Mecanismo de Higgs

Modelo estándar de física de partículas
Partículas elementales del Modelo Estándar
Fondo Física de partículas Modelo estándar Teoría cuántica de campos Teoría de gauge Ruptura espontánea de simetría Mecanismo de Higgs
Constituyentes Interacción electrodébil Cromodinámica cuántica Matriz CKM Matemáticas del Modelo Estándar
Limitaciones Problema CP fuerte Problema de jerarquía Oscilaciones de neutrinos Física más allá del Modelo Estándar
Científicos Rutherford Thomson Chadwick Bosé Sudarshan Davis Jr Anderson Fermi Dirac Feynman rubí Gell-Mann Kendall Taylor Friedman Powell Anderson espectáculo de vidrio Iliopoulos Hombre de cuero Maiani Más Cowan Nambu Chambelán Cabibbo Schwartz Perl Mayorana Weinberg Sotavento Pabellón Saludos Kobayashi Máscara Molinos Yang Yukawa No casco Veltman Bruto País Pablo Politzer Reinas Schwinger Wilczek Cronin Ajuste Vleck bosón de higgs Englert Brote Hagen Guralnik Croquetas de Mayolo Café con leche Dos
en a mi

Teoría cuántica de campos
Diagrama de Feynman
Historia
Fondo Teoría de campos Electromagnetismo Fuerza débil Fuerza fuerte Mecánica cuántica Relatividad especial Relatividad general Teoría de calibre Teoría de Yang-Mills
Simetrías Simetría en la mecánica cuántica Simetría C P-simetría Simetría T Simetría de Lorentz Simetría de Poincaré Simetría de calibre Ruptura explícita de simetría Ruptura espontánea de la simetría Noether charge Topological charge
Tools Anomaly Background field method BRST quantization Correlation function Crossing Effective action Effective field theory Expectation value Feynman diagram Lattice field theory LSZ reduction formula Partition function Path Integral Formulation Propagator Quantization Regularization Renormalization Vacuum state Wick's theorem Wightman Axioms
Equations Dirac equation Klein–Gordon equation Proca equations Wheeler–DeWitt equation Bargmann–Wigner equations Schwinger-Dyson equation Renormalization group equation
Standard Model Quantum electrodynamics Electroweak interaction Quantum chromodynamics Higgs mechanism
Incomplete theories String theory Supersymmetry Technicolor Theory of everything Quantum gravity
Scientists Adler Anderson Anselm Bargmann Becchi Belavin Bell Berezin Bethe Bjorken Bleuer Bogoliubov Brodsky Brout Buchholz Cachazo Callan Coleman Connes Dashen DeWitt Dirac Doplicher Dyson Englert Faddeev Fadin Fayet Fermi Feynman Fierz Fock Frampton Fritzsch Fröhlich Fredenhagen Furry Glashow Gelfand Gell-Mann Glimm Goldstone Gribov Gross Gupta Guralnik Haag Heisenberg Hepp Higgs Hagen 't Hooft Iliopoulos Ivanenko Jackiw Jaffe Jona-Lasinio Jordan Jost Källén Kendall Kinoshita Klebanov Kontsevich Kreimer Kuraev Landau Lee Lehmann Leutwyler Lipatov Łopuszański Low Lüders Maiani Majorana Maldacena Migdal Mills Møller Naimark Nambu Neveu Nishijima Oehme Oppenheimer Osterwalder Parisi Pauli Peskin Plefka Polchinski Polyakov Pomeranchuk Popov Proca Rubakov Ruelle Salam Schrader Schwarz Schwinger Segal Seiberg Semenoff Shifman Shirkov Skyrme Sommerfield Stora Stueckelberg Sudarshan Symanzik Thirring Tomonaga Tyutin Vainshtein Veltman Virasoro Ward Weinberg Weisskopf Wentzel Wess Wetterich Weyl Wick Wightman Wigner Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zamolodchikov Zamolodchikov Zee Zimmermann Zinn-Justin Zuber Zumino
v t e

