos (caras de triángulos) están etiquetados por vértice opuesto: 0, ..., 3. Las ramas están coloreadas según su orden de reflexión. llena 1/48 del cubo. llena 1/24 del cubo. llena 1/12 del cubo. ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$	Grupos de Coxeter en la esfera con diagramas equivalentes. Un dominio fundamental está delineado en amarillo. Los vértices del dominio (y las ramas del grafo) están coloreados según su orden de reflexión.

Al construir politopos uniformes, los nodos se marcan como activos mediante un anillo si un punto generador está fuera del espejo, lo que crea un nuevo borde entre un punto generador y su imagen reflejada. Un nodo sin anillo representa un espejo inactivo que no genera puntos nuevos. Un anillo sin nodo se denomina agujero .

Se pueden utilizar dos espejos ortogonales para generar un cuadrado,, que se ve aquí con un punto generador rojo y tres copias virtuales en los espejos. El generador tiene que estar fuera de ambos espejos en este caso ortogonal para generar un interior. El marcado de anillos supone que los anillos activos tienen generadores a la misma distancia de todos los espejos, mientras que un rectángulo también puede representar una solución no uniforme.

Los diagramas de Coxeter-Dynkin pueden enumerar explícitamente casi todas las clases de politopo uniforme y teselaciones uniformes . Cada politopo uniforme con simetría reflexiva pura (todos, salvo unos pocos casos especiales, tienen simetría reflexiva pura) se puede representar mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin con permutaciones de marcas . Cada politopo uniforme se puede generar utilizando dichos espejos y un único punto generador: las imágenes especulares crean nuevos puntos como reflejos, luego se pueden definir los bordes del politopo entre los puntos y un punto de imagen especular. Las caras se generan por la reflexión repetida de un borde que eventualmente envuelve al generador original; la forma final, así como cualquier faceta de dimensión superior, también se crean mediante la cara que se refleja para encerrar un área.

Para especificar el vértice generador, uno o más nodos se marcan con anillos, lo que significa que el vértice no está en el espejo o espejos representados por el nodo o los nodos con anillos. (Si se marcan dos o más espejos, el vértice es equidistante de ellos). Un espejo está activo (crea reflejos) solo con respecto a los puntos que no están en él. Un diagrama necesita al menos un nodo activo para representar un politopo. Un diagrama no conectado (subgrupos separados por ramas de orden 2 o espejos ortogonales) requiere al menos un nodo activo en cada subgrafo.

Todos los politopos regulares , representados por el símbolo de Schläfli { p , q , r , ...} , pueden tener sus dominios fundamentales representados por un conjunto de n espejos con un diagrama de Coxeter-Dynkin relacionado de una línea de nodos y ramas etiquetados por p , q , r , ..., con el primer nodo anillado.

Los politopos uniformes con un anillo corresponden a puntos generadores en las esquinas del dominio fundamental del símplex. Dos anillos corresponden a las aristas del símplex y tienen un grado de libertad, con solo el punto medio como solución uniforme para longitudes de aristas iguales. En general, los puntos generadores del anillo k están en las (k-1) caras del símplex, y si todos los nodos están anillados, el punto generador está en el interior del símplex.

El caso especial de politopos uniformes con simetría no reflexiva se representa mediante un marcado secundario en el que se elimina el punto central de un nodo anillado (lo que se denomina agujero ). Estas formas son alternancias de politopos con simetría reflexiva, lo que implica que se eliminan todos los demás vértices. El politopo resultante tendrá una subsimetría del grupo de Coxeter original . Una alternancia truncada se denomina snub .

• Un nodo único representa un espejo único. Esto se denomina grupo A ₁ . Si se anilla, se crea un segmento de línea perpendicular al espejo, representado como {}.
• Dos nodos no unidos representan dos espejos perpendiculares . Si ambos nodos están rodeados por un anillo, se puede crear un rectángulo , o un cuadrado si el punto está a la misma distancia de ambos espejos.
• Dos nodos unidos por una rama de orden n pueden crear un n -gono si el punto está en un espejo, y un 2n - gono si el punto está fuera de ambos espejos. Esto forma el grupo I ₁ (n) .
• Dos espejos paralelos pueden representar un grupo de polígonos infinitos I ₁ (∞) , también llamado Ĩ ₁ .
• Tres espejos en un triángulo forman imágenes que se ven en un caleidoscopio tradicional y se pueden representar mediante tres nodos conectados en un triángulo. Los ejemplos repetidos tendrán ramas etiquetadas como (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), aunque las dos últimas se pueden dibujar como una línea (sin tener en cuenta las dos ramas). Esto generará teselas uniformes .
• Tres espejos pueden generar poliedros uniformes ; incluyendo números racionales se obtiene el conjunto de triángulos de Schwarz .
• Tres espejos, uno perpendicular a los otros dos, pueden formar prismas uniformes .

