Funciones trigonométricas inversas

Trigonometría
Describir Historia Uso Funciones  ( sin , cos , tan , inversa) Trigonometría generalizada
Referencia
Identidades Constantes exactas Tablas Círculo unitario
Leyes y teoremas
Senos Cosenos Tangentes Cotangentes Teorema de Pitágoras
Cálculo
Sustitución trigonométrica Integrales  ( funciones inversas ) Derivados Serie trigonométrica
Matemáticos
Hiparco Ptolomeo Brahma-upta Al-Hasib Al-Battani Regiomontano Viète de Moivre Euler Fourier
en a mi

En matemáticas , las funciones trigonométricas inversas (a veces también llamadas antitrigonométricas , ^[1] ciclométricas , ^[2] o funciones de arco ^[3] ) son las funciones inversas de las funciones trigonométricas , bajo dominios adecuadamente restringidos . Específicamente, son las inversas de las funciones seno , coseno , tangente , cotangente , secante y cosecante , ^[4] y se utilizan para obtener un ángulo a partir de cualquiera de las razones trigonométricas del ángulo. Las funciones trigonométricas inversas se usan ampliamente en ingeniería , navegación , física y geometría .

Existen varias notaciones para las funciones trigonométricas inversas. La convención más común es nombrar las funciones trigonométricas inversas usando un prefijo arc-: arcsin( x ) , arccos( x ) , arctan( x ) , etc. ^[1] (Esta convención se utiliza en todo este artículo). Esta notación surge de las siguientes relaciones geométricas: ^{[ cita requerida ]} al medir en radianes, un ángulo de θ radianes corresponderá a un arco cuya longitud es rθ , donde r es el radio del círculo. Por lo tanto, en el círculo unitario , la función coseno de x es tanto el arco como el ángulo, porque el arco de un círculo de radio 1 es el mismo que el ángulo. O bien, "el arco cuyo coseno es x " es lo mismo que "el ángulo cuyo coseno es x ", porque la longitud del arco del círculo en radios es la misma que la medida del ángulo en radianes. ^[5] En los lenguajes de programación informática, las funciones trigonométricas inversas suelen denominarse con las formas abreviadas asin , acos , atan . ^[6]

Las notaciones sin ⁻¹ ( x ) , cos ⁻¹ ( x ) , tan ⁻¹ ( x ) , etc., introducidas por John Herschel en 1813, ^{[7] [8]} también se usan a menudo en fuentes en idioma inglés, ^[1] mucho más que las también establecidas sin ^[−1] ( x ) , cos ^[−1] ( x ) , tan ^[−1] ( x ) – convenciones consistentes con la notación de una función inversa , que es útil (por ejemplo) para definir la versión multivaluada de cada función trigonométrica inversa: Sin embargo, esto podría parecer un conflicto lógico con la semántica común para expresiones como sin ² ( x ) (aunque solo sin ² x , sin paréntesis, es el uso realmente común), que se refieren a la potencia numérica en lugar de la composición de funciones, y por lo tanto pueden resultar en confusión entre la notación para el recíproco ( inverso multiplicativo ) y función inversa . ^[9]${\displaystyle \tan ^{-1}(x)=\{\arctan(x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}~.}$

La confusión se mitiga un poco por el hecho de que cada una de las funciones trigonométricas recíprocas tiene su propio nombre —por ejemplo, (cos( ​​x )) ⁻¹ = sec( x ) — . Sin embargo, algunos autores desaconsejan su uso, ya que es ambiguo. ^{[1] [10]} Otra convención precaria utilizada por un pequeño número de autores es utilizar una primera letra mayúscula , junto con un superíndice “ −1 ”: Sin ⁻¹ ( x ) , Cos ⁻¹ ( x ) , Tan ⁻¹ ( x ) , etc. ^[11] Aunque se pretende evitar la confusión con el recíproco , que debería representarse por sin ⁻¹ ( x ) , cos ⁻¹ ( x ) , etc., o, mejor, por sin ⁻¹ x , cos ⁻¹ x , etc., a su vez crea otra fuente importante de ambigüedad, especialmente porque muchos lenguajes de programación de alto nivel populares (por ejemplo, Mathematica y MAGMA ) utilizan esas mismas representaciones en mayúsculas para las funciones trigonométricas estándar, mientras que otros ( Python , SymPy , NumPy , Matlab , MAPLE , etc.) utilizan minúsculas.