En el Modelo Estándar de física de partículas , el mecanismo de Higgs es esencial para explicar el mecanismo de generación de la propiedad " masa " para los bosones de gauge . Sin el mecanismo de Higgs, todos los bosones (una de las dos clases de partículas, la otra son los fermiones ) se considerarían sin masa , pero las mediciones muestran que los ^bosones W ⁺ , W− ^y Z0 en realidad tienen masas relativamente grandes de alrededor de 80 GeV/ ^c2 . El campo de Higgs resuelve este enigma. La descripción más simple del mecanismo agrega un campo cuántico (el campo de Higgs ) que permea todo el espacio al Modelo Estándar. Por debajo de una temperatura extremadamente alta, el campo causa una ruptura espontánea de la simetría durante las interacciones. La ruptura de la simetría desencadena el mecanismo de Higgs, haciendo que los bosones con los que interactúa tengan masa. En el Modelo Estándar, la frase "mecanismo de Higgs" se refiere específicamente a la generación de masas para los bosones de gauge débiles W ^± , y Z a través de la ruptura de la simetría electrodébil . ^[1] El Gran Colisionador de Hadrones del CERN anunció resultados consistentes con la partícula de Higgs el 14 de marzo de 2013, lo que hace extremadamente probable que el campo, o uno similar, exista, y explica cómo se produce el mecanismo de Higgs en la naturaleza. La visión del mecanismo de Higgs como algo que implica la ruptura espontánea de una simetría de gauge es técnicamente incorrecta ya que, según el teorema de Elitzur, las simetrías de gauge nunca pueden romperse espontáneamente. En cambio, el mecanismo de Fröhlich -Morchio-Strocchi reformula el mecanismo de Higgs de una manera completamente invariante a la de gauge, lo que generalmente conduce a los mismos resultados. ^[2]

El mecanismo fue propuesto en 1962 por Philip Warren Anderson , ^[3] a raíz de un trabajo de finales de la década de 1950 sobre la ruptura de la simetría en la superconductividad y un artículo de 1960 de Yoichiro Nambu que analizaba su aplicación dentro de la física de partículas .

Una teoría capaz de explicar finalmente la generación de masa sin "romper" la teoría de gauge fue publicada casi simultáneamente por tres grupos independientes en 1964: por Robert Brout y François Englert ; ^[4] por Peter Higgs ; ^[5] y por Gerald Guralnik , CR Hagen y Tom Kibble . ^{[6] [7] [8]} Por lo tanto, el mecanismo de Higgs también se llama mecanismo de Brout–Englert–Higgs , o mecanismo de Englert–Brout–Higgs–Guralnik–Hagen–Kibble , ^[9] mecanismo de Anderson–Higgs , ^[10] mecanismo de Anderson–Higgs–Kibble , ^[11] mecanismo de Higgs–Kibble por Abdus Salam ^[12] y mecanismo ABEGHHK'tH (para Anderson, Brout, Englert, Guralnik, Hagen, Higgs, Kibble y 't Hooft ) por Peter Higgs. ^[12] El mecanismo de Higgs en electrodinámica también fue descubierto independientemente por Eberly y Reiss en sentido inverso como la ganancia de masa del campo de Dirac "de calibre" debido al campo electromagnético desplazado artificialmente como un campo de Higgs. ^[13]

El 8 de octubre de 2013, tras el descubrimiento en el Gran Colisionador de Hadrones del CERN de una nueva partícula que parecía ser el largamente buscado bosón de Higgs predicho por la teoría, se anunció que Peter Higgs y François Englert habían sido galardonados con el Premio Nobel de Física 2013. ^{[a] [14]}

El mecanismo de Higgs fue incorporado a la física de partículas moderna por Steven Weinberg y Abdus Salam , y es una parte esencial del Modelo Estándar .

En el Modelo Estándar, a temperaturas lo suficientemente altas como para que la simetría electrodébil no se rompa, todas las partículas elementales no tienen masa. A una temperatura crítica, el campo de Higgs desarrolla un valor esperado de vacío ; algunas teorías sugieren que la simetría se rompe espontáneamente por condensación de taquiones , y los bosones W y Z adquieren masas (también llamado "ruptura de simetría electrodébil", o EWSB ). En la historia del universo, se cree que esto sucedió aproximadamente un picosegundo (10 ⁻¹² s) después del Big Bang caliente, cuando el universo estaba a una temperatura de 159,5 ± 1,5  GeV . ^[15]

Los fermiones, como los leptones y los quarks del Modelo Estándar, también pueden adquirir masa como resultado de su interacción con el campo de Higgs, pero no de la misma manera que los bosones de gauge.

En el modelo estándar, el campo de Higgs es un doblete SU (2) (es decir, la representación estándar con dos componentes complejos llamados isospín), que es un escalar bajo las transformaciones de Lorentz. Su carga eléctrica es cero; su isospín débil es ⁠1/2⁠ y el tercer componente del isospín débil es − ⁠1/2⁠ ; y su hipercarga débil (la carga para el grupo de calibre U (1) definido hasta una constante multiplicativa arbitraria) es 1. Bajo rotaciones U (1), se multiplica por una fase, que mezcla así las partes reales e imaginarias del espinor complejo entre sí, combinándose en la representación compleja estándar de dos componentes del grupo U (2).