Hay 7 construcciones uniformes reflectantes dentro de un triángulo general, basadas en 7 posiciones de generador topológico dentro del dominio fundamental. Cada espejo activo genera un borde, con dos espejos activos que tienen generadores en los lados del dominio y tres espejos activos que tienen el generador en el interior. Se pueden resolver uno o dos grados de libertad para una posición única para longitudes de borde iguales del poliedro o mosaico resultante.

Ejemplo 7 generadores sobre simetría octaédrica , dominio fundamental triángulo (4 3 2), con 8va generación de snub como alternancia

Los duales de los politopos uniformes a veces se marcan con una barra perpendicular que reemplaza los nodos anillados y con un agujero en la barra para los nodos huecos de los romos. Por ejemplo,representa un rectángulo (como dos espejos ortogonales activos), yrepresenta su polígono dual , el rombo .

Por ejemplo, el grupo B ₃ de Coxeter tiene un diagrama:Esto también se llama simetría octaédrica .

Hay 7 poliedros uniformes convexos que pueden construirse a partir de este grupo de simetría y 3 a partir de sus subsimetrías de alternancia , cada uno con un diagrama de Coxeter-Dynkin marcado de forma única. El símbolo de Wythoff representa un caso especial del diagrama de Coxeter para grafos de rango 3, con los 3 órdenes de ramificación nombrados, en lugar de suprimir las ramas de orden 2. El símbolo de Wythoff puede manejar la forma de snub , pero no las alternancias generales sin todos los nodos anillados.

Poliedros octaédricos uniformes
Simetría : [4,3], (*432)							[4,3] + (432)	[1 + ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 + ,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3 1,1 }	t{3,4} t{3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr { 4,3} s2 {3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2 {4,3} t { 3,3}	s{3,4} s{3 1,1 }
		=	=	=				= o	= o	=
De poliedros duales a uniformes
V4 3	Versión 3.8 2	V(3.4) 2	Versión 4.6 2	Versión 3 4	Versión 3.4 3	V4.6.8	Versión 3 4 .4	V3 3	Versión 3.6 2	V3 5

Las mismas construcciones se pueden realizar en grupos de Coxeter disjuntos (ortogonales) como los prismas uniformes , y se pueden ver más claramente como teselas de diedros y hosoedros en la esfera, como esta familia [6]×[] o [6,2]:

Poliedros esféricos diedros hexagonales uniformes
Simetría : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
De duales a uniformes
V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	Versión 2 6	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

En comparación, [6,3],La familia produce un conjunto paralelo de 7 teselación uniforme del plano euclidiano y sus teselación dual. Hay nuevamente 3 alternancias y alguna versión de semisimetría.

Teselación hexagonal/triangular uniforme en a mi
Simetría : [6,3], (*632)							[6,3] + (632)	[6,3 + ] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}
6 3	3.12 2	(3.6) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Duelos uniformes
V6 3	Versión 3.12 2	V(3.6) 2	V6 3	Versión 3 6	V3.4.6.4	V.4.6.12	Versión 3 4.6	Versión 3 6

En el plano hiperbólico [7,3],La familia produce un conjunto paralelo de teselados uniformes y sus teselados duales. Solo hay una alternancia ( snub ) ya que todos los órdenes de ramificación son impares. Se pueden ver muchas otras familias hiperbólicas de teselados uniformes en teselados uniformes en el plano hiperbólico .

Teselación heptagonal/triangular uniforme en a mi
Simetría: [7,3], (*732)							[7,3] + , (732)
{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	t{3,7}	{3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
Duelos uniformes
V7 3	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	Versión 3 7	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Un uso incluye una definición muy extendida del uso directo del diagrama de Dynkin que considera a los grupos afines como extendidos , a los grupos hiperbólicos como sobreextendidos y a un tercer nodo como grupos simples muy extendidos . Estas extensiones suelen estar marcadas por un exponente de 1, 2 o 3 + símbolos para el número de nodos extendidos. Esta serie de extensión se puede extender hacia atrás, eliminando secuencialmente los nodos de la misma posición en el gráfico, aunque el proceso se detiene después de eliminar el nodo de ramificación. La familia extendida E ₈ es el ejemplo que se muestra con más frecuencia, extendiéndose hacia atrás desde E ₃ y hacia adelante hasta E ₁₁ .