Por ello, desde 2009, la norma ISO 80000-2 especifica únicamente el prefijo "arco" para las funciones inversas.

Dado que ninguna de las seis funciones trigonométricas es biunívoca , deben restringirse para tener funciones inversas. Por lo tanto, los rangos de resultados de las funciones inversas son subconjuntos propios (es decir, estrictos) de los dominios de las funciones originales.

Por ejemplo, usando función en el sentido de funciones multivaluadas , tal como la función raíz cuadrada podría definirse a partir de la función se define de modo que Para un número real dado con hay múltiples (de hecho, infinitamente contables ) números tales que ; por ejemplo, pero también etc. Cuando solo se desea un valor, la función puede restringirse a su rama principal . Con esta restricción, para cada en el dominio, la expresión evaluará solo un único valor, llamado su valor principal . Estas propiedades se aplican a todas las funciones trigonométricas inversas.${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$${\displaystyle y^{2}=x,}$${\displaystyle y=\arcsin(x)}$${\displaystyle \sin(y)=x.}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \sin(y)=x}$${\displaystyle \sin(0)=0,}$${\displaystyle \sin(\pi )=0,}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \arcsin(x)}$

Las inversas principales se enumeran en la siguiente tabla.

Nombre	Notación usual	Definición	Dominio de resultados reales${\displaystyle x}$	Rango de valores principales usuales ( radianes )	Rango de valores principales habituales ( grados )
arcoseno	${\displaystyle y=\arcsin(x)}$	x = sen ( y )	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle -90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }}$
arcocoseno	${\displaystyle y=\arccos(x)}$	x = cos ( y )	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\displaystyle 0\leq y\leq \pi }$	${\displaystyle 0^{\circ }\leq y\leq 180^{\circ }}$
arcotangente	${\displaystyle y=\arctan(x)}$	x = tan ( y )	todos los números reales	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle -90^{\circ }<y<90^{\circ }}$
arcocotangente	${\displaystyle y=\operatorname {arccot}(x)}$	x = cuna ( y )	todos los números reales	${\displaystyle 0<y<\pi }$	${\displaystyle 0^{\circ }<y<180^{\circ }}$
arcosecante	${\displaystyle y=\operatorname {arcsec}(x)}$	x = seg ( y )	${\displaystyle {\left\vert x\right\vert }\geq 1}$	${\displaystyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi }$	${\displaystyle 0^{\circ }\leq y<90^{\circ }{\text{ or }}90^{\circ }<y\leq 180^{\circ }}$
arco cosecante	${\displaystyle y=\operatorname {arccsc}(x)}$	x = csc ( y )	${\displaystyle {\left\vert x\right\vert }\geq 1}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y<0{\text{ or }}0<y\leq {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle -90^{\circ }\leq y<0^{\circ }{\text{ or }}0^{\circ }<y\leq 90^{\circ }}$

Nota: Algunos autores ^{[ cita requerida ]} definen el rango de la arcosecante como , porque la función tangente no es negativa en este dominio. Esto hace que algunos cálculos sean más consistentes. Por ejemplo, al usar este rango, mientras que con el rango , tendríamos que escribir ya que la tangente no es negativa en pero no positiva en Por una razón similar, los mismos autores definen el rango de la arcocosecante como o${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}})}$${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},}$${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi )}$${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},}$${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

Si se permite que sea un número complejo , entonces el rango de se aplica sólo a su parte real.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

La siguiente tabla muestra los nombres y dominios de las funciones trigonométricas inversas junto con el rango de sus valores principales habituales en radianes .