El campo de Higgs, a través de las interacciones especificadas (resumidas, representadas o incluso simuladas) por su potencial, induce la ruptura espontánea de tres de los cuatro generadores ("direcciones") del grupo de calibración U (2). Esto se escribe a menudo como SU (2) _L × U (1) _Y , (que, estrictamente hablando, es lo mismo solo en el nivel de simetrías infinitesimales) porque el factor de fase diagonal también actúa sobre otros campos, en particular los quarks . Tres de sus cuatro componentes se resolverían normalmente como bosones de Goldstone , si no estuvieran acoplados a campos de calibración.

Sin embargo, después de la ruptura de la simetría, estos tres de los cuatro grados de libertad en el campo de Higgs se mezclan con los tres bosones W y Z (
Yo⁺
,
Yo⁻
y
O⁰
), y solo son observables como componentes de estos bosones débiles , que se vuelven masivos por su inclusión; solo el único grado de libertad restante se convierte en una nueva partícula escalar: el bosón de Higgs . Los componentes que no se mezclan con los bosones de Goldstone forman un fotón sin masa.

El grupo de calibración de la parte electrodébil del modelo estándar es SU (2) _L × U (1) _Y . El grupo SU (2) es el grupo de todas las matrices unitarias de 2 por 2 con determinante unitario; todos los cambios ortonormales de coordenadas en un espacio vectorial bidimensional complejo.

Al girar las coordenadas de modo que el segundo vector base apunte en la dirección del bosón de Higgs, el valor esperado del vacío de H es el espinor ( 0, v ) . Los generadores de rotaciones sobre los ejes x, y y z son la mitad de las matrices de Pauli σ _x , σ _y y σ _z , de modo que una rotación de ángulo θ sobre el eje z lleva el vacío a

${\displaystyle \ {\Bigl (}\ 0\ ,\ v\ e^{-{\tfrac {1}{2}}\ i\ \theta }\ {\Bigr )}~.}$

Mientras que los generadores T _x y T _y mezclan los componentes superior e inferior del espinor , las rotaciones T _z solo multiplican cada una por fases opuestas. Esta fase se puede deshacer mediante una rotación U (1) de ángulo ⁠  1 / 2 ⁠ θ . En consecuencia, tanto bajo unarotación SU (2) T _{z como bajo una rotación} U (1) en una cantidad ⁠  1 / 2 ⁠ θ , el vacío es invariante.

Esta combinación de generadores

${\displaystyle \ Q=T_{3}+{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}\ }$

define la parte no interrumpida del grupo de calibración, donde Q es la carga eléctrica, T ₃ es el generador de rotaciones alrededor del eje 3 en la SU (2) e Y _W es el generador de hipercarga débil de la U (1). Esta combinación de generadores (una rotación 3 en la SU (2) y una rotación simultánea de la U (1) por la mitad del ángulo) preserva el vacío y define el grupo de calibración no interrumpido en el modelo estándar, es decir, el grupo de carga eléctrica. La parte del campo de calibración en esta dirección permanece sin masa y equivale al fotón físico. Por el contrario, la carga traza-ortogonal rota se acopla a la carga masiva${\displaystyle \ T_{3}-{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}=2\ T_{3}-Q\ }$
O⁰
 bosón.

A pesar de la introducción de la ruptura espontánea de la simetría, los términos de masa impiden la invariancia de calibración quiral. Para estos campos, los términos de masa siempre deben reemplazarse por un mecanismo de "Higgs" invariante de calibración. Una posibilidad es algún tipo de acoplamiento de Yukawa (ver más abajo) entre el campo de fermiones ψ y el campo de Higgs φ , con acoplamientos desconocidos G _ψ , que después de la ruptura de la simetría (más precisamente: después de la expansión de la densidad de Lagrange alrededor de un estado fundamental adecuado) nuevamente da como resultado los términos de masa originales, que ahora, sin embargo (es decir, por la introducción del campo de Higgs) se escriben de una manera invariante de calibración. La densidad de Lagrange para la interacción de Yukawa de un campo de fermiones ψ y el campo de Higgs φ es

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {Fermion} }(\phi ,A,\psi )~=~{\overline {\psi }}\ \gamma ^{\mu }\ D_{\mu }\ \psi ~+~G_{\psi }\ {\overline {\psi }}\ \phi \ \psi \ ,}$

donde nuevamente el campo de calibre A solo entra a través del operador de derivada covariante de calibre D _μ (es decir, solo es visible indirectamente). Las cantidades γ _μ son las matrices de Dirac , y G _ψ es el parámetro de acoplamiento de Yukawa ya mencionado para ψ . Ahora la generación de masa sigue el mismo principio que el anterior, es decir, a partir de la existencia de un valor esperado finito Nuevamente, esto es crucial para la existencia de la propiedad masa .${\displaystyle \ |\langle \phi \rangle |~.}$

La ruptura espontánea de la simetría ofreció un marco para introducir bosones en las teorías cuánticas de campos relativistas. Sin embargo, según el teorema de Goldstone , estos bosones deberían no tener masa. ^[16] Las únicas partículas observadas que podrían interpretarse aproximadamente como bosones de Goldstone fueron los piones , que Yoichiro Nambu relacionó con la ruptura de la simetría quiral .