El proceso de extensión puede definir una serie limitada de grafos de Coxeter que progresan de finitos a afines a hiperbólicos a lorentzianos. El determinante de las matrices de Cartan determina dónde la serie cambia de finita (positiva) a afín (cero) a hiperbólica (negativa), y termina como un grupo lorentziano, que contiene al menos un subgrupo hiperbólico. ^[5] Los grupos H _n no cristalográficos forman una serie extendida donde H ₄ se extiende como un hiperbólico compacto y se sobreextiende en un grupo lorentziano.

Los determinantes de la matriz de Schläfli por rango son: ^[6]

• det( A ₁ ⁿ = [2 ^{n −1} ]) = 2 ⁿ (Finito para todo n )
• det( A _n = [3 ^{n −1} ]) = n + 1 (finito para todo n )
• det( B _n = [4,3 ^{n −2} ]) = 2 (finito para todo n )
• det( D _n = [3 ^{n −3,1,1} ]) = 4 (finito para todo n )

Los determinantes de la matriz de Schläfli en series excepcionales son:

• det( E _n = [3 ^{n −3,2,1} ]) = 9 − n (finito para E ₃ (= A ₂ A ₁ ), E ₄ (= A ₄ ​​), E ₅ (= D ₅ ), E ₆ , E ₇ y E ₈ , afín en E ₉ ( ), hiperbólico en E ₁₀ )${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$
• det([3 ^{n −4,3,1} ]) = 2(8 − n ) (finito para n = 4 a 7, afín ( ), e hiperbólico en n = 8.)${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$
• det([3 ^{n −4,2,2} ]) = 3(7 − n ) (finito para n = 4 a 6, afín ( ), e hiperbólico en n = 7.)${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$
• det( F _n = [3,4,3 ^{n −3} ]) = 5 − n (finito para F ₃ (= B ₃ ) a F ₄ , afín en F ₅ ( ), hiperbólico en F ₆ )${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$
• det( G _n = [6,3 ^{n −2} ]) = 3 − n (finito para G ₂ , afín en G ₃ ( ), hiperbólico en G ₄ )${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$

Serie extendida más pequeña

Finito	${\displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle G_{2}}$	${\displaystyle A_{3}}$	${\displaystyle B_{3}}$	${\displaystyle C_{3}}$	${\displaystyle H_{4}}$
Rango n	[3 [3] ,3 n −3 ]	[4,4,3 n −3 ]	G n = [6,3 n −2 ]	[3 [4] ,3 n −4 ]	[4,3 1, n −3 ]	[4,3,4,3 n −4 ]	H n = [5,3 n −2 ]
2	[3] Un 2	[ 4] C2	[ 6] G2		[2] Un 1 2	[ 4] C2	[ 5] H2
3	[3 [3] ] ${\displaystyle A_{2}^{+}={\tilde {A}}_{2}}$	[4,4] ${\displaystyle C_{2}^{+}={\tilde {C}}_{2}}$	[6,3] ${\displaystyle G_{2}^{+}={\tilde {G}}_{2}}$	[3,3]=A 3	[4,3 ] B3	[4,3 ] C3	[5,3 ] H3
4	[3 [3] ,3] ${\displaystyle A_{2}^{++}={\overline {P}}_{3}}$	[4,4,3] ${\displaystyle C_{2}^{++}={\overline {R}}_{3}}$	[6,3,3] ${\displaystyle G_{2}^{++}={\overline {V}}_{3}}$	[3 [4] ] ${\displaystyle A_{3}^{+}={\tilde {A}}_{3}}$	[4,3 1,1 ] ${\displaystyle B_{3}^{+}={\tilde {B}}_{3}}$	[4,3,4] ${\displaystyle C_{3}^{+}={\tilde {C}}_{3}}$	[5,3,3 ] H4
5	[3 [3] ,3,3] Un 2 +++	[4,4,3,3] C 2 +++	[6,3,3,3] G 2 +++	[3 [4] ,3] ${\displaystyle A_{3}^{++}={\overline {P}}_{4}}$	[4,3 2,1 ] ${\displaystyle B_{3}^{++}={\overline {S}}_{4}}$	[4,3,4,3] ${\displaystyle C_{3}^{++}={\overline {R}}_{4}}$	[5,3 3 ] H 5 =${\displaystyle {\overline {H}}_{4}}$
6				[3 [4] ,3,3] A 3 +++	[ 4,3 3,1 ] B3 +++	[4,3,4,3,3] C 3 +++	[ 5,3 4 ] H6
Det ( Mn )	3(3− n )	2(3− n )	3− n	4(4− n )	2(4− n )