Nombre	Símbolo		Dominio		Imagen/Rango	Función inversa		Dominio		Imagen de valores principales
seno	${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \arcsin }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]}$
coseno	${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \arccos }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle [0,\pi ]}$
tangente	${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \arctan }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$
cotangente	${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \operatorname {arccot} }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle (0,\pi )}$
secante	${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle [\,0,\;\pi \,]\;\;\;\setminus \left\{{\tfrac {\pi }{2}}\right\}}$
cosecante	${\displaystyle \csc }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}}$

El símbolo denota el conjunto de todos los números reales y denota el conjunto de todos los números enteros . El conjunto de todos los múltiplos enteros de se denota por${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}}$${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.}$$

El símbolo denota la resta de conjuntos , de modo que, por ejemplo, es el conjunto de puntos en (es decir, números reales) que no están en el intervalo${\displaystyle \,\setminus \,}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (-1,1).}$

Ahora se explica la notación de suma de Minkowski que se utiliza arriba para escribir de forma concisa los dominios de .${\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}}$${\displaystyle \cot ,\csc ,\tan ,{\text{ and }}\sec }$

Dominio de la cotangente y la cosecante${\displaystyle \cot }$${\displaystyle \csc }$ : Los dominios de y son los mismos. Son el conjunto de todos los ángulos en los que, es decir, todos los números reales que no tienen la forma de algún entero.${\displaystyle \,\cot \,}$${\displaystyle \,\csc \,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sin \theta \neq 0,}$${\displaystyle \pi n}$${\displaystyle n,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

Dominio de la tangente y la secante${\displaystyle \tan }$${\displaystyle \sec }$ : Los dominios de y son los mismos. Son el conjunto de todos los ángulos en los que${\displaystyle \,\tan \,}$${\displaystyle \,\sec \,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cos \theta \neq 0,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}}$$

Cada una de las funciones trigonométricas es periódica en la parte real de su argumento, recorriendo todos sus valores dos veces en cada intervalo de${\displaystyle 2\pi :}$

• El seno y la cosecante comienzan su período en (donde es un entero), lo terminan en y luego se invierten a${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle k}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• El coseno y la secante comienzan su período en y lo terminan en y luego se invierten en${\displaystyle 2\pi k,}$${\displaystyle 2\pi k+\pi .}$${\displaystyle 2\pi k+\pi }$${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$
• La tangente comienza su período en, lo termina en y luego lo repite (hacia adelante) en${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• La cotangente comienza su período en, lo termina en y luego lo repite (hacia adelante) hasta${\displaystyle 2\pi k,}$${\displaystyle 2\pi k+\pi ,}$${\displaystyle 2\pi k+\pi }$${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$

Esta periodicidad se refleja en las inversas generales, donde es un número entero.${\displaystyle k}$

La siguiente tabla muestra cómo se pueden utilizar las funciones trigonométricas inversas para resolver igualdades que involucran las seis funciones trigonométricas estándar. Se supone que los valores dados y todos se encuentran dentro de rangos apropiados para que las expresiones relevantes a continuación estén bien definidas . Tenga en cuenta que "para algunos " es simplemente otra forma de decir "para algunos números enteros ".${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle x,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k.}$

El símbolo es igualdad lógica e indica que si el lado izquierdo es verdadero, entonces también lo es el lado derecho y, a la inversa, si el lado derecho es verdadero, entonces también lo es el lado izquierdo (ver esta nota al pie ^{[nota 1]} para más detalles y un ejemplo que ilustra este concepto).${\displaystyle \,\iff \,}$