Un problema similar surge con la teoría de Yang-Mills (también conocida como teoría de gauge no abeliana ), que predice bosones de gauge sin masa y espín -1 . Los bosones de gauge sin masa que interactúan débilmente conducen a fuerzas de largo alcance, que solo se observan para el electromagnetismo y el fotón sin masa correspondiente . Las teorías de gauge de la fuerza débil necesitaban una forma de describir bosones de gauge masivos para ser consistentes.

En 1961, Julian Schwinger ^[17] observó que la ruptura de las simetrías de calibración no conducía a partículas sin masa , pero no demostró que se formaran partículas masivas. Esto se hizo en el artículo de Philip Warren Anderson de 1962 ^[3] , pero solo en la teoría de campos no relativista; también analizó las consecuencias para la física de partículas, pero no elaboró ​​un modelo relativista explícito. El modelo relativista fue desarrollado en 1964 por tres grupos independientes:

• Robert Brout y François Englert ^[4]
• Pedro Higgs ^[5]
• Gerald Guralnik , Carl Richard Hagen y Tom Kibble . ^{[6] [7] [8]}

Un poco más tarde, en 1965, pero independientemente de las otras publicaciones ^{[18] [19] [20] [21] [22] [23]} el mecanismo también fue propuesto por Alexander Migdal y Alexander Polyakov , ^[24] en ese momento estudiantes universitarios soviéticos. Sin embargo, su artículo fue retrasado por la oficina editorial de JETP y se publicó tarde, en 1966.

El mecanismo es estrechamente análogo a los fenómenos previamente descubiertos por Yoichiro Nambu que involucran la "estructura de vacío" de los campos cuánticos en la superconductividad . ^[25] Un efecto similar pero distinto (que involucra una realización afín de lo que ahora se reconoce como el campo de Higgs), conocido como el mecanismo de Stueckelberg , había sido estudiado previamente por Ernst Stueckelberg .

Estos físicos descubrieron que cuando una teoría de gauge se combina con un campo adicional que rompe espontáneamente el grupo de simetría, los bosones de gauge pueden adquirir consistentemente una masa distinta de cero. A pesar de los grandes valores involucrados (ver abajo) esto permite una descripción de la fuerza débil mediante la teoría de gauge, que fue desarrollada independientemente por Steven Weinberg y Abdus Salam en 1967. El artículo original de Higgs que presentaba el modelo fue rechazado por Physics Letters . Al revisar el artículo antes de volver a enviarlo a Physical Review Letters , agregó una oración al final, ^[26] mencionando que implica la existencia de uno o más bosones escalares nuevos y masivos, que no forman representaciones completas del grupo de simetría; estos son los bosones de Higgs.

Los tres artículos de Brout y Englert, Higgs y Guralnik, Hagen y Kibble fueron reconocidos como "cartas históricas" por Physical Review Letters en 2008. ^[27] Si bien cada uno de estos artículos fundamentales adoptó enfoques similares, las contribuciones y diferencias entre los artículos de ruptura de simetría de PRL de 1964 son dignas de mención. Los seis físicos recibieron conjuntamente el Premio JJ Sakurai de Física Teórica de Partículas de 2010 por este trabajo. ^[28]

A Benjamin W. Lee se le atribuye a menudo el mérito de haber nombrado por primera vez el mecanismo "similar al de Higgs", aunque existe un debate sobre cuándo ocurrió esto por primera vez. ^{[29] [30] [31]} Una de las primeras veces que el nombre de Higgs apareció impreso fue en 1972, cuando Gerardus 't Hooft y Martinus JG Veltman se refirieron a él como el "mecanismo de Higgs-Kibble" en su artículo ganador del Nobel. ^{[32] [33]}

El mecanismo de Higgs propuesto surgió como resultado de teorías propuestas para explicar observaciones en superconductividad . Un superconductor no permite la penetración de campos magnéticos externos (el efecto Meissner ). Esta extraña observación implica que el campo electromagnético de alguna manera se vuelve de corto alcance durante este fenómeno. Surgieron teorías exitosas para explicar esto durante la década de 1950, primero para los fermiones ( teoría de Ginzburg-Landau , 1950), y luego para los bosones ( teoría BCS , 1957).