Serie extendida intermedia

Finito	${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle B_{4}}$	${\displaystyle C_{4}}$	${\displaystyle D_{4}}$	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle B_{5}}$	${\displaystyle D_{5}}$
Rango n	[3 [5] ,3 n −5 ]	[4,3,3 n −4,1 ]	[4,3,3,4,3 n −5 ]	[3 n −4,1,1,1 ]	[3,4,3 n −3 ]	[3 [6] ,3 n −6 ]	[4,3,3,3 n −5,1 ]	[3 1,1 ,3,3 n −5,1 ]
3		[4,3 −1,1 ] segundo 2 un 1	[4,3 ] B3	[3 −1,1,1,1 ] A 1 3	[ 3,4] B3		[4,3,3 ] C3
4	[3 3 ] Un 4	[4,3,3 ] B4	[4,3,3] C 4	[3 0,1,1,1 ] D 4	[3,4,3 ] F4		[4,3,3,3 −1,1 ] segundo 3 un 1	[3 1,1 ,3,3 −1,1 ] Un 3 Un 1
5	[3 [5] ] ${\displaystyle A_{4}^{+}={\tilde {A}}_{4}}$	[4,3,3 1,1 ] ${\displaystyle B_{4}^{+}={\tilde {B}}_{4}}$	[4,3,3,4] ${\displaystyle C_{4}^{+}={\tilde {C}}_{4}}$	[3 1,1,1,1 ] ${\displaystyle D_{4}^{+}={\tilde {D}}_{4}}$	[3,4,3,3] ${\displaystyle F_{4}^{+}={\tilde {F}}_{4}}$	[3 4 ] Un 5	[4,3,3,3,3] B 5	[3 1,1 ,3,3] D 5
6	[3 [5] ,3] ${\displaystyle A_{4}^{++}={\overline {P}}_{5}}$	[4,3,3 2,1 ] ${\displaystyle B_{4}^{++}={\overline {S}}_{5}}$	[4,3,3,4,3] ${\displaystyle C_{4}^{++}={\overline {R}}_{5}}$	[3 2,1,1,1 ] ${\displaystyle D_{4}^{++}={\overline {Q}}_{5}}$	[3,4,3 3 ] ${\displaystyle F_{4}^{++}={\overline {U}}_{5}}$	[3 [6] ] ${\displaystyle A_{5}^{+}={\tilde {A}}_{5}}$	[4,3,3,3 1,1 ] ${\displaystyle B_{5}^{+}={\tilde {B}}_{5}}$	[3 1,1 ,3,3 1,1 ] ${\displaystyle D_{5}^{+}={\tilde {D}}_{5}}$
7	[3 [5] ,3,3] Un 4 +++	[4,3,3 3,1 ] B 4 +++	[4,3,3,4,3,3] C 4 +++	[3 3,1,1,1 ] D 4 +++	[3,4,3 4 ] F 4 +++	[3 [6] ,3] ${\displaystyle A_{5}^{++}={\overline {P}}_{6}}$	[4,3,3,3 2,1 ] ${\displaystyle B_{5}^{++}={\overline {S}}_{6}}$	[3 1,1 ,3,3 2,1 ] ${\displaystyle D_{5}^{++}={\overline {Q}}_{6}}$
8						[3 [6] ,3,3] Un 5 +++	[4,3,3,3 3,1 ] B 5 +++	[3 1,1 ,3,3 3,1 ] D 5 +++
Det ( Mn )	5(5− n )	2(5− n )		4(5− n )	5− n	6(6− n )	4(6− n )