Ecuación	Si y sólo si	Solución
${\displaystyle \sin \theta =y}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle (-1)^{k}}$	${\displaystyle \arcsin(y)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	Para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \csc \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle (-1)^{k}}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc}(r)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	Para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cos \theta =x}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pi k}$	Para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \sec \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec}(r)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pi k}$	Para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \tan \theta =s}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$		${\displaystyle \arctan(s)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	Para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cot \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$		${\displaystyle \operatorname {arccot}(r)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	Para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

donde las primeras cuatro soluciones se pueden escribir en forma desarrollada como:

Ecuación	Si y sólo si	Solución
${\displaystyle \sin \theta =y}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\;\;\;\,\arcsin(y)+2\pi h}$           o ${\displaystyle \theta =-\arcsin(y)+2\pi h+\pi }$	Para algunos${\displaystyle h\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \csc \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\;\;\;\,\operatorname {arccsc}(r)+2\pi h}$           o ${\displaystyle \theta =-\operatorname {arccsc}(r)+2\pi h+\pi }$	Para algunos${\displaystyle h\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cos \theta =x}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\;\;\;\,\arccos(x)+2\pi k}$          o ${\displaystyle \theta =-\arccos(x)+2\pi k}$	Para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \sec \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\;\;\;\,\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k}$          o ${\displaystyle \theta =-\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k}$	Para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

Por ejemplo, si entonces para algún Mientras que si entonces para algún donde será par si y será impar si Las ecuaciones y tienen las mismas soluciones que y respectivamente. En todas las ecuaciones anteriores excepto en aquellas que se acaban de resolver (es decir, excepto para / y / ), el entero en la fórmula de la solución está determinado de forma única por (para y fijos ). ${\displaystyle \cos \theta =-1}$${\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle \sin \theta =\pm 1}$${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \sin \theta =1}$${\displaystyle \sin \theta =-1.}$${\displaystyle \sec \theta =-1}$${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$${\displaystyle \cos \theta =-1}$${\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}$${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle \sec \theta =-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r,s,x,}$${\displaystyle y}$

Con la ayuda de la paridad entera es posible escribir una solución que no involucre el símbolo "más o menos": $${\displaystyle \operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}}$$${\displaystyle \cos \theta =x}$${\displaystyle \,\pm \,}$

${\displaystyle cos\;\theta =x\quad }$si y solo si por alguna razón${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$${\displaystyle h\in \mathbb {Z} .}$

Y de manera similar para la función secante,

${\displaystyle sec\;\theta =r\quad }$si y solo si por alguna razón${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$${\displaystyle h\in \mathbb {Z} ,}$

donde es igual cuando el entero es par, y es igual cuando es impar.${\displaystyle \pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)}$${\displaystyle \pi h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \pi h+\pi }$

Las soluciones de y implican el símbolo "más o menos", cuyo significado se aclara ahora. Solo se analizará la solución de ya que la discusión de es la misma. Se nos da entre y sabemos que hay un ángulo en algún intervalo que satisface Queremos encontrar esto La tabla anterior indica que la solución es que es una forma abreviada de decir que (al menos) una de las siguientes afirmaciones es verdadera:${\displaystyle \cos \theta =x}$${\displaystyle \sec \theta =x}$${\displaystyle \,\pm ,\,}$${\displaystyle \cos \theta =x}$${\displaystyle \sec \theta =x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cos \theta =x.}$${\displaystyle \theta .}$$${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$

1. ${\displaystyle \,\theta =\arccos x+2\pi k\,}$para algún entero o${\displaystyle k,}$
   
2. ${\displaystyle \,\theta =-\arccos x+2\pi k\,}$para algún entero${\displaystyle k.}$