En estas teorías, la superconductividad se interpreta como el resultado de un condensado cargado . Inicialmente, el valor del condensado no tiene ninguna dirección preferida. Esto implica que es escalar, pero su fase es capaz de definir un calibre, en teorías de campo basadas en el calibre. Para ello, el campo debe estar cargado. Un campo escalar cargado también debe ser complejo (o, dicho de otro modo, debe contener al menos dos componentes y una simetría capaz de rotar cada uno en el otro(s)). En la teoría de calibre ingenua, una transformación de calibre de un condensado suele rotar la fase. Sin embargo, en estas circunstancias, fija en cambio una elección preferida de fase. Sin embargo, resulta que fijar la elección del calibre de modo que el condensado tenga la misma fase en todas partes, también hace que el campo electromagnético gane un término adicional. Este término adicional hace que el campo electromagnético se vuelva de corto alcance.

El teorema de Goldstone también desempeña un papel en estas teorías. La conexión es que, técnicamente, cuando un condensado rompe una simetría, el estado alcanzado al actuar sobre el condensado con un generador de simetría tiene la misma energía que antes. Esto significa que algunos tipos de oscilaciones no implicarán cambios de energía. Las oscilaciones con energía invariable implican que las excitaciones (partículas) asociadas con la oscilación no tienen masa.

Una vez que se llamó la atención sobre esta teoría dentro de la física de partículas, los paralelismos quedaron claros. Un cambio del campo electromagnético, que normalmente es de largo alcance, a uno de corto alcance, dentro de una teoría invariante de norma, era exactamente el efecto necesario buscado para los bosones de fuerza débil (porque una fuerza de largo alcance tiene bosones de norma sin masa, y una fuerza de corto alcance implica bosones de norma masivos, lo que sugiere que un resultado de esta interacción es que los bosones de norma del campo adquirieron masa, o un efecto similar y equivalente). Las características de un campo requerido para hacer esto también estaban bastante bien definidas: tendría que ser un campo escalar cargado, con al menos dos componentes, y complejo para soportar una simetría capaz de rotarlos entre sí.

El mecanismo de Higgs se produce siempre que un campo cargado tiene un valor esperado de vacío. En el contexto no relativista, se trata de un superconductor , más formalmente conocido como el modelo de Landau de un condensado de Bose-Einstein cargado . En el condensado relativista, el condensado es un campo escalar que es relativistamente invariante.

El mecanismo de Higgs es un tipo de superconductividad que se produce en el vacío. Se produce cuando todo el espacio está lleno de un mar de partículas cargadas o, en lenguaje de campo, cuando un campo cargado tiene un valor esperado de vacío distinto de cero. La interacción con el fluido cuántico que llena el espacio impide que ciertas fuerzas se propaguen a grandes distancias (como ocurre en el interior de un superconductor; por ejemplo, en la teoría de Ginzburg-Landau ).

Un superconductor expulsa todos los campos magnéticos de su interior, un fenómeno conocido como efecto Meissner . Esto fue un misterio durante mucho tiempo, porque implica que las fuerzas electromagnéticas de alguna manera se vuelven de corto alcance dentro del superconductor. Comparemos esto con el comportamiento de un metal ordinario. En un metal, la conductividad apantalla los campos eléctricos reorganizando las cargas en la superficie hasta que el campo total se cancela en el interior.

Pero los campos magnéticos pueden penetrar cualquier distancia y, si un monopolo magnético (un polo magnético aislado) está rodeado por un metal, el campo puede escapar sin colimar en una cuerda. Sin embargo, en un superconductor, las cargas eléctricas se mueven sin disiparse, y esto permite que existan corrientes superficiales permanentes, no solo cargas superficiales. Cuando se introducen campos magnéticos en el límite de un superconductor, producen corrientes superficiales que los neutralizan exactamente.

El efecto Meissner surge debido a las corrientes en una fina capa superficial, cuyo espesor puede calcularse a partir del modelo simple de la teoría de Ginzburg-Landau, que trata la superconductividad como un condensado de Bose-Einstein cargado.

Supongamos que un superconductor contiene bosones con carga q  . La función de onda de los bosones se puede describir introduciendo un campo cuántico , que obedece a la ecuación de Schrödinger como una ecuación de campo . En unidades donde la constante de Planck reducida , ħ , se establece en 1:${\displaystyle \ \psi \ ,}$

${\displaystyle \ i\ {\frac {\partial }{\ \partial t\ }}\ \psi ~=~{\frac {\ \left(\nabla -iqA\right)^{2}}{2m}}\ \psi ~.}$

El operador aniquila un bosón en el punto x , mientras que su adjunto crea un nuevo bosón en el mismo punto. La función de onda del condensado de Bose-Einstein es entonces el valor esperado de la cual es una función clásica que obedece a la misma ecuación. La interpretación del valor esperado es que es la fase que se debe dar a un bosón recién creado para que se superponga coherentemente con todos los demás bosones que ya están en el condensado.${\displaystyle \ \psi (x)\ }$${\displaystyle \ \psi ^{\dagger }\ }$ ${\displaystyle \ \langle \psi \rangle \ }$${\displaystyle \ \psi (x)\ ,}$