Algunas series más extendidas

Finito	${\displaystyle A_{6}}$	${\displaystyle B_{6}}$	${\displaystyle D_{6}}$	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle A_{7}}$	${\displaystyle B_{7}}$	${\displaystyle D_{7}}$	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle E_{8}}$
Rango n	[3 [7] ,3 n −7 ]	[4,3 3 ,3 n −6,1 ]	[3 1,1 ,3,3,3 n −6,1 ]	[3 n −5,2,2 ]	[3 [8] ,3 n −8 ]	[4,3 4 ,3 n −7,1 ]	[3 1,1 ,3,3,3,3 n −7,1 ]	[3 n −5,3,1 ]	En = [3 n −4,2,1 ]
3									[3 −1,2,1 ] E 3 = A 2 A 1
4				[3 −1,2,2 ] A 2 2				[3 −1,3,1 ] Un 3 Un 1	[3 0,2,1 ] E 4 = A 4
5		[4,3,3,3,3 −1,1 ] segundo 4 un 1	[3 1,1 ,3,3,3 −1,1 ] re 4 un 1	[3 0,2,2 ] Un 5				[3 0,3,1 ] Un 5	[3 1,2,1 ] E 5 = D 5
6	[3 5 ] Un 6	[ 4,3 4 ] B6	[3 1,1 ,3,3,3] D 6	[3 1,2,2 ] E 6		[4,3,3,3,3,3 −1,1 ] B 5 A 1	[3 1,1 ,3,3,3,3 −1,1 ] re 5 un 1	[3 1,3,1 ] D 6	[3 2,2,1 ] E 6 *
7	[3 [7] ] ${\displaystyle A_{6}^{+}={\tilde {A}}_{6}}$	[4,3 3 ,3 1,1 ] ${\displaystyle B_{6}^{+}={\tilde {B}}_{6}}$	[3 1,1 ,3,3,3 1,1 ] ${\displaystyle D_{6}^{+}={\tilde {D}}_{6}}$	[3 2,2,2 ] ${\displaystyle E_{6}^{+}={\tilde {E}}_{6}}$	[3 6 ] Un 7	[ 4,3 5 ] B7	[3 1,1 ,3,3,3,3 0,1 ] D 7	[3 2,3,1 ] E 7 *	[3 3,2,1 ] E 7 *
8	[3 [7] ,3] ${\displaystyle A_{6}^{++}={\overline {P}}_{7}}$	[4,3 3 ,3 2,1 ] ${\displaystyle B_{6}^{++}={\overline {S}}_{7}}$	[3 1,1 ,3,3,3 2,1 ] ${\displaystyle D_{6}^{++}={\overline {Q}}_{7}}$	[3 3,2,2 ] ${\displaystyle E_{6}^{++}={\overline {T}}_{7}}$	[3 [8] ] * ${\displaystyle A_{7}^{+}={\tilde {A}}_{7}}$	[4,3 4 ,3 1,1 ] * ${\displaystyle B_{7}^{+}={\tilde {B}}_{7}}$	[3 1,1 ,3,3,3,3 1,1 ] * ${\displaystyle D_{7}^{+}={\tilde {D}}_{7}}$	[3 3,3,1 ] * ${\displaystyle E_{7}^{+}={\tilde {E}}_{7}}$	[3 4,2,1 ] E 8 *
9	[3 [7] ,3,3] A 6 +++	[ 4,3 3 ,3 3,1 ] B6 +++	[3 1,1 ,3,3,3 3,1 ] D 6 +++	[3 4,2,2 ] E 6 +++	[3 [8] ,3] * ${\displaystyle A_{7}^{++}={\overline {P}}_{8}}$	[4,3 4 ,3 2,1 ] * ${\displaystyle B_{7}^{++}={\overline {S}}_{8}}$	[3 1,1 ,3,3,3,3 2,1 ] * ${\displaystyle D_{7}^{++}={\overline {Q}}_{8}}$	[3 4,3,1 ] * ${\displaystyle E_{7}^{++}={\overline {T}}_{8}}$	[3 5,2,1 ] E 9 = *${\displaystyle E_{8}^{+}={\tilde {E}}_{8}}$
10					[3 [8] ,3,3] A 7 +++ *	[4,3 4 , 3 3,1 ] B7 +++ *	[3 1,1 ,3,3,3,3 3,1 ] D 7 +++ *	[3 5,3,1 ] E 7 +++ *	[3 6,2,1 ] E 10 = *${\displaystyle E_{8}^{++}={\overline {T}}_{9}}$
11									[3 7,2,1 ] E 11 = E 8 +++ *
Det ( Mn )	7(7− n )	2(7− n )	4(7− n )	3(7− n )	8(8− n )	2(8− n )	4(8− n )	2(8− n )	9− n