Como se mencionó anteriormente, si (lo que por definición solo ocurre cuando ) entonces ambas afirmaciones (1) y (2) se cumplen, aunque con diferentes valores para el entero : si es el entero de la afirmación (1), lo que significa que se cumple, entonces el entero para la afirmación (2) es (porque ). Sin embargo, si entonces el entero es único y está completamente determinado por Si (lo que por definición solo ocurre cuando ) entonces (porque y por lo tanto en ambos casos es igual a ) y por lo tanto las afirmaciones (1) y (2) resultan ser idénticas en este caso particular (y por lo tanto ambas se cumplen). Habiendo considerado los casos y ahora nos centramos en el caso donde y Por lo tanto supongamos esto de ahora en adelante. La solución a sigue siendo que como antes es una forma abreviada de decir que una de las afirmaciones (1) y (2) es verdadera. Sin embargo, esta vez, porque y las afirmaciones (1) y (2) son diferentes y además, se cumple exactamente una de las dos igualdades (no ambas). Se necesita información adicional sobre para determinar cuál se cumple. Por ejemplo, supongamos que y que todo lo que se sabe sobre es que (y no se sabe nada más). Entonces y además, en este caso particular (tanto para el caso como para el caso) y por lo tanto en consecuencia, Esto significa que podría ser o Sin información adicional no es posible determinar cuál de estos valores tiene. Un ejemplo de alguna información adicional que podría determinar el valor de sería saber que el ángulo está por encima del eje (en cuyo caso ) o alternativamente, saber que está por debajo del eje (en cuyo caso ). ${\displaystyle \,\arccos x=\pi \,}$${\displaystyle x=\cos \pi =-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \theta =\pi +2\pi K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K+1}$${\displaystyle \theta =-\pi +2\pi (1+K)}$${\displaystyle x\neq -1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta .}$${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$${\displaystyle x=\cos 0=1}$${\displaystyle \,\pm \arccos x=0\,}$${\displaystyle \,+\arccos x=+0=0\,}$${\displaystyle \,-\arccos x=-0=0\,}$${\displaystyle \,\pm \arccos x\,}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$${\displaystyle \,\arccos x=\pi ,\,}$${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$${\displaystyle \,\arccos x\neq \pi ,\,}$${\displaystyle \cos \theta =x}$$${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$${\displaystyle \,0<\arccos x<\pi ,\,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \,-\pi \leq \theta \leq \pi \,}$$${\displaystyle \arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}}$$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \,+\,}$${\displaystyle \,-\,}$$${\displaystyle \theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \,\pi /2\,}$${\displaystyle \,-\pi /2.}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta =\pi /2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta =-\pi /2}$

La siguiente tabla muestra cómo deben relacionarse dos ángulos si sus valores bajo una función trigonométrica dada son iguales o negativos entre sí.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

Ecuación	Si y sólo si	Solución (para algunos )${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$	También una solución para
${\displaystyle {\phantom {-}}\sin \theta =\sin \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {\quad }}(-1)^{k}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\csc \theta =\csc \varphi }$
${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta =\cos \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta =\sec \varphi }$
${\displaystyle {\phantom {-}}\tan \theta =\tan \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {(-1)^{k+1}}}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cot \theta =\cot \varphi }$
${\displaystyle -\sin \theta =\sin \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =(-1)^{k+1}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle -\csc \theta =\csc \varphi }$
${\displaystyle -\cos \theta =\cos \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k+\pi {\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle -\sec \theta =\sec \varphi }$
${\displaystyle -\tan \theta =\tan \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}-\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle -\cot \theta =\cot \varphi }$
${\displaystyle {\begin{aligned}{\phantom {-}}\left|\sin \theta \right|&=\left|\sin \varphi \right|\\&\Updownarrow \\{\phantom {-}}\left|\cos \theta \right|&=\left|\cos \varphi \right|\end{aligned}}}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\phantom {-}}\left|\tan \theta \right|&=\left|\tan \varphi \right|\\\left|\csc \theta \right|&=\left|\csc \varphi \right|\\\left|\sec \theta \right|&=\left|\sec \varphi \right|\\\left|\cot \theta \right|&=\left|\cot \varphi \right|\end{aligned}}}$

La flecha doble vertical en la última fila indica que y satisfacen si y solo si satisfacen${\displaystyle \Updownarrow }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \left|\sin \theta \right|=\left|\sin \varphi \right|}$${\displaystyle \left|\cos \theta \right|=\left|\cos \varphi \right|.}$

Conjunto de todas las soluciones de ecuaciones trigonométricas elementales.