Cuando hay un condensado cargado, las interacciones electromagnéticas se apantallan. Para comprobarlo, considere el efecto de una transformación de calibre en el campo. Una transformación de calibre rota la fase del condensado en una cantidad que varía de un punto a otro y desplaza el potencial vectorial en un gradiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &\rightarrow e^{iq\phi (x)}\psi \\\\A&\rightarrow A+\nabla \phi ~.\end{aligned}}}$

Cuando no hay condensado, esta transformación solo cambia la definición de la fase en cada punto. Pero cuando hay condensado, la fase del condensado define una elección preferida de fase.${\displaystyle \ \psi \ }$

La función de onda de condensado se puede escribir como

${\displaystyle \psi (x)=\rho (x)\ e^{i\theta (x)}\ ,}$

donde ρ es la amplitud real, que determina la densidad local del condensado. Si el condensado fuera neutro, el flujo seguiría los gradientes de θ , la dirección en la que cambia la fase del campo de Schrödinger. Si la fase θ cambia lentamente, el flujo es lento y tiene muy poca energía. Pero ahora θ se puede hacer igual a cero simplemente haciendo una transformación de calibre para rotar la fase del campo.

La energía de los cambios lentos de fase se puede calcular a partir de la energía cinética de Schrödinger,

${\displaystyle \ H={\frac {1}{\ 2\ m\ }}\ {\Bigl |}\left(iqA+\nabla \right)\psi {\Bigr |}^{2}\ ,}$

y tomando como constante la densidad del condensado ρ ,

${\displaystyle H\approx {\frac {~\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ \left(qA+\nabla \theta \right)^{2}~.}$

Fijando la elección del calibre de forma que el condensado tenga la misma fase en todas partes, la energía del campo electromagnético tiene un término extra,

${\displaystyle {\frac {\;q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}A^{2}~.}$

Cuando este término está presente, las interacciones electromagnéticas se vuelven de corto alcance. Cada modo de campo, sin importar cuán larga sea la longitud de onda, oscila con una frecuencia distinta de cero. La frecuencia más baja se puede leer a partir de la energía de un modo A de longitud de onda larga .

${\displaystyle E\approx {\frac {\;{\dot {A}}^{2}}{2}}+{\frac {\ q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ A^{2}~.}$

Este es un oscilador armónico con frecuencia

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{\ m\ }}\ q^{2}\ \rho ^{2}\ }}~.}$

La cantidad es la densidad del condensado de partículas superconductoras.${\displaystyle \ \left|\psi (x)\right|^{2}=\rho ^{2}\ }$

En un superconductor real, las partículas cargadas son electrones, que son fermiones, no bosones. Por lo tanto, para tener superconductividad, los electrones necesitan unirse de alguna manera en pares de Cooper . La carga del condensado q es, por lo tanto, el doble de la carga del electrón −e . El apareamiento en un superconductor normal se debe a vibraciones reticulares y, de hecho, es muy débil; esto significa que los pares están muy débilmente unidos. La descripción de un condensado de Bose-Einstein de pares débilmente unidos es en realidad más difícil que la descripción de un condensado de partículas elementales, y recién fue desarrollada en 1957 por John Bardeen , Leon Cooper y John Robert Schrieffer en la famosa teoría BCS .

La invariancia de calibre significa que ciertas transformaciones del campo de calibre no cambian la energía en absoluto. Si se agrega un gradiente arbitrario a A , la energía del campo es exactamente la misma. Esto dificulta agregar un término de masa, porque un término de masa tiende a empujar el campo hacia el valor cero. Pero el valor cero del potencial vectorial no es una idea invariante de calibre. Lo que es cero en un calibre es distinto de cero en otro.

Por lo tanto, para dar masa a una teoría de calibre, la invariancia de calibre debe romperse mediante un condensado. El condensado definirá entonces una fase preferida, y la fase del condensado definirá el valor cero del campo de una manera invariante de calibre. La definición invariante de calibre es que un campo de calibre es cero cuando el cambio de fase a lo largo de cualquier trayectoria a partir del transporte paralelo es igual a la diferencia de fase en la función de onda del condensado.

El valor del condensado se describe mediante un campo cuántico con un valor esperado, tal como en el modelo de Ginzburg-Landau .

Para que la fase del vacío defina un calibre, el campo debe tener una fase (también denominada "cargarse"). Para que un campo escalar Φ tenga una fase, debe ser complejo o (equivalentemente) debe contener dos campos con una simetría que los haga rotar uno dentro del otro. El potencial vectorial cambia la fase de los cuantos producidos por el campo cuando se mueven de un punto a otro. En términos de campos, define cuánto deben rotarse las partes real e imaginaria de los campos entre sí al comparar los valores de campo en puntos cercanos.

El único modelo renormalizable en el que un campo escalar complejo Φ adquiere un valor distinto de cero es el modelo del "sombrero mexicano", en el que la energía del campo tiene un mínimo alejado de cero. La acción para este modelo es

${\displaystyle \ S(\phi )=\int d^{4}x\left[{\tfrac {1}{2}}\left|\partial \phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]\ ,}$

lo que da como resultado el hamiltoniano

${\displaystyle \ H(\phi )={\tfrac {1}{2}}\left(\left|{\dot {\phi }}\right|^{2}+\left|\nabla \phi \right|^{2}\right)+V\left(\left|\phi \right|\right)~.}$

El primer término es la energía cinética del campo. El segundo término es la energía potencial adicional cuando el campo varía de un punto a otro. El tercer término es la energía potencial cuando el campo tiene una magnitud determinada.

Esta energía potencial, el potencial de Higgs , ^[34] tiene un gráfico que se parece a un sombrero mexicano , lo que le da el nombre al modelo. En particular, el valor mínimo de energía no está en z = 0 , sino en el círculo de puntos donde la magnitud de z es Φ .${\displaystyle ~V\left(z,\Phi \right)=\lambda \left(\left|z\right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\ ,}$

Cuando el campo Φ( x ) no está acoplado al electromagnetismo, el potencial de sombrero mexicano tiene direcciones planas. Comenzar en cualquiera de los círculos de vacío y cambiar la fase del campo de un punto a otro cuesta muy poca energía. Matemáticamente, si

${\displaystyle \ \phi (x)=\Phi e^{i\theta (x)}\ }$

con un prefactor constante, entonces la acción para el campo θ ( x ) , es decir, la "fase" del campo de Higgs Φ( x ) , solo tiene términos derivados. Esto no es una sorpresa: agregar una constante a θ ( x ) es una simetría de la teoría original, por lo que diferentes valores de θ ( x ) no pueden tener diferentes energías. Este es un ejemplo de configuración del modelo para cumplir con el teorema de Goldstone : las simetrías continuas rotas espontáneamente (normalmente) producen excitaciones sin masa.

El modelo abeliano de Higgs es el modelo del sombrero mexicano acoplado al electromagnetismo :

${\displaystyle \ S(\phi ,A)=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+\left|\left(\partial -iqA\right)\phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]~.}$

El vacío clásico se encuentra nuevamente en el mínimo del potencial, donde la magnitud del campo complejo φ es igual a Φ . Pero ahora la fase del campo es arbitraria, porque las transformaciones de calibre la cambian. Esto significa que el campo puede establecerse en cero mediante una transformación de calibre y no representa ningún grado de libertad real en absoluto.${\displaystyle \ \theta (x)\ }$

Además, al elegir un calibre en el que la fase del vacío sea fija, la energía potencial para las fluctuaciones del campo vectorial no será cero. Por lo tanto, en el modelo abeliano de Higgs, el campo de calibre adquiere una masa. Para calcular la magnitud de la masa, considere un valor constante del potencial vectorial A en la dirección x en el calibre en el que el condensado tiene una fase constante. Esto es lo mismo que un condensado que varía sinusoidalmente en el calibre en el que el potencial vectorial es cero. En el calibre en el que A es cero, la densidad de energía potencial en el condensado es la energía del gradiente escalar:

${\displaystyle \ E={\tfrac {1}{2}}\left|\partial \left(\Phi e^{iqAx}\right)\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}q^{2}\Phi ^{2}A^{2}~.}$

Esta energía es lo mismo que un término de masa . 1/2⁠ m ² A ² donde m = q Φ .

El modelo de Higgs no abeliano tiene la siguiente acción

${\displaystyle S(\phi ,\mathbf {A} )=\int {1 \over 4g^{2}}\mathop {\textrm {tr}} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+|D\phi |^{2}+V(|\phi |),}$

donde ahora el campo no abeliano A está contenido en la derivada covariante D y en los componentes tensoriales y (la relación entre A y esos componentes es bien conocida a partir de la teoría de Yang-Mills ).${\displaystyle F^{\mu \nu }}$${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

Es exactamente análogo al modelo de Higgs abeliano. Ahora el campo está en una representación del grupo de calibración, y la derivada covariante de calibración se define por la tasa de cambio del campo menos la tasa de cambio del transporte paralelo utilizando el campo de calibración A como conexión.${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle D\phi =\partial \phi -iA^{k}t_{k}\phi }$

Nuevamente, el valor esperado de define un calibre preferido donde el vacío es constante y, al fijar este calibre, las fluctuaciones en el campo de calibre A tienen un costo de energía distinto de cero.${\displaystyle \phi }$

Dependiendo de la representación del campo escalar, no todos los campos de calibración adquieren una masa. Un ejemplo simple es la versión renormalizable de un modelo electrodébil temprano debido a Julian Schwinger . En este modelo, el grupo de calibración es SO (3) (o SU (2) − no hay representaciones de espinores en el modelo), y la invariancia de calibración se descompone en U (1) o SO (2) a largas distancias. Para hacer una versión renormalizable consistente usando el mecanismo de Higgs, introduzca un campo escalar que se transforma como un vector (un triplete) de SO (3). Si este campo tiene un valor esperado de vacío, apunta en alguna dirección en el espacio de campos. Sin pérdida de generalidad, uno puede elegir el eje z en el espacio de campos para que sea la dirección que apunta, y entonces el valor esperado de vacío de es (0, 0, à ) , donde à es una constante con dimensiones de masa ( ).${\displaystyle \phi ^{a}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle c=\hbar =1}$

Las rotaciones alrededor del eje z forman un subgrupo U (1) de SO (3) que preserva el valor esperado de vacío de , y este es el grupo de calibración ininterrumpido. Las rotaciones alrededor de los ejes x e y no preservan el vacío, y los componentes del campo de calibración SO (3) que generan estas rotaciones se convierten en mesones vectoriales masivos. Hay dos mesones W masivos en el modelo de Schwinger, con una masa establecida por la escala de masas à , y un bosón de calibración U (1) sin masa, similar al fotón.${\displaystyle \phi }$

El modelo de Schwinger predice monopolos magnéticos en la escala de unificación electrodébil y no predice el bosón Z. No rompe la simetría electrodébil correctamente como en la naturaleza. Pero históricamente, un modelo similar a este (pero que no utiliza el mecanismo de Higgs) fue el primero en el que se unificaron la fuerza débil y la fuerza electromagnética.

Ernst Stueckelberg descubrió ^[35] una versión del mecanismo de Higgs al analizar la teoría de la electrodinámica cuántica con un fotón masivo. Efectivamente, el modelo de Stueckelberg es un límite del modelo de Higgs abeliano del sombrero mexicano regular, donde el valor esperado del vacío H tiende a infinito y la carga del campo de Higgs tiende a cero de tal manera que su producto permanece fijo. La masa del bosón de Higgs es proporcional a H , por lo que el bosón de Higgs se vuelve infinitamente masivo y se desacopla, por lo que no está presente en la discusión. La masa del mesón vectorial, sin embargo, es igual al producto eH , y permanece finita.

La interpretación es que cuando un campo de calibración U (1) no requiere cargas cuantizadas, es posible conservar sólo la parte angular de las oscilaciones del Higgs y descartar la parte radial. La parte angular del campo de Higgs θ tiene la siguiente ley de transformación de calibración:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &\rightarrow \theta +e\alpha \,\\A&\rightarrow A+\partial \alpha ~.\end{aligned}}}$

La derivada covariante de calibre para el ángulo (que en realidad es invariante de calibre) es:

${\displaystyle D\theta =\partial \theta -eAH~.}$

Para mantener las fluctuaciones de θ finitas y distintas de cero en este límite, θ debe reescalarse mediante H , de modo que su término cinético en la acción permanezca normalizado. La acción para el campo theta se lee a partir de la acción del sombrero mexicano sustituyendo${\displaystyle \ \phi =He^{i\theta /H}~.}$

${\displaystyle S=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(D\theta )^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -HeA)^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -mA)^{2}{\bigr ]}}$

Dado que eH es la masa del bosón de norma. Al realizar una transformación de norma para establecer θ = 0 , se elimina la libertad de norma en la acción y la acción se convierte en la de un campo vectorial masivo:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\int {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}F^{2}+m^{2}A^{2}{\bigr ]}\,.}$

Para que haya cargas arbitrariamente pequeñas se requiere que el U (1) no sea el círculo de números complejos unitarios bajo la multiplicación, sino los números reales ℝ bajo la adición, que solo es diferente en la topología global. Un grupo U (1) de este tipo no es compacto. El campo θ se transforma como una representación afín del grupo de calibración. Entre los grupos de calibración permitidos, solo el U (1) no compacto admite representaciones afines, y se sabe experimentalmente que el U (1) del electromagnetismo es compacto, ya que la cuantificación de carga se mantiene con una precisión extremadamente alta.

El condensado de Higgs en este modelo tiene una carga infinitesimal, por lo que las interacciones con el bosón de Higgs no violan la conservación de la carga. La teoría de la electrodinámica cuántica con un fotón masivo sigue siendo una teoría renormalizable, en la que la carga eléctrica todavía se conserva, pero no se permiten los monopolos magnéticos . Para la teoría de gauge no abeliana, no existe un límite afín y las oscilaciones de Higgs no pueden ser mucho más masivas que los vectores.

• Masa electromagnética
• haz de Higgs
• Trivialidad cuántica
• Angulo de Weinberg
• Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs

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