Así, dada una única solución a una ecuación trigonométrica elemental ( es una ecuación de este tipo, por ejemplo, y como siempre se cumple, es siempre una solución), el conjunto de todas las soluciones a ella son:${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sin \theta =y}$${\displaystyle \sin(\arcsin y)=y}$${\displaystyle \theta :=\arcsin y}$

Si se resuelve${\displaystyle \theta }$	entonces	Conjunto de todas las soluciones (en términos de )${\displaystyle \theta }$
${\displaystyle \;\sin \theta =y}$	entonces	${\displaystyle \{\varphi :\sin \varphi =y\}=\,}$	${\displaystyle (\theta }$	${\displaystyle \,+\,2}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}$	${\displaystyle \,\cup \,(-\theta }$	${\displaystyle -\pi }$	${\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}$
${\displaystyle \;\csc \theta =r}$	entonces	${\displaystyle \{\varphi :\csc \varphi =r\}=\,}$	${\displaystyle (\theta }$	${\displaystyle \,+\,2}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}$	${\displaystyle \,\cup \,(-\theta }$	${\displaystyle -\pi }$	${\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}$
${\displaystyle \;\cos \theta =x}$	entonces	${\displaystyle \{\varphi :\cos \varphi =x\}=\,}$	${\displaystyle (\theta }$	${\displaystyle \,+\,2}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}$	${\displaystyle \,\cup \,(-\theta }$		${\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}$
${\displaystyle \;\sec \theta =r}$	entonces	${\displaystyle \{\varphi :\sec \varphi =r\}=\,}$	${\displaystyle (\theta }$	${\displaystyle \,+\,2}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}$	${\displaystyle \,\cup \,(-\theta }$		${\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}$
${\displaystyle \;\tan \theta =s}$	entonces	${\displaystyle \{\varphi :\tan \varphi =s\}=\,}$	${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \,+\,}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \;\cot \theta =r}$	entonces	${\displaystyle \{\varphi :\cot \varphi =r\}=\,}$	${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \,+\,}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} }$

Las ecuaciones anteriores se pueden transformar utilizando las identidades de reflexión y desplazamiento: ^[12]

Transformación de ecuaciones por desplazamientos y reflexiones

Argumento:${\displaystyle {\underline {\;~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\theta }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\pm \theta }$	${\displaystyle \pi \pm \theta }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\pm \theta }$	${\displaystyle 2k\pi \pm \theta ,}$ ${\displaystyle (k\in \mathbb {Z} )}$
${\displaystyle \sin {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\sin \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }$	${\displaystyle \mp \sin \theta }$	${\displaystyle -\cos \theta }$	${\displaystyle \pm \sin \theta }$
${\displaystyle \csc {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\csc \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }$	${\displaystyle \mp \csc \theta }$	${\displaystyle -\sec \theta }$	${\displaystyle \pm \csc \theta }$
${\displaystyle \cos {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }$	${\displaystyle \mp \sin \theta }$	${\displaystyle -\cos \theta }$	${\displaystyle \pm \sin \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }$
${\displaystyle \sec {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }$	${\displaystyle \mp \csc \theta }$	${\displaystyle -\sec \theta }$	${\displaystyle \pm \csc \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }$
${\displaystyle \tan {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\tan \theta }$	${\displaystyle \mp \cot \theta }$	${\displaystyle \pm \tan \theta }$	${\displaystyle \mp \cot \theta }$	${\displaystyle \pm \tan \theta }$
${\displaystyle \cot {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\cot \theta }$	${\displaystyle \mp \tan \theta }$	${\displaystyle \pm \cot \theta }$	${\displaystyle \mp \tan \theta }$	${\displaystyle \pm \cot \theta }$

Estas fórmulas implican, en particular, que se cumple lo siguiente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}